cac chuyen de giai toan tren may tinh casio 0798

CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = ; P( ) P(-5,1289) = = Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - Áp dụng đẳng thức: an - b n = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x  1)(1  x  x   x9 ) x10   x 1 x 1 Từ tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x x9  x 1 Từ tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b 1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:  a1  b1  c1  d1  e1   16a  8b  4c  2d  e   1 1   a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81a1  27b1  9c1  3d1  e1    256a  64b  16c  4d  e  16  1 1  625a1  125b1  25c1  5d1  e1  25  Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; 10 Tính A  P(4) = P(5)  2P (6) ? P (7) H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A x( x  1) Từ tính được: P(5)  P(6)  P(7) Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k  Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999 a  b  2000   a  1  g(x) = f(x) - x -      2000 a  b  2001  b   * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)  f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) =  a, b, c nghiệm hệ phương trình: a  b  c    9a  3b  c  11   25a  5b  c  27   a  1   MTBT ta giải được:  b  c  2   g(x) = f(x) - x2 - - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0)  f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên:  d  10  a  b  c  d  12   8a  4b  2c  d   27a  9b  3c  d  lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, 25 c MTBT cho ta kết quả: a  ; b   ; c  12; d  10 2  f ( x)  25 x  x  12 x  10  f (10)  2 Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư f(-1) = -18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = Bài 10: Cho đa thức P( x)  13 82 32 x  x  x  x  x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P(x)  ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x ( x  1)( x  2)( x  3( x  4) 2.5.7.9 Vì só nguyên liên tiếp tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: ( x  4)( x  3)( x  2)( x 1) x( x 1)( x  2)( x  3( x  4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên Bài 11: Cho hàm số f ( x )  4x Hãy tính tổng sau: 4x  a)      2001  S1  f   f     f    2002   2002   2002  b)   2   S  f  sin   f  sin 20 02  00     20 01     f  sin  00    H.Dẫn: * Với hàm số f(x) cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = f(a) + f(b) = * Áp dụng bổ đề trên, ta có: a) S   f      10 0    20 01    02    01   f       f   f    f   02 20 2 02 20         00        1 1 f    b) Ta có sin  2002      f     100   1000,     sin 2001 1000 1002 , , sin  sin 2002 2002 2002 Do đó:     2     2 0 0   0 1  S   f  sin   f  sin    f  sin    f  sin  0 2 0 2 0 2002                 f  sin  2002   1000     500   f  sin      f  sin  2002   2002     501     f  sin   2002       f  sin  2            2 500  500       f  sin   f  cos      f  sin   f  cos    f (1) 2002 2002 2002 2002              1      2  10 00   00 3 Tìm thương dư phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:  b  b  b  - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r  P     0.Q     r  r = P    a  a  a  Bài 12: Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Giải: 5 5 5 5 - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r  P    0.Q    r  r  P    r = P   2 2 2 2 5 Tính máy ta được: r = P   = 2 Bài toán 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: -2 -3 -5 -5 23 -118 * Tính máy tính giá trị sau: () SHIFT 0 -1 590 -2950 14751 -73756 M STO  ANPHA M + = (-5) : ghi giấy  ANPHA M + (23) : ghi giấy  ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118  ANPHA M + = (590) : ghi giấy  ANPHA M + = (-2950) :  ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751  ANPHA M - (-73756) : ghi giấy -73756 - = = -5 23 590 ghi giấy -2950 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải toán - Để tìm hệ số đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương phép chia đa b thức P(x) cho (x + ) sau nhân vào thương với ta đa thức thương cần tìm a a Bài 14: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Giải: 1  - Thực phép chia P(x) cho  x   , ta được: 2  1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x    x  x    Từ ta phân tích: 2  4  1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x    x  x    2  4  7 1 = (2x - 1)  x  x    8 2 Bài 15: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)  2  2 Ta có: P1     m   m   P1     3  3 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x   ta m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0  H.Dẫn: x0  1 nghiệm P(x) m =  P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 2 x0  1 nghiệm Q(x) n = Q1   , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 2 1 Tính máy ta được: m =  P1   = 2 1 ;n = Q1   = 2 Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: a) Giải tương tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x)  (x - 2) Q(x)  (x - 2)  R(x)  (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q 2(x) dư r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q 1(x), q2(x) số dư r1, r2 : 0 0 0    16  32 64   -1  16  16 64  Vậy: r2   16 128 16 256 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán ta dự đoán, ước đoán tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dãy số hình thành cho học sinh kỹ năng, tư thuật toán gần với lập trình tin học Sau số quy trình tính số hạng số dạng dãy số thường gặp chương trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng dãy số: 1) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n  N* f(n) biểu thức n cho trước Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT STO A - Lập công thức tính f(A) gán giá trị ô nhớ : - Lặp dấu bằng: A = A + = = Giải thích: SHIFT f(A) : STO A A = A : ghi giá trị n = vào ô nhớ A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thứ lần nhất) thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thứ hai) * Công thức lặp lại ấn dấu = Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: n n         un      ; n  1, 2,3        Giải: - Ta lập quy trình tính un sau: SHIFT STO A (  = ) ) ANPHA ( (  ) ( +  ANPHA )  ) A ) ANPHA  : ANPHA A ANPHA - ( ( A ANPHA + 1= A - Lặp lại phím: = = Ta kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u = 5, u6 = 8, u = 13, u8 = 21, u9 = 34, u 10 = 55 2) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng:  u1 = a   un+1 = f(un ) ; n  N* f(un) biểu thức un cho trước Cách lập quy trình: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - Nhập biểu thức un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ có un ta nhập ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = hình u1 = a lưu kết - Khi nhập biểu thức f(u n) phím ANS , bấm dấu = lần thứ máy thực tính u2 = f(u 1) lại lưu kết - Tiếp tục bấm dấu = ta số hạng dãy số u3, u4 Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:  u1   un    u n 1  u  , n  N * n  Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: (u1) = ANS + ) (  ( ANS + ) = (u2) = = - Ta giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:  u1  3  3  u n 1   u n  , n  N * Tìm số tự nhiên n nhỏ để u n số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: SHIFT ANS = =  = (u1) SHIFT (u2) = (u4 = 3) Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên 3) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng:  u1 = a, u2  b   un+2 = Au n+1+ Bu n + C ; n  N* 10 Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:  A + ANPHA A  B + C SHIFT  A + ANPHA B  B + C SHIFT STO B STO A Giải thích: Sau thực b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B ô nhớ A u2 = b, máy tính tổng u := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C đẩy vào ô nhớ B , hình là: u3 : = Au + Bu1 + C Sau thực hiện:  A + ANPHA A  B + C SHIFT STO A máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C đưa vào ô nhớ A Như ta có u4 hình ô nhớ A (trong ô nhớ B u3) Sau thực hiện:  A + ANPHA B  B + C SHIFT STO B máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C đưa vào ô nhớ B Như ta có u hình ô nhớ B (trong ô nhớ A u 4) Tiếp tục vòng lặp ta dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm 10 lần bấm phím tìm số hạng dãy số), thực quy trình sau: Bấm phím: b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B  A + ANPHA A  B + C SHIFT STO A  A +  B + C SHIFT STO B  ANPHA SHIFT B COPY Lặp dấu bằng: = = * Cách 2: Sử dụng cách lập công thức Bấm phím: a SHIFT A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA = ANPHA C B ANPHA 11 + C Lặp dấu bằng: = = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi:  u = 1, u    u n+2 = 3u n+1+ 4u n + ; n  N* Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: SHIFT  +  + SHIFT STO A STO B  + ANPHA A  + SHIFT  + ANPHA B  + SHIFT STO B  SHIFT STO A COPY = = ta dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hoặc thực quy trình: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA A ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA : ANPHA B ANPHA = = ta kết 12 ANPHA B = ANPHA C + 4) Dãy số cho hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: Trong f  n, u n   kí hiệu biểu thức u n+1 tính theo un n  u1 = a   un+1 = f   n, un   ; n  N* * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng dãy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un+1 - Lập công thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy - Lặp phím : = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi:  u1 =   n  u n+1 = n+1  u n +1  ; n  N* Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: SHIFT ANPHA C  ( SHIFT STO B STO A ANPHA ANPHA ANPHA A B = + ) ( ANPHA A : , 2, ( ANPHA A ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = ta dãy: 1, , + ) ) : ANPHA + ANPHA  , 3, , II/ Sử dụng MTBT việc giải số dạng toán dãy số: 1) Lập công thức số hạng tổng quát: Phương pháp giải: 13 - Lập quy trình MTBT để tính số số hạng dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm quy nạp  a1   n ( n  1)   an   ( n  2)( n  3) ( an  1) ;  Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: nN * Giải: - Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an), quy trình sau: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C  ( ( ( ANPHA = ANPHA A + ) ANPHA A ANPHA B +1 ) ( ANPHA ANPHA A : ANPHA + ) + ) ANPHA A ANPHA A + ANPHA : ANPHA B - Ta dãy: ( A ANPHA - Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a2 = 1.5   30 3.10 a3 = 2.7 2.7   20 40 4.10 a4 = 27 3.9  50 5.10  a2004            dự đoán công thức số hạng tổng quát: an  ( n  1)(2 n  1) 10( n  1) (1) * Dễ dàng chứng minh công thức (1) với n  N* quy nạp 2003.4009 20050 14  = ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 a1 = ) a1  1, a2   * an   2an  an  1; n  N Ví dụ 2: Xét dãy số: Chứng minh số A = 4an.an+2 + số phương Giải: - Tính số số hạng đầu dãy (an) quy trình: SHIFT STO A  - ANPHA A + SHIFT STO A  - ANPHA B + SHIFT STO B  SHIFT  - + SHIFT STO B COPY = = - Ta dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: 1(1  1) 2(2  1) a2   3(3  1) a3   4(4  1) a4  10  5(5  1) a5  15  a1             dự đoán công thức số hạng tổng quát: an  n( n  1) (1) * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) với n  N* Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2  A số phương Cách giải khác: Từ kết tìm số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh (*) 2) Dự đoán giới hạn dãy số: 2.1 Xét tính hội tụ dãy số: 15 Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính nhiều số hạng dãy số cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm số hạng dãy số giúp cho ta trực quan tốt hội tụ dãy số, từ hình thành nên cách giải toán Ví dụ 1: Xét hội tụ dãy số (an): an  sin( n ) ; n N * n 1 Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT sin STO A ANPHA A ( ANPHA : )  ANPHA A ( ANPHA A ANPHA = + ) ANPHA A + = = ta kết sau (độ xác 10 -9): n an n an n an n an 10 11 12 0,420735492 0,303099142 0,035280002 -0,151360499 -0,159820712 -0,039916499 0,082123324 0,109928694 0,041211848 -0,049456464 -0,083332517 -0,041274839 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0,030011931 0,06604049 0,04064299 -0,016935489 -0,053410971 -0,039525644 0,00749386 0,043473583 0,038029801 -0,000384839 -0,035259183 -0,036223134 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -0,005090451 0,028242905 0,034156283 0,009341578 -0,022121129 -0,031871987 -0,012626176 0,016709899 0,029409172 0,015116648 -0,011893963 -0,026804833 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 -0,016935214 0,007599194 0,024094884 0,018173491 -0,00377673 -0,021314454 -0,018903971 0,000393376 0,018497902 0,019186986 0,00257444 -0,015678666 - Biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ (n ; an): an n Dựa vào biểu diễn giúp cho ta rút nhận xét n lớn an gần (an 0) chất dãy hội tụ đến số 16 2.2 Dự đoán giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi:  u1    un 1   un ; n  N * có giới hạn Tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: = ( + ANS ) = = ta kết sau (độ xác 10 -9): n 10 un 1,414213562 1,847759065 1,961570561 1,990369453 1,997590912 1,999397637 1,999849404 1,999962351 1,999990588 1,999997647 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 un 1,999999412 1,999999853 1,999999963 1,999999991 1,999999998 1,999999999 2,000000000 2,000000000 2,000000000 2,000000000 Dựa vào kết ta nhận xét được: 1) Dãy số (un) dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn dãy số Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn (un) có giới hạn  dãy + Gọi giới hạn a: limu n = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số (u n) ta được: limu n = lim(  un ) hay a = a  a2 2a   a   a Vậy: lim un = 17 Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi:  x1  x2    2 2  xn1  5 xn 1  sin( xn ) , n  N * Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT STO A  (  SHIFT + ( SHIFT  x2  (  SHIFT   sin ( x2  (  SHIFT   sin (  SHIFT  ) ANPHA A ANPHA B  ) ) ) sin + SHIFT ) + SHIFT  ) ( ) SHIFT ( SHIFT  STO B  ) STO A ( SHIFT   ) STO B COPY = = ta tính số hạng đầu dãy số (xn) rút nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) dãy không giảm 2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ xác 10-9) 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho  ta nhận kết   dự đoán giới hạn dãy số Chứng minh nhận định trên:  + Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh xn (0 ; ) dãy (xn) không giảm  dãy (xn) có giới hạn + Gọi giới hạn a, ta có: 2 2 a a  sin(a ), (1) 5 2 2 x  sin( x)  x ) ta có (1) có + Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số f ( x )  5 nghiệm a =  Vậy: lim xn =  3) Một số dạng tập sử dụng ngoại khoá thi giải Toán MTBT: Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ): 18 n un 2    2    n a) Chứng minh u n nguyên với n tự nhiên b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) xác định bởi:  a o    a n 1  a n  15 a n  60 , n N * a) Xác định công thức số hạng tổng quát an b) Chứng minh số: A   a2 n   biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n  Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo  0, u1   un  1999un1  un , n  N Tìm tất số tự nhiên n cho u n số nguyên tố Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi:  a1  5, a  11   an 1  a n  3a n 1 , n  2, n  N Chứng minh rằng: a) Dãy số có vô số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi:  a1  a   a n21   a  , n  an   n  3, n  N Chứng minh an nguyên với n tự nhiên Bài 6: Dãy số (an) xác định theo công thức: n n n an     , n  N * ; (kí hiệu     phần nguyên số    )       Chứng minh dãy (an) dãy số nguyên lẻ 19 PHẦN III: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ Tính toán máy kết hợp giấy: Bài 1: a) Nêu phương pháp (kết hợp máy giấy) tính xác kết phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính xác A c) Tính xác số: B = 1234567892 d) Tính xác số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính máy tràn hình nên ta làm sau: A = 12578963.14375 = (12578.10 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính máy: 12578.14375 = 180808750  12578.103.14375 = 180808750000 * Tính máy: 963.14375 = 13843125 Từ ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính máy) Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 cộng máy: 808750000 + 13843125 = 822593125  A = 180822593125 b) Giá trị xác A là: 180822593125 c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính máy: 123452 = 152399025 2x12345x6789 = 67892 = 167620410 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.10 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.456 + 4563 Tính máy: 10233 = 1070599167 3.1023 2.456 = 1431651672 3.1023.4562 = 638155584 4563 = 94818816 Vậy (tính giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816 20 + ... 16 128 16 256 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết... giải toán Ví dụ 1: Xét hội tụ dãy số (an): an  sin( n ) ; n N * n 1 Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT sin STO A ANPHA A ( ANPHA : )  ANPHA A ( ANPHA A ANPHA = + ) ANPHA A + = = ta kết sau... 1  sin( xn ) , n  N * Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: MODE SHIFT STO A  (  SHIFT + ( SHIFT  x2  (  SHIFT   sin ( x2  (  SHIFT   sin (  SHIFT