chuyên đề giải toán trên máy tính điện tử casio

Chun đề “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Nhằm góp phần đổi phương pháp dạy học mơn Tốn, đồng thời giúp học sinh phổ thơng làm quen với máy tính điện tử phương pháp giải tốn máy tính điện tử Máy tính điện tử giúp GV học sinh bổ sung nhiều kiến thức tốn học bản, đại thiết thực Nhờ khả xử lý số liệu phức tạp với tốc độ cao, máy tính điện tử cho phép thiết kế tốn gắn với thực tế MỘT SỐ YU CẦU KHI THAM GIA DỰ THI Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức thi cấp khu vực “Giải tốn máy tính điện tử Casio” Đội tuyển Phổ thơng Trung học Cơ sở tỉnh gồm thí sinh Những thí sinh đạt giải cộng điểm kỳ thi tốt nghiệp bảo lưu kết suốt cấp học Đề thi gồm 10 (mỗi điểm, tổng số điểm 50 điểm) làm 150 phút Quy định: Thí sinh tham dự dùng loại máy tính (đã Bộ Giáo dục Đào tạo cho phép sử dụng trường phổ thơng) Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 MS,Casio fx-570 ES  u cầu em đội tuyển sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 ES  Nếu khơng qui định thêm kết ví dụ tập tài liệu phải viết đủ 10 chữ số hình máy tính  Các dạng tốn sau có sử dụng tài liệu tham khảo +TS.Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Trạch :Các đề thi HSG giải tốn MTBT casio 1996 – 2004 +Nguyễn Phước - Giải tốn nhanh MTBT (NXB.TH – TP.HCM) +Lê Hồng Đức Đào Thiện Khải - Giải tốn MTBT Casio Fx 570MS dành cho lớp THCS +Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Ly : Một số dạng tốn thi HSG “Giải tốn máy tính điện tử Và số tập trích từ đề thi (đề thi khu vực, đề thi tỉnh, huyện tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Tốn học & tuổi trẻ, Tốn học tuổi thơ , đề thi chọn đội tuyển HSG tỉnh Bắc Ninh Phú Thọ, Thừa Thiên – Huế +Tạ Duy Phượng : Hệ đếm ứng dụng (NXB GD – 2006) +Tạp chí Tốn Tuổi Thơ (Từ số – 64) A/ PHẦN I CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI A SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH I.Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TỐN THỰC HÀNH u cầu: Học sinh phải nắm kỹ thao tác phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, thức, phép tốn lượng giác, thời gian Có kỹ vận dụng hợp lý, xác biến nhớ máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số sử dụng biến nhớ Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: a A = ( 649 +13.1802 ) − 13 ( 2.649.180 ) ( 1986 b B = c C = 2 − 1992 ) ( 1986 + 3972 − ) 1987 1983.1985.1988.1989 ( − 6,35) : 6,5 + 9,8999  12,8 : 0,125    1,2 : 36 + : 0,25 − 1,8333 ÷1    : ( 0,2 − 0,1) ( 34,06 − 33,81)  + : + d D = 26 :    2,5 ( 0,8 + 1,2 ) 6,84 : ( 28,57 − 25,15 )  21  1     0,3 − ÷1    x − 4 ÷: 0,003 20     : 62 + 17,81: 0,0137 = 1301 −  e.Tìm x biết:  20   − 2,65  :  1,88 +   ÷  ÷    20 25     1  13 − − : ÷1  15,2.0,25 − 48,51:14,7  44 11 66  = f Tìm y biết: y   3,2 + 0,8  − 3,25 ÷   Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị x từ phương trình sau:  4  4 1  0,5 − ÷.x − 1,25.1,8 :  + ÷ 3       = 5,2 :  2,5 − ÷ a   4   15,2.3,15 − :  + 1,5.0,8 ÷   ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2 )   + ÷    = : ( 1,2 + 3,15) b  12  12,5 − : ( 0,5 − 0,3.7,75 ) :   17  Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị) b a Tìm 12% a + biết: 1  : − 0,09 :  0,15 : ÷ 2  a= 0,32.6 + 0,03 − ( 5,3 − 3,88 ) + 0,67 b= ( 2,1 − 1,965) : ( 1,2.0,045 ) − 0,00325 : 0,013 5  85 − 83 ÷:  b Tính 2,5%  30 18  0,004 17   8 − ÷.1 110  217  55 c Tính 7,5% 2   − ÷:1  20  1: 0,25 1,6.0,625   ( 2,3 + : 6,25 )   d Tìm x, nếu: : x :1,3 + 8,4 6 −  =  7 8.0,0125 + 6,9   14 Thực phép tính: 2  6    e A =  + ÷: 1 − ÷:  1,5 + + 3, ÷ 5  4     3  f B = 12 :1  + : ÷  11 121  1  12  10  10  24 − 15 ÷−  − 1,75 ÷ 3 7  11   g C = 5  60  − 0,25 ÷ + 194 99 9  11 http://NgocHung.name.vn 1 1+ 1,5 0,25 D = : − 0,8 : + + 50 46 h 0,4 6− + 2,2.10 1: 2  4   0,8 :  1.25 ÷  1,08 − ÷: 25  5 +  + ( 1,2.0,5 ) : i E = 1  0,64 − − ÷.2  25  17  1 + k F = 0,3(4) + 1,(62) :14 − : 90 11 0,8(5) 11 Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a A = 3 − − − 20 + 25 54 18 + − 63 3 1+ 1+ Bài 5: (Thi khu vực 2001) b B = 200 + 126 + 17 26 45  245  a Hãy xếp số sau theo thứ tự tăng dần: a = , b = 16 ,c = 10  ÷ ,d = 125 46  247   33    b Tính giá trị biểu thức sau: [ 0,(5).0,(2)] :  : ÷−  ÷:  25    c Tính giá trị biểu thức sau: + + 4 + + 8 + 9 Nhận xét:  Dạng kiểm tra kỹ tính tốn thực hành dạng tốn nhất, tham gia vào đội tuyển bắt buộc thí sinh phải tự trang bị cho khả giải dạng tốn Trong kỳ thi đa số thí sinh làm tốt dạng này, nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần cách tùy tiện Để tránh vấn đề u cầu trước dùng máy tính để tính cần xem kỹ biến đổi khơng, sử dụng biến nhớ cần chia cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ Ví dụ: Tính T = 16 + 9999999996 + 0,999999999 - Dùng máy tính trực tiếp cho kết là: 9,999999971 x 1026 - Biến đổi: T= ( 16 + 9999999996 + 0,9999999996 ) , Dùng máy tính tính 16 + 9999999996 + 0,999999999 =999 999 999 Vậy T = 9999999996 = 9999999993 Như thay kết qủa nhận số ngun trực tiếp vào máy tính ta nhận kết số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số a)  Trong kỳ thi cấp tỉnh dạng thường chiếm 40% - 60% số điểm, kỳ thi cấp khu vực dạng chiếm khoảng 20% - 40%  Trong dạng thí sinh cần lưu ý: số thập phân vơ hạn tuần hồn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi số sang số thập phân làm việc với số II DẠNG 2: ĐA THỨC Dạng 2.1 Tính giá trị đa thức Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) n n −1 Viết P(x) = a0 x + a1x + + an dạng P(x) = ( (a0 x + a1 )x + a2 )x + )x + a n http://NgocHung.name.vn Vậy P(x ) = ( (a0 x + a1 )x + a2 )x + )x + an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A = 3x − 2x + 3x − x x = 1,8165 4x − x + 3x + Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans An phím: 8165 = ( Ans ^ − Ans ^ + Ans x − Ans + ) ÷ ( Ans ^ − Ans x + Ans + ) = Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X An phím: 8165 SHIFT STO X ( ALPHA X ^ − ALPHA X ^ + ALPHA X x − ALPHA X + ) ÷ ( ALPHA X ^ − ALPHA Kết quả: 1.498465582 Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím = xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị 3x − 2x + 3x − x Ví dụ: Tính A = x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 4x − x + 3x + Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: ( − ) 235678 SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím = xong  Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức q phức tạp nên tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt q giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Bài tập Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a Tính x + 5x3 − 3x + x − x = 1,35627 b Tính P(x) = 17x − 5x + 8x + 13x − 11x − 357 x = 2,18567 Dạng 2.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta ln P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r số (khơng b b chứa biến x) Thế x = − ta P( − ) = r a a b Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( − ), lúc dạng a tốn 2.2 trở thành dạng tốn 2.1 x14 − x9 − x5 + x + x + x − 723 Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P= x − 1,624 14 Số dư r = 1,624 - 1,624 - 1,624 + 1,624 + 1,624 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 624 SHIFT STO X ALPHA X ^ 14 − ALPHA X ^ − ALPHA X ^ + ALPHA X ^ + ALPHA X ^ + ALPHA X − 72 Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập http://NgocHung.name.vn x − 6, 723x3 + 1,857x − 6,458x + 4,319 x + 2,318 4 = x + 5x − 4x + 3x − 50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho P( x ) – x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta ln P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết b cho x – a m + r = hay m = -r = - P( − ) Như tốn trở dạng tốn 2.1 a Ví du: Xác định tham số 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x + 7x3 + 2x + 13x + a chia hết cho x+6 - Giải Số dư a = − (−6) + 7(−6) + ( −6 ) + 13 ( −6 )  Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: ( −) SHIFT STO X ( −) ( ALPHA X ^ + ALPHA X x + ALPHA X x + 13 ALPHA X ) = Kết quả: a = -222 1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải – 3 Số dư a2 = - 3 ( −3 ) + 17 ( −3 ) − 625 => a = ± − 3 ( −3) + 17 ( −3) − 625   Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) ( ( (−) ) x3 + 17 ( (−) ) − 625 ) = Kết quả: a = ± 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x + 17x – 625 = (3x – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298 Dạng 2.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài tốn mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng qt Ví du: Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) SHIFT STO M × ALPHA M + = (-5) × ALPHA M − = (23) × ALPHA M + (−) = (-118) × ALPHA M + = (590) × ALPHA M + = (-2950) × ALPHA M + = (14751) × ALPHA M + (−) = (-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 Dạng 2.5 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(x-c)+r2(xc)2+…+rn(x-c)n Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: http://NgocHung.name.vn -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x4 – 3x3 + x – = + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4 Dạng 2.6 Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Nếu phân tích P(x) = r + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri ≥ với i = 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c Ví dụ: Cận nghiệm dương đa thức x – 3x3 + x – c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259) Nhận xét:  Các dạng tốn 2.4 đến 2.6 dạng tốn (chưa thấy xuất kỳ thi) dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …  Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính giải nhiều dạng tốn đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm khơng sử dụng cơng thức Cardano q phức tạp Do u cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) a Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) 89 ; f(− ) = − ; f( ) = Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x + ax2 + bx + c Biết f( ) = 108 500 Tính giá trị gần f( ) ? Bài 6: (Thi vào lớp 10 chun tốn cấp III Bộ GD, 1975) Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 Từ kết câu suy biểu thức n – 6n3 + 272 – 54n + 32 ln số chẵn với số ngun n Bài 7: (Thi học sinh giỏi tốn bang New York, Mỹ, 1984) (n + 1)2 Có xác số ngun dương n để số ngun Hãy tính số lớn n + 23 Bài 8: (Thi học sinh giỏi tốn bang New York, Mỹ, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2) http://NgocHung.name.vn Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 34 6,15 6+ 7 P(x) Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254 7x y-x y3 +3x y+10xy -9 5x -8x y +y3 x -6,723x +1,658x -9,134 3.Tìm số dư r phép chia : x-3,281 4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + b Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) đa thức với hệ số ngun có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài 13: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 15: (Sở GD Thái Ngun, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? 2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính F= III Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng tắc để đưa hệ số vào máy khơng bị nhầm lẫn Ví du: Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax2 + bx + c = Dạng tắc phương trình bậc có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = a1x + b1y = c1 Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng:   a x + b y = c2 a1x + b1y + c1z = d1  Dạng tắc hệ phương trình bậc có dạng: a2 x + b2 y + c2 z = d a x + b y + c z = d 3  Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) 3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy http://NgocHung.name.vn Ấn MODE MODE > nhập hệ số a, b, c vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) MODE MODE > 85432 = ( − ) 321458 = (−) 45971 = ( x1 = 2.308233881 ) = ( x2 = -0.574671173 ) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R ⇔ I nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải Nếu có nghiệm thực phương trình có nghiệm kép, hai nghiệm nghiệm phức coi phương trình vơ nghiệm 3.1.2: Giải theo cơng thức nghiệm Tính ∆ = b2 − 4ac −b ± ∆ + Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm: x1,2 = 2a −b + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1,2 = 2a + Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (−) 542 x2 − × 354 × ( ( −) 141 ) SHIFT STO A (27,197892) ( 542 + ALPHA A ) ÷ × 354 = (x1 = 1,528193632) ( 542 − ALPHA A ) ÷ × 354 = (x2 = - 0,873138407) Chú ý:  Nếu đề khơng u cầu nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải  Hạn chế khơng nên tính ∆ trước tính nghiệm x1, x2 dẫn đến sai số xuất biến nhớ ∆ sau 10 chữ số làm cho sai số nghiệm lớn  Dạng tốn thường xuất trực tiếp kỳ thi gần mà chủ yếu dạng tốn lập phương trình, tìm nghiệm ngun, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực đa thức, … Cần nắm vững cơng thức nghiệm Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải tốn biến thể dạng Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a≠0) 3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy Ấn MODE MODE > nhập hệ số a, b, c, d vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất nghiệm gần với chữ số thập phân phương trình x3 – 5x + = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím MODE MODE > = = (−) = = (x1 = 2, 128419064) = (x2 = -2, 33005874) = (x3 = 0, 201639675) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn máy góc trái hình máy R ⇔ I nghiệm nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm chưa học khơng trìn bày nghiệm giải 3.2.2: Giải theo cơng thức nghiệm Ta sử dụng cơng thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc thành tích phương trình bậc bậc nhất, ta giải phương trình tích theo cơng thức nghiệm biết Chú ý:  Nếu đề khơng u cầu, nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải http://NgocHung.name.vn Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc ẩn 3.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn máy Ấn MODE MODE nhập hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Thi vơ địch tốn Flanders, 1998) x 83249x + 16751y = 108249 Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình  (chọn đáp y 16751x + 83249y = 41715 số) A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 Giải – Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím MODE MODE 83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = (1, 25) = (0, 25) Ấn tiếp: MODE 1 25 a b/ c 25 = (5) Vậy đáp số E Chú ý: Nếu hệ phương trình vơ nghiệm vơ định máy tính báo lỗi Math ERROR 3.3.2: Giải theo cơng thức nghiệm D D Ta có: x = x ; y = y với D = a1b2 − a2 b1; D x = c1b2 − c2 b1; D y = a1c2 − a2 c1 D D Quy trình ấn phím :(máy Casio Fx 500 MS, Casio Fx 570 MS) Ấn : a1 x b2 – a2 x b2 shift STO M Tìm x : c1 x b2 – c2 x b1 = ÷ ALPHA M = Kết x = ? Tìm y : Đưa trỏ lên sửa lại hệ thức thành a1 x c2 – a2 x c1 = ALPHA M = Kết y = ? Trong trường hợp hệ số x, y l cc số thập phn cĩ nhiều chữ số thập phn ta cĩ thể chuyển hệ phương trình sau : Đặt a1 = A, b1 = B, c1 = C, a2 = D, b2 = E (X) , c2 = F(Y)  = AE – DB ,  x = CE – FB ,  y = AF – BC Quy trình ấn phím sau : A shift STO A B shift STO B C shift STO C D shift STO D E shift STO E F shift STO F Ấn tiếp : ALPHA A ALPHA E – ALPHA ALPHA B SHIFT STO ALPHA F ALPHA B ) ÷ ALPHA M F – ALPHA B ALPHA C ) ÷ ALPHA Tính x : Ấn : ( ALPHA Kết x = ? C ALPHA E – Tính y : Ấn : ( ALPHA Kết y = ? A ALPHA D M M = = Dạng 3.4 Giải hệ phương trình ba ẩn Giải theo chương trình cài sẵn máy Ấn MODE MODE nhập hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím = giá trị ghi vào nhớ máy tính http://NgocHung.name.vn 3x + y + 2z = 30  Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x + 3y + z = 30  x + 2y + 3z = 30  Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) MODE MODE 3 = = = 30 = = = = 30 = = = = 30 = (x = 5) = (y = 5) = (z = 5) Chú ý: Cộng phương trình vế theo vế ta x + y + z = 15 suy x = y = z = Nhận xét:  Dạng tốn dạng dễ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính chương trình cài sẵn máy tính Do kỳ thi dạng tốn chúng thường xuất dạng tốn thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà q trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với hệ số số lẻ Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình: 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 1.3 x3 + x2 – 2x – =0 1.4 4x3 – 3x + = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 1,372x − 4,915y = 3,123 2.1 (Sở GD Đồng Nai, 1998)  8,368x + 5,214y = 7,318 13,241x − 17, 436y = −25,168 2.2 (Sở GD Hà Nội, 1996)  23,897x + 19,372y = 103,618 1,341x − 4,216y = −3,147 2.3 (Sở GD Cần Thơ, 2002)  8,616x + 4,224y = 7,121 2x + 5y − 13z = 1000  2.4 3x − 9y + 3z = 5x − 6y − 8z = 600  IV Dạng 4: LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) cơng cụ tốn học hữu hiệu nhà tốn học sử dụng để giải nhiều tốn khó a Bài tốn: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên Dùng thuật tốn Ơclit chia a cho b, phân số có b b a = a0 + = a0 + b b thể viết dạng: b b0 Vì b0 phần dư a chia cho b nên b > b Lại tiếp tục biểu diễn phân số b b = a1 + = a1 + b0 b0 b0 b1 b a = a0 + = a0 + b b a1 + Cứ tiếp tục q trình kết thúc sau n bước ta được: an −2 + an Cách biểu diễn gọi cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số, viết gọn [ a0 ,a1 , ,an ] Số vơ tỉ biểu diễn dạng liên phân số vơ hạn cách xấp xỉ dạng gần số thập phân hữu hạn biểu diễn số thập phân hữu hạn qua liên phân số http://NgocHung.name.vn Chú ý: Các qui trình ấn phím qui trình ấn phím tối ưu (thao tác nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) áp dụng qui trình khơng cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự số hạng Do đó, ta sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề khơng ảnh hưởng đến đánh giá kết giải 2 Ví du: Cho u1 = a, u2 = b, u n +1 = Au n + Bu n −1 (với n ≥ 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA B x2 + B ALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u3 gán vào A A ALPHA A x2 + B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào B Bây muốn tính un ta ∆ lần = , liên tục n – lần Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu tất dạng tốn làm được, nhầm lẫn tính tối ưu khơng cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 để tính u n ta cần ấn ∆ = liên tục n – lần, lập phải ấn n – lần  Nhờ vào máy tính để tính số hạng dãy truy hồi ta phát quy luật dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số phương, …) giúp lập cơng thức truy hồi dãy dãy số  Đây dạng tốn thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học tốn theo hướng đổi Trong hầu hết kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng tốn Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 a Lập qui trình bấm phím để tính un+1 u u3 u u6 ; ; ; b Tính xác đến chữ số sau dấu phẩy tỉ số u1 u2 u3 u5 Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1 a Tính u3; u4; u5; u6; u7 b Viết qui trình bấm phím để tính un c Tính giá trị u22; u23; u24; u25 ( + 3) − ( − 3) = n Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho dãy số u n n a Tính số hạng dãy b Lập cơng thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Lập qui trình tính un d Tìm số n để un chia hết cho Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1 a Lập quy trình tính un+1 b Tính u2; u3; u4; u5, u6 c Tìm cơng thức tổng qt un 2 Bài 5: (Thi vơ địch tốn Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; u n +1 = un + un −1 Tìm số dư un chia cho Bài 6: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1 Chứng minh: A=4un.un+2 + số phương Bài 7: (Olympic tốn Singapore, 2001) Cho a = 2000, a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100? Bài 8: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số u n xác định bởi: u = 5; u2 = 11 un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng: a Dãy số có vơ số số dương số âm b u2002 chia hết cho 11 Bài 9: (Thi giỏi tốn, 1995)Dãy un xác định bởi: http://NgocHung.name.vn  un +1 + 9u n ,n = 2k u0 = 1, u1 = un+2 =  với n = 0, 1, 2, 3, … 9u n +1 + 5u n ,n = 2k + Chứng minh rằng: 2000 a ∑ k =1995 u2k chia hết cho 20 b u2n+1 khơng phải số phương với n Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = 5un u − n −1 + u n −1 + u n với n ≥ a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u8 dãy? Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n ≥ 2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u14 dãy? Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) a.Cho u1 =1,1234 ; u n+1 =1,0123.u n (n ∈ N; n ≥ 1) Tính u 50 ? 3u 2n +13 (n ∈ N; n ≥ 1) Tính u15 ? u 2n +5 c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n ≥ 2) Tính u12 ? b Cho u1 =5 ; u n+1 = Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định cơng thức x n +1 = 4x n + , n số tự nhiên, xn2 + n >= Biết x = 0,25 Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100? VII : Dạng : PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN : Phương trình sai phân dạng tốn khó phức tạp, khơng nhắc đến sách giáo khoa phổ thơng (cả sách cấp cấp 3) mà ngun cứu trường đại học, cao đẳng Đối với tốn phổ thơng viết dạng tốn thực tế lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … kỳ thi HSG gần dạng tốn thường xun xuất hiện, kỳ thi cấp khu vực Trong phần trình bày kiến thức đơn giản phương trình sai phân dạng tốn có liên quan đến kỳ thi HSG bậc THCS u cầu: Các thí sinh phải nắm vững kiến thức dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phương pháp tuyến tính hóa PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT : 1)Phương trình sai phân tuyến tính bậc : a)Phương trình sai phân tuyến tính bậc : *Định nghĩa : Phương trình sai phân tuyến tính bậc có dạng axn+1 + bxn = , n = 0, 1, 2, 3, … , (1) a ≠ , b ≠ số cho trước Ta thường viết phương trình (1) dạng : xn+1 = qxn , n = 0, 1, 2, 3, … , (2) Trong q = - la số Phương trình sai phân gọi cấp số nhân (cấp số nhân dãy số mà số hạng sau số hạng trước nhân với số khơng đổi – gọi cơng bội) Nếu biết x0 dễ dàng tính nghiệm (2) theo cơng thức : xn = qnx0 (Đây cơng thức tìm số hạng tổng qt (hay số hạng thứ n) cấp số nhân Các cơng thức cần nhớ cấp số nhân : http://NgocHung.name.vn (q ≠ ; 1) Cơng bội : q= = Số hạng thứ n : an = a1qn-1 Tính chất : (an)2 = an-1.an+1 ( a1 − q n Tổng n số hạng đầu : Sn = 1− q ) Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn : S = a1 + a2 + a3 + + an-1 + an = , |q| < Cách tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính bậc máy tính Casio f(x) 500MS : Ví dụ : Giải phương trình xn+1 = 2xn , n = 0, 1, 2, 3, … , với x0 = Cách : Tính theo cơng thức nghiệm tổng qt  1 −  Để tính xn theo cơng thức nghiệm tổng qt xn = qnx0 = 2n   Giả sử với n = 10 Khai báo : 10 SHIFT STO X Khai báo hệ số : (-) ab/c SHIFT STO M Khai báo cơng thức nghiệm : ^ ALPHA X x ALPHA M Tính x10 : An = nghiệm x10 (- 34 4) Lập lại quy trình sau : Dùng trỏ để trở vê dòng 10 X Khai báo lại n : n SHIFT STO X (với n cần tính) Dùng trỏ để trở vê dòng cơng thức : ^ ALPHA X x ALPHA M Và bấm phím = ta giá trị xn Cách : Tính theo cơng thức truy hồi Khai báo giá trị ban đầu : ( - ) ab/c = Tính xn theo cơng thức truy hồi : Liên tiếp bấm phím x = Tiện bấm liên tiếp phím = sau ta khai báo ( - ) ab/c = x Lần lượt ta giá trị xn Lưu y : * Cách : Có thể tính trực tiếp xn với n mà khơng cần tính giá trị trước *Cách : Quy trình thao tác đơn giản Cách tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính bậc máy tính Casio f(x) 570MS Ngồi cách tính Casio F(x) 500MS, sử dụng phím CALC máy F(x) 570 MS thuận tiện sau : Để tính xn theo cơng thức nghiệm tổng qt xn = (- ).2n , ta khai báo hệ số : Ấn (-) ab/c SHIFT STO M Khai báo cơng thức nghiệm : Ấn : ^ ALPHA X x ALPHA M Ấn : CALC , máy hỏi X ? Tính x10 : Ấn 10 = nghiệm x10 (- 34 4) Tính tiếp x15 Ấn : CALC , máy hỏi X ? – Ấn 15 = x15 (-10922 3) b)Phương trình sai phân tuyến tính khơng : *Định nghĩa : Phương trình sai phân tuyến tính khơng phương trình có dạng axn+1 + bxn = dn, n = 0, 1, 2, 3, … , (3) http://NgocHung.name.vn a ≠ b số, dn số Phương trình viết dạng xn+1 =q.xn + dn , n = 0, 1, 2, 3, … (4) Để giải phương trình (4) biết x0, trước tiên ta tính vài giá trị đầu : x1 = qx0 + d0 x2 = qx1 + d1 = q(qx0 + d0) + d1 = q2x0 + qd0 + d1 x3 = qx2 + d2 = q(q2x0 + qd0 + d1) + d2 = q3x0 + q2d0 + qd1+ d2 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính khơng bậc (4) : xn = qnx0 + qn-1d0 + qn-2d1 + … + qdn-2 + dn-1 (5) Tuy nhiên, dn hàm cơng thức (5) khơng đẹp mặt tốn học (khơng rút gọn được) khơng tiện sử dụng Trái lại, ta dễ dàng tính nghiệm phương trình sai phân (3) (4) MTBT nhờ cơng thức truy hồi (4) Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính khơng : x + x* Mệnh đề : Nghiệm tổng qt phương trình (3) có dạng : x = ~ n n n x n = C λn nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính (1) Trong ~ x n* nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng (3) Vận dụng : 1)Tính tổng Ví dụ : Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + n , n = 0, 1, 2, … Phương trình đặc trưng λ - = có nghiệm λ = Vậy nghiệm phương trình * xn = C Ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng x n = n(C1n + C2) Thay vào phương trình ta đồng thức với n (n + 1)(C1(n + 1) + C2 = n(C1n + C2) + n So sánh hệ số hai vế ta C1 = ; C2 = Vậy nghiệm tổng qt phương trình cho : xn = C + Nếu cho trước x0 nghiệm xn = x0 + Nếu x0 = nghiệm xn = Nhận xét : Nếu x0 = xn+1 = xn + n = xn-1 + (n – 1) + n = + + … + n Như , xn+1 tổng n số tự nhiên xn+1 = xn + n = xn-1 + (n – 1) + n = … = + + … + n = Ta biết cách tính Sn = + + … + n sau : Viết lại tổng dạng : Sn = n + (n – 1) + … + + Cộng hai đẳng thức ta : 2Sn = (1 + + … + n) + (n + (n – 1) + … + 1) = (n + 1) + … + (n + 1) = n(n + 1) n => Sn = Ví dụ : Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + (n + 1)2 Phương trình đặc trưng : λ - = có nghiệm λ = Vậy nghiệm phương trình xn = C Vì dn = (n + 1)2 tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng x n* = n.(an2 + bn + c) Thay vào phương trình ta đồng thức với n (n + 1).(a.(n + 1)2 + b(n + 1) + c) = n.(an2 + bn + c) + (n + 1)2 Suy a = , b = , c = Vậy phương trình xn+1 = xn + (n + 1)2 có nghiệm : xn = C + n3 + n2 + n Nếu cho trước x0 nghiệm xn = x0 + n3 + n2 + n Nếu x0 = nghiệm xn = n3 + n2 + n http://NgocHung.name.vn Nhận xét : Nếu x0 = xn+1 = xn + (n +1)2 = xn-1 + n2 + (n + 1)2 = … = 12 + 22 + 32 + … + n2 + (n + 1)2 hay xn = 12 + 22 + 32 + … + n2 Như , xn tổng n số tự nhiên xn = n3 + n2 + n = Suy cơng thức : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1).(2n + 1) Ví dụ : Xét phương trình sai phân xn+1 = xn + (2n + 1)2 Phương trình đặc trưng : λ - = có nghiệm λ = Vậy nghiệm phương trình xn = C Vì dn = (2n + 1)2 tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng đa thức bậc ba x n* = n.(an2 + bn + c) Thay vào phương trình ta đồng thức với n (n + 1).(a.(n + 1)2 + b(n + 1) + c(n + 1)) = n.(an2 + bn + c) + (2n + 1)2 Suy a = , b = , c = Vậy phương trình cho xn+1 = xn + (2n + 1)2 có nghiệm : xn = C + n3 - n Nếu cho trước x0 nghiệm xn = x0 + n3 - n Nếu x0 = nghiệm xn = n3 - n Nhận xét : Nếu x0 = xn+1 = xn + (2n +1)2 = xn-1 + (2n - 1)2+ (2n + 1)2= … = 12 + 32 + … + (2n + 1)2 hay xn = 12 + 22 + 32 + … + n2 Như , xn tổng n số tự nhiên xn = n3 - n = n.(4n2 – 1) = n.(2n – 1).(2n + 1) Suy cơng thức 12 + 32 + … + (2n + 1)2 = n.(4n2 – 1) Kết luận : Có thể sử dụng cơng thức nghiệm phương trình sai phân phương pháp để tính tổng 2) Tốn kinh tế Lãi ngân hàng : a)Lãi đơn : Lãi tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố định trước Ví dụ : Khi gởi 000 000đ vào ngân hàng với lãi suất 5%/năm sau năm ta nhận số tiền lãi : 000 000 x 5% = 50 000đ Số tiền lãi cộng vào hàng năm Kiểu tính lãi gọi lãi đơn Như sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi 000 000 + x 50 000 = 100 000đ Nếu gởi sau n năm nhận số tiền gốc lẫn lãi : 000 000 + 50 000n đ Kiểu tính lãi khơng khuyến khích người gởi, ta cần rút tiền Ví dụ ta gởi 000 000 đ với lãi suất 5%/năm, sau 18 tháng ta tính lãi năm đầu tổng số tiền rút 000 000 + 50 000 = 050 000đ Vì ngân hàng thường tính chu kỳ lãi suất ngắn hơn, tính theo tháng Nếu lãi suất %/tháng cuối tháng đầu có số tiền lãi từ triệu đồng 000 000 x % = 4166 đ Và sau năm tổng số tiền lãi : 4166 x 12 = 50 000 đ Như vậy, với lãi đơn, khơng có sai khác ta nhận lãi theo tròn năm hay theo tháng Tuy nhiên, ta rút tiền chừng, ví dụ sau 18 tháng ta số tiền lãi 4166 x 18 = 75 000đ Do tiền lãi nhiều so với tính lãi theo năm b)Lãi kép : Sau đơn vị thời gian lãi gộp vào vốn tính lãi Loại lãi gọi lãi kép Ví dụ : Khi gởi 000 000đ với lãi suất 5%/năm sau năm ta nhận số tiền gốc lẫn lãi 050 000đ Tồn số tiền gọi gốc tổng số tiền cuối năm thứ hai : 050 000 + 050 000 x 5% = 102 500đ Gọi xn số tiền nhận cuối năm n với x0 = 000 000đ = 106 đ Sau năm thứ ta nhận : x1 = 106 + 106 x 5% = 106 (1 + 5%) = 106x 1,05 = 050 000đ Sau năm thứ hai ta nhận : x2 = x1 + x1.5% = x1(1 + 5%) = x0.(1 + 5%)2 đ http://NgocHung.name.vn Sau năn thứ ba ta nhận : x3 = x2 + x2.5% = x0.(1 + 5%)3 đ Sau năm thứ n ta nhận số tiền gốc lẫn lãi : xn+1 = (1 + 5%)xn = 1,05xn Phương trình phương trình sai phân tuyến tính bậc xn+1 = q.xn , n = 0, 1, 2, … PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC HAI 7.1 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số số có dạng: ax n +2 + bx n +1 + cx n = (*); với n = 0;1;2; a ≠ 0; b, c số Nghiệm tổng qt: b • Nếu c = phương trình (*) có dạng: ax n + + bx n +1 = ⇔ x n + = − x n +1 = λx n +1 có nghiệm tổng a n qt x n+1 = λ x1 • Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng aλ + bλ + c = có hai nghiệm λ1 , λ việc tìm nghiệm dựa vào mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm phương trình đặc trưng phân biệt ( λ1 ≠ λ ) phương trình (*) n n có nghiệm tổng qt là: x n = C1λ + C2 λ C1, C2 số gọi số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 1: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u = 7; u1 = −6; un + = 3u n +1 + 28u n Giải -Phương trình đặc trưng λ -3λ − 28 = có hai nghiệm λ1 = −4; λ = Vậy nghiệm tổng qt có dạng: u n = C1 (-4)n + C2 7n Với n = ta có: C1 + C2 = 7(= x ) Với n = ta có: -4.C1 + 7C2 = −6(= x1 ) C1 + C2 = C1 = Giải hệ  =>  -4.C1 + 7C2 = −6  C2 = n n Vậy nghiệm tổng qt phương trình có dạng: u n = 5.(-4) + 2.7 b nghiệm tổng qt phương a n n n trình (*) có dạng: x n = C1λ + C2 nλ = ( C1 + C2 n ) λ C1, C2 số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u = −1; u1 = 2; u n + = 10u n+1 − 25u n Giải -Phương trình đặc trưng λ -10λ + 25 = có hai nghiệm λ1 = λ = Vậy nghiệm tổng qt có dạng: u n = (C1 + C2 n)5n Với n = ta có: C1 = −1 Với n = ta có: (C1 + C2 ).5 = => C2 = n Vậy nghiệm tổng qt phương trình có dạng: u n = (-1+ n)5 Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng khơng có nghiệm thực nghiệm tổng qt phương trình (*) B ∆ n 2 có dạng: x n = r ( C1 cos nϕ + C2 sin nϕ ) r = A + B ; ϕ = arctg ; A = − b ; B = ; C1, C2 A 2a 2a số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví dụ 3: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u = 1; u1 = ; u n + = u n +1 − u n Giải -Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ = − http://NgocHung.name.vn Phương trình đặc trưng λ - λ + = có hai nghiệm phức λ1,2 = 1± i π Ta có: A = ; B = ; r = 1; ϕ = 2 nπ nπ + C2 sin 3 π π Với u = 1; u1 = C1 = C1 cos + C2 sin = => C2 = 3 nπ Vậy nghiệm tổng qt có dạng: u n = cos Bài tập Tìm nghiệm un phương trình sau: a u = 8; u1 = 3; u n + = 12u n − un +1 b u = 2; u1 = −8; u n +2 + 8u n +1 − 9u n = c u = 1; u1 = 16; u n +2 − 8u n +1 + 16u n = 7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1 Mở đầu: Dạng tổng qt: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; … Dạng tắc: xn+2 = f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; … 2 Ví dụ: Tính giá trị dãy: u = u1 = 1; u n +1 = u n + un −1; ∀n ≥ 7.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa: 7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng tuyến tính: u2 + ; ∀n ≥ Tìm dạng tuyến tính dãy cho? Ví dụ 1: Cho dãy u = u1 = 1; u n = n −1 u n −2 Giải -Gọi số hạng tổng qt dãy có dạng: u n = aun −1 + bun −2 + c (*) Cho n = 1; 2; ta u3 = 3; u = 11; u5 = 41 Vậy nghiệm tổng qt có dạng: u n = C1 cos a + b + c =  Thay vào (*) ta hệ: 3a + b + c = 11 => 11a + 3b + c = 41  a =   b = −1 c =  Vậy u n = 4un −1 − un − Chú ý: Ta dùng phương pháp qui nạp để chứng minh cơng thức 7.2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: 1 u n −1u n −2 ; ∀n ≥ Tìm cơng thức tổng qt dãy Ví dụ 2: Cho dãy u = ; u1 = ; u n = 3u n − − 2u n −1 Giải -Ta thấy u n ≠ (với n) un = un-1 = un-2 = u2 = u1 = Vơ lí Đặt v n = v n = 3v n −1 − 2v n −2 có phương trình đặc trưng λ − 3λ + = có nghiệm λ1 = 1; λ = un n Cơng thức nghiệm tổng qt: v n = C1 + C2 Với n = 0; ta có: C1 = 1;C2 = n −1 Vậy v n = + hay u n = + 2n −1 7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương: Ví dụ 3: Cho dãy u = 2; u1 = + 33; u n +1 − 3u n = 8u 2n + 1; ∀n ≥ Tìm cơng thức tổng qt dãy Giải -2 Bình phương hai vế phương trình cho ta có: u n +1 − 6un +1 u n + un = http://NgocHung.name.vn 2 Thay n + n ta được: u n − 6un u n −1 + u n − = Trừ vế hai phương trình ta được: ( u n +1 − un −1 ) ( un +1 − 6u n + un −1 ) = Do u n +1 − 3u n = 8u2n + nên u n +1 > 3u n > 9u n −1 > un −1 Suy u n +1 − 6un + u n −1 = có phương trình đặc trưng λ − 6λ + = có nghiệm λ1,2 = ± ( Cơng thức nghiệm tổng qt u n = C1 + Từ giá trị ban đầu suy ra: C1,2 = Vậy số hạng tổng qt: u n ( 8+ = ) n ± 66 )( 66 + + C2 − ( ) ) +( 8− )( n n 66 − 8 ) n Bài tập Bài 1: Tìm nghiệm tổng qt phương trình sau: u = 0; u n +1 = 5u n + 24un2 + Bài 2: Xác định số hạng tổng qt dãy số: u1 = 1; u n +1 = un + + u2n 7.3 Một số dạng tốn thường gặp: 7.3.1 Lập cơng thức truy hồi từ cơng thức tổng qt: ( 3+ 2) −( 3− 2) = n Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số u n n 2 Lập cơng thức truy hồi để tính u n +2 theo u n +1 , un Giải - Cách 1: Giả sử u n + = au n +1 + bu n + c (*) Với n = 0, 1, 2, ta tính u = 0; u1 = 1; u = 6; u3 = 29; u = 132 a + c =  Thay vào (*) ta hệ phương trình : 6a + b + c = 29 => 29a + 6b + c = 132  a =   b = −7 c =  Vậy u n +2 = 6u n +1 − 7un Chú ý: Với ta giả sử u n +2 = au n +1 + bu n tốn giải nhanh  Cách 2: Đặt λ1 = + 2; λ = − λ1 + λ = λ1 λ = chứng tỏ λ1 , λ nghiệm phương trình 2 đặc trưng λ − 6λ + = ⇔ λ = 6λ − ta có: λ1 = 6λ1 − λ = 6λ − n+2 n +1 n Suy ra: λ1 = 6λ1 − 7λ1 λ 2n + = 6λ n2 +1 − 7λ 2n n+2 n+ n +1 n n +1 n n +1 n +1 n n Vậy λ1 − λ = (6λ1 − 7λ1 ) − (6λ − 7λ ) = ( λ1 − λ ) − ( λ1 − λ ) ( ) ( 3+ 2) ⇔ hay + n +2 n+2 2 ( ) ( 3− 2) − − 3− 2 n+2 n+2 ( )  3+ ( ) = 6 = 6 3+    2 n +1 n +1 ( − 3− ) n +1 ( 3− 2) − 2 ( ) − ( − )  2) 3− 2)  (  −  −7 3+   n +1 (   3+  −7   2   n n n n 2   tức u n +2 = 6un +1 − 7un 7.3.2 Tìm cơng thức tổng qt từ cơng thức truy hồi: Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số u = 2; u1 = 10 u n +1 = 10u n − u n −1 (*) Tìm cơng thức tổng qt un dãy? Giải -http://NgocHung.name.vn Phương trình đặc trưng phương trình (*) là: λ − 10λ + = có hai nghiệm λ1,2 = ± ( Vậy u n = C1λ1n + C2 λ 2n = C1 + ) n ( + C2 − ) n C1 + C2 = Với n = 0; ta có hệ phương trình sau:  =>  + C1 + + C2 = 10 ( Vậy số hạng tổng qt u n = + ( ) 6) +( 5−2 6) n ( n ) C1 =   C2 = 7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết cơng thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo cơng thức truy hồi mà số lần lặp q nhiều dẫn đến thao tác sai, ta tìm cơng thức tổng qt cho số hạng un theo n sau thực tính Ví dụ 3: Cho dãy số u = 2; u1 = 10 u n +1 = 10u n − u n −1 Tính số hạng thứ u100? Giải - Cách 1: Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A 10 SHIFT STO B Lặp lại phím: 10 ALPHA B − ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A − ALPHA B SHIFT STO B Bây muốn tính u100 ta ∆ = 96 lần  Cách 2: ( Tìm cơng thức tổng qt u n = + ) +( 5−2 6) n Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (5+2 ) $ 100 + ( − n ) $ 100 = Nhận xét: Như cách nhanh xác nhiều so với cách thời gian để tìm cơng thức tổng qt Do số hạng cần tính nhỏ ta dùng cách 1, lớn ta dùng cách VIII Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TỐN Với máy tính điện tử, xuất dạng đề thi học sinh giỏi tốn mới: kết hợp hữu suy luận tốn học với tính tốn máy tính điện tử Có tốn khó khơng đòi hỏi phải nắm vững kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà q trình giải phải xét loại trừ nhiều trường hợp Nếu khơng dùng máy tính thời gian làm lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, dạng tốn thích hợp kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp với máy tính điện tử (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện tốn học) Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Tìm tất số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) cho an = 20203 + 21n số tự nhiên Giải -Vì 1010 ≤ n ≤ 2010 nên 203,5 ≈ 41413 ≤ an ≤ 62413 ≈ 249,82 Vì an ngun nên 204 ≤ n ≤ 249 Ta có an2 = 20203 + 21n = 21.962 + + 21n Suy ra: an2 – = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n) Do đó, an − = ( an − 1) ( an + 1) chia hết cho Chứng tỏ (an - 1) (an + 1) chia hết cho Vậy an = 7k + an = 7k – * Nếu an = 7k – thi 204 ≤ n =7k-1 ≤ 249 => 29,42 ≤ k ≤ 35,7 Do k ngun nên k = { 30;31;32;33;34;35} Vì a2n − = 7k(7k − 2) chia hết cho 21 nên k là: 30; 32; 33; 35 Ta có: k 30 32 33 35 n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244 http://NgocHung.name.vn * Nếu an = 7k + thi 204 ≤ n =7k-1 ≤ 249 => 29,14 ≤ k ≤ 35,57 Do k ngun nên k = { 30;31;32;33;34;35} Vì a2n − = 7k(7k + 2) chia hết cho 21 nên k là: 30; 31; 33; 34 Ta có: k n an 30 1118 209 32 1406 223 33 1557 230 35 1873 244 Như ta có tất đáp số Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993 Giải -3 Ta có: =729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999 99 93 = 99 00 { 99 { Từ ta có quy luật: n{ −1 chữsố n −1 chữ số n chữ số n chữ số Vậy 999 999 999 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999 Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị) a Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n số có ba chữ số đầu bốn chữ số cuối 1, tức n3 = 111 1111 b Tìm số tự nhiên n cho (1000 ≤ n ≤ 2000) cho an = 57121 + 35n số tự nhiên c Tìm tất số tự nhiên n cho n = 2525******89 , dấu * vị trí khác số khác d Tìm tất số n có ba chữ số cho n69 = 1986 , n121 = 3333 Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị) a Tìm chữ số a, b, c để ta có: a5 × bcd = 7850 b Tìm số có khơng q 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần 24 c Hãy tìm chữ số cuối số 22 + (Số Fecma thứ 24) d Giải phương trình x2 – 2003 [ x ] + 2002 = với [ x ] phần ngun x Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư chia 20012010 cho số 2003 Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10) a Tìm ước số ngun tố nhỏ lớn số 2152 + 3142 b Tìm số lớn nhỏ số tự nhiên dạng 1x2y3z4 chia hết cho Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 312 – chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó? Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN hai số sau: a = 24614205; b = 10719433 Bài 7: Kiểm nghiệm máy tính số dạng 10n + hợp số với n = 3, …, 10 Chứng minh rằng, số dạng 10n + số ngun tố n có dạng n = p (Giả thiết: 10n + số ngun tố n = n = 2) Bài 8: Tìm tất cặp số ab cd cho đổi ngược hai số tích khơng đổi, tức là: ab × cd = ba × dc (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504) m m − nhỏ nhất), m, n số có hai chữ Bài 9: Tìm phân số xấp xỉ tốt (δ ( m,n ) = n n số Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 ≤ n ≤ 8040) cho an = 80788 + 7n số tự nhiên a an phải nằm khoảng nào? b Chứng minh an dạng sau: an = 7k + an = 7k – http://NgocHung.name.vn (với k ∈ N) Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 ak = 2k + Tính k? (k + k)2 Nhận xét:  Dạng thực chất thi học sinh giỏi tốn, nâng cao ý nghĩa mục đích đưa máy tính vào trường phổ thơng, phù hợp với nội dung tốn SGK đổi Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới giả thuyết, quy luật tốn học, nghiên cứu tốn học nghiêm túc  Trong kỳ thi tỉnh dạng chiếm khoảng 20% - 40%, kỳ thi khu vực khoảng 40% - 60% số điểm thi Có thể nói dạng tốn định thí sinh tham dự kỳ thi có đạt giải hay khơng Như vậy, u cầu đặt phải giỏi tốn trước, giỏi tính  Hiện nay, đa số thí sinh có mặt đội tuyển, phụ huynh nhận định chưa xác quan điểm mơn thi này, thường đánh giá thấp mơn tốn (thậm chí coi mơn thi mơn học khơng thức, mang tính chất hình thức “thử cho biết”) thực tế hầu hết thí sinh đạt giải thí sinh hồn thành tập dạng Trong xu hướng tốn học đại kết hợp hữu suy luận tốn học máy tính điện tử (vi tính), chương trình học khóa, SGK ln có tập sử dụng máy tính điện tử IX Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong nhiều trường hợp để giải phương trình ta tìm nghiệm gần (nghiệm thường số thập phân vơ hạn), phương trình ứng dụng sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, phương trình có nghiệm ngun hữu hạn mà thơi Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = có nghiệm ( a, b ) Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy giá trị x1 (đủ lớn) tùy ý khoảng nghiệm ( a, b ) Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, tiếp tục bước n + mà cho giá trị liên tiếp … = x n-1 = xn = xn+1 giá trị x nghiệm gần phương trình f(x) = Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần phương trình:x16 + x – = Giải -Ta có: x16 + x – = x = 16 − x Chọn x1 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Dùng phép lặp: x = 16 − x Ấn phím: = 16 SHIFT x ( − Ans ) = = = = Kết quả: 1,128022103 Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần x − x = Giải -x Chọn x1 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ta có: x = + Dùng phép lặp: x = + Ấn phím: = x Ans + = = = = Kết quả: 2,618033989 Nhận xét:  Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần phương trình, xét cách làm tương đối đơn giản, cần thay vị trí có x g(x) biến nhớ Ans, sau ấn phím = giá trị theo lại thay vào g(x) Nhưng dạng tốn mà hay bị sai đáp số nhất, lý cách biến đổi để nhận biểu thức x = g(x) khơng hợp lý, biểu thức g(x) phức tạp sai số lớn dẫn đến đáp số khơng xác, có trường hợp chọn biểu thức x = g(x) thực phép lặp làm tràn nhớ máy tính q tải Ví du: Ở ví dụ biến đổi x = – x 16, cho x = giá trị ban đầu sau ba lần thực phép lặp máy tính báo lỗi Math ERROR Ở ví dụ 2, biến đổi x = ( x − 1) chọn x = giá trị ban đầu có hai nghiệm số ngun, chọn x = 15 sau http://NgocHung.name.vn số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhưng x = + x x ban đầu lớn máy cho nghiệm 2,618033989 sau số lần lặp hiển nhiên khơng thể chọn x ban đầu âm  Như dùng phép lặp để tìm nghiệm gần x = g(x), việc hội tụ dãy { x n } = g ( x n −1 ) (các giá trị x1 > x2 >… > xn-1 = xn = xn+1)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ hàm x = g(x) giá trị ban đầu x đoạn [ a, b] chứa nghiệm có thỏa mãn có kết Một phường trình đa thức tìm nhiều nghiệm gần đúng, làm cần ghi rõ dùng phép lặp cẩn thận biến đổi hàm x = g(x) cho phù hợp Bài tập tổng hợp (Xem đề thi chương sau) X Dạng 10: THỐNG KÊ MỘT BIẾN Đây dạng tốn nói đến nhiều cách sách tham khảo u cầu thành viên đội tuyển tự nghiên cứu phương pháp giải dạng tốn vấn đề có liên quan đến nhớ máy tính giải dạng tốn Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm lần bắn số lần bắn theo bảng sau: Điểm số 10 Số lần bắn 25 42 14 15 Hãy tính x; ∑ x; n; σ n ; σ n ? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) MODE MODE 10 SHIFT ; 25 DT SHIFT ; 42 DT ……………… SHIFT ; DT Đọc số liệu SHIFT S.VAR = AC SHIFT S.SUM = AC SHIFT S.SUM = AC SHIFT S.VAR = ( x = 8,69) ( ∑ x = 869 ) ( n = 100 ) ( σ n = 1,12 ) ( σ n = 1,25 ) SHIFT S.VAR = Chú ý: - Trước nhập tốn thống kê khác nên xóa liệu cũ máy - Nếu số liệu cho chưa lập dạng bảng tần số cần lập bảng tần số giải - Khơng để máy nhận số liệu khơng rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy Bài tập tổng hợp (Xem đề thi chương sau) XI Dạng 11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN Bài tốn mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r% n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng? Giải -Gọi A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*) http://NgocHung.name.vn Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng Từ cơng thức (*) A = a(1 + a)n ta tính đại lượng khác sau: A Ar ln a(1 + r) (1 + r)n − 1 A 1) n = ; 4) a = a ; 2) r = n − ; 3) A = (1 + r) (1 + r)n − 1 a r ln(1 + r) (ln cơng thức Lơgarit Nêpe, máy fx-500 MS fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp) Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng? Giải -Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 58000000 ( + 007 ) ^ = Kết quả: 61 328 699, 87 Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm với lãi suất 0,7% tháng? Giải -70021000 ln Số tháng tối thiểu phải gửi là: n = 58000000 ln ( + 0, 7%) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) ln 70021000 a b/ c 58000000 ÷ ln ( + 007 ) = Kết quả: 27,0015 tháng Vậy tối thiểu phải gửi 27 tháng (Chú ý: Nếu khơng cho phép làm tròn, ứng với kết số tháng tối thiểu 28 tháng) Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng lãnh 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng? Giải -61329000 −1 58000000 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Lãi suất hàng tháng: r = 8^ x 61329000 a b / c 58000000 − = SHIFT % = Kết quả: 0,7% Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng lãnh vốn lẫn lãi bao nhiêu? Giải-Số tiền lãnh gốc lẫn lãi: A = 580000(1 + 0,007) (1 + 0,007)10 − 1 0,007 = 580000.1,007 ( 1,00710 − 1) 0,007 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 580000 × 007 ( 007 ^ 10 − ) = ÷ 007 = Kết quả: 6028055,598 Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng phải gửi quỹ tiết kiệm tháng Với lãi suất gửi 0,6%? Giải -100000000.0,006 100000000.0,006 a = = 10 10 Số tiền gửi hàng tháng: ( + 0,006 ) ( + 0,006 ) − 1 1,006 ( 1,006 − 1) http://NgocHung.name.vn Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) 100000000 × 006 ÷ ( 006 ( 006 ^ 10 − ) ) = Kết quả: 9674911,478  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: + Gửi số tiền a lần -> lấy vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy vốn lẫn lãi A  Cần phân tích tốn cách hợp lý để khoảng tính đắn  Có thể suy luận để tìm cơng thức từ 1) -> 4) tương tự tốn mở đầu  Các tốn dân số áp dụng cơng thức Bài tập tổng hợp (Xem đề thi chương sau) Nhận xét: http://NgocHung.name.vn CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Qui định:  u cầu em sử dụng máy Casio fx-500 A, Casio fx-500 MS, Casio Fx-500 ES, Casio Fx-570 MS Casio fx-570 ES để giải Ngồi em sử dụng dạng máy tính khác phải có chức tương tự để giải  Nếu khơng qui định thêm kết đề thi phải viết đủ 10 chữ số hình máy tính  Trình bày giải theo bước sau: - Lời giải vắn tắt - Thay số vào cơng thức (nếu có) - Viết qui trình ấn phím - Kết Nhận xét: - Qua chương “Các dạng tốn thi học sinh giỏi giải tốn máy tính điện tử Casio” ta rút nhận xét sau: Máy tính điện tử giúp củng cố kiến thức tăng nhanh tốc độ làm tốn Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức tốn học với thực tế Máy tính điện tử giúp mở rộng kiến thức tốn học - Qua đề thi tỉnh, thi khu vực năm, đặc biệt từ năm 2001 đến (tháng 05/2005), đề thi thể rõ nét nhận xét Có thể nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến soạn theo định hướng sau đây: Bài thi học sinh giỏi “Giải tốn máy tính điện tử” phải thi học sinh giỏi tốn có trở giúp máy tính để thử nghiệm tìm quy luật tốn học tăng tốc độ tính tốn Đằng sau tốn ẩn tàng định lý, chí lý thuyết tốn học (số học, dãy truy hồi, phương trình sai phân, ….) Phát huy vai trò tích cực tốn học máy tính giải tốn thực tế _ http://NgocHung.name.vn [...]... áp dụng các cơng thức trên đây Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau) Nhận xét: http://NgocHung.name.vn CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO Qui định:  u cầu các em chỉ sử dụng máy Casio fx-500 A, Casio fx-500 MS, Casio Fx-500 ES, Casio Fx-570 MS và Casio fx-570 ES để giải Ngồi ra các em cũng có thể sử dụng các dạng máy tính khác nhưng phải có... tương tự để giải  Nếu khơng qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính  Trình bày bài giải theo các bước sau: - Lời giải vắn tắt - Thay số vào cơng thức (nếu có) - Viết qui trình ấn phím - Kết quả Nhận xét: - Qua chương “Các dạng tốn thi học sinh giỏi giải tốn trên máy tính điện tử Casio ta rút ra các nhận xét như sau: 1 Máy tính điện tử giúp... tốn 2 Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức tốn học với thực tế 3 Máy tính điện tử giúp mở rộng các kiến thức tốn học - Qua các đề thi tỉnh, thi khu vực của các năm, đặc biệt từ năm 2001 đến nay (tháng 05/2005), đề thi thể hiện rõ nét các nhận xét trên đây Có thể nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến nay được soạn theo các định hướng sau đây: 1 Bài thi học sinh giỏi Giải tốn trên máy tính điện tử phải... GIẢI TỐN Với máy tính điện tử, xuất hiện một dạng đề thi học sinh giỏi tốn mới: kết hợp hữu cơ giữa suy luận tốn học với tính tốn trên máy tính điện tử Có những bài tốn khó khơng những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong q trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu khơng dùng máy tính. .. ≈ 1,61803 ; ϕ1 = ≈ −0,61803 2 2 Nhận xét:  Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy Fibonacci mà khơng cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng q lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính được (kết quả khơng hiển thị được trên màn hình) Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta... Cách 1 : Có thể tính trực tiếp xn với n bất kỳ mà khơng cần tính giá trị trước đó *Cách 2 : Quy trình thao tác đơn giản hơn Cách tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất trên máy tính Casio f(x) 570MS Ngồi cách tính như trên Casio F(x) 500MS, có thể sử dụng phím CALC của máy F(x) 570 MS thuận tiện hơn như sau : Để tính xn theo cơng thức nghiệm tổng qt xn = (- ).2n , ta khai... các bài tập dạng này Trong khi xu hướng của tốn học hiện đại là kết hợp hữu cơ giữa suy luận tốn học và máy tính điện tử (vi tính) , ngay cả trong chương trình học chính khóa, SGK ln có bài tập về sử dụng máy tính điện tử IX Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó (nghiệm thường là những số thập phân vơ... gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng tốn này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp với máy tính điện tử (Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện tốn học) Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho an = 20203 + 21n cũng là số tự nhiên Giải -Vì 1010 ≤ n ≤ 2010 nên... này thì tất cả dạng tốn đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu khơng cao Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính u n ta chỉ cần ấn ∆ = liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần  Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được... phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất trên máy tính Casio f(x) 500MS : Ví dụ : Giải phương trình xn+1 = 2xn , n = 0, 1, 2, 3, … , với x0 = Cách 1 : Tính theo cơng thức nghiệm tổng qt  1 −  Để tính xn theo cơng thức nghiệm tổng qt xn = qnx0 = 2n  3  Giả sử với n = 10 Khai báo : 10 SHIFT STO X Khai báo hệ số : (-) 1 ab/c 3 SHIFT STO M Khai báo cơng thức nghiệm : 2 ^ ALPHA X x ALPHA M Tính x10 : ... giải tốn máy tính điện tử Casio ta rút nhận xét sau: Máy tính điện tử giúp củng cố kiến thức tăng nhanh tốc độ làm tốn Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức tốn học với thực tế Máy tính điện. .. MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO Qui định:  u cầu em sử dụng máy Casio fx-500 A, Casio fx-500 MS, Casio Fx-500 ES, Casio Fx-570 MS Casio fx-570 ES để giải Ngồi... cần tính nhỏ ta dùng cách 1, lớn ta dùng cách VIII Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TỐN Với máy tính điện tử, xuất dạng đề thi học sinh giỏi tốn mới: kết hợp hữu suy luận tốn học với tính