CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN LỚP 9 THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KÌ THI Chóng ta ®· biÕt r»ng: Trong ch¬ng I cđa phÇn §¹i Sè 9 víi tiªu ®Ị lµ c¨n bËc hai - C¨n bËc ba, th× kiÕn thøc còng nh kÜ n¨ng c¬ b¶n cđa nã chÝnh lµ vËn dơng §N, H§T vµ c¸c phÐp biÕn ®ỉi cđa c¨n thøc vµo viƯc gi¶i c¸c bµi tËp tÝnh to¸n vµ thu gän (C¸c c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n bËc hai ®ỵc nh¾c l¹i ë ci chuyªn ®Ị). Song cã kh«ng Ýt c¸c bµi tËp trong ch¬ng tr×nh, ®Ỉc biƯt lµ c¸c bµi tËp dµnh cho c¸c em HS kh¸ giái th× viƯc thùc hiƯn vËn dơng trùc tiÕp c¸c kiÕn thøc ®ã sÏ dÉn ®Õn mét lêi gi¶i rêm rµ, kh«ng ng¾n gän vµ thËm chÝ kh«ng gi¶i ®ỵc. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng to¸n ®ã vµ kÌm theo lµ c¸ch gi¶i qut lo¹t bµi tËp nh vËy. d¹ng 1 VËn dơng "hƯ thøc ViÐt" ®Ĩ ®a biĨu thøc cã d¹ng ±S 2 P vỊ d¹ng ( ) ± 2 a b (BiĨu thøc 2S P± ®a ®ỵc vỊ d¹ng ( ) 2 a b± nÕu S vµ P lµ tỉng vµ tÝch cđa hai sè)) Chóng ta b¾t ®Çu víi c¸c c¨n thøc cã d¹ng ± S 2 P . ViƯc ®a c¨n thøc nµy vỊ d¹ng ( ) ± 2 a b chØ dƠ d¹ng thùc hiƯn ®ỵc nÕu nh c¸c sè a vµ b lµ kh«ng qu¸ lín vµ dƠ nhÈm. Tuy nhiªn viƯc t×m hai sè a vµ b trong nhiỊu trêng hỵp lµ mét vÊn ®Ị kh«ng ®¬n gi¶n. XÐt bµi to¸n: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a) 5 48 10 7 4 3A = − + b) 66536 192 14168B = + BiĨu thøc A tuy cã nhiỊu dÊu c¨n nhng kh¸ ®¬n gi¶n cho HS khi thùc hiƯn rót gän c¨n thøc tõ trong ra ngoµi, ë biĨu thøc B th× tuy cã Ýt dÊu c¨n nhng viƯc ®a biĨu thøc 66536 192 14168+ vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng (hay b×nh ph¬ng cđa mét hiƯu) th× ®óng lµ mét viƯc khã lµm! Trë l¹i bµi to¸n ban ®Çu ®· ®Ỉt ra lµ ®a biĨu thøc cã d¹ng ± S 2 P vỊ d¹ng ( ) ± 2 a b Ta cã: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2S P a b S P a b S P a b ab± = ± ⇔ ± = ± ⇔ ± = + ± Tõ ®ã thÊy r»ng cã thĨ coi S = (a + b) cßn P = ab Trªn c¬ng vÞ lµ mét ngêi gi¸o viªn th× chóng ta ®Ịu biÕt r»ng nÕu hai sè a vµ b cã tỉng b»ng S vµ tÝch b»ng P th× hai sè a vµ b lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai: x 2 - Sx + P = 0 (Theo hƯ thøc ViÐt). Do vËy ®Ĩ ®a biĨu thøc cã d¹ng 2S P± vỊ d¹ng ( ) 2 a b± ta lµm theo c¸c bíc sau: • Bíc 1: ViÕt c¨n thøc ®· cho vỊ d¹ng 2S P± (chó ý ph¶i cã sè 2 ®øng tríc P ) • Bíc 2: LËp ph¬ng tr×nh x 2 - Sx + P = 0 råi gi¶i t×m ®ỵc hai nghiƯm x 1 = a vµ x 2 = b • Bíc 3: BiÕn ®ỉi vµ rót gän c¨n thøc 2S P± = 2 ( )a b a b± = ± Chóng ta h·y cïng minh ho¹ b»ng mét viƯc rót gän mét sè biĨu thøc sau ®©y: VÝ dơ 1) M = 10 2 21− Bíc 1: C¨n thøc ®· cho ®· cã d¹ng 2S P± víi S = 10 vµ P = 21 giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 1 Bíc 2: Cã thĨ nhÈm nhanh ®ỵc ngay hai sè 3 vµ 7 cã tỉng b»ng 10 vµ tÝch b»ng 21 Bíc 3: Khi ®ã M = 2 10 2 21 ( 7 3) 7 3− = − = − Chó ý: Trong thùc hµnh ta chØ cÇn tr×nh bÇy bíc 3 VÝ dơ 2) N = 53 4 90+ Bíc 1: §a c¨n thøc N = 53 4 90+ vỊ d¹ng 53 2 360+ víi S = 53 vµ P = 360 Bíc 2: Ph¬ng tr×nh x 2 - 53x + 360 = 0 cã hai nghiƯm x 1 = 45 vµ x 2 = 8 Bíc 3: Khi ®ã N = 2 53 4 90 53 2 360 ( 45 8) 45 8 3 5 2 2+ = + = + = + = + VÝ dơ 3) Q = 65 2 984+ Thùc hiƯn t¬ng tù trªn ta cã ®ỵc: Q = 2 65 2 984 ( 41 24) 41 24 41 2 6+ = + = + = + VÝ dơ 4) K = 66536 192 14168 66536 2 130572288+ = + (lµm xt hiƯn sè "2") 2 ( 64512 2024) 64512 2024 96 7 2 506 = + = + = + Bµi tËp ®Ị nghÞ: Rót gän c¸c c¨n thøc sau: 1) 20 2 96 2) 110 2 1261 3) 65 2 984 4) 4,932 18,204 5) 13 160 53 4 90 6) 15 6 6 35 12 6 7) 2 2 5 13 48 8) 6 2 2 12 18 128 + + + − − − + − + − + + − − + + − 9) 40 2 57 40 2 57− − + 10) 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5+ + + − + 11) 6 2 2 3 2 12 18 128+ − + + − 12) 15 216 33 12 6− + − 13) 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + 14) 14 8 3 24 12 3− − − 15) 4 5 3 5 48 10 7 4 3+ + − + 16) 261142122 −−− 17) 13 30 2 9 4 2 5 3 2 + + + = + d¹ng 2 ph¬ng ph¸p tÝnh gi¸n tiÕp gi¸ trÞ cđa mét biĨu thøc §èi víi mét sè bµi to¸n rót gän biĨu thøc sè cã chøa c¨n bËc hai th× viƯc ®a biĨu thøc trong dÊu c¨n vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng hc mét hiƯu lµ kh«ng thĨ (hc nÕu ®a ®ỵc vỊ d¹ng b×nh ph¬ng cđa mét tỉng hc mét hiƯu th× lêi gi¶i kh¸ phøc t¹p, ®«i khi dµi dßng mÊt nhiỊu thêi gian). Khi ®ã cã thĨ lùa chän ph¬ng ph¸p tÝnh gÝ trÞ cđa biĨu thøc ®ã mét c¸ch gi¸n tiÕp. Chóng ta sÏ ®i t×m hiĨu qua mét sè vÝ dơ ®iĨn h×nh sau ®©y: VÝ dơ 1) TÝnh A = 3 5 7 3 5 2− + − + giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 2 NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biĨu thøc 3 5− vµ 7 3 5− ®Ịu kh«ng thĨ ®a ®ỵc vỊ d¹ng 2 ( )a b ± vµ nh vËy kh«ng thĨ rót gän ®ỵc biĨu thøc A b»ng c¸ch rót gän mçi biĨu thøc thµnh phÇn cđa A §Ĩ ý r»ng nÕu: gÊp ®«i biĨu thøc 3 5− ®ỵc 2 6 2 5 ( 5 1)− = − gÊp ®«i biĨu thøc 7 3 5− ®ỵc 2 7 3 5 14 6 5 (3 5)− = − = − Vµ khi ®ã ta cã lêi gi¶i cđa VÝ dơ 1 nh sau: ( ) 2 2 2. 2 3 5 7 3 5 2 6 2 5 14 6 5 2 ( 5 1) (3 5) 2 5 1 3 5 2 4 A = − + − + = − + − + = − + − + = − + − + = VËy A = 4 : 2 2 2= VÝ dơ 2) TÝnh B = 2 3 2 3+ + − (2) NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biĨu thøc B cã thĨ rót gän b»ng c¸ch nh©n hai vÕ cđa (2) víi 2 (t¬ng tù c¸ch gi¶i cđa VÝ dơ 1). Tuy nhiªn ta thÊy r»ng 2 3+ vµ 2 3− lµ c¸c biĨu thøc liªn hỵp cđa nhau, tÝch cđa chóng cã gi¸ trÞ b»ng 1. Do ®ã ta nghÜ tíi viƯc cã thĨ lËp tÝch 2 3. 2 3+ − b»ng c¸ch xÐt l thõa bËc hai cđa biĨu thøc B. Ta cã lêi gi¶i cho VÝ dơ 2 nh sau: Ta cã: B 2 = ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 (2 3)(2 3) 4 2 6+ + − = + + − + + − = + = Do 2 3 2 3+ + − > 0 nªn B > 0. VËy B = 6 KL1: Nh vËy khi thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A ta cã thĨ tÝnh kA (viƯc x¸c ®Þnh hƯ sè k t thc vµo h¹ng tư trong c¨n) hc l thõa cđa A (viƯc x¸c ®Þnh bËc cđa l thõa t thc vµo bËc cđa c¨n thøc) Chóng ta tiÕp tơc thÊy ®ỵc sù "lỵi h¹i" cđa ph¬ng ph¸p l thõa cđa biĨu thøc cÇn thu gän qua c¸c vÝ dơ sau: VÝ dơ 3. TÝnh C = 3 3 10 1 10 3 2 2 3 3 9 + + − §Ĩ ý thÊy 10 3 10 1 2 2 9 3 3 − = − do ®ã 10 1 2 3 3 + vµ 10 3 2 9 − lµ hai biĨu thøc liªn hỵp cđa nhau. C 3 = 3 3 3 10 1 10 1 2 2 3 3 3 3 ÷ + + − ÷ = 3 3 3 3 3 3 3 3 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + − + + − + + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ (VËn dơng H§T: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b)) C 3 = 3 10 1 10 1 10 1 10 1 2 2 3 2 2 . 3 3 3 3 3 3 3 3 + + − + + − ÷ ÷ ÷ ÷ C (Thay 3 3 10 1 10 3 2 2 3 3 9 + + − = C) giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 3 C 3 = 3 100 4 3 4 . 4 6. 27 + − +C = C Suy ra: C 3 - 6C - 4 = 0 ⇔ (C + 2).(C 2 - 2C - 2) = 0. Do C > 0 nªn C + 2 ≠ 0. Do ®ã ta cã C 2 - 2C - 2 = 0. T×m ®ỵc C 1 = 1+ 3 (Tho¶ m·n C > 0); C 2 = 1 - 3 (Lo¹i, kh«ng tho¶ m·n C > 0) VËy C = 1+ 3 VÝ dơ 4. TÝnh D = 4 10 2 5 4 10 2 5− − − + − (3) Ta cã: D 2 = 2 4 10 2 5 4 10 2 5 − − − + − ÷ = 4 10 2 5 4 10 2 5 2 (4 10 2 5)(4 10 2 5)− − + + − − − − + − 2 2 8 2 16 (10 2 5) 8 2 6 2 5 8 2 ( 5 1) 8 2( 5 1) 6 2 5 ( 5 1)= − − − = − + = − + = − + = − = − Do 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5− − < + − ⇒ − − < + − ⇒ D < 0. VËy C = 1 5− VÝ dơ 5. TÝnh E = 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3+ + − + − + − + + − − §Ỉt E 1 = 3 5 2 3 3 5 2 3+ + + − + . TÝnh (E 1 ) 2 råi t×m ®ỵc E 1 = 3 1+ §Ỉt E 2 = 3 5 2 3 3 5 2 3− − − + − . TÝnh (E 2 ) 2 råi t×m ®ỵc E 2 = 1 3− Do vËy E = E 1 + E 2 = 2 VÝ dơ 6. TÝnh G = 5 17 2 7 5 17 2 7 7+ + + − + − §Ỉt G 1 = 5 17 2 7 5 17 2 7+ + + − + B»ng ph¬ng ph¸p l thõa bËc hai biĨu thøc G 1 ta t×m ®ỵc G 1 = 7 1+ . Do vËy G = 1 KL2: Nh vËy khi thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A = B + C ta cã thĨ tÝnh gi¸n tiÕp B hc C hc c¶ B vµ C Bµi tËp ®Ị nghÞ: Bµi 1: Rót gän c¸c c¨n thøc sau: 1) ( ) 2 3 5 2 − + 2) 3 5 3 5 − + + 3) 17 3 5 2 5 6 2 − + − − 4 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10 + + + − + + − 5) 6 18 2 17 6 18 2 17 6 18 2 17 6 18 2 17+ + + − + + + − − − − 6) 2 3 2 3 2 3 2 3 − + + + − 7) 154 1 154 1 + − − Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 1. A = 3 3 20 14 2 20 14 2 + + − 2. B = 3 3 2 5 2 5 + + − 3. C = 3 3 26 675 26 675 26 675 26 675 + − − + − 4. D = 3 3 6 3 10 6 3 10 + − − giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 4 5. E = 3 3 5 2 13 5 2 13 + + − 6. F = 3 3 45 29 2 45 29 2+ + − 7. G = 3 3 1 1 2 10 2 10 27 27 + + − 8. H = 3 3 5 31 5 31 4 4 3 3 3 3 + + − Bµi 3. Cho ( ) ( ) a 3 5. 3 5 10 2= − + − . CMR a lµ sè tù nhiªn. Bµi 4. CMR: 4 4 49 20 6 49 20 6 3 2 + + − = HD: Ta cã: 2 4 49 20 6 (5 24) ( 3 2) + = + = + . Suy ra: 4 49 20 6 3 2+ = + . T¬ng tù nh vËy, ta cã: . Tõ ®ã ta cã §PCM d¹ng 3 tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc KHI BIÕT GI¸ TRÞ MéT biĨu thøc LI£N HỵP CđA Nã VÝ dơ 1. Cho A = 129216 22 =+−−+− xxxx . TÝnh B = 2 2 16 2 9 2x x x x − + + − + . NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy A vµ B lµ hai biĨu thøc liªn hỵp cđa nhau. TÝch cđa chóng b»ng 7, lµ mét sè kh«ng ®ỉi. Do ®ã ta cã thĨ lËp tÝch A.B tõ ®ã cã c¸ch gi¶i cho bµi to¸n nµy Gi¶i: Ta cã A.B = 2 2 2 2 ( 16 2 9 2 )( 16 2 9 2 )x x x x x x x x − + + − + − + − − + ⇒ 1. B = 2 2 (16 2 ) (9 2 ) 7x x x x − + − − + = . VËy B = 7 Mét sè Bµi tËp cïng d¹ng VÝ dơ 1 1.Cho 2 2 25 x 15 x 2 − − − = . TÝnh 2 2 25 x 15 x − + − 2.Cho − + − − + = 2 2 x 6x 13 x 6x 10 1 . TÝnh − + + − + 2 2 x 6x 13 x 6x 10 3. TÝnh 2 2 M x 4x 9 x 4x 8= − + + − + . BiÕt 2 2 1 x 4x 9 x 4x 8 2 − + − − + = . 4. Tỉng qu¸t 1: Cho M A(x) a A(x) b= + + + = c. TÝnh N A(x) a A(x) b= + − + 5. Tỉng qu¸t 2: Cho M A(x) a A(x) b= + − + = c. TÝnh N A(x) a A(x) b= + + + Chó ý: A(x) a 0; A(x) b 0+ ≥ + ≥ nªn A(x) a A(x) b + + + ≥ A(x) a A(x) b + − + . Hay M ≥ N ⇒ khi lËp ®Ị to¸n t¬ng tù cÇn chó ý ®Õn §K : c ≥ a b c − ⇔ c 2 ≥ a - b ®Ĩ bµi to¸n cã tån t¹i. §©y lµ mét ®iĨm mµ mét sè GV kh«ng ®Ĩ ý ®Õn v× vËy thêng chØ lËp ra ®ỵc ®Ị to¸n vµ gi¶i ®ỵc nã tuy nhiªn kh«ng ®Ĩ ý ®Õn tÝnh logÝc cđa bµi To¸n. VÝ dơ sau ®©y lµ mét c©u trong ®Ị thi HSG cđa mét sè n¨m. TÝnh 2 2 M x 4x 9 x 4x 8= − + + − + . BiÕt N = 2 2 1 x 4x 9 x 4x 8 2 − + − − + = . (?!!!) VÝ dơ 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 22 11 xyyxS +++= víi ayxxy =+++ )1)(1( 22 HD: TÝnh a 2 - 1 = 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) 2 (1 )(1 )x y x y xy x y + + + + + + - 1 VÝ dơ 3. Cho 2 2 (x x 1).(y y 1) 1 + + + + = . T×m gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 2007 2007 A x y= + §©y lµ mét d¹ng bµi tËp gỈp kh¸ nhiỊu trong c¸c lÇn thi chän HSG huyªn hay tØnh, ®«i khi lµ trong c¸c k× thi vµo THPT giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 5 Gi¶i: Tõ 2 2 (x x 1).(y y 1) 1 + + + + = ⇒ + − + + = = = + − + − + + 2 2 2 2 2 2 y 1 y 1 x x 1 y 1 y y 1 y y 1 y (1) Vµ + − + + = = = + − + − + + 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x y y 1 x 1 x x 1 x x 1 x (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + − = + − − + + 2 2 2 2 x x 1 x 1 x y 1 y y 1 y ⇒2x = -2y ⇒ x = -y ⇒x 2007 = (-y) 2007 = -y 2007 VËy 2007 2007 A x y= + = − + 2007 2007 y y = 0 Tỉng qu¸t VD3: Cho + + + + = 2 2 (A A a).(B B a) a . T×m GT cđa b't': + + = + 2k 1 2 k 1 M A B d¹ng 4 mét sè ph¬ng ph¸p so s¸nh hai biĨu thøc chøa Cbh 1. ¸p dơng tÝnh chÊt a b a b > ⇔ > víi a ; b ≥ 0 VÝ dơ 1.1: So s¸nh 3 vµ 11 V× 9 < 11 nªn 9 11 < . VËy 3 < 11 VÝ dơ 1.2: So s¸nh 2 35 vµ 3 36 V× 2.36= 72 < 35.3 = 105 nªn 2 3 35 36 < . VËy 2 35 < 3 36 2. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n råi so s¸nh VÝ dơ 2: So s¸nh 2 3 vµ 3 2 Ta cã 2 3 12; 3 2 18 = = .V× 12 < 18 nªn 2 3 < 3 2 3. B×nh ph¬ng mâi sè råi so s¸nh VÝ dơ 3.1: So s¸nh 2 3 vµ 3 2 Ta cã 2 2 (2 3) 12; (3 2) 18 = = .V× 12 < 18 nªn 2 2 (2 3) (3 2) < .VËy 2 3 < 3 2 VÝ dơ 3.2: So s¸nh 5 3 + vµ 6 2 + Ta cã ( 5 3 + ) 2 = 8 + 2 15 ; ( 6 2 + ) 2 = 8 + 2 12 V× 15 > 12 nªn 8 + 2 15 > 8 + 2 12 .VËy 5 3 + > 6 2 + (Chó ý: ë VÝ dơ 3.2 cã 5 + 3 = 6 + 2 nªn dïng pp b×nh ph¬ng hai sè) 4. ¸p dơng tÝnh chÊt a b > vµ c d a c b d > ⇒ + > + víi a;b;c;d ≥ 0 (ph¬ng ph¸p céng vÕ víi vÕ cđa c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiỊu) VÝ dơ 4: So s¸nh 4 5 3 2 + vµ 2 7 2 3 + Ta cã 4 5 3 2 80 18 + = + ; 2 7 2 3 28 12 + = + V× 80 28; 18 12 > > , nªn 80 18 28 12 + > + VËy 4 5 3 2 + > 2 7 2 3 + Chó ý: Ph¬ng ph¸p nµy kh«ng ®ỵc dïng ®Ĩ trõ c¸c B§T cïng chiỊu giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 6 5. ¸p dơng tÝnh chÊt a b > vµ c d a c b d < ⇒ − > − víi a;b;c;d ≥ 0 (ph¬ng ph¸p trõ vÕ víi vÕ cđa c¸c bÊt ®¼ng thøc ng ỵc chiỊu ) VÝ dơ 5: So s¸nh 2 5 2 2 − vµ 3 2 3 − Ta cã 2 5 2 2 20 8 − = − ; 3 2 3 18 9 − = − V× 20 18; 8 9 > < , nªn 20 8 18 9 − > − VËy 2 5 2 2 − > 3 2 3 − 6. ¸p dơng tÝnh chÊt b¾c cÇu: a b> vµ b c a c > ⇒ > víi a;b;c ≥ 0 VÝ dơ 6: So s¸nh 65 1 − vµ 15 8 + Ta cã: 65 1 − > 64 1 8 1 7 − = − = ; 15 8 16 9 4 3 7 + < + = + = Dã ®ã 65 1 − > 7 > 15 8 + . VËy 65 1 − > 15 8 + 7. §a vỊ hai ph©n sè cïng tư cã mÉu d¬ng (hc cïng mÉu ) råi so s¸nh:… VÝ dơ 7: So s¸nh 2010 2008 − vµ 2009 2007 − Ta cã: ( 2010 2008)( 2010 2008) 2 2010 2008 2010 2008 2010 2008 − + − = = + + ( 2009 2007)( 2009 2007) 2 2009 2007 2009 2007 2009 2007 − + − = = + + Do 2010 2008 2009 2007 + > + > 0 nªn 2 2 2010 2008 2009 2007 < + + . VËy 2010 2008 − < 2009 2007 − (Chó ý: 2010 - 2009 = 2009 - 2007 = 2) 8. Gi¶ sư vµ biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng: §Ị bµi: So s¸nh a vµ b C¸ch 1: Gi¶ sư a > b ⇔…….⇔ c d > NÕu c d > lµ § th× a > b lµ §; NÕu c d > lµ S th× a > b lµ S, khi ®ã a ≤ b C¸ch 2: Gi¶ sư a < b ⇔…….⇔ c d < NÕu c d < lµ § th× a < b lµ §; NÕu c d < lµ sai th× a < b sai, khi ®ã a ≥ b Chó ý: Ph¬ng ph¸p nµy dïng thÝch hỵp cho trêng hỵp a ≠ b VÝ dơ 8.1: So s¸nh 8 3 − vµ 7 2 − Ta gi¶ sư 8 3 − ≥ 7 2 − (*) 2 2 8 2 3 7 ( 8 2) ( 3 7) ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + 10 2 16 10 2 21 2 16 2 21 (**) ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ B§T (**) sai nªn B§T (*) sai, vËy ta cã 8 3 − < 7 2 − Bµi tËp ®Ị nghÞ. Bµi 1: So s¸nh giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 7 1) 4 vµ 20 11) 3 5 2 7 + vµ 2 10 3 3 + 21) 4 7 4 7 2 + − − − và số 0 2) 7 2 − vµ 1 12) 8 5 + vµ 7 6 + 22) 7474 −−+ và 2 3) vµ 5 3 + 13) 2005 2007 + vµ 2 2006 23) ;a b a b − − (a > b > 0) 4) 3 2 3 vµ 3 23 14) 2000 1999 − vµ 2001 2000 − 24) ;a b a b + + (a > b > 0) 5) 7 15 và 7+ 15) 2009 2008 − vµ 2011 2010 − 25) 1 ; 1x x x x + − − − (x ≥ 1) 6) 3 ; 5 8 − 16) 3 2 và 2 3 26) n n 2 và 2 n+1 + + 7) 33 vµ 3 3 133 17) 2005 2002 − vµ 2007 2004 − 8) 17 5 1 và 45+ + 18) a 3 3 3 và b=2 2 1= − − 9) 5 222 vµ 3 111 19) 2000 1999; 2001 2000 − − 10) 23 2 19 và 27 3 − 20) 1 8 2 vµ 1 27 3 30) 5 1 2 5 và 2 + + Bµi 2 a*) So s¸nh 1 1 1 1 S 1.1998 2.1997 k.(1998 k 1) 1.(1998 1) = + + + + + − + − vµ 1998 2. 1999 HD c©u a: Tõ B§T: 2a b ab+ ≥ víi a,b kh«ng ©m 1 2 2 a b ab a b ab + ≤ ⇒ ≥ + b) Cho A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 . Hãy so sánh A + B và A. B Bµi 3. Chøng minh c¸c B§T sau: 1) 2002 2003 2002 2003 2003 2002 + > + 2) Chøng minh r»ng 2000 2 2001 2002 0 − + < 3) 2 )1( 1 34 1 23 1 12 1 < + ++++ nn HD + + + −= + −= + = + 1 11 1 11 1 11 )1( )1( 1 kkkk k kk k kk k kk + −= + −< 1 11 2 2 1 11 kkkkk k 4) 20 29 322 32 322 32 5 7 < −− − + ++ + < 5) ( ) 1 11 11 1 + −= +++ nnnnnn (víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cđa n) Tõ ®ã tÝnh tỉng: 1009999100 1 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + =S 6) a) 100 2 2 2 2 2 + + + + < 1 4 4 44 2 4 4 4 43 dÊu c¨n b) 9303030306666 <+++++++ 7) ( ) a 2 a 1; a 0 − ≤ ∀ ≥ 8) 21443 ≥++− xx Víi mäi x t/m·n: 4 3 4 1 ≤≤ − x giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 8 9(*). ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a a b b 2 + − + + − + − = ( Víi a, b lµ hai sè d¬ng) 10) 2 4 = − − − + + + − yx y yx yx yx yx víi yxyx ≠≥≥ ;0;0 11) 1 21 . 1 2 12 2 − = + − − − ++ + a a a a a aa a (a > 0& a ≠ 1) 12) 1 1 1 1 n 2 3 n + + + + > 13) 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n + − < < − − .Tõ ®ã suy ra 1 1 1 2004 1 2005 2 3 1006009 < + + + + < Bµi 4: Cho a; b; c 0 ≥ Chøng minh r»ng: 1. 2 a b ab + ≥ (BÊt ®¼ng thøc C«si) 2. a b c ab bc ca + + ≥ + + 3. 1 2 a b a b + + ≥ + 4. 2 a b b a + ≥ (a > 0; b > 0) d¹ng 5 mét sè bµi to¸n mang tÝnh chÊt cđa d·y sè cã quy lt Bµi 1: Cho biĨu thøc : ( ) ( ) = + + − ∈¥ k k * k S 2 1 2 1 ; k a) Chøng minh r»ng S 2009 .S 2010 - S 4019 = 2 2 (n ∈ N ; n ≥ 2 ) b) S m + n + S m -n = S m .S n ( ∀ ∈ >¥ * m,n ;m n ) HD: a) §Ỉt a = +2 1 vµ b = −2 1 th× a.b = 1 vµ a + b =2 2 S 2009 .S 2010 - S 4019 = (a 2009 + b 2009 )( a 2010 + b 2010 ) -(a 4019 + b 4019 ) = a 4019 + b 4019 + a 2009 .b 2010 + a 2010 .b 2009 - a 4019 - b 4019 = a 2009 .b 2010 + a 2010 .b 2009 = (a.b) 2009 .( a 2 +b 2 ) =1 2009 .(a +b) = 2 2 b) S m + n +S m -n = a m+n + b m+n + a m-n + b m-n = a m+n + b m+n + a n b n .( a m-n + b m-n ) (Do a n b n =1) = a m+n + b m+n + a m b n + a n b n = (a m + b m )( a n + b n ) = S m .S n Chó ý: Còng tõ c©u b ta suy ra S 2009 .S 2010 =S 4019 +S 1 ⇒ S 2009 .S 2010 - S 4019 = S 1 = 2 2 Bµi 2: Cho biĨu thøc : ( ) ( ) n n n S 5 4 5 4= + + − a) TÝnh S 2 b) Chøng minh r»ng S 2n = 2 n S - 2 (n ∈ N ; n ≥ 2) HD: a) = ( ) ( ) + + − = + + − = 2 2 5 4 5 4 9 2 20 9 2 20 18 b) §Ỉt a = + 5 4 vµ b = −5 4 th× a.b = 1 Ta cã 2 n S - 2 = (a n + b n ) 2 - 2 = a 2n + b 2n +2a n b n -2 = a 2n + b 2n +2(ab) n -2 = a 2n + b 2n = S 2n Bµi 3: Gäi x 1 ; x 2 ; x 3 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x 3 - 5x 2 + 3x + 1 = 0 (1) §Ỉt A n = x 1 n + x 2 n + x 3 n . Chøng minh r»ng A n lµ sè nguyªn víi (víi mäi n * ∈¥ ) (TrÝch ®Ị thi HSG TØnh HY n¨m häc 2009 - 2010) HD: Gi¶i PT (1) t×m ®ỵc x 1 = 1; x 2;3 = ±2 5 Ta cã A n = ( ) ( ) + + + − n n n 1 2 5 2 5 . §Ỉt B n = ( ) ( ) + + − n n 2 5 2 5 . Ta cã B n+2 = ( ) ( ) + + + + − n 2 n 2 2 5 2 5 = + + + + − + + − − + − + + − n 1 n 1 n n (2 5) (2 5) . (2 5) (2 5) (2 5).(2 5) (2 5) (2 5) giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 9 ⇒ B n+2 = 4B n+1 + B n (*) Ta l¹i cã B 0 = 2∈ ¢ ; B 1 = 4∈ ¢ (**). Tõ (*) vµ (**) ⇒ B n ∈ ¢ víi mäi n * ∈¥ .VËy A n lµ sè nguyªn víi (víi mäi n * ∈¥ ) Bµi 4: Gi¶ sư ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x 1 ;x 2. . §Ỉt S n = x 1 n +x 2 n (n nguyªn d¬ng) a) CMR aS n + 2 + bS n+ 1 + cS n = 0 b) ¸p dơng: TÝnh gtr cđa: A= 55 2 51 2 51 − + + HD: a. §k ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm lµ b 2 - 4ac ≥ 0 Ta cã: aS n + 2 + bS n+ 1 + cS n = a(x 1 n+2 +x 2 n+2 ) + b(x 1 n+1 +x 2 n+1 ) + c(x 1 n +x 2 n ) = (ax 1 n+2 + bx 1 n+1 + cx 1 n ) + (ax 2 n+2 + bx 2 n+1 + c+x 2 n ) = x 1 n (ax 1 2 + bx 1 + cx 1 ) + x 2 n (ax 2 2 + bx 2 + cx 2 ) = x 1 n .0 + x 2 n .0 = 0 (Do x 1 vµ x 2 lµ nghiƯm cđa (1) nªn ax 1 2 + bx 1 + cx 1 = 0 vµ ax 2 2 + bx 2 + cx 2 = 0) b. §Ỉt S 5 = ( ) ( ) 5 5 1 5 1 5 + + − th× S 1 = ( ) ( ) 1 1 1 5 1 5 2 + + − = ; S 2 = ( ) ( ) 2 2 1 5 1 5 12 + + − = - Ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x nhËn 1 2 1 5; 1 5x x = + = − lµm nghiƯm lµ: x 2 - 2x - 4 = 0 (a =1; b = -2; c = -4) - Theo c©u a ta cã 1.S 3 + (-2)S 2 + (-4)S 1 = 0. Do S 1 = 2 vµ S 2 = 12 nªn ta t×m ®ỵc S 3 = 32 - T¬ng tù cã: 1.S 4 + (-2)S 3 + (-4)S 2 = 0. Víi S 2 = 12; S 3 = 32, t×m ®ỵc S 4 = 114 - cã : 1.S 5 + (-2)S 4 + (-4)S 3 = 0. Víi S 3 = 32, S 4 = 114, T×m ®ỵc S 5 = 356 VËy A = S 5 / 32= … d¹ng 6: mét sè bµi tËp kh¸c Bµi 1. Cho a lµ mét nghiƯm d¬ng cđa ph¬ng tr×nh 4x 2 + 2 x - 2 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 4 2 a +1 A = a + a +1 -a (TrÝch ®Ị thi HSG TØnh HY 2009 - 2010) HD: a lµ mét nghiƯm d¬ng cđa ph¬ng tr×nh 4x 2 + 2 x - 2 = 0 ⇒ 4a 2 + 2 a - 2 = 0 ⇒ 2 2 4 1 a 1 2a a a ;a 8 2 2 − − + = = Ta cã: 4 2 a +1 A = a +a +1 -a = 8 8 3 2 8 2 2 2 2 2 2 + + + = = + = 2 4 2 1-2a + a a 1-a a 1-a A = a +a +1 + a + Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh x 2 + x - 1 = 0. Cmr phtr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu. Gäi x 1 lµ nghiƯm ©m cđa ph¬ng tr×nh. H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 11 8 1 1310 xxxP +++= Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc ( ) 2009 23 283 ++= xxA víi ( ) 25 56145 38517 3 +⋅ −+ − = x HD: *BiÕn ®ỉi mÉu sè: M = ( ) 2 5 14 6 5 5 3 5 5 3 5 3 − − = + − = + − = ⇒ M = 3 *BiÕn ®ỉi ts: T 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 17 5 38 5 2 17 5 38 17 5 38 17 5 38 1 − + = − + = − = ⇒ T = 1 VËy x = 3 1 thay vµo biĨu thøc A ta cã: 2009 3 2 2009 2009 2 2 1 1 1 8 3. 8. 2 2 3 3 3 3 3 A = + + = + + = ÷ ÷ ÷ VËy A=3 2009 giáo viên biên soạn : hàng minh khang – tt luyện thi kiến thức minh trí 10 [...]... 7 + 4 3 − x 9 − 4 5 2 + 5 + x ) 2 = 4 9 + 4 5 (A = 1) phơ lơc 1 C¸c c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n bËc hai 5) A B = A 2 B (Víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0) A B = - A 2 B (Víi A < 0 vµ B ≥ 0) 1) A 2 = A 2) AB = A B (Víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0) A A = B B 3) (Víi A ≥ 0 vµ B > 0) A 1 = B B 6) 4) A 2 B = A B (Víi B ≥ 0) 7) AB (Víi AB ≥ 0 vµ B ≠ 0) A A B = (Víi B > 0) B B 8) C C( A mB) = (Víi A ≥ 0 vµ A ≠ B2) 2 A−B A ±B 9) C C( A m... A +3A B +3AB +B = A + B +3AB (A + B) (4) 3 3 2 2 3 3 3 (A-B) = A -3A B +3AB -B = A + B - 3AB (A - B) (5) 3 3 2 2 A +B =(A+B)(A +AB +B ) (6) 3 3 2 2 A +B = (A+B)(A +AB +B ) (7) C¸c H§T thêng dïng ë líp 9 2 (1) a ± 2 ab + b = a ± b 2 a − b = ( ( a+ b )( ) a− b 3 a a + b b = a 3 + b 3 = 4 a a − b b = a 3 − b3 = ( ( ) (2) )( b) (a+ a + b a − ab + b a− ab + b ) ) (3) (víi a ≥ 0, b ≥ 0) (4) (víi a ≥ 0, b . 1= − − 9) 5 222 vµ 3 111 19) 2000 199 9; 2001 2000 − − 10) 23 2 19 và 27 3 − 20) 1 8 2 vµ 1 27 3 30) 5 1 2 5 và 2 + + Bµi 2 a*) So s¸nh 1 1 1 1 S 1. 199 8 2. 199 7 k.( 199 8 k 1) 1.( 199 8 1) =. - S 40 19 = (a 20 09 + b 20 09 )( a 2010 + b 2010 ) -(a 40 19 + b 40 19 ) = a 40 19 + b 40 19 + a 20 09 .b 2010 + a 2010 .b 20 09 - a 40 19 - b 40 19 = a 20 09 .b 2010 + a 2010 .b 20 09 = (a.b) 20 09 .(. 1.( 199 8 1) = + + + + + − + − vµ 199 8 2. 199 9 HD c©u a: Tõ B§T: 2a b ab+ ≥ víi a,b kh«ng ©m 1 2 2 a b ab a b ab + ≤ ⇒ ≥ + b) Cho A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 . Hãy so sánh A + B và A. B Bµi