giải toán trên máy tính điện tử casio

Trang 1

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC

SINH GIỎI

“GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO”

Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực “Giảitoán trên máy tính điện tử Casio” Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở mỗi tỉnh gồm 5 thí sinh.Những thí sinh đạt giải được cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được bảo lưu kết quả trong suốtcấp học Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài 5 điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm trong 150 phút

Quy định: Thí sinh tham dự chỉ được dùng một trong bốn loại máy tính (đã được Bộ Giáo

dục và Đào tạo cho phép sử dụng trong trường phổ thông) là Casio fx-220, Casio fx-500A, Casiofx-500 MS, Casio fx-570 MS

 Yêu cầu các em trong đội tuyển của trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên chỉ sử dụng máyCasio fx-500 MS, Casio fx-570 MS

 Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các ví dụ và bài tập của tài liệu phải

viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tính

 Các dạng toán sau đây có sử dụng tài liệu của TS.Tạ Duy Phượng – Viện toán học và

một số bài tập được trích từ các đề thi (đề thi khu vực, đề thi các tỉnh, các huyện trong tỉnh LâmĐồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ 2

A SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

I.

Dạng 1 : KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH

Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy

thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác cácbiến nhớ của máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ

Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính:

Trang 3

Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính:

Bài 5: (Thi khu vực 2001)

a Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần:

17 10

c Tính giá trị của biểu thức sau: 2+33+4 4 + +88+99

Nhận xét:  Dạng bài kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham

gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này.Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau:

Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện Để tránh vấn đề này yêu cầu trước khi dùng máy tính

để tính cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tínhphù hợp để hạn chế số lần nhớ

II Dạng 2 : ĐA THỨC

Dạng 2.1 Tính giá trị của đa thức

Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

Viết n n 1

P(x) a x= +a x − + + a dưới dạng P(x) ( (a x a )x a )x )x a= 0 + 1 + 2 + + n

Vậy P(x ) ( (a x0 = 0 0+a )x1 0+a )x2 0+ )x0+an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = b

n-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1

Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M

- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak

4x x 3x 5 khi x = 1,8165

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans

Trang 4

Aán phím: 1 8165 =

( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x− + − Ans 1 )+ ÷ ( 4 Ans ^ 3 Ans x− +3 Ans 5 )+ =

Kết quả: 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X

Aán phím: 1 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x− + − ALPHA X 1 )+ ÷ ( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x− +3 ALPHA X 5 )+ =

Kết quả: 1.498465582

Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy 220 và

fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử

dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách

bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là = xong Để có thể

kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện

kiểm tra và đổi các giá trị

4x x 3x 5 khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: ( )− 235678 SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím = là xong

 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi Khảnăng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm

cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy

tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn)

Bài tập

Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:

a Tính x4+5x 3x3− 2+ −x 1 khi x = 1,35627

b Tính P(x) 17x= 5−5x4+8x 13x 11x 3573+ 2− − khi x = 2,18567

Dạng 2.2 Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số

(không chứa biến x) Thế x= −bata được P( b

a

− ) = r.

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(−ba), lúc này dạng

toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P=

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 1 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723− − + + + − =

Trang 5

Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x)chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(−ba) Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1

Ví dụ: Xác định tham số

1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x4 +7x3+2x 13x a2+ + chia hếtcho x+6

- Giải -

Số dư 4 3 ( )2 ( )

a= − −( 6) + −7( 6) 2 6+ − +13 6− 

Ấn các phím: ( )− 6 SHIFT STO X

( )− ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x3 + 2 ALPHA X x 2 + 13 ALPHA X ) =

Kết quả: a = -2221.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải –

Dạng 2.4 Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức

Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậchai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 +(b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c +

( ) 5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0 ALPHA M 2

Dạng 2.5 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức

Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2c)2+…+rn(x-c)n

(x-Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Giải

Trang 6

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0 Sau đó lạitiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:

Dạng 2.6 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức

Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri ≥ 0 với mọi i = 0, 1, …, nthì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c

Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3 (Đa thức có hainghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)

Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ

thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức rathừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, …

 Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được

rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng côngthức Cardano quá phức tạp Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cáchkhéo léo hợp lí trong các bài làm

Bài tập tổng hợp

Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m

a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3

b Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích cácthừa số bậc nhất

c Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2

d Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất

Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15.Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

a Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10),Q(11), Q(12), Q(13)

Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x +n

a Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duynhất

Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

1 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

3 P(x) có nghiệm x = 2 Tìm m?

b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết f( )13 =1087 ;f(−12)= −38;f( )15 =50089 .

Tính giá trị đúng và gần đúng của f( )2

3 ?

Trang 7

Bài 6: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975)

1 Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32

2 Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi sốnguyên n

Bài 7: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)

Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n để (n 1)2

n 23

++ là một số nguyên Hãy tính số lớn nhất.

Bài 8: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)

Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5 Chia P(x) cho x – 2 được số

dư là -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho 2)

(x-1)(x-Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2004)

Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m

a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648

b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)

c Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

34 3 6,15 5 6+77P(x)

Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004)

5x -8x y +y3.Tìm số dư r của phép chia :

x -6,723x +1,658x -9,134

x-3,2814.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m7 6 5 4 3 2 Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005)

a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

b Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)?

Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004)

Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N?

Bài 13: (Thi khu vực 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính:

a Các hệ số b, c, d của đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3

Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính:

a Các hệ số a, b, c của đa thức P(x)

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài 15: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)

a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính

Trang 8

b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) cóbậc 3 Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?

III Dạng 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH :

Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc để

khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn

Ví dụ: Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0

Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng: 1 1 1

Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 2 ≠ 0)

3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy

Ấn MODE MODE 1 > 2 nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím =

giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0

3.1.2: Giải theo công thức nghiệm

2a

−

=

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0

Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.

 Hạn chế không nên tính ∆trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến saisố xuất hiện trong biến nhớ ∆ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn

 Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dướidạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định

Trang 9

khoản chứa nghiệm thực của đa thức, … Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kếthợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này.

Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)

Ấn MODE MODE 1 > 3 nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím

= giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương

trình x3 – 5x + 1 = 0

Giải

Ấn các phím MODE MODE 1 > 3

1 0 ( ) 5 1= = − = =(x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639675)= =

Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện R⇔I thìnghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đókhông trìn bày nghiệm này trong bài giải

Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Hornerđể hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trìnhtích theo các công thức nghiệm đã biết

Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải.

Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Ấn MODE MODE 1 2 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ sốấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998)

Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x 83249y 4171583249x 16751y 108249++ ==

83249 16751 108249 16751 83249 41751= = = = = =(1, 25) = (0, 25)

Ấn tiếp: MODE 1 1 25ab/ c0 25= (5)

Vậy đáp số E là đúng

Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR.

Ta có: Dx Dy

x ;y

= = với D a b= 1 2−a b ;D2 1 x =c b1 2−c b ;D2 1 y =a c a c1 2− 2 1

Dạng 3.4 Giải hệ phương trình nhất ba ẩn

Giải theo chương trình cài sẵn trên máy

Ấn MODE MODE 1 3 nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lầnnhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính

Trang 10

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3x y 2z 302x 3y z 30

Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5.

Nhận xét:  Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và cácchương trình cài sẵn trên máy tính Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít chúng thường xuấthiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà quá trình giải đòihỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ

Bài 1: Giải các phương trình:

1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0

1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0

1.3 x3 + x2 – 2x – 1 =0

1.4 4x3 – 3x + 6 = 0

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

2.1 (Sở GD Đồng Nai, 1998) 1,372x 4,915y 3,1238,368x 5,214y 7,318−+ ==

IV Dạng 4 : LIÊN PHÂN SỐ

Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sửdụng để giải nhiều bài toán khó

Bài toán: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số ab có

thể viết dưới dạng:

Trang 11

diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phânhữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số.

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số

0 1

n 1 n

+ về dạng

a

b Dạng toán này

được gọi là tính giá trị của liên phân số Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanhchóng dạng biểu diễn của liên phân số đó

Ấn lần lượt b/ c b/ c b/ c

a − +1 a a = a − +1 a Ans = a +1 a Ans =

Ví dụ 1: (Vô địch toán New York, 1985) Biết

1

17 1 1

ab

=++ trong đó a và b là các số dương Tính

= +++

Giải -

Ấn các phím: 3 1 a+ b/ c 2 2 1 a= + b/ c Ans 1 1 a= + b/ c Ans = SHIFT ab/ c ( )23

16

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thinó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tính toán và thực hành Trong các kỳ thi gần đây, liên phânsố có bị biến thể đi đôi chút ví dụ như:

dạng tính toán giá trị biểu thức Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liên phân số (tínhtừ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans)

Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

Trang 12

a Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

=+++

Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị của x, y từ các phương trình sau:

Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 – 7, dự bị)

a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau M 1,1,2,1,2,1,2,1=[ ] và tính 3 M− ?

b Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

+

Hãy viết lại A dưới dạng A=[a ,a , ,a0 1 n]?

Bài 7: Các số 2, 3 , π có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau:

2 = 1,2,2,2,2,2 ; 3 1,1,2,1,2,1 ;=[ ] π =[3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tính các liên phân số trên và

só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn?

Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng)

Tính và viết kết quả dưới dạng phân số

4D=5+

46+

47+

48+

49+

10

V Dạng 5 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM

5.1 Tính chất chia hết

- Một số chia hết cho 3 (cho 9) nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (cho 9)

- Một số chia hết cho 2 (cho 5) nếu chữ số tận cùng của nó chia hết cho 2 (cho 5)

Chú ý: Tính chất chia hết chỉ đúng trong hệ cơ số cụ thể.

Ví dụ: Xét hệ đếm với cơ số 12, ta có:

Trang 13

1 Một số viết trong hệ đếm cơ số 12 chi hết cho 2 (3, 4, 6) nếu chữ số cuối cùng của nó chia hếtcho 2 (3, 4, 6).

2 Số a=(a a a a an n 1− 2 1 0 12) chia hết cho 8 (cho 9) nếu (a a1 0 12) chia hết cho 8 (cho 9).

3 Số a=(a a a a an n 1− 2 1 0 12) chia hết cho 11 nếu an+an 1+ + + + a a1 0 chia hết cho 11.

Mở rộng: Số a=(a a a a an n 1− 2 1 0 12) chia hết cho q – 1 nếu an+an 1+ + + + a a1 0 chia hết cho q.

5.2 Hệ cơ số 2

Bài toán mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi là có thể đoán được một số cho trước (nhỏ hơn 1000) như sau:

- Số đó có chia hết cho 2 không?(Nếu có ghi 0, không ghi 1)

- Thương của số đó chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, không ghi 1)

Nếu cứ tiếp tục như vậy ta được một dãy các số 1 hoặc 0 Dãy này chính là biểu diễn của số cầntìm trong cơ số 2 Vì số nhỏ hơn 1000 có nhiều nhất là 10 chữ số trong biểu diễn cơ số 2 nên 10câu hỏi là đủ để biết số đã cho Đổi qua cơ số 10 ta được số cần tìm

Ví dụ: Số cho trước là 999.

Vì 999 = 499.2 + 1; 499 = 249.2 + 1; 249 = 124.2 + 1; 124 = 62.2 +1; …; 3 = 1.2 + 1 nên ta sẽ có dãysố: 11111001112 = 99910

5.3 Ứng dụng hệ cơ số trong giải toán

Trong rất nhiều bài toán khó có thể sử dụng hệ đếm để giải Nói cách khác, thì hệ đếm có thể

được sử dụng như một phương pháp giải toán.

Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) và f(2n+1) = f(2n) + 1 với mọi n nguyên

dương Tìm giá trị lớn nhất của n khi 1 ≤ n ≤1994

Giải

Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102)

=2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; …

Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số 1 lớn nhất trong biểu diễn cơ số 2 của các số nhỏ hơn 1994

Vì 1994 < 211 – 1 nên f(n) có nhiều nhất là 10 chữ số Ta có f(1023) = f(11111112) = 10 Vậy giá trịlớn nhất là 10

Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) bằng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 của n.

Chứng minh:

1) n chẵn thì n = 2m = 102.m Vì m và n = 102.m có cùng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 (tronghệ cơ số 2, khi nhân một số với 2 = 102, ta chỉ thêm số 0 vào cuối số đó) Theo quy nạp (vì m < n),f(m) bằng đúng chữ số 1 của m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) cũng bằng đúng chữ số 1 của m,tức là n

2) n lẻ thì n = 2m + 1 = 102.m + 1 khi ấy n có số chữ số 1 nhiều hơn m là 1 Ta có: f(n) = f(2m + 1)

= f(m) + 1 Áp dụng quy nạp ta có, f(m) bằng đúng số chữ số 1 của m nên f(n) cũng bằng đúng sốchữ số 1 của m cộng 1, tức là bằng đúng số chữ số 1 của n

Nhận xét:  Dạng toán này là dạng toán khó, thường rất ít xuất hiện trong các kỳ thi “Giảitoán bằng máy tính bỏ túi Casio”, nhưng sử dụng phương pháp hệ cơ số giúp chúng ta phân tíchđược một số bài toán từ đó sử dụng các phương pháp chứng minh toán học và các nguyên lý đểgiải Nói cách khác, đây là một phương pháp giải toán

Bài 1: Tìm cơ số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630)q chia hết cho 7 Biểu diễn số a với q tìm đượctrong cơ số 10 (HD: áp dụng tính chất chia hết)

Bài 2: Hai người chơi lần lượt lấy ra số viên sỏi bất kì từ một trong ba đống sỏi Người nhặt viên

sỏi cuối cùng sẽ thắng Người đi trước thường thắng Vì sao? (HD: sử dụng hệ cơ số 2)

Bài 3: (Vô địch Trung Quốc, 1995) Cho f: N -> N thỏa mãn f(1) = 1 và f(2n) < 6f(n), 3f(n).f(2n+1)

= f(2n).(1+3f(n)) với mọi n nguyên dương Tìm mọi nghiệm của phương trình f(k) + f(n) = 293.(HD: Vì 3f(n)+1 và 3f(n) là nguyên tố cùng nhau nên f(2n) = 3pf(n), suy ra p nguyên dương f(2n)

Trang 14

= 3f(n) và f(2n + 1) = 3f(n)+1 dẫn đến: Với số n viết trong hệ cơ số 2 thì f(n) có đúng các chữ sốcủa n viết trong hệ cơ số 3).

Bài 4: Xác định tất cả các hàm số f: N -> R thỏa mãn f(1) = 1; f(n) 1 f= + n 12− ÷ nếu n chẵn,

VI Dạng 6 : DÃY TRUY HỒI

Dạng 6.1 Dãy Fibonacci

6.1.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được một đôi

thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ramột đôi thỏ con khác v.v… và giả sử tất cả các con thỏ đều sống

Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đếncuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?

Giải

- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.

- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2 Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2

- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 3

- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa đẻ Vậytrong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …

Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)

Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.

Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:

u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2)Dãy { }u có quy luật như trên là dãy Fibonacci un n gọi là số (hạng) Fibonacci

6.1.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh được số hạng thứ n của

dãy Fibonacci được tính theo công thức sau:

Trang 15

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.

6.1.3 Các tính chất của dãy Fibonacci:

Nhận xét: Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy Fibonacci mà không cần

biết hết các số hạng liên tiếp của dãy Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn

của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính được (kếtquả không hiển thị được trên màn hình) Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trongviệc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tínhchất 8 giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể củaFibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó Dạng toán này thường gặp trong cáckỳ thi tỉnh và kỳ khu vực

6.1.4 Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử

6.1.4.1 Tính theo công thức tổng quát

Ta có công thưc tổng quát của dãy:

  Trong công thức tổng quát số

hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính

Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A

Trang 16

1 SHIFT STO B

+ > lấy u2+ u1 = u3 gán vào BLặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

+ > lấy u4+ u3 = u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A +1 SHIFT STO B + ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trên đây là quitrình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất Đối với máy fx-500 MS thì ấn ∆ = , đối với máy fx-570

MS có thể ấn ∆ = hoặc ấn thêm ∆ SHIFT COPY = để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi

Dạng 6.2 Dãy Lucas

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2 a, b là hai số tùy ý nào đó)

Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy

Fibonacci

Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

a SHIFT STO B

+ > lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào BLặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

+ > lấy u4+ u3 = u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n ≥ 2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?

Giải

a Lập qui trình bấm phím

Ấn các phím: 13 SHIFT STO A

8 SHIFT STO B

+

Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n ≥ 2 a, b là hai số tùy ý nào đó)

a SHIFT STO B

× A+ × B > tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B

Lặp lại các phím: × A+ ALPHA A × B SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

× A + × B > lấy u5 gán vào B

Trang 17

Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần.

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính

un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

3 8 2 SHIFT STO B

× + ×

Lặp lại các phím: × +3 ALPHA A × 2 SHIFT STO A

3 ALPHA B 2 SHIFT STO B

Dạng 6.4 Dãy phi tuyến dạng

Cho Cho u1 = a, u2 = b, un 1+ =u2n+u2n 1− (với n ≥ 2)

2 +a 2 SHIFT STO B

x x > lấy u22+ u12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào BLặp lại các phím: x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u32+ u22= u4 gán vào A

2 + ALPHA B 2 SHIFT STO B

x x > lấy u42+ u32= u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un 1+ =u2n+u2n 1− (n ≥ 2).

b Tính u7?

Giải

2 +1 2 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A

2 + ALPHA B 2 SHIFT STO B

2 × +a 2 × SHIFT STO B

x A x B > Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào BLặp lại các phím: x2 × A + ALPHA A x2 × BSHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

Trang 18

2 × + ALPHA B 2 × SHIFT STO B

x A x B > Tính u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 2

n 1 n n 1

u + =3u +2u − (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính

un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

2 × +3 1 2 ×2 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: x2 × +3 ALPHA A x2 ×2 SHIFT STO A

2 × +3 ALPHA B 2 ×2 SHIFT STO B

Dạng 6.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng

Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n ≥ 3)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A

2 SHIFT STO B > gán u3 = 2 vào biến nhớ BALPHA A + ALPHA B 1 SHIFT STO C+ > tính u4 đưavào C

Lặp lại các phím: + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

+ + > tính u6 gán biến nhớ BALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

+ + > tính u7 gán biến nhớ CBây giờ muốn tính un ta ∆ ∆ và = , cứ liên tục như vậy n – 7 lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA A + ALPHA B 1 SHIFT STO C+

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

Dạng 6.7 Dãy truy hồi dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n ≥ 2)

a f(n) SHIFT STO B

× A+ × B + > tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào

B

Lặp lại các phím: × A+ ALPHA A × B + f(n) SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

ALPHA B f(n) SHIFT STO B

× A + × B + > tính u5 gán vào B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + 1n (n ≥ 2)

b Tính u7?

Giải

Trang 19

13 SHIFT STO B

2 SHIFT STO XLặp lại các phím: ALPHA X 1 SHIFT STO X+

b/ c

3 ALPHA B + 2 ALPHA A +1 a ALPHA X SHIFT STO A

∆ = 3 ALPHA A + 2 ALPHA B 1 a+ b/ c ALPHA X SHIFT STO B

b Tính u7 ?

Ấn các phím: ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ = (u 7 = 8717,92619)

Kết qủa: u7 = 8717,92619

Dạng 6.8 Dãy phi tuyến dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = F (u ) F (u )1 n + 2 n 1− (với n ≥ 2)

Ấn các phím: a SHIFT STO A

b SHIFT STO BLặp lại các phím: F ( ALPHA B ) F ( ALPHA A ) SHIFT STO A1 + 2

5 SHIFT STO BLặp lại các phím: ( ( 5 ALPHA B 1 ) a 3 ) ( ALPHA A x+ b/ c − 2 +2 ) a 5 ) SHIFT STO Ab/ c

( ( 5 ALPHA A 1 ) a 3 ) ( ALPHA B x+ − +2 ) a 5 ) SHIFT STO B

Dạng 6.9 Dãy Fibonacci tổng quát

Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác ít nhất) xong có

nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đếnnhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểudiễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giákết quả bài giải

Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, un 1+ =Au2n +Bu2n 1− (với n ≥ 2)

Ấn các phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A

b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào BLặp lại các phím: A ALPHA B x2 + BALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u3 gán vào A

A ALPHA A x2 + BALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 4 lần

Trang 20

Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn

nhưng tính tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn ∆

= liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần

 Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quyluật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng talập được công thức truy hồi của dãy các dãy số

 Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toántheo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này

Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1

a Lập một qui trình bấm phím để tính un+1

b Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 2 3 4 6

a Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy

b Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un

c Lập một qui trình tính un

d Tìm các số n để un chia hết cho 3

Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1

a Lập một quy trình tính un+1

b Tính u2; u3; u4; u5, u6

c Tìm công thức tổng quát của un

Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; un 1+ =u2n+u2n 1− Tìm số dư của un

a Dãy số trên có vô số số dương và số âm

b u2002 chia hết cho 11

Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi:

u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = n 1 n

n 1 n

u 9u ,n 2k9u 5u ,n 2k 1

+ +

∑ chia hết cho 20

b u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n

Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=?

Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)

Trang 21

Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = −

−

−+ +

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?

b Tìm số hạng u8 của dãy?

Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)

Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n≥2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?

b Tìm số hạng u14 của dãy?

Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)

a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n ∈ ≥ Tính u ?50

b Cho

2 n

n 1 2

n

4x 5x

x 1

+

=+ , n là số tự

nhiên, n >= 1 Biết x 1 = 0,25 Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100?

Yêu cầu: Các thí sinh (trong đội tuyển trường THCS Đồng Nai) phải nắm vững các kiến

thức cơ bản về dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phươngpháp tuyến tính hóa

7.1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số có

dạng: axn 2+ +bxn 1+ +cxn =0 (*); với n 0;1;2; = trong đó a≠0; b, c là hằng số.

Nghiệm tổng quát:

• Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng: n 2 n 1 n 2 n 1 n 1

• Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là a + b + c = 0λ2 λ có hai nghiệm λ λ1, 2 thì

việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt (λ ≠ λ1 2) khi ấy phương

trình (*) có nghiệm tổng quát là: n n

Trang 22

Phương trình đặc trưng λ2-3λ −28 = 0 có hai nghiệm λ = − λ =1 4; 2 7 Vậy nghiệm tổng quát có

λ =λ = − thì nghiệm tổng quát của

phương trình (*) có dạng: n n =( ) n

x = Cλ + C nλ C + C n λ trong đó C1, C2 là hằng số tự do và

được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 = −1;u1=2;un 2+ =10un 1+ −25un.

= − = ; C1, C2 là hằng số tự do xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: 0 1 n 2 n 1 n

Tìm nghiệm un của các phương trình sau:

a u0 =8;u1=3;un 2+ =12un −un 1+

b u0 =2;u1 = −8;un 2+ +8un 1+ −9un =0

c u0 =1;u 16;u1 = n 2+ −8un 1+ +16un =0

7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2:

7.2.1 Mở đầu:

Trang 23

Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; ….

Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; …

0 1 n 1 n n 1

u =u 1;u= + =u +u ; n 2− ∀ ≥

7.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa:

7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính:

Ví dụ 1: Cho dãy

Gọi số hạng tổng quát của dãy có dạng: un =aun 1− +bun 2− +c (*)

Cho n = 1; 2; 3 ta được u3 =3;u4 =11;u5 =41

Thay vào (*) ta được hệ:

a b c 33a b c 1111a 3b c 41

Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên.

7.2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

1 2 −

=+

7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương:

u =2;u = +6 33;u + −3u = 8u 1; n 2+ ∀ ≥ Tìm công thức tổng quát củadãy

Giải

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: u2n 1+ −6u un 1+ n +u2n =1.

Thay n + 1 bởi n ta được: 2 2

n n n 1 n 4

u −6u u − +u − =1.Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được: (un 1+ −un 1− ) (un 1+ −6un+un 1− ) =0

n 1 n n

u + −3u = 8u 1+ nên un 1+ >3un >9un 1− >un 1−

Suy ra un 1+ −6un+un 1− =0 có phương trình đặc trưng λ − λ + =2 6 1 0 có nghiệm λ = ±1,2 3 8

Công thức nghiệm tổng quát ( )n ( )n

u =C 3+ 8 +C 3− 8Từ các giá trị ban đầu suy ra: C1,2 8 66

8

=

Bài tập

Trang 24

Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau: 2

7.3 Một số dạng toán thường gặp:

7.3.1 Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát:

Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số ( + ) (− − )

Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được u0 =0;u 1;u1= 2 =6;u3 =29;u4 =132.

Thay vào (*) ta được hệ phương trình :

a c 66a b c 2929a 6b c 132

7.3.2 Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:

Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy sốu0 =2;u 10 và u1= n 1+ =10un −un 1− (*) Tìm công thức tổng

quát un của dãy?

7.3.3 Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:

Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó

ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính

Trang 25

Ví dụ 3: Cho dãy sốu0 =2;u 10 và u1 = n 1+ =10un−un 1− Tính số hạng thứ u100?

Giải

 Cách 1:

10 SHIFT STO BLặp lại các phím: 10 ALPHA B − ALPHA A SHIFT STO A

10 ALPHA A − ALPHA B SHIFT STO B Bây giờ muốn tính u100 ta ∆ = 96 lần

Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian

để tìm ra công thức tổng quát Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽdùng cách 2

Với máy tính điện tử, xuất hiện một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu cơ giữa suyluận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏiphải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo,suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu khôngdùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài,

do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện

tử (Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010≤n≤2010) sao cho an = 20203 21n+ cũng là số tự nhiên

Giải

Vì 1010 ≤ n ≤ 2010 nên 203,5 ≈ 41413 ≤ an ≤ 62413 ≈ 249,82

Vì an nguyên nên 204 ≤ n ≤ 249 Ta có an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n

Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n)

Do đó, 2 ( ) ( )

a 1− = a 1 a 1− + chia hết cho 7.

Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7 Vậy an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1

* Nếu an = 7k – 1 thi do 204 ≤ n =7k-1≤ 249 => 29,42 ≤ k ≤ 35,7 Do k nguyên nên

Trang 26

Như vậy ta có tất cả 8 đáp số.

Ví dụ 2: Tính A = 999 999 9993

Giải

Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.Từ đó ta có quy luật: 99 91 2 3nchữ số 93 =n 1 chữsố99 9 7 00 0 299 9{− n 1 chữ số{− {nchữ số 9

Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999

Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị)

a Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều bằng 1,tức là n3 = 111 1111

b Tìm số tự nhiên n sao cho (1000 ≤ n ≤ 2000) sao cho an = 57121 35n+ là số tự nhiên

c Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 = 2525******89 , các dấu * ở vị trí khác nhau có thể làcác số khác nhau

d Tìm tất cả các số n có ba chữ số sao cho n69 = 1986 , n121 = 3333

Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)

a Tìm các chữ số a, b, c để ta có: a5 bcd 7850× =

b Tìm các số có không quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đótăng lên gấp 5 lần

c Hãy tìm 5 chữ số cuối cùng của số 22 24 +1 (Số Fecma thứ 24)

d Giải phương trình x2 – 2003[ ]x + 2002 = 0 với [ ]x là phần nguyên của x

Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư khi chia 20012010 cho số 2003

Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10)

a Tìm các ước số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142

b Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7

Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 312 – 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79.Tìm hai số đó?

Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN của hai số sau: a = 24614205; b = 10719433.

Bài 7: Kiểm nghiệm trên máy tính các số dạng 10n + 1 là hợp số với n = 3, …, 10 Chứng minh

rằng, số dạng 10n + 1 có thể là số nguyên tố chỉ khi n có dạng n = 2p (Giả thiết: 10n + 1 là sốnguyên tố khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2)

Bài 8: Tìm tất cả các cặp số ab và cd sao cho khi đổi ngược hai số đó thì tích không đổi, tức là:

Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 n≤ ≤8040) sao cho

an = 80788 7n+ cũng là số tự nhiên

a an phải nằm trong khoảng nào?

b Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau: an = 7k + 1 hoặc an = 7k – 1 (với k∈

N)

Trang 27

Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 và k 2 2

2k 1a

+

=+ Tính k?

Nhận xét:  Dạng bài này thực chất là bài thi học sinh giỏi toán, nó nâng cao ý nghĩa của mục

đích đưa máy tính vào trường phổ thông, phù hợp với nội dung toán SGK đổi mới Nhờ máy tính bỏtúi giúp cho ta dẫn dắt tới những giải thuyết, những quy luật toán học, những nghiên cứu toán họcnghiêm túc

 Trong các kỳ thi tỉnh dạng bài này chiếm khoảng 20% - 40%, các kỳ thi khu vựckhoảng 40% - 60% số điểm bài thi Có thể nói dạng toán này quyết định các thí sinh tham dự kỳthi có đạt được giải hay không Như vậy, yêu cầu đặt ra là phải giỏi toán trước, rồi mới giỏi tính

 Hiện nay, đa số thí sinh có mặt trong đội tuyển, cũng như phụ huynh nhận địnhchưa chính xác quan điểm về môn thi này, thường đánh giá thấp hơn môn toán (thậm chí coi mônthi này là một môn học không chính thức, chỉ mang tính chất hình thức “thử cho biết”) nhưng thựctế hầu hết các thí sinh đạt giải là các thí sinh hoàn thành được các bài tập dạng này Trong khi xuhướng của toán học hiện đại là kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học và máy tính điện tử (vi tính),ngay cả trong chương trình học chính khóa, SGK luôn có bài tập về sử dụng máy tính điện tử

IX Dạng 9 : TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó(nghiệm thường là những số thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng trong cuộc sống thực tếphần lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên chỉ là hữu hạn mà thôi

Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = 0 có nghiệm trong ( )a,b

Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy một giá trị x1 (đủ lớn) nào đó tùy ý trong khoảngnghiệm ( )a,b Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, cứ

tiếp tục như vậy cho đến bước n + 1 mà sao cho các giá trị liên tiếp … = xn-1 = xn = xn+1 thì giá trị xđó là nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x16 + x – 8 = 0

Giải

Ta có: x16 + x – 8 = 0 <=> x = 168 x− Chọn x1 = 2

Dùng phép lặp: x = 168 x−

Ấn các phím: 2 = 16 SHIFT x ( 8 Ans )− = = = =

Kết quả: 1,128022103

Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng x− x 1=

Giải

Ta có: x = 1 + x Chọn x1 = 2

Dùng phép lặp: x = 1 + x

Ấn các phím: 2 = Ans 1+ = = = =

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	2,13 MB