UỐN PHẲNG THANH THẲNG ppt

 Nếu trục của dầm sau khi bị uốn cong mà vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm mặt phẳng chứa trục dầm và trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang thì sự uốn đó gọi

2 Bài giảng, tài liệu hướng dẫn thí nghiệm.

3 Tài liệu tham khảo:

• LÊ HOÀNG TUẤN - BÙI CÔNG THÀNH SBVL Tập 1 Nhà XB

Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh (Từ trang 97 đến trang 117)

• NGUYỄN VĂN NHẬM - ĐINH DĂNG MIỄN SBVL NXB Đại học

và Trung học chuyên nghiệp (Từ trang 135 đến trang 168)

NỘI DUNG - PHƯƠNG PHÁP:

Bài giảng phần Lý thuyết chia làm 2 cặp tiết:

1 Cặp tiết thứ nhất gồm: Những khái niệm cơ bản và phần uốn thuần tuý phẳng

2 Cặp tiết thứ 2 gồm: Phần uốn ngang phẳng và hướng dẫn nghiên cứu

(Cặp tiết thứ nhất)

KHÁI NIỆM VỀ UỐN PHẲNG.

UỐN THUẦN TUÝ PHẲNG

xe, xà nhà, dầm cầu vv Ngoại lực gây nên uốn có thể là lực tập trung hay phân

bố có phương tác dụng vuông góc với trục thanh hay là những mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh

• Giới hạn nghiên cứu:

- Mặt cắt ngang của thanh có ít nhất 1 trục đối xứng Trên suốt chiều dài thanh có 1 mặt đối xứng tạo nên bởi trục đối xứng và trục thanh (nó cũng là mặt phẳng quán tính trung tâm) Ta giả thuyết ngoại lực tác dụng lên thanh nằm trong mặt phẳng đối xứng

- Mặt cắt ngang có bề rộng bé hơn so với chiều cao

• Một số định nghã khác:

 Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa trục dầm và chứa tải trọng

 Đường tải trọng: là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang

 Nếu trục của dầm sau khi bị uốn cong mà vẫn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm (mặt phẳng chứa trục dầm và trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang) thì sự uốn đó gọi là uốn phẳng hay uốn đơn

2 Phân loại:

Có 2 loại uốn phẳng như sau:

 Uốn thuần tuý phẳng: Một thanh được gọi là uốn thuần tuý phẳng là

khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có 1 thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt quán tính chính trung tâm

 Uốn ngang phẳng: Một thanh được gọi là uốn ngang phẳng là khi

trên mọi mặt cắt ngang của nó có 2 thành phần nội lực là Mômen uốn và lực cắt nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Phương pháp: thuyết trình

1 Định nghĩa:

Một thanh gọi là uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có 1 thành phần nội lực là Mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

2 Ví dụ :

Ta xét trường hợp chịu

lực của trục bánh xe tàu

hoả Trọng lượng toa xe

truyền qua ổ trục đặt lên

trục ở các điểm A và B

Phản lực của đường ray

truyền qua bánh xe Nếu

bỏ qua trọng lượng bản

thân của trục thì sơ đồ

chịu lực của trục được

biểu diễn như hình vẽ

6-1 Bằng phương pháp

mặt cắt ta vẽ được biểu

đồ Qy và Mx Ta thấy

đoạn CD chỉ có Mx mà

không có Qy Ta nói đoạn

CD chịu uốn thuần tuý phẳng

II - BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU UỐN THUẦN TUÝ PHẲNG Thời gian: 10 Phút

với trục thanh, tạo với nhau

thành lưới ô vuông Các đường

P

P A

C

B D

Trục trung hoà y

Hình 6-2

và mặt cắt ngang của thanh Sau đó cho thanh chịu mômen uốn ở 2 đầu thanh Quan sát thanh bị uốn ta thấy:

• Những đường thẳng // với trục thanh khi bị biến dạng chở thành những đường cong vẫn // với trục thanh

• Những đường vuông góc với trục thanh khi bị biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh

• Những góc vuông khi biến dạng vẫn vuông

Từ thí nghiệm trên ta đưa ra 1 số giả thuyết làm cơ sở tính toán sau này

2 Các giả thuyết:

 Giả thuyết về mặt cắt ngang (Giả thuyết Béc nu li): Mặt cắt ngang của

thanh ban đầu phẳng và vuông góc với trục thanh thì khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh

 Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọckhông

ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau

Ngoài ra chúng ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Húc

3 Biến dạng tương đối của dầm:

Quan sát biến dạng của thanh ta thấy: các thớ phía trên bị co lại Càng về phía trên càng co nhiều hơn, càng về phía dưới càng dãn nhiều hơn Như vậy từ thớ co chuyển sang thớ dãn (trên xuống dưới)sẽ có thớ không co và cũng không dãn Đó là thớ trung hoà Các thớ trung hoà tạo thành 1 lớp gọi là lớp trung hoà Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà

Quan sát mặt cắt ngang khi biến dạng ta thấy: vì các thớ trên bị co nên bề rộng của mặt cắt ngang ở phía trên bị phình ra Còn ở phía dưới các thớ bị dãn nên bề rộng mặt cắt ngang phía dưới bị thu hẹp lại Mặt cắt ngang của thanh bị biến dạng có hình dẻ quạt Nên đường trung hoà là đường cong Song vì biến dạng trên mặt cắt ngang nhỏ nên có thể coi nó không thay đổi hình dáng khi biến dạng Tức là mặt cắt ngang vẫn là hình chữ nhật và đường trung hoà coi như vẫn thẳng Như vậy ta có thể coi biến dạng của mặt cắt ngang là sự quay của mặt cắt xung quanh đường trung hoà

Để tính biến dạng dài tương đối của dầm ta

tách ra 1 đoạn thanh dz bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2

Sau biến dạng 2 mặt cắt này làm với nhau 1 góc

dϕ Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hoà Do

các thớ trung hoà không bị biến dạng nên vẫn có

độ dài ban đầu dz

εz = ε ab = ( )

ρ

=ϕ

ρ

ϕρ

−ϕ+ρ

=ε

d.dyab

abb

1 Sự liên hệ giữa ứng suất và biến dạng

Xét 1 mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn

thuàn tuý phẳng Chọn hệ trục toạ độ như sau:

• OX là đường trung hoà

Điểm A cách trục trung hoà 1 đoạn bằng y

Theo giả thuyết Béc nu li: trước và sau biến

dạng các góc vuông của phân tố được bảo toàn

Nên không có ứng suất tiếp Tức là: τzy = τxy

* σz là ứng suất pháp theo phương z

* E là Môđuyn đàn hồi của vật liệu khi kéo hoặc nén

2 Sự liên hệ giữa ứng suất và nội lực - Công thức tính ứng suất

Ta đi tìm quy luật phân bố và trị số của σz trên mặt cắt ngang Từ công thức:

εz = y⁄ρ và σz =E.εz suy ra σz = E.ρ

y (*) Qua công thức (*) ta thấy những điểm có cùng khoảng cách y đến trục trung hoà thì có cùng 1 trị số ứng suất (σz tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách tới thớ trung hoà).Biểu thức này chưa xác định được trị số σz Vì y và ρ chưa biết Tức là vị trí trục trung hoà chưa được xác định Do vậy :muốn xác định vị trí trục trung hoà ta phải xét sự liên hệ giữa ứng suất và nội lực Bằng cách lấy quanh A 1 phân tố diện tích dF (Hình 6-4) Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF là:

σz.dF.

Nếu quy về gốc toạ độ O của hệ trục toạ độ trên mặt cắt ngang đang xét ta sẽ

có các thành phần phân tố nội lực như sau:

dF y

σzdF

x z

Mx x

y

O A

A

Hình 6-4

) c ( dF

y M

) b ( dF

x M

) a ( dF

N

F z x

F z y

F z

z

2 6 0

Thay (*) vào ( 6 - 2)ta có

=ρ

=ρ

=

=ρ

=ρ

=ρ

=

=ρ

=ρ

=ρ

EdF

.y

EdF

.y.y

EM

0J

EdF

.x.y

EdF.x.y

EM

0S

EdF

.y

EdF

.y

EN

x F

2 F

x

F

xy F

y

x F

F z

• Mặt khác phương trình M .x.dF E Jxy 0

F z

ρ

=σ

mãn Vì hệ trục OXY là hệ trục quán tính chính trung tâm nên Jxy là Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt ngang với hệ trục đó phải bằng 0 => My = 0

• Sau khi xác định được vị trí trục trung hoà ta thiết lập công thức tính

σz trên cơ sở tính độ cong ρ

1 theo Mx

Từ công thức Mx = ρ

E

Jx => ρ

1 =

x

xJ.EM

Trong đó: - Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà.

- E.Jx gọi là độ cứng của thanh khi bị uốn (vì tích E.Jx càng lớn thì độ cong ρ

1 càng nhỏ)

Trong đó: - Mx Mômen uốn trên mặt cắt ngang Mx > 0 khi làm căng các thớ

về phía dương trục y và ngược lại thì Mx < 0

- Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà

- y là tung độ của điểm cần tính ứng suất

- Ứng suất pháp σz mang dấu (+) là ứng suất kéo, mang dấu(-)là ứng suất nén

3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu

Từ nhận xét đó ta có thể vẽ biểu đồ ứng suất pháp như sau:

- Kéo dài đường trung hoà Kẻ đường chuẩn ⊥ đường trung hoà (đường chuẩn tượng trưng cho chiều cao của mặt cắt ngang)

- Theo (**) ta có σz = MJ y

x

x × Có nghĩa là σz tỷ lệ bậc nhất với y Nên

để vẽ được biểu đồ ta chỉ việc tính ứng suất tại 1 điểm nào đó trên mặt cắt

ngang Ví dụ: Tại điểm A trên

với trục trung hoà cắt đường

chuẩn tại a Lấy ab = σz(A)

Mặt khác ta thấy tại những

điểm trên đường trung hoà

σz = 0 (vì y = 0) Nối b với O

và kéo dài ta được biểu đồ ứng

suất pháp trên mặt cắt ngang Dấu (+) là ứng suất pháp kéo, dấu (-) là ứng suất pháp nén

- Trường hợp trục trung hoà chia đôi mặt cắt theo chiều cao (như mặt

cắt hình chữ nhật đang xét trên) thì trị số tuyệt đối của ứng suất kéo lớn

σMax

x

y o

nhất và ứng suất nén lớn nhất là như nhau Và ta có thể tính bằng công thức sau:

σMax =

x

x x

x Max

x

x

W

M2

hJ

My

x Max

x

x

W

M2

hJ

My

Jx gọi là Mômen chống uốn của tiết diện Và ở đây ta có:

ykMax = ynMax = yMax

- Trường hợp đường trung hoà không chia đôi chiều cao mặt cắt thì trị

so tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất và ứng suất

nén lớn nhất sẽ khác nhau

x

x k

Max x

x Max

W

My

Max x

x Min

W

My

Trong đó ykMaxva ynMaxlà khoảng cách hình học

từ điểm chịu kéo và nén xa nhất đến đường trung

hoà

Ở đây ta có thể thấy rõ ý nghĩa của Mômen chống uốn của mặt cắt ngang là:

Wx càng lớn thì dầm có thể chịu được Mômen uốn càng lớn Như vậy Wx đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dạng và kích thước của mặt cắt ngang đối với độ bền của dầm khi các ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỷ lệ

• Mômen chống uốn của 1 số hình đơn giản:

- Mặt cắt ngang hình chữ nhật có cạnh ngắn b, chiều cao h

6

bhW

;6

hbW

12

bhJ

;12

hbJ

2 y

2 x

3 y

3

- Mặt cắt ngang hình tròn bán kính R

3 3

3 x

x

n Max

k Max

4

32

D4

RR

JW

Ry

k Max 4

4

32

DW

2

DRy

y

;1

r

=

IV ĐIỀU KIỆN BỀN

Thời gian: 10 PhútPhương pháp: Thuyết trình

• Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất pháp lớn nhất khi kéo và khi

y

x

y

Hình 6-6

nén ở mặt cắt ngang nguy hiểm không được vượt quá [σ] của vật liệu.

• Mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt có Mômen uốn lớn nhất Nghĩa là ở

mặt cắt đó có σmaxvà σmincó trị số lớn nhất so với mọi mặt cắt khác

Từ đó ta có thể viết điều kiện bền theo 2 trường hợp sau:

1 Với vật liệu dẻo : Trong 2 giá trị σmax và σmin chọn lấy trị số lớn nhất Tức là: Max σđể so sánh với [σ] Điều kiện bền là:

Max σ  ≤ [σ ]

2 Với vật liệu dòn : Trong trường hợp này ứng suất cho phép khi kéo

và khi nén khác nhau, nên ta phải kiểm tra cả 2 điều kiện:

a) σmax ≤ [σ ]k Trong đó [σ ]k và [σ ]n là ứng suất cho phép b) σmin  ≤ [σ ]n khi kéo và khi nén

3 Ba bài toán cơ bản :

 Kiểm tra bền: theo các điều kiện sau:

Max σ ≤ [σ ]; σ Max ≤ [σ ]k ; σ min  ≤ [σ ]n

 Chọn kích thước mặt cắt ngang :

- Vật liệu dẻo: σmax = σmin  = ≤ [ ]σ ⇒ ≥ [ ]σx

x x

WW

M

- Vật liệu dòn: σmax = [ ] [ ]

k

x k

x k

k x

WW

M

σ

≥

⇒σ

σmin  = [ ] [ ]

n

x n

x n

n x

WW

M

σ

≥

⇒σ

Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang là hình dáng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít vật liệu nhất

1 Hình dáng mặt cắt ngang đảm bảo cho dầm có khả năng chịu lực lớn nhất

• Dầm làm bằng vật liệu dòn: Mặt cắt của dầm sẽ hợp lý nhất khi:

[ ] [ ]n

k n

max

k maxy

y

σσ

= (*)

Từ đó suy ra đối với vật liệu dòn hình dáng hợp lý của mặt cắt phải sao cho đường trung hoà chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số của ykmaxvà ynmaxthoả mãn đẳng thức (*) trên.

• Dầm làm bằng vật liệu dẻo: Với vật liệu dẻo thì [σ ]k = [σ ]n nên khi thay vào (*)ta có: k

Như vậy hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang tiết kiệm vật liệu nhất là:

- Với vật liệu dòn: Ta có mặt cắt ngang dạng chữ T (hình 6-7 a)

- Với vật liệu dẻo: Ta có mặt cắt ngang dạng chữ I, 2 chữ [ ghép lại (Hình 6-7b)

3 So sánh sự tiết kiệm vật liệu của các loại mặt cắt có W x k =W x n

(Mặt cắt ngang của dầm làm bằng vật liệu dẻo)

Để so sánh người ta dùng tỷ số:

F

Wx Hình dáng mặt cắt nào có tỷ số đó càng cao, nghĩa là với khả năng chống uốn của 1 đơn vị diện tích càng lớn, thì hình dáng đó càng hợp lý

- Với mặt cắt ngang là hình chữ nhật: x3

F

W = 0,167

- // chữ I: x3

F

W = 1,02 ÷1,51

- // chữ [: x3

F

W = 0,57 ÷1,35

- // Hình vành khăn: x3

F

W = 0,73 ÷0,81Qua các trị số đó ta thấy mặt cắt hình chữ I là hợp lý nhất

4 Ví dụ:

Trên mặt cắt ngang của dầm chữ T chịu mômen uốn Mx = 7.200 N.m.Vật liệu của dầm có [σ ]k = 20 MN/m2, [σ ]n = 30MN/m2 Kiểm tra bền biết: Jx=5312,5cm4

BÀI LÀM

Ta có ykmax= 75 mm = 7,5.10-2m

ynmax = 125 mm = 12,5.10-2m

và 3 6 2

8 n

10.5,5312y

J

3 6 2

8 k

10.5,5312y

.3,708

200.7W

.425

200.7W

- Nắm vững khái niệm, định nghĩa uốn thuần tuý phẳng

- Biết cách xác định ứng suất và biến dạng, trên cơ sở đó giải 3 bài toán cơ bản thành thạo

y

Hình 6-8

1 Nắm khái niệm, định nghĩa uốn thuần tuý phẳng và các giả thuyết khi nghiên cứu Trên cơ sở đó xác định biến dạng tương đối của dầm.

2 Cách xác định ứng suất pháp trên mặt cắt ngang và cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp

3 Điều kiện bền, 3 bài toán cơ bản

4 Thế nào là hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang

(Cặp tiết thứ hai)

KIỂM TRA BÀI CŨThời gian: 05 phút

Phương pháp: Kiểm tra miệng.(2 Đồng chí)

1 Định nghĩa:

Một thanh chịu uốn ngang phẳng là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có 2 thành phần nội lực là Mômen uốn Mx và lực cắt Qy nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

2 Ví dụ:

Có 1 dầm chịu lực và biểu đồ nội lực như hình vẽ 6-9

Như biểu đồ nội lực trên ta thấy ngay ở các mặt cắt 1-1 và 2-2 nào đó của dầm đều có 2 thành phần nội lực là Mx và Qy

II CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC

Thời gian: 05 PhútPhương pháp: Thuyết trình

I Thí nghiệm:

Trên bề mặt ngoài của thanh chịu uốn ngang phẳng có tiết diện hình chữ nhật

ta kẻ những đường thẳng // và ⊥ với trục thanh

Sau khi thanh bị biến dạng ta thấy những đường thẳng // với trục thanh thì vẫn // với trục thanh, còn những đường ⊥ thì không còn thẳng nữa Chúng chở thành những đường cong (Hình 6-10)

II Trạng thái ứng suất

Nếu tại 1 điểm B nào đó ta tách ra 1 phân tố hình hộp bởi các mặt cắt // với các trục toạ độ Ta thấy các góc vuông của phân tố không còn vuông nữa Chứng tỏ phân tố đó bị biến dạng.(Hình 6-11) Như

thế khác với trường hợp uốn thuần tuý phẳng là

ngoài ứng suất pháp σz do Mx gây ra còn có thành

phần ứng suất tiếp τzy do Qy gây ra Ngoài ra theo

định luật đối ứng của ứng suất tiếp ta thấy trên mặt

cắt vuông góc với mặt cắt ngang cũng có các thành

phần ứng suất tiếp τyz bằng và trái dấu với τ zy Vậy

TTƯS của phân tố là TTƯS phẳng đặc biệt

Trên mặt của phân tố // với trục Z còn có ứng suất

pháp σy nhưng vì giá trị nhỏ nên ta có thể bỏ qua.

III CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TRONG UỐN NGANG PHẲNG

Thời gian: 20 PhútPhương pháp: Thuyết trình

B B

Để đơn giản bài toán chúng ta giả thuyết mặt cắt ngang của dầm là hình chữ nhật hẹp (chiều rộng nhỏ hơn nhiều so với chiều cao)

a) Xét luật phân bố ứng suất trên thớ AC nào đó // với trục trung hoà Ox

• Tại điểm C: ứng suất tiếp là τ

có phương bất kỳ nào đó Ta

phân tích τ theo 2 thành phần

là: τxy // oy và τ zx // ox.

• Theo định luật đối ứng của ứng

suất tiếp thì trên mặt cắt ngang

A

z D

By

a) Trên mặt ACBD ứng suất

lên phương oz là:

c x x

x F

x

x F

z

J

MydF

J

MdF

N

C C

σ

Trong đó : Fc là diện tích mặt ACBD và gọi là diiện tích cắt

S là mômen tĩnh của phần diện tích bị cắt với trục trung hoàcx

b) Trên mặt EFHG: ứng suất pháp tác dụng tại 1 điểm bất kỳ cách trục ox 1 khoảng y là σz2

y

J

dMM

x

x x

σ Hình chiếu của các lực trên EFHG lên trục oz là:

x

x x

F x

x x

F z

J

dMM

ydFJ

dMM

dFN

c C

Hình chiếu của nội lực tác dụng trên ACEF lên oz là:

T = τyz×FACEF = τyz×bc×dz

(Trong đó bc là chiều dài đoạn AC và gọi là b cắt)

Vậy phương trình hình chiếu của các nội lực tác dụng lên phần đang xét xuống trục oz là:

∑ Z = N2 – N1 – T = 0 (Vì N2 > N1)

x

c x x

zy

c yz

c x x

x x

c x x

x

b.J

Sdz

dM0

dz.b.S

J

dMM

SJ

M

×

=τ

⇒

=τ

−

++

S.Q

( Đây là công thức Durapsky) Trong đó: - Qy là lực cắt tại mặt cắt đang xét

- Sxc là Mômen tĩnh đối với trục trung hoà của phần diện tích mặt cắt ngang

bị cắt bởi mặt phẳng // oz, vuông góc với Qy

- Jx là MMQT của mặt cắt ngang đối với trục x

N dz

bcyz

τ

Hình 6-14

D A

F

E

G B H

C