Phương trình hệ phương trình và bất phương trình logarit

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 1 CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài 1: Giải phương trình: 2 log (x 2 +3x+2)+ 2 log (x 2 +7x+12)=3+ 2 log 3 (*) Giải Điều kiện: 2 2 x 3x 2 0 x 7x 12 0 ì + + > ï í + + > ï î Û 2 1 4 3 x x x x ì < - Ú > - í < - Ú > - î Û x<-4 Ú x>-1 Ta có: (*) 2 2 3 2 2 log ( 3 2).( 7 12) log (3.2 ) x x x xÛ + + + + = Cho a> 0, a ¹ 1và 1 N , 2 N ,N > 0, M Î R · Định nghĩa: a M = N Û log a N =M · Tính chất: log a ( 1 N . 2 N )= log a 1 N + log a 2 N log a 1 2 N N = log a 1 N - log a 2 N log a N a = a log a N(với a Î R) · Công thức đổi cơ số: a,b,c >0 và a,b,c ¹ 1 log a N= log log b b N a Hay log a N= log a b. log b N Hệ quả log a b= 1 log b a ; a a log .N= a a Î 1 log ( ) a N R b log c a = b log a c Cách 1: Áp dụng công thức log a u(x) = b Û 0 1 ( ) b a a u x ì < ¹ ï í = ï î log a u(x) = log a v(x) Û ì < ¹ ï > í ï = î 0 1 ( ) 0 ( ) ( ) a u x u x v x TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH Trang 2 [ 2 2 4 3 2 2 ( 3 2).( 7 12) 24 10 35 50 0 ( 5)( 5 10) 0 x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + = + + + = x = 0 x= - 5 (nhn so iu kin) Bi 2:Gii phng trỡnh log 5 x+log 3 x = log 5 3.log 9 225 (*) Gii: Ta cú: (*) + = + = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 log 1 log log 3.log 15 log (1 ) log 3.log 15 log 3 log 3 x x x ổ ử + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 5 5 5 5 log 3 1 log log 15 log 3 x = 5 5 5 5 log 15 log log 15 log 3 x 5 5 log log 3 x = x = 3(nhn so iu kin x >0) Bi 3: Gii phng trỡnh: ( ) 2 2 9 3 3 1 1 log 5x 6 log log 3 2 2 x x x - - + = + - (*) Gii iu kin: 1 2 3 x x x ỡ > ớ ạ ạ ợ Ta cú: (*) 2 3 3 3 1 log 5x 6 log log 3 2 x x x - - + = + - 3 3 3 ( 1) log 2 3 log 2 x x x x - - - - = 2 3 x x - - = 1 3 ( 1) 2 x x - - 3 0 2 2 1 x x x ộ - = ờ ờ - = - ở = 3(loaùi) 2(x-2)=x-1 2(x-2)=1-x x x = 3(loi) & x= 5 3 (nhn so vi iu kin) x = 5 3 Bi 4: Gii phng trỡnh: 2 ( ) ( ) 2 9 3 3 log log .log 2 1 1 x x x = + - (*) Gii iu kin: 0 1 2 2 1 1 x x x ỡ > ù ù - ớ ù ù + > ợ 0 2x 1 1 x ỡ > ớ + > ợ x>0 TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 3 Ta có:(*) Û ( ) = + - 2 3 3 3 1 log log .log ( 2 1 1) 2 x x x Û 3 3 3 log 0 1 log log 2 1 1 2 x x x é = ê ê = + - ê ë Û 1 2 1 1 x x x é = ê = + - ê ë Û 1 1 2 1 x x x é = ê + = + ê ë Û 1 1 2 2x 1 x x x é = ê + + = + ê ë Û 1 2 x x x é = ê = ê ë Û x = 1 Ú 4x = x 2 Û x = 1 Ú x = 4 Ú x = 0(loại) Û x = 1 Ú x = 4 Bài 5: Giải phương trình: 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log (4 ) x x x + + = + + + (*) Giải Điều kiện: ( ) 2 1 0 4 0 4 0 x x x ì + > ï ï - > í ï + > ï î Û ì ¹ - í - < < î 1 4 4 x x Ta có: (*) Û 2 2 2 2 2 log 1 log 2 log (4 ) log (4 ) x x x + + = - + + Û 2 2 2 log 4 1 log (16 ) x x + = - Û 2 2 4 1 16 16 0 x x x ì + = - ï í - > ï î Û 2 2) 16 0 4( 1) (16 x x x ì - > ï í + = ± - ï î Û 2 2 4 4 4x 12 0 4x 20 0 x x x ì - < < ï í + - = Ú - - = ï î Û 4 4 6 2 2 2 6 x x x x ì - < < ï í = - Ú = Ú = ± ï î Û 2 2 x x = Ú = - 2 6 (Nhận so với điều kiện ban đầu) Cách 2 ĐẶT ẨN PHỤ: Bài 6: Giải hệ phương trình: + = 2 2 log 2 log 4x 3 X (*) TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 4 Giải Điều kiện: 2 0 2 1 4x 0 x x ì > ï ï ï ¹ í ï > ï ï î Û 0 2 x x ì > í ¹ î Ta có: = = - 2 2 2 1 1 log 2 2 1 log log X x x Và 2 2 2 2 log 4x log 4 log 2 log x x = + = + Đặt t = 2 log x thì phương trình(*) thành: 1 2 3( 1) 1 t t t + + = ¹ - Û 1 1 0 1 t t + - = - Û 2 2 0 t t - + = Û 0 2 t t = Ú = Vậy 0 2 log 0 2 1 x x = Û = = 2 log 2 4 x x = Û = Þ (nhận so với điều kiện) Bài 7: : Giải hệ phương trình: ( ) ( ) + + = - - 1 2 1 2 log 4 4 log 2 3 x x x (*) Giải Đặt t = 2 x > 0 2 log x t Þ = Phương trình(*) thành : + = + - 2 2 2 2 log ( 4) log log (2 3) t t t Û ( ) 2 2 2 3 2 log 4 log (2 3) t t t t ì > ï í ï + = - î Û 2 3 2 4 (2 3) t t t t ì > ï í ï + = - î Û 2 3 2 3 4 0 t t t ì > ï í ï - - = î Û t = 4 Vậy 2 x = 4 Û x = 2 Bài 8: Giải phương trình: ( ) 1 3 3 log 3 1 .log (3 3) 6 x x+ - - = (*) Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006 Giải Ta có: (*) Û 3 3 3 1 log ( 1).log 3( 1) 6 x t t t ì = > ï í - - = ï î Û ì ì = > = > ï ï Û í í - + - - + - - = ï ï î î 2 3 3 3 3 3 3 1 3 1 log ( 1).[log 3 log ( 1)]=6 log ( 1) log ( 1) 6 0 x x t t t t t t TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 5 Û 3 3 3 1 log ( 1) 3 log ( 1) 2 x t t t ì = > ï í - = - Ú - = ï î Û - ì = > ï í - = = Ú - = ï î 3 2 3 1 1 1 3 1 3 27 x t t t Û 3 1 28 10 27 x t t t ì = > ï í = Ú = ï î Û 28 3 3 10 27 x x = Ú = Û 3 28 log log10 27 x x= Ú = Bài 9: Giải hương trình: ( ) 2 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x + + + = - (*) Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007 Giải Ta có: (*) Û ( ) 2 2 2 3 2 4 log 4 15.2 27 log (4.2 3) x x x x ì > ï í ï + + = - î Û ( ) 2 2 3 2 4 15 27 4 3 x t t t t ì = > ï í ï + + = - î Û 2 3 2 4 15 39 18 0 x t t t ì = > ï í ï - - = î Û 3 2 4 2 3 5 x t t t ì = > ï ï í ï = Ú = - ï î Û = = Û 2 3 x t 2 log 3 x = Bài 10: Giải phương trình: 2 2 2x 1 1 log (2x 1) log (2x 1) 4 x x - + + - + - = (*) Đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008 Giải Điều kiện: x> 1 2 và 1 x ¹ Phương trình đã cho: Û 2x 1 log - ( ) ( ) 2x 1 1 x - + +2 1 log (2x 1) 4 x+ - = Û 1+ 2x 1 log - (x+1)+ = + 2x-1 2 4 log ( 1)x Đặt t = 2x 1 log - (x+1) ta có phương trình TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH Trang 6 t+ 2 t =3 t 2 -3t+2=0 t = 1 t = 2 Vi t = 1 ta cú 2x 1 log - (x+1) = 1 2x- 1 = x+1 x = 2 Vi t = 2 ta cú 2x 1 log - (x+1) = 2 x+1 = (2x- 1) 2 4x 2 5x = 0 0(loaùi) 5 ( ) 4 x x nhaọn ộ = ờ ờ = ờ ở Do ú: Phng trỡnh(*) x = 2 5 4 x = Bi 11: Gii phng trỡnh: 2 2 2 2 log 2x log 6 log 4x 4 2.3x- = (*) Gii iu kin: x> 0. Ta cú: (*) 2 2 2 1 log log 2 2log 4 6 2.3 x x x + + - = 2 2 2 log log log 4.4 6 18.9 x x x - = log 2 2 log 3 9 4 18. 2 4 x x ổ ử ổ ử - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 2 2 2 log log log 2 2 3 3 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 4 1 4 18 18 4 0 9 2 x x x t t t t t t t t t ỡ ỡ ỡ = > ù = > = > ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù = = - - = + - = ợ ợ ù ợ Vy 2 log 2 2 3 4 3 ( ) ( ) log 2 2 9 2 x x- = = = - 1 4 x = (nhn so vi iu kin x > 0) Bi 12. Gii phng trỡnh: Log 3x+7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log 2x+3 (6x 2 + 23x + 21) = 4 (*) Gii. iu kin: 2 2 2 9 12 4 (3 2 ) 0 3 7 0 3 7 1 7 3 6 23 21 6( )( ) 0 3 2 2 3 0 2 3 1 x x x x x x x x x x x ỡ + + = + > ù + > + ạ ù ù ớ + + = + + > ù ù + > + ạ ù ợ (loi) TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 7 Û 3 2 7 2 3 7 3 3 2 3 1 2 x x x x x x x ì ¹ - ï ï ï > - Ù ¹ - ï í ï < - Ú > - ï ï ï > - Ù ¹ - î Û 3 2 1 x x ì > - ï í ï ¹ - î Ta có : (*) Û log 3x+7 (2x + 3) 2 + log 2x+3 (3x + 7)(2x + 3) = 4 Û 2log 3x+7 (2x + 3) + log 2x+3 (3x + 7) = 3 Û 3 7 log (2 3) 1 2 3 x t x t t + = + ì ï í + = ï î Û 3 7 2 log (2 3) 2 3 1 0 x t x t t + = + ì í - + = î Û t = log 3x+7 (2x + 3) = 1 ٧ t = log 3x+7 (2x + 3) = Û 3x + 7 = 2x + 3 ٧ = 2x + 3 Û x = 4 (loại) ٧ 4x 2 + 9x + 2 = 0 Û x = 2 (loại) ٧ x = Û x = Bài 13. Giải phương trình: 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x + + - = + (*) Giải. Điều kiện: x Ta có: 2 2 2 log log log (2 2) .(2 2) 2 x x x x + - = = Đặt 2 log (2 2) x t = + (điều kiện t ) Thì 2 log (2 2) x x t + = Phương trình (*) thành: 2 2 1 x t x t + = + Û t 2 – (1 + x 2 )t + x 2 = 0 Û t = 1 ٧ t = x 2 Do đó: Û log 2 x = 0 Û x = 2 0 = 1 (nhận so với điều kiện) + 2 log 2 (2 2) x x + = Û log 2 x . log 2 (2 2) + = 2 log 2 x TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 8 Û log 2 x . [log (2 2) 2] ¶ + - = 0 Û log 2 x = 0 Û x = 1 (nhận so với điều kiện) Do đó nghiệm của phương trình (*) là x = 1 Cách 3: NHẪM NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT Bài 14. Giải phương trình: log 5 x = log 7 (x + 2) (*) Giải. Điều kiện: x > 0 Đặt t = log 5 x Û x = 5 t Phương trình (*) trở thành: t = log 7 (5 t + 2) Û 7 t = 5 t + 2 Û 5 1 1 ( ) 2( ) 7 7 t t = + (**) Nhẩm thấy t = 1 là nghiệm phương trình. Mặt khác y = 5 1 ( ) 2( ) 7 7 t t + là hàm giảm trên R y = 1 là hàm hằng Do đó t = 1 là nghiệm duy nhất của (**) Ta có: t = 1 Û x = 5 t = 5 là nghiệm của (*) Bài 15. Giải phương trình: log 3 2 2 3 2 4 5 x x x x + + + + = x 2 + 3x + 2 (*) Giải. Đặt u = x 2 + x + 3 > 0 v = 2x 2 + 4x + 5 > 0 thì v – u = x 2 + 3x +2 Phương trình (*) thành: log 3 = v – u Û log 3 u – log 3 v = v – u (**) + Khi u = v thì (**) nghiệm đúng + Khi u > v: vế trái log 3 u – log 3 v > 0 Vế phải v – u > 0 Phương trình (**) không nghiệm đúng + Khi u < v thì vế trái log 3 u – log 3 v < 0 Vế phải v – u > 0 Phương trình (**) không nghiệm đúng Do u = v nên x 2 + x + 3 = 2x 2 + 4x + 5 Û x 2 + 3x + 2 = 0 Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = -1, x = 2 Bài 16. Giải phương trình: log 3 (x 2 + x + 1) – log 3 x = 2x – x 2 (*) Giải. TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 9 (*) Û 2 2 3 0 1 log 2 x x x x x x > ì ï í + + = - ï î Û 2 2 0 1 32 x x x x x x - > ì ï í + + = ï î Xét y = f(x) = 2 1 x x x + + = x + 1 + với x > 0 Û f’(x) = 1 2 2 2 1 1 x x x - - = x 0 1 f’ + 0 0 + f CT 3 Do đó f(x) 3 0 x ³ " > (1), Dấu = xảy ra Û x = 1 Xét y = g(x) = 2 2 3 x x - với x > 0 Û g’(x) = (2 – 2x) 2 2 3 ln3 x x- x 0 1 g’ + + 0 g 3 CĐ Do đó g(x) 3 0 x £ " > (2), dấu = xảy ra Û x = 1 Từ (1) và (2) Û 2 2 2 1 3 3 x x x x x - + + ³ ³ Vậy 2 2 2 1 3 x x x x x - + + = = 3 Û x = 1 Do đó (*) Û x = 1 Bài 17. Cho phương trình: 2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m + + - - = (1) a. Giải phương trình khi m = 2 b. Tìm m để (1) có ít nhất một nghiệm trên 3 [1,3 ] Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2002 Giải. Điều kiện x > 0 Đặt 2 2 2 3 3 log 1( 1) log 1 t x t x t = + ³ Û = - Lúc đó phương trình (1) trở thành: t 2 + t – 2m – 2 = 0 (2) a/ Khi m = 2 ta có phương trình: t 2 + t – 6 = 0 Û t = -3 (loại) Ú t = 2 Vậy 2 3 3 3 log 3 log 3 3 x x x ± = Û = ± Û = TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH Trang 10 b/ Khi 3 1 3 x£ £ thì 3 0 log 3 x£ £ 2 2 3 1 log 1 4 1 2 t x t Û £ = + £ Û £ £ Ta có: (2) Û t 2 + t – 2 = 2m Đặt y = f(t) = t 2 + t – 2 với t [1,2] Î Thì f’(t) = 2t + 1 x 1 2 f’ 0 + f 4 0 (d) Yêu cầu bài toán Û y = 2m (d) cắt (C) y = f(x) trên [1,2] Û 0 2 4 0 2 m m £ £ Û £ £ Bài 18. Cho phương trình: 2 1 1 2 2 ( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0 m x m x m - - - - - + - = (1) Tìm m để (1) có nghiệm x 1 , x 2 thỏa 1 2 2 4 x x < £ < Giải. Đặt t = log 2 (x – 2) với x > 2 (1) thành (m – 1)t 2 + (m – 5)t + m – 1 = 0 (2) Ta có: (1) hai nghiệm x 1 , x 2 mà 1 2 1 2 2 4 0 2 2 2 x x x x < £ < Û < - £ - < Û log 2 (x 1 – 2) 2 2 log ( 2) x £ - < 1 (2) Û có 2 nghiệm t 1 , t 2 mà t 1 < t 2 < 1 Ta có: (2) Û (t 2 + t + 1)m = t 2 + 5t +1 Û m = 2 2 5 1 1 t t t t + + + + (do t 2 + t + 1 Xét y = 2 2 5 1 1 t t t t + + + + (C) và (d) y = m trên miền D = ( Ta có: y’ = 2 2 2 4 4 ( 1) t t t - + + + t 1 y’ 0 + 0 y 1 -3 Yêu cầu bài toán Û (d) và (C) có 2 điểm chung Û -3 . CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bài 1: Giải phương trình: 2 log (x 2 +3x+2)+ 2 log (x 2 +7x+12)=3+ 2 log 3. 11 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOG Bài 1. Giải hệ phương trình: 8 8 log log 4 4 4 log log 1 y x x y x y ì + = í - = î (*) Giải. Điều kiện: x, y > 0 Do 8 8 log log y x x y+ Hệ (*) 8 log 8. î Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 3 3 3 log 3 log log 2 2 log 12 log log 3 x x y y y x x y ì + = + ï ï í ï + = + ï î Giải. Điều kiện: x > 0 Ù y >0 Hệ phương trình Û 2 2