Chuyên đề giải toán trên máy tinh casio

Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chiacho 10n... * Dạng khác: Tính tổng các hệ số của đa thức.. 20.bài toán lãi x

MỤC LỤC

I HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS

II CÁC DẠNG TOÁN

ĐẠI SỐ

1 Tính toán thông thường và sử dụng biến nhớ ……… …………6

2 Sử lý số lớn……… 7

3 Cách kiểm tra xem số a có là số nguyên tố hay không ? 7

4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố … 7

5 Tìm số dư……… 8

6 Tìm số chữ số cuối……… 9

7 Tìm số các chữ số……… 13

8 Tìm USCLN và BSCNN……… 13

9 Dẫy số……… 14

10 Phương trình bậc I……… 15

11 Phương trình bậc II ……… 17

12 Phương trình bậc III……… 17

13 Phương trình vô tỉ……… 17

14 Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE………18

15 Giải phương trình bằng phương pháp lặp……… ………18

16 Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn ……… …… 19

17 Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn ……… ………19

18 Hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn ……… …………19

19 Bài toán về đa thức: ……… 19

20.bài toán lãi xuất……… 20

21 Dạng khác……… 23

HÌNH HỌC A Một số công thức hay sử dụng……… 25

B Một số dạng toán: ……… 26

1 Hệ thức lượng giác trong tam giác ……… ………26

2 Hệ thức lượng trong đường tròn … ……….….………26

3 Đường thẳng: ……… 26

4 Một số bài toán về tam giác………26

5 Một số bài toán về đa giác và hình tròn……….………29

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

 Shift + OFF: Tắt máy.

 AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới.

 ENG: Chuyển dạng a.10^n với n giảm.

 ENG: Chuyển dạng a.10^n với n tăng.

4 Hàm, tính toán, và chuyển đổi:

 SIN, COS, TAN: Sin, Cosin, tan

 Sin -1 , COS -1 , TAN -1: Hàm ngược Sin, Cosin, Tan

 ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10.

 RAN#: Hiện số ngẫu nhiên

 DEC, HEX, BIN, OCT: Cơ số 10,16, 2, 8.

 COSNT: Gọi hằng số.

 CONV: Chuyển đổi đơn vị.

 SOLVE: Giải phương trình.

 <-, ->, á, â: Di chuyển dữ liệu.

 : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân

 , : Ngăn cách các giá trị trong hàm.

o Chọn 1: SD: Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.

o Chọn 2: REG: Thống kê 2 biến

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

o Chọn 3: Gra: Chuyển chế độ Graph

 MODE 5:

o Chọn 1: Fix:Ấn định số thập phân (0-9).

o Chọn 2: Sci: Ấn định số có nghĩa (0-9) của số a ghi dưới dạng ax10n.

o Chọn 3: Norm: Chọn 1 hoặc 2 để ghi kết quả tính toán dạng khoa học

a x 10n

 MODE 6:

o Chọn 1: DISP: Chọn kiểu hiện thị

 Chọn 1: EngON: Hiện số dạng kỹ thuật.

 Chon 2: EngOFF: Không hiện số dạng kỹ thuật.

o Chọn ->

 Chọn 1: ab/c: Kết quả ở dạng hỗn số.

 Chọn 2: d/c: Kết quả ở dạng phân số.

o Chọn ->

 Chọn 1: DOT: Dấu chấm ngăn cách phần thập phân.

 Chọn 2: COMMA: Dấu phảy ngăn cách phần thập phân.

) 9

8 56 60000 (

) 8

5 1 7

5 ( : ) 6 , 3 5

4 1 (

) 2 3

2 1 ( 3

2 1

xy y

x y xy y x x

xy x

VÝ dô:4 Tính giá trị của biểu thức M với  = 25030',  = 57o30’

CHUYấN ĐỀ GIẢI TOÁN TRấN MÁY TINH CAISO

Sử dụng phương phỏp chia nhỏ và kết hợp giữa mỏy và cộng trờn giấy

3 Cỏch kiểm tra xem số a cú là số nguyờn tố hay khụng ?

|a| |shift| |sto| |A| {gỏn a vào biến A trong mỏy}

|1| |shift| |sto| |B|

Nhập vào mỏy B=B+2 : A/B

CALC = = = nếu là số nguyờn thỡ B là 1 ước của A

Kiểm tra cho đến khi kết quả hạ xuống dưới căn A thỡ ngưng

{chỳ ý: với cỏch này xem A cú chia hết cho 2 khụng?}

Ví dụ: Hãy kiểm tra số F =11237 có phải là số nguyên tố không

Nêu qui trình bấm phím để biết số F là số nguyên tồ hay không

HD:

F là số lẻ, nên ớc số của nó không thể là số chẵn F là số nguyên tố nếu nókhông có ớc số nào nhỏ hơn F 106.0047169

gán 1 shift, STO D, thực hiện các thao tác:

ALPHA, D, ALPHA =, ALPHA, D + 2, ALPHA : , 11237 ALPHA D, bấm = liêntiếp (máy 570ES thì bấm CALC sau đó mới bấm =) Nếu từ 3 cho đến 105 phép chia không chẵn, thì kết luận F là số nguyên tố

4 Phõn tớch một số ra thừa số nguyờn tố

Phõn tớch số a ra thừa số nguyờn tố, ta sử dụng dấu hiệu chia hết kết hợp với mỏy tớnh Ta lấy số a chia lần lượt cho cỏc số nguyờn tố p với p < a

Ví dụ:1: Phõn tớch số 20226600 ra thừa số nguyờn tố

Ta sử dụng dấu hiệu chia hết kết hợp với mỏy tớnh để là

Mod (a, b) = a – b.[a, b]

Ví dụ:1. Tỡm số dư của 567891 và 54321

ĐS: 24681

Ví dụ:2. Ngày 7 thỏng 7 năm 2007 là thứ 7 Theo cỏch tớnh dương lịch ở từđiển trờn mạng wikipedia một năm cú 365,2425 ngày

Vậy dựa vào cỏch tớnh trờn thỡ đến ngày 7 thỏng 7 năm 7777 sẽ là thứ mấy ?(ta chỉ tớnh theo lớ thuyết cũn thực tế cú thể cú điều chỉnh khỏc )

So với ngày 7 thỏng 7 năm 7777 tớnh tăng lờn 2 ngày

Suy ra : Thứ 2 ngày 7 thỏng 7 năm 7777

Ví dụ:3 Biết rằng ngày 01/01/1992 là ngày Thứ T trong tuần Cho biết ngày

01/01/2055 là ngày thứ mấy trong tuần ? (Cho biết năm 2000 là năm nhuận)

Khoảng cách giữa hai năm:2055 1992 63   , trong 63 năm đó có 16 năm nhuận (366ngày)

Khoảng cách ngày giữa hai năm là:

16 366 (63 16) 365 23011      ngày

23011 chia 7 d đợc 2

Vậy ngày 01/01/2055 là ngày thứ Sỏu

* Dạng 2: Số chữ số lớn hơn 10 chữ số: “Ta dựng phương phỏp chia để trị”

- Cắt ra thành nhúm đầu 9 chữ số (kể từ bờn trỏi) tỡm số dư của số này với số

* Dạng 3: Tỡm số dư của một luỹ thừa bậc cao cho một sụ

Ví dụ: 1. Tỡm số dư 200915 cho 109

HD: Xột số mũ ta thấy 15 = 4.3+3

20093 55 (mode 109) 20093.4 554 75(mode 109)

200915 =20094.3+3 =20094.3 20093 55.7592(mode 109)Hay 200915 chia cho 109 dư 92

Ví dụ:2. Tỡm số dư 92009 cho 33

Ta cú: 919 (mod 33) 969 (mod 33)

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

(mo d 3

9

3 3) (mo d

9

4 5k

3 5k

2 5k

1 5k

Vậy: 92009=95.401+4 27 (mod 33) Hay 92009 chia cho 33 dư 27

VÝ dô:3. Tìm số dư 92009 cho 12

p m a

p n m b p n b p m a

 9100=(910)10910 (mod 12)9 (mod 12)

 91000=(9100)109100 (mod 12)9 (mod 12)

 92000=(91000)292 (mod 12)9 (mod 12)Vậy: 92009=92000.99

92 (mod 12)9 (mod 12)Hay 92009 chia cho 12 dư 9

VÝ dô: 4. Tìm số dư 2004376 cho 1975

HD: Xét số mũ ta thấy 376 = 6 62 +4

20042 841 (mode 1975) 20044 4812 231(mode1975)

200412 2313 416(mode 1975) 200448 4164 536(mode 1975)

200460

536 x 416 1776(mode 1975) 200462

1776 x 841 516(mode1975)

ạng 2 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chiacho 10n Để tìm số dư khi A chia cho 10n, thực chất là ta đi tìm số dư của A khichia cho 2n và 5n

Mặt khỏc A chia hết cho 8 nờn k = 8m

Vậy A = 1000m + 16 hay 3 số cuối của A là 016

Ví dụ:3. Tỡm chữ số cuối của 72005

Ví dụ:5 Tỡm 2 chữ số cuối của: A= 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 +

22006 + 22007

HD: A = 22000(1+2+4+8+16+32+64+128)

= (220)100 x 255

mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576

Ta nhận thấy bất kỳ một số có đuôi là 76 thì lũy thừa luôn luôn có đuôi là 76

(dùng máy để kiểm tra)

Do đó: A = 255 x (…76) = … 80 Vậy 2 số cuối của A có giá trị là 80

Ví dụ:6. Tớnh

7 ' 17

29397236777

77

77777

Lời giải chi tiết :

Lập quy trỡnh ấn phớm như sau :

Gỏn 1 cho A ấn 1 SHIFT STO A

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

Gán 7 cho B ấn 7 SHIFT STO B

Gán 7 cho C ấn 7 SHIFT STO C

Ghi vào màn hình : A = A +1:B = 10B + 7 : C = C + B

Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 17 và ấn = hai lần

C = 8,6419753091016

Ấn tiếp ALPHA C - 293972367 2 = Kết quả : 526800000

P = 526800000 ,ta tìm thêm 5 số cuối và nghi ngờ rằng số 8 có thể đã được làm tròn ( Lưu ý thí sinh nên cẩn thận : vì máy fx -570MS có tính toán bên trong đến 12 chữ số với số có mũ 2 , mũ 3 , còn mũ lớn hơn 3 hoặc số nguyên thì tính toán bên trong là 10 chữ số ,để chắc chắn các bạn nên tính thêm trên máy ES có tính toán bên trong cao hơn )

Tính tiếp tục : Vì cần tìm 5 số cuối của tổng P nên ta chỉ lấy tổng đến 5 chữ số

7 trong các số từ 77777 đến   

sô 7' 17

77

77

Vậy ta có : C 77777777777777713 Kết quả : 1019739

Và tính 72367 2 = 5236982689 (sáu số cuối của số 293972367 2)

Năm số cuối của P là :

- a20k00 (mod 100) nếu a đồng dư 0 (mod 10)

- a20k01 (mod 100) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)

- a20k25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10)

- a20k76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)

+) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của an

- a100k000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10)

- a100k001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)

- a100k625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10)

- a100k376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)

VD: Tìm 3 số cuối

1) 13100  001 (mod 1000)2) 167200  001 (mod 1000)3) (17 x 19)100 001 (mod 1000)4) 18100

376 (mod 1000)5) 15200 625 (mod 1000)6) 20300 000 (mod 1000)

* * Khi kn 2thì Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a,

b, …, k, n thì:

) 1000 (mod kn kn

Khi m chứa thừa số 2 thì:

) 1000 (mod 376

kn kn ab

m

VD:

1) 72311711 743 (mod 1000)2) 22001376 201 752 (mod 1000)3) 23100376.200 376 (mod 1000)4) 15402625.152 625 (mod 1000)

2106

 121 (mod 1000)6) 271209279 987 (mod 1000)

Ghi vào màn hình : A = A +1: B = logA : C = C + B

Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 123 và ấn = hai lần

Lấy phần nguyên công với 1 KQ: 206

CHUYấN ĐỀ GIẢI TOÁN TRấN MÁY TINH CAISO

BT: Dựng bao nhiờu chữ số để viết số: 453246, 209237

b a voi b) b, - SCLN(a

U U

Cứ tiếp tục đến khi a = b đú là mC2 USCLN(a, b)= 





 b a voi a)) Mod(b, SCLN(a,

b a voi b) b), , SCLN(Mod(a

U U

Cỳ tiếp tục đến khi số dư bằng khụng thỡ b = m

= 46139542116

Ví dụ:2 Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743.

Tìm ớc số chung lớn nhất của ba số A, B, C

Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C với kết quả đúng chính xác

a) ƯCLN (A, B, C) b) BCNN (A, B, C )

; 1

;

1

1 2

2 1

u

u

n n n

A= u1; B = u2 Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C

Ấn dấu bằng liờn tiếp để cú kết quả

9.2 Dẫy số Lucus:

) 2 (

;

;

1 2

2 1



















n u u u

b u a

u

n n n

Cách làm: A= u1; B = u2 Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C

Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả

VD: u 1 =3; u 2 =5; u n+1 =u n +u n-1 Tính u 46 ĐS 7778742049

9.3 Dẫy số Fibonaci suy rộng

1 2

2 1



















n Bu Au u

b u a u

n n n

VD: u1=2; u2=3; un+1=2un+3un-1 Tính u19

HD: A= 2; B = 3 Nhập: C=2A+3B:A=2B+3C:B=2C+3A

Ấn dấu bằng liên tiếp 17 lần để có kết quả ĐS: 8501763049

Dạng 2: ; 2 2 ; ( 2 )

2 2 1



















n u u u

b u a u

n n n

9.4 Dẫy số Fibonaci bậc 3:

) 3 (

;

;

;

2 1 3

3 2 1

























n Cu Bu Au u

c u b u a

u

n n n n

5 4 3

3

; 2

; 1

2 1 3

3 2 1

























n u u u u

u u u

n n n

HD:

A=1; B=2;C=3;

Nhập: D=3A+4B-5C:A=3B+4C-5D:B=3C+4D-5A:C=3D+4A-5B

Ấn dấu bằng liên tiếp 19 lần để có kết quả

-6245363930;

9.5 Quy về các dãy số trên:

VÝ dô:1. Cho d·y sè ; ( 0 , 1 , 2 , )

3 4 ) 3 4 ( ) 3 4 (      n U n n n 1) TÝnh U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5 U1= 0,5

U2 = 4

U3 = 25,5

U4 = 152

U5 = 884,5

2) LËp c«ng thøc tÝnh Un+2 theo Un vµ Un+1: §Æt: n n n n n n n b U a b a        3 4 ) 3 4 ( ; 3 4 ) 3 4 (

n n n n n n n n n n n n n n U U b a b a b a b a U b a U 13 8 ) ( 13 ] ) 3 4 ( ) 3 4 [( 8 ) 3 8 19 ( ) 3 8 19 ( ) 3 4 ( ) 3 4 ( ) 3 4 ( ) 3 4 ( 1 2 2 2 1                        VÝ dô:2. Cho d·y sè ; ( n 0 , 1 , 2 , )

3 2

) 3 5 ( ) 3 5 ( U

n n

a) LËp c«ng thøc truy håi tÝnh Un+2 theo Un+1 vµ Un

b) TÝnh U5 vµ U12

HD: a)

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

n n

n n n

n

n n

n n

n

n n

n

n n n

U U

b a b

a

b a

b a

U

b a

U

b a

U

22 10

) (

22 ) ) 3 10 50 ( ) 3 10 50

((

) 3 10 28 ( ) 3 10 28 ( ) 3 5 ( ) 3 5 (

) 3 5 ( ) 3 5 (

1

2 2

X 10 - 22 ALPHA A Shift Sto A

X 10 - 22 ALPHA B Shift Sto B

AB x

B

x A

11 15 ) 3 4

7 3 )(

2 3

6 1 ( ) 5 3

3 2 (

(Đề thi chọn HSG TP HCM năm 2004)

ĐS: x = 1, 4492

5 3

4 7

5 3 12

9

5 7

4 5

3 2

3 3

2 1 3

3

2 6

4 2 2

9

7 7

5 3 4

Kết quả : x1 =387,0481917 ; x2 =- 0,019675319

CHUYấN ĐỀ GIẢI TOÁN TRấN MÁY TINH CAISO

Ví dụ: 3 Giải pt: 25 9 2 , 54 0

5 sin 2 2 , 73

2 2

2

4

1 4 )

( 4 ) 1 2 ( 2

1 2 ) 1

(

b

a t bt a bt

bt a bt

bt a bt

Suy ra x= 2 2

4

1 4 4

14 Giải phương trỡnh dựng SHIFT SOLVE

14.1 Phương trỡnh bậc nhất:

Ví dụ: Tìm giá trị của x để:

5

6 7 2

5 3

178381643 1332007

Ví dụ:4 Tỡm nghiệm thực của phương trỡnh :

x x

HD: Ghi vào màn hỡnh :

x

Aán SHIFT SOLVE

Máy hỏi X ? ấn 3 =

Aán SHIFT SOLVE Kết quả : x = 4,5

Làm tương tự như trên và thay đổi giá trị đầu

( ví dụ -1 , -1.5 , -2.5 ) ta được ba nghiệm còn lại

ĐS : 4,5 ; - 0,4566 ; - 1,5761 ; - 2,6804

15 Giải phương trình bằng phương pháp lặp

8 3

2

y x y x

HD.Chọn chế độ giải hệ phương trình chon số 2

VÝ dơ:2 Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b Đi qua điểm A ( 1;5) và B ( 6; -3)

9

2 3

20 4

3 2

z y

x

z y

x

z y

3 2

14 3

3 9

1 0 2

3

24 4

3 2

t z

y x

t z

y x

t z

y x

t z

y x

HD: Chọn chế độ giải hệ phương trình chon số 4

Nhập 2,=,3,=,4,=,1,=,24,=,-1,=,3,=-1,=2,=10,=,9,=,-1,=,-3,=,-3,=,14,=,2,=,-3,=-4,=,1,=,-12=,=,=,= ĐS: x=1, y= 2, z = 3, t=4

19 Bài tốn về đa thức:

Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+ a0

* Dạng 1: Tìm hệ số an, an-1, … khi biết các cặp (xi ; yi)

VÝ dơ: 1 Cho P(x) = x3 +ax2+bx+c Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá trị là

15, -12 và 7 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,-2, 3

HD: Ta cĩ P(1) = 1 + a + b + c = 15  a + b + c = 14

P(2) = - 8 + 4a -2b + c = -12  4a - 2b + c = - 4P(3) = 27 + 9a + 3b + c = 7  9a + 3b + c = - 20Giải hệ phương trình 3 ẩn ta được kết quả

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

ĐS: a = -23/5, b = 7/5, c = 86/5

VÝ dô: 2 Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +d x + e Tìm a, b, c khi P(x) nhậncác giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,2, 3, 4, 5

HD: Ta có Q(x) = x2 + 10 nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhậncác giá trị tương ứng là 1 , 2 , 3, 4, 5

Nên P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Hay P(x) = x2 +10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Từ đó suy ra a,b,c

VÝ dô: 3 Cho P(x) = x4 + ax3+bx2+cx+d và P(1) = 4; 2) = 7; P(3) = 24; 4) = 29 Tính P(40)

P(-HD: Ta có thể viết P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) + U(x-1)(x+2)(x-3) +

V(x-1)(x+2) + S(x-1) + T

Thay giá trị trên vào ta được: T=4; S=-1; V=2,2; U=1/35

Nên P(40) = 2671964,2

* Dạng 2: Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho (ax + b)

Phương pháp: Tính P(-b/a) KQ là số dư

VD: Tìm số dư khi chia đa thức x2 + 10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) cho (10x-3)

ĐS: -45,78407

* Dạng 3: Tìm dư của P(x)

Tìm dư của

c bx ax

x P





2

) (

P

B x

P

2 2

1 1

Ax ) (

Ax ) (

trong đó x1và x2 lànghiệm của ax2 + b x + c = 0

VÝ dô: 1 Tìm số dư

6 5

1

2

2 3

x x x

Ta có nghiệm của mẫu số là -6 và 1 nên

HD: Giải hệ phương trình được a = 3,69; b=-110,62; c=968,20

* Dạng khác: Tính tổng các hệ số của đa thức Tổng các hệ số của đa thức P(x)

20.bài toán lãi xuất.

VÝ dô:1.a) Một người gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là

%

m một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi

b) Áp dụng bằng số: a 10.000.000 đ, m 0,8, n 12

c) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất

là m% một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi cuối tháng thứ n

người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi

d) Cho: a 1.000.000, m 0,8, n 12 Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu?

HD: a) Ký hiÖu l·i suÊt m% lµ x, sè tiÒn c¶ gèc lÉn l·i sau n¨m thø n lµ A n Sau 1 n¨m tæng sè tiÒn c¶ gèc lÉn l·i lµ:

lµ: a[(1 x) 3 (1 x)] a a[(1 x) 3 (1 x) x] a[(1 x) 3 1]

x     x     x  

Sè tiÒn trong sæ cuèi th¸ng 3 lµ: a[(1 x) 3 1](1 x) a[(1 x) 4 (1 x)]

x    x   

CHUYấN ĐỀ GIẢI TOÁN TRấN MÁY TINH CAISO

Vì hàng tháng ngời ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm a đồng nên số tiền gốc của

đầu tháng 4 sẽ là: a[(1 x) 4 (1 x)] a a[(1 x) 4 1]

x     x   Tơng tự, số tiền trong sổ tiết kiệm cuối tháng n 1 là:

Ví dụ:2 Theo di chỳc, bốn người con được hưởng số tiền 9902490255 đ chia

theo tỷ lệ giữa người con thứ I và người con thứ II là 2:3; tỷ lệ giữa người thứ II và người thứ III là 4:5; tỷ lệ giữa người thứ III và người thứ IV là 6:7

Số tiền mỗi người con được nhận là bao nhiờu

HD: Gọi số tiền mỗi ngời con nhận đợc là a b c d, , ,

Theo bài ra ta có: 2; 4; 6

a b c

b c d  Suy ra: 3 ; 5 5 3 15 ; 7 7 15 35

a b a a c a a

b c    d    Mặt khác: a b c d    9902490255

II: 2263426344 đ; III: 2829282930 đ; IV: 3300830085 đ.

Ví dụ: 3.a)Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi

suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì đợc cảvốn lẫn lãi bằng hoặc vợt quá 1300000 đồng ?

b)Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có

kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận đợc số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ

không cộng vốn và lãi tháng trớc để tình lãi tháng sau Hết một kỳ hạn, lãi sẽ đợc cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu cha đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng d so với kỳ hạn sẽ đợc tính theo lãi suất không kỳ hạnHD:

Ví dụ: 2 Tỡm chữ số lẻ thập phõn thứ 105 của 17/13

BT: 1) Tỡm chữ số lẻ thập phõn thứ 456456 của 13/23

(Đề thi HSG 9 TP HCM 2003)ĐS: 9

2) Tỡm chữ số lẻ thập phõn thứ 122005 của 10000/17

(Đề thi HSG 9 TP HCM 2005)ĐS: 8

Vỡ an2 = 57121+35n nờn an2 -1=35(1632+n) phải chia hết cho 35 = 5.7

Chứng tỏ (a -1) hoặc (a +1) phải chia hết cho 7 hay a =7k+1 hoặc a =7k-1

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TỐN TRÊN MÁY TINH CAISO

1 Tìm số tự nhiên n (1000<n<2000) sao cho an = 54756  15n là số tự nhiên

2 Tìm số tự nhiên n (1000<n<2000) sao cho an = 20203  21n là số tự nhiên

VÝ dơ:2 Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhĩm người gồmhọc sinh , nơng dân , cơng nhân và bộ đội

Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong mộtnhĩm là như nhau ) : Nhĩm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ ; nhĩm cơng nhânmỗi người làm việc 4 giờ ; Nhĩm nơng dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhĩm họcsinh mỗi em làm việc 0,5 giờ Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhaucho từng người trong một nhĩm theo cách : Nhĩm bộ đội mỗi người nhận 50.000đồng ; Nhĩm cơng nhân mỗi người nhận 30.000 đồng ; Nhĩm nơng dân mỗi ngườinhận 70.000 đồng ; Nhĩm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng

Cho biết : Tổng số người của bốn nhĩm là 100 người

Tổng thời gian làm việc của bốn nhĩm là 488 giờ

Tổng số tiền của bốn nhĩm nhận là 5.360.000 đồng

Tìm xem số người trong từng nhĩm là bao nhiêu người

HD: Gọi x, y, z, t lần lượt là số người trong nhĩm học sinh , nơng dân, cơng nhân

và bộ đội Điều kiện : 





t z y

30 70

2

488 7

4 6

y x

t z

y x

t z y x

7 17

876 13

7 11

t z y

t z y

 t  6 y 414 do 0 t 100  69  y 86

Từ 11y 7z 13t  876

7

13 11

Aán = = để thử các giá trị của Y từ 70 đến 85 để kiểm tra các số B , A ,

X là số nguyên dương và nhỏ hơn 100 là đáp số

Ta được : Y = 70 ; B = 6 ; A = 4 ; X = 6

ĐS : Nhĩm bộ đội : 6 người ; Nhĩm cơng nhân : 4 người

Nhĩm nơng dân : 70 người ; Nhĩm học sinh : 20 người

PA NA

PB

PA NA

NC

NC

MB

d) Công thức lượng giác:

*) Tam giác vuông:

BA2=BH.BC

BC2=AC2+AB2

AH2=HB.HC

2 2

2

1 1

1

AC AB

*) Tam giác thường:

- Trung tuyến:

4 ) (

2

2 2

AC AB

C

c B

b A

a

2 sin sin

1 2

1

c p b p a p p R

abc pr C ab

- Đường phân giác:

c b

A bc

2

a h

2

B Một số dạng toán:

1 Hệ thức lượng giác trong tam giác.

VD1: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính các góc

B

A

C H

A

B

C M

N P

N A

B

P

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

Tính diện tích tam giác ĐS: S 20,49315dm2.VD4: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7)

Tính diện tích tam giác ĐS: S = 75,7 ĐVDT

VD5: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C( 2;5); 3)

1-(cos2A+cos2B+cos2C)=2cosAcosBcosC = 1,9441cm2

2 Hệ thức lượng trong đường tròn.

VD: Hai dây cung AB và CD cắt nhau tại I nằm trong đường tròn (O) Tính

ID IC IB IA

1 , 23 6 , 11

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

VD2: Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK, BI vuônggóc với CD và AD Gọi H là trực tâm của tam giác BIK Tính BH biết BD = 17cm; IK = 15 cm

VD4: Cho tam giác PQR, gọi S là 1 điểm thuộc cạnh QR, U là 1 điểm thuộccạnh PR, giao điểm của PS và QU là T Cho biết PT = TS , QS = 2 RS và diện tíchtam giác PQR là 150 Tính diện tích tam giác PSU.

5 Một số bài toán về Đa giác và hình tròn

Bài 5.1 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng

Tỉnh, cấp PTTH & PTCS)

Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh

không liên tiếp là 9, 651 cm Tìm bán kính đường tròn

ngoại tiếp (qua 5 đỉnh)

Giải: Ta có công thức tính khoảng cách

giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh đều

 có thể chứng minh như sau:

Ta có: 2 2 1 cos36 1 sin 54 1 3sin18 4sin 183

Bài 5.2 (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vòng 1)

Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh nội tiếptrong đường tròn bán kính R 5, 712cm

Cách giải 1: Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

cùng một phía đối với BO

a) Tính các cạnh và đường AH của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Giải: a) Theo hình vẽ:

sđ AC = sđ BC- sđ AB = 1200 - 900 = 300

Tính các góc nội tiếp ta được:

ABC= 150; ACB= 450 Suy ra: BAC= 1200; CAH= 450; BAH= 750

Ta có: AB R 2; BCR 3 Vì AHC vuông cân, nên AHHC (đặt AH x)

Theo định lí Pitago ta có: AH2 AB2  HB2

Do đó: x2 R 3  x 2 R 22 hay 2x2  2R 3x R 2  0

Suy ra: 1

3 2

R R

x   ; 2

3 2

R R

x   Vì AH ACR, nên nghiệm 2

3 2

R R

x   bị loại Suy ra: 2 ( 3 1)

Ấn phím: 11.25 Min 2  MODE 7 2 (15.91) VậyAB 15,91cm

Ấn tiếp phím: MR 3  Kết quả:19.49 Vậy: BC 19, 49cm

Ấn phím: MR  [( 3  1  2 (5.82) VậyAC 5,82cm

Ấn tiếp phím: MR  [( 3  1  2 (4.12) Vậy:AH  4,12cm

Ấn tiếp phím: MR SHIFT x2  [( 3 3  4 Kết quả: S 40,12cm2

Bài 5.4 (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nước Mỹ, 1972)

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12 Vẽ đoạn AE với E là điểm trên

cạnh CD và DE 5cm Trung trực của AE cắt AE AD, và BC

tại M P, và Q Tỷ số độ dài đoạn PM và MQ là:

(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21

Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD

Ta có: MP MQMR MS Vì RM là đường trung bình của tam giác ADE nên MR  DE2

P M

C

O

A

B C

H

d) Tính diện tích tứ giác ABCD.

Giải: a) sđAD= 3600 - (sđAB+sđ BC+sđCD)

Suy ra AEB= 900, vậy ACBD (đpcm)

c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đườngtròn bán kính R, ta có:

AB R ; AD BC R 2; DCR 3.Các tamgiácAEB CED, vuông cân, suy ra AE  AB2 , CE  CD2

E

60°

120°

CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TINH CAISO

a  



2

5,35 (4 ) 4

Bài 5.8 Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn bởi các

cung tròn và các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ), biết:

tam giác ABC trừ diện tích hình hoa 3 lá

(gồm 6 hình viên phân có bán kính R và góc ở tâm bằng 600)

Bài 5.9 Viên gạch cạnh a 30cm có hoa văn như hình vẽ

a) Tính diện tích phần gạch xọc của hình đã cho, chính xác đến 0,01 cm

b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích

D M

C

A

O I

M

A

P

N B