Phương trình và bất phương vô tỉ, hệ phương trình

bai tap phuong trinh va he phuong trinh vo ti

Trần Thanh Phong 12a2 Chuyên đề Phương trình và bất phương vô tỉ, hệ phương trình Và hệ bất phương trình Phần I: Phương trình vô tỉ Phuong pháp 1: Ph ương pháp giải dạng cơ bản: 1/ ( ) ( ) f x g x= ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x g x ≥    =   2/ ( ) ( ) ( ) f x g x h x+ = Bình phương hai vế 2(ĐH -1999) 2 2 x x 11 31+ + = 3-(HVNHHCM-1999) 2 x 4x 2 2x − + + = 4-(ĐH -1999) giải và biện luận phương trình: 2 m x 3x 2 x− − + = 5-(ĐH KB-2006)Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 x mx 2 2x 1+ + = + 6) 5x 1 3x 2 x 1 0− − − − − = 7- ( ) ( ) 2 x x 1 x x 2 2 x− + + = 8 x 3 2x 1 3x 2+ − − = − 9-( 3x 4 2x 1 x 3+ − + = + 10- 2 2 3 x x 2 x x 1− + − + − = Phương pháp giải:phương pháp phổ biến: I Đặt ẩn phụ đưa pt về pt theo ẩn phụ Dạng 1: Pt dạng: 2 2 ax bx c px qx r+ + = + + trong đó a b p q = Cách giải: Đặt 2 t px qx r= + + với t 0≥ 1-(ĐH ngoại thương -2000) ( ) ( ) 2 x 5 2 x 3 x 3x+ − = + 2- ` ( ) ( ) 2 x 4 x 1 3 x 5x 2 6+ + − + + = 3 2 (x 1)(2 x) 1 2x 2x+ − = + − 4- 2 2 4x 10x 9 5 2x 5x 3+ + = + + 5- 3 2 2 18x 18x 5 3 9x 9x 2− + = − + 6- 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 1 Trần Thanh Phong 12a2 Dạng hai: Pt Dạng: P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0α +β + γ = ( ) 0 αβγ ≠ C¸ch gi¶i: * Nếu ( ) P x 0 = ( ) ( ) P x 0 pt Q x 0 =   ⇒ ⇔  =   * Nếu ( ) P x 0 ≠ chia hai vế cho ( ) P x sau đó đặt ( ) ( ) Q x t P x = t 0≥ 1-(KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − 2- ( ) 2 3 2 x 3x 2 3 x 8− + = + 3- ( ) 2 3 2 x 2 5 x 1+ = + Dạng 3: Pt dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 P x Q x P x Q x 2 P x .Q x 0 0 α + +β ± ± α + γ = α +β ≠ Cách giải: đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t P x Q x t P x Q x 2 P x .Q x= ± ⇒ = + ± 1-(§HQGHN-2000) 2 2 1 x x x 1 x 3 + − = + − 2-(HVKTQS-1999) 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − + 3- ` 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16+ + + = + + + − 4- 2 4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16+ + + = + + + − 5-( 2 x 2 x 2 2 x 4 2x 2 − − + = − − + Dạng 4: Pt dạng: ( ) ( ) a cx b cx d a cx b cx n+ + − + + − = Trong đó a,b,c,d,n là các hằng số , c 0,d 0> ≠ Cách giải : Đặt ( ) t a cx b cx( a b t 2 a b= + + − + ≤ ≤ + 1-(§H Má-2001) 2 2 x 4 x 2 3x 4 x+ − = + − 2- ( ) ( ) 3 x 6 x 3 x 6 x 3+ + − − + − = 3-(§HSP Vinh-2000) Cho pt: ( ) ( ) x 1 3 x x 1 3 x m+ + − − + − = 2 Trần Thanh Phong 12a2 a/ giải pt khi m 2= b/ tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm 4-(§HKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a+ + − + + − = a/Gpt khi a 3= b/ tìm các giá trị của a để pt có nghiệm 5-( -1999) tìm các giá trị của m để pt có nghiệm x 1 3 x (x 1)(3 x) m− + − + − − = 6-(2001) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5+ + − + + − = Dạng 5: Pt dạng: 2 2 x a b 2a x b x a b 2a x b cx m+ − + − + + − − − = + Trong đó a,b,c,m là hằng số với a 0≠ C¸ch gi¶i : đặt t x b= − §K: t 0≥ đưa pt về dạng: 2 t a t a c(t b) m+ + − = + + 1-(Đh Vinh-2000) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1− + − − − − − = 2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − − − − = 3-(ĐHCĐKD-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + − + = 4-( -2001) x 5 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 + + + + + + − + = 5- x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 + + − + − − = 6- Xét pt: x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + − + − − = a/ Giải pt khi m 23= b/ tìm các gt của m để pt có nghiệm II-Sử dụng ần phụ đưa pt về ần phụ đó, còn ẩn ban đầu coi là tham số 1- ( ) 2 2 6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0− + − − − + = 2 ( ) 2 2 x 3 10 x x x 12+ − = − − 3- ( ) 2 2 2 1 x x 2x 1 x 2x 1− + − = − − 4- ( ) 2 2 4x 1 x 1 2x 2x 1− + = + + 5- ( ) 2 2 2 1 x x x 1 x 3x 1− + + = − − 6-(§HQG-HVNH KA-2001) 2 2 x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + + III-Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ pt: Dạng 1: Pt Dạng: n n x a b bx a+ = − 3 Trần Thanh Phong 12a2 Cách giải: đặt n y bx a = − khi đó ta có hệ: n n x by a 0 y bx a 0  − + =   − + =   1- 2 x 1 x 1− = + 2- 2 x x 5 5+ + = 3- 2 x 2002 2002x 2001 2001 0− − + = 4- 3 3 x 1 2 2x 1+ = − Dạng 2: Pt dạng: ( ) 2 ax b r ux v dx e+ = + + + trong đó a,u,r 0≠ Vµ u ar d, v br e= + = + Cách giải: đặt uy v ax b + = + khiđó ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 uy v r ux v dx e ax b uy v  + = + + +   + = +   1-(§HC§ KD-2006) 2 2x 1 x 3x 1 0− + − + = 2- 2 2x 15 32x 32x 20+ = + − 3- 2 3x 1 4x 13x 5+ = − + − 4- 2 x 5 x 4x 3+ = − − 5- 2 x 2 x 2= − + 6- 2 x 1 3 x x− = + − Dạng 3: PT Dạng: ( ) ( ) n m a f x b f x c− + + = Cách giải: đặt ( ) ( ) n m u a f x ,v b f x= − = + khi đó ta có hệ: n m u v c u v a b + =   + = +  1-( -2000) 3 2 x 1 x 1− = − − 2- 3 3 x 34 x 3 1+ − − = 3- 3 x 2 x 1 3− + + = 4- 4 4 97 x x 5− + = 5- 4 4 18 x x 1 3− + − = Phương pháp 3: Nhân lượng liên hợp Dạng 1: Pt Dạng: ( ) ( ) f x a f x b+ ± = Cách giải: nhân lượng liên hợp của vế trái ta được hệ pt: ( ) ( ) ( ) ( ) f x a f x b f x a f x a b  + ± =   + =   m 1- 2 2 4x 5x 1 4x 5x 7 3+ + + + + = 2- 2 2 3x 5x 1 3x 5x 7 2+ + − + − = 3- 2 2 3 x x 2 x x 1− + − + − = 4 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = 4 Trần Thanh Phong 12a2 5-( -2001) 1 1 1 x 4 x 2 x 2 x + = + + + + + Dạng 2: Ptdạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x m f x g x± = − 1-(HVBCVT-2001) x 3 4x 1 3x 2 5 + + − − = 2-(HVKTQS-2001) 3(2 x 2) 2x x 6+ − = + + Phương pháp 4:Phương pháp đánh giá: 1- 2 x 2 4 x x 6x 11− + − = − + 2- 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 2 + − + − + = − + 3- 2 4x 1 4x 1 1 − + − = 4- 2 x 2x 5 x 1 2− + + − = Phương pháp 5 :Phương pháp cần và đủ: 1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x 2 x m+ − = 2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 9 x m− + − = 3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 4 x 1 x x 1 x m+ − + + − = Phương pháp 6 : phương pháp sử dụng đạo hàm) 1-tìm m để pt sau có nghiệm: ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − 2- -Tìm m đề các phương trình sau có nghiệm : 1*/ 2 4 x mx m 2− = − + 2*/ x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + − − − − − = + : 3 ) 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1 − + + = − 4-) CMR m 0∀ > pt saucó 2 nghiệm pb: 2 x 2x 8 m(x 2)+ − = − 5- 1*/ x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + = 2*/ 3 x 1 x 4x 5− = − − + 3*/ 2 2x 1 x 3 4 x− + + = − 6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: 2 2 x 2x 4 x 2x 4 m+ + − − + = Phần II: Bất phương trình vô tỉ Phương pháp 1:phương pháp giải dạng cơ bản: 5 Trần Thanh Phong 12a2 1/ 2 g(x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g (x) <     ≥   > ⇔  ≥    >    2/ 2 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) g (x)  <  < ⇔ ≥   <  3/ f (x) g(x) h(x)± ≥ bình phương hai vế bpt 1-(ĐHQG-1997) 2 x 6x 5 8 2x− + − > − 2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x− ≤ − 3-(ĐH 1998) 2 x 2x 1 1 x− + > − 4-(ĐH -2000) (x 1)(4 x) x 2+ − > − 5-(ĐH ) x 5 x 4 x 3+ − + > + 6-(ĐHCĐKA2005) 5x 1 x 1 2x 4− − − > − 7-(ĐH Ngoai thương-2000) x 3 2x 8 7 x+ ≥ − + − 8-(ĐH -2000) x 2 3 x 5 2x+ − − < − 9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 4x 1 3 x− − − ≤ 10-(ĐHBK -1999) x 1 3 x 4+ > − + 11-(ĐHCĐ KA-2004) 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 − − + − > − − Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương 1/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) >  > ⇔  >  hoặc f (x) 0 g(x) 0 <   <  2/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) >  < ⇔  <  hoặc f (x) 0 g(x) 0 <   >  Lưu ý: 1*/ 2 B 0 A 1 B A B >  > ⇔  >  2*/ B 0 A 1 A 0 B <  < ⇔  ≥  hay 2 B 0 A 0 A B  >  ≥   <  6 Trần Thanh Phong 12a2 1-( ĐHTCKT-1998) 2 51 2x x 1 1 x − − < − 2-(ĐHXD) 2 3x x 4 2 2 x − + + + < 3-(ĐH -1998) 2 1 1 4x 3 x − − < 4-(ĐHSP) 2 x 4x 3 2 x − + − ≥ Phương pháp 2: Nhân lượng liên hợp 1-(SP Vinh-2001) ( ) 2 2 x x 4 1 1 x > − + + 2-( -1999) ( ) 2 2x x 21 3 9 2x 2 < + − + 3- 2 2 4(x 1) (2x 10)(1 3 2x)+ < + − + Phương pháp 3 : xác định nhân tử chung của hai vế: 1-(ĐH An ninh -1998) 2 2 2 x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ − + + − ≤ + − 2-(ĐHBK-2000) 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + ≤ + + 3-(ĐH DƯỢC -2000) 2 2 2 x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18− + + + − ≤ − + 4-(ĐH KIẾN TRÚC -2001) 2 2 x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ − PhƯƠNG PHÁP 4 : Đặt ẩn phụ: 1)- 2 2 5x 10x 1 7 x 2x+ + ≥ − − 2)- 2 2 2x 4x 3 3 2x x 1+ + − − > 3- 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + + 4) 2 2 2x x 5x 6 10x 15+ − − > + 5)- 2 2 x(x 4) x 4x (x 2) 2− − + + − < 6)- 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + − 7) 2 1 4 x 2x 2 2x x + < + + 8-) x 2 x 1 x 2 x 1 3 2+ − + − − > 9- Cho bpt: 2 4 (4 x)(2 x) x 2x a 18− − + ≤ − + − a/ Giải bpt khi a 6= b/Tìm a để bpt có nghiệm đúng [ ] x 2;4 ∀ ∈ − 7 Trần Thanh Phong 12a2 10-Xác định m đề bpt sau thỏa mãn trên đoạn đã chỉ ra: 2 (4 x)(6 x) x 2x m+ − ≤ − + trªn [ ] 4;6 − Phương pháp 5: phương pháp hàm số: 1-(ĐHninh-2000) 2 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + − + + − < − 2- 2 x x 7 2 x 7x 35 2x+ + + + < − 3- 2 x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x+ + + + + + < − 4-Xác định m để phương trình sau có nhiệm a/ 4x 2 16 4x m− + − ≤ b/ 2 2x 1 m x+ ≤ − Phần III: Hệ phương trình A- Một số hệ phương trình cơ bản I-Hệ pt đối xứng loại 1 1*/định nghĩa: f (x;y) 0 g(x; y) 0 =   =  Trong đó f (x; y) f (y;x),g(x; y) g(y;x)= = 2*/ Cách giải § đặt S x y,P xy= + = Đk: 2 S 4P≥ Dạng 1 : giải pt 1-(ĐHQG-2000) 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28 + + =   + + + =  2- x y y x 30 x x y y 35  + =   + =   3-(ĐHGTVT-2000) 2 2 x y xy 11 x y y x 30 + + =   + =  4-(ĐHSP-2000) 2 2 4 4 2 2 x y xy 7 x y x y 21  + + =   + + =   5- (ĐH NGOẠI THƯƠNG-1997) 2 2 2 2 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 9 x y  + + + =     + + + =   6-( -1998) 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13  + =   − + =   7-(ĐHCĐKA-2006) x y xy 3 x 1 y 1 4  + − =   + + + =   8 Trần Thanh Phong 12a2 Dạng 2 : tìm đk để pt có nghiệm: 1-(ĐHCĐKD-2004) tìm m để pt sau có nghiệm: x y 1 x x y y 1 3m  + =   + = −   2- tìm a để pt sau có nghiệm: 2 2 x y xy a x y a + + =   + =  3-Cho hệ pt: 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m  + + + =  + + =  a/ Giải hệ ptkhi m 12= b/ Tìm m để hệ pt co nghiệm 4-Cho hÖ pt: 2 2 x xy y m 1 x y y x m + + = +   + =  a/ Giải hệ khi m=-2 b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm ( ) x;y thỏa mãn x 0, y 0> > 5- Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm: ( ) 2 2 2 x y 2(1 m) x y 4  + = +   + =   6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y  + + + =     + + + = −   Dạng 3 : tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất. 1-(HHVKTQS-2000) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2 x y xy m 2 x y y x m 1 + + = +   + = +  2-(§HQGHN-1999) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: 2 x xy y 2m 1 xy(x y) m m + + = +   + = +  3- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2)  + = +  + + = +  Dạng 4 ; hệ pt đối xứng 3 ẩn số: 9 Trần Thanh Phong 12a2 Nếu ba số x, y,z thoả mãn x y z p,xy yz zx q, xyz r+ + = + + = = thì chúng là Nghiệm của pt: 3 2 t pt qt r 0− + − = 1-Giải các hệ pt sau : a/ 3 3 3 x y z 1 xy yz zx 4 x y z 1  + + =  + + = −   + + =  b/ 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1 + + =   + + =   + + =  c/ x y z 9 xy yz zx 27 1 1 1 1 x y z   + + =   + + =    + + =   2- Cho hệ pt: 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4  + + =  + + =  Giả sử hệ có nghiệm duy nhất CMR: 8 8 x, y,z 3 3 − ≤ ≤ II-Hệ pt đối xứng loại hai: 1*/ Định nghĩa f (x;y) 0 g(x; y) 0 =   =  trong đó : f (x; y) g(y;x),f (y;x) g(x; y)= = 2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x;y) 0 f (x; y) 0 f (x;y) 0 − = − =   ⇔ ⇔   = =   x y 0 f (x; y) 0 − =  ⇔  =  hay h(x;y) 0 f (x;y) 0 =   =  Dạng 1: Giải pt 1-(ĐHQGHN-1997) y x 3y 4 x x y 3x 4 y  − =     − =   2-(ĐHQGHN-1998) 3 3 x 3x 8y y 3y 8x  = +   = +   3-(ĐHQGHN-1999) 1 3 2x y x 1 3 2y x y  + =     + =   4-(ĐH Thái nguyên-2001) 3 3 x 1 2y y 1 2x  + =   + =   10 . Trần Thanh Phong 12a2 Chuyên đề Phương trình và bất phương vô tỉ, hệ phương trình Và hệ bất phương trình Phần I: Phương trình vô tỉ Phuong pháp 1: Ph ương. 4-Xác định m để phương trình sau có nhiệm a/ 4x 2 16 4x m− + − ≤ b/ 2 2x 1 m x+ ≤ − Phần III: Hệ phương trình A- Một số hệ phương trình cơ bản I -Hệ pt đối xứng