on tap toan 9 co ban

TÀI LIỆU ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết) 1. Một số kỹ năng cơ bản Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức 1) 2 ( 2 1)+ 2) 2 ( 2 1)− 3) 2 ( 3 2)− 4) 2 ( 3 2)− 5) 2 ( 3 2)+ 6) 2 ( 3 2)− 7) 2 (2 2 2)+ 8) 2 (2 2 2)− 9) 2 2 1+ 10) 2 2 1− 11) ( 2 1)( 2 1)+ + 12) 2 2 8− Bài 2:Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu 8 2 15+ ; 10 2 21− ; 5 24+ ; 12 140− ; 14 6 5+ 8 28− ; 9 4 2+ ; 28 6 3+ ; 17 18 2+ ; 51 10 2+ Bài 3: Phân tích thành nhân tử 1) 1 3 5 15+ + + ; 2) 10 14 15 21+ + + ; 3) 35 14 15 6+ − − 4) 3 18 3 8+ + + ; 5) 2 36x 5− ; 6) 25 – 3x 2 ; 7) x – 4 (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0) ; 9) 31 + 7x (x < 0); 10) x y y x+ Bài 4: Tính: A 21 6 6 21 6 6= + + − HD: Ta có: 6 6 2. 3.3 2= và 2 2 21 ( 3) (3 2)= + . Từ đó suy ra: A 6 2= Bài 5: Tìm giá trị của x để 1) x 2 − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất 2) 2 1 x 2x 5+ + có giá trị lớn nhất 3) 2 2 2x 5 2x 1 + + có giá trị lớn nhất 4) 2 2 x 2x 1 x 4x 5 − + + + có giá trị nhỏ nhất Bài 6: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên 1) A = 6 x 1− ; 2) B = 14 2x 3+ ; 3) C = x 5 x 2 + + ; 4) D = 4x 3 2x 6 + − Bài 7: Giải các bất phương trình 1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) ; 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 3) 5x 2 1 2x 4 12 − − > ; 4) 11 3x 5x 2 10 15 − + < 2. Bài tập tổng hợp Bài 8: Cho biểu thức: 2 x 1 x 1 2 x 1 A : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + −     = − − +  ÷  ÷ − + − + −     a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 8= + c) Tìm giá trị của x khi A = 5 HD: a) ĐK: x ≠ ±1: 2 4x A 1 x = − ; b) x 3 8 1 2= + = + . Khi đó: A = −2 ; c) 1 x 5= − ; 2 5 x 5 = Bài 9: Cho biểu thức: 2 x 1 10 5 A x 3 x 2 x x 6 + = − + + − + − a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị của x để A > 0 HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2 ; b) x 1 A x 2 + = − ; c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1 Bài 10: Cho biểu thức 2 2 2 2a a a 2 a 2 4a C a 3 a 2 a 2 4 a   − − + = − +  ÷ + + − −   a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C b) Tìm các giá trị của a để C = 1 c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm? HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) 2 4a C a 3 = + ; c) C = 1 ⇔ a 1 3 a 4 =    = −  ; d) C > 0 ⇔ a 0 a 2 a 3 ≠   ≠ ±   > −  ; C < 0 ⇔ a < −3 Bài 11: Cho biểu thức 1 1 x 2 C x 3 : x 1 : x 1 x 1 x +     = − + − −  ÷  ÷ − −     a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị của biểu thức C khi x 6 20= + d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) x 2 C x 2 − = + ; c) C 5 2= − ; d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2} Bài 12: Cho biểu thức: a a 1 a a 1 a 2 A : a 2 a a a a   − + + = −  ÷  ÷ − − +   a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên? HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2. b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: 2(a 2) A a 2 − = + ; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn. Bài 13: Cho biểu thức: x 2x x B x 1 x x − = − − − a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B khi x 3 8= + c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1= − b) 2 x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + = ; c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1 . Bài 14: Cho biểu thức a 3 3 a B 2 a 6 2 a 6 + − = − − + a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1? c) Tìm các giá trị của x để B = 4 HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9: a 9 B a 9 + = − ; b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9 ; c) B = 4 ⇔ a = 15 Bài 15: Cho biểu thức A = 1 1 1 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x     + − +  ÷  ÷ − + − + −     a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được 1 A x(1 x) = − b) 2 1 x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5) 2 = − = + = − − c) min A = 4 khi 1 x 4 = Bài 16: Cho 2 x 2 x 2 1 x P . x 1 x 2 x 1 2   − + −   = −  ÷  ÷  ÷ − + +     1) Rút gọn P . 2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của P. HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả: P x(1 x)= − 2) Nếu 0 < x < 1 thì : 0 x 1< < ⇔ P > 0. 3) 2 1 1 1 P x 4 2 4   = − − ≤  ÷   . Dấu "=" xảy ra ⇔ 1 1 x x 2 4 = ⇔ = . Vậy: 1 1 max P x 4 4 = ⇔ = Bài 17: Cho biểu thức 3 1 1 x x B x 1 x x 1 x x 1 − = + + − − − + − a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị của x khi B = 4 d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên HD: a) x > 1; b) B x 2 x 1= − − ; c) B = 4 ⇔ x = 10; d) B nguyên x = m 2 + 1 (m ∈ Z) Bài 18: Cho biểu thức: 1 1 x 1 A : x x x 1 x 2 x 1   + = +  ÷ − − − +   a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A. b) So sánh A với 1 HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có: 2 1 x ( x 1) x 1 A . x( x 1) x 1 x + − − = = − + b) Xét hiệu: A – 1 = x 1 x 1 x 1 1 0 x x x − − − − = = − < . Vậy: A < 1 Cách 2: Dễ thấy: A = 1 1 1 x − < vì: 1 0 x > Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết) Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1). ĐS: a = 3 và b = −5 Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5). ĐS: y = −2x + 7. Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3. ĐS: y = 4x + 12 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. ĐS: y = −x + 2. Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3) c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2 ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x 2 và 2 đường thẳng: (d 1 ): mx − y − 2 = 0 và (d 2 ): 3x + 2y − 11 = 0 a) Tìm giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) khi m = 1 b) Với giá trị nào của m thì (d 1 ) song song với (d 2 ) c) Với giá trị nào của m thì (d 1 ) tiếp xúc với (P). HD: a) M(3 ; 1); b) 3 m 2 = − c) (d 1 ) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x 2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m 2 = 16 ⇔ m 4 m 4 =   = −  Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) (d 1 ): 5x + 11y = 8; (d 2 ): 10x − 7y = 74; (d 3 ): 4mx + (2m − 1)y = m + 2 b) (d 1 ): 3x + 2y = 13; (d 2 ): 2x + 3y = 7 ; (d 3 ): (d 1 ): y = (2m − 5)x − 5m HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8 Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) ; b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5) HD: a) 2 2 AB (5 1) (4 1) 5= − + − = ; b) 2 2 AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈ Bài tập về nhà Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5). Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ. Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung. Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005. Hãy viết phương trình đường thẳng (d). Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x 2 Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để: a) Hai đường thẳng cắt nhau b) Hai đường thẳng song song với nhau c) Hai đường thẳng trùng nhau Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết) 1. Hệ phương trình bậc nhất Bài 1: Giải các hệ phương trình: 1) x 2y 3 2x y 1 + =   − =  2) 3x 4y 2 2x 3y 7 − =   + =  3) x 7y 2 2x y 11 − = −   + =  4) 2x 3y 10 3x 2y 2 + =   − =  Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a) 1 1 4 x y 5 1 1 1 x y 5  + =     − =   ; b) 15 7 9 x y 4 9 35 x y  − =     + =   ; c) 1 1 5 x y x y 8 1 1 3 x y x y 8  + =  + −    − = −  + −  ; d) 4 5 2 2x 3y 3x y 3 5 21 3x y 2x 3y  + =  − +    − =  + −  HD: a) ĐS: 10 (x ; y) 2 ; 3   =  ÷   ; b) 1 1 (x ; y) = ; 2 3    ÷   ; c) (x ; y) = (5 ; 3);d) 7 2 (x ; y) ; 66 11   =  ÷   Bài 3: Cho hệ phương trình mx y 1 x y 334 2 3 − =    − =   a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001). b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔ 3 m 2 = Bài 4: Cho hệ phương trình: x my 1 mx 3my 2m 3 + =   − = +  a) Giải hệ phương trình với m = –3 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ 0 và m ≠ –3 Bài 5: Cho hệ p/trình: mx y 1 x y m − =   − + =  Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vô số nghiệm HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm Bài 6: Cho hệ phương trình: 2mx y 5 mx 3y 1 − + =   + =  a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0 2. Phương trình bậc hai Bài 7: Giải các phương trình: 1) x 2 – 4x + 3 = 0; 2) x 2 + 6x + 5 = 0; 3) 3x 2 – 4x + 1 = 0 ; 4) x 2 – 5x + 6 = 0 5) 2 ( 2 1)x x 2 0− + − = ; 6) 2 2x ( 2 1)x 1 0− + + = ; 7) 2 x ( 2 1)x 2 0+ − − = 8) x 4 – 11x 2 + 10 = 0; 9) 3x 4 – 11x 2 + 8 = 0; 10) 9x 4 – 22x 2 + 13 = 0 11) (2x 2 + x – 4) 2 – (2x – 1) 2 = 0; 12) (x – 3) 2 + (x + 4) 2 = 23 – 3x 13) 2 2 2x x x 8 x 1 x 3x 4 − + = + − − ; 14) 1 1 1 x 4 x 4 3 + = − + 15) 3(x 2 + x) – 2(x 2 + x) – 1 = 0 16) (x 2 – 4x + 2) 2 + x 2 – 4x – 4 = 0 Bài 8: Cho phương trình 2 x 3x 5 0+ − = và gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 , x 2 . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: a) 1 2 1 1 x x + ; b) 2 2 1 2 x x+ ; c) 2 2 1 2 1 1 x x + ; d) 3 3 1 2 x x+ HD: Đưa các biểu thức về dạng x 1 + x 2 và x 1 x 2 rồi sử dụng hệ thức Viét Bài 9: Cho phương trình: x 2 – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x 1 = 2. Tìm nghiệm x 2 . HD: m = 2, x 2 = 2 Bài 10: Cho phương trình x 2 + 2(m + 1)x + m 2 = 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2 HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 1 m 2 > − b) m = 0 hoặc m = 4 Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1) a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ∆' > 0 b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3 Bài 12: Cho phương trình x 2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m c) gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng: A = x 1 (1 − x 2 ) + x 2 (1 − x 1 ) không phụ thuộc vào giá trị của m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 7= ± b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m Bài 13: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình x 2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 theo m b) Tìm m để P nhỏ nhất HD: a) P = (x 1 + x 2 ) 2 − 2x 1 x 2 = 4(m − 1) 2 − 2(m − 3) = 4m 2 − 10m + 10 c) P = 2 15 15 (2m 5) 4 4 − + ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ 5 m 2 = Bài 14: Cho phương trình x 2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = 5 b) Tìm giá trị của m để ph/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 thỏa mãn 3x 1 + 2x 2 = 20 HD: a) Với m = 5 ⇒ x 1 = 1, x 2 = 5 b) Đáp số: m = −16 (x 1 = 8, x 2 = −2) Bài 15: Cho phương trình x 2 − 4x + k = 0 a) Giải phương trình với k = 3 b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x 1 = 1, x 2 = 3 b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4. ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3} Bài 16: Cho phương trình : x 2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. HD: a) ĐS: x 1 = 1, x 2 = 5 ; b) ĐS: m = − 20 Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x 2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) a) Giải phương trình (*) khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. HD: a) Khi m = 1: 1 x 2 = ; b) ĐS: 2 m , m 1 3 > ≠ . Bài 18: Cho phương trình x 2 − 2mx + (m − 1) 3 = 0 a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. HD: a) Với m = −1 ⇒ x 1 = 2, x 2 = −4 b) m = 0 hoặc m = 3 Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập ph/trình và hệ phương trình (4 tiết) Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0). Ta có phương trình: x x 1 5 5 30 25 3 6 + + = . Giải ra ta được: x = 75 (km) Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc. HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) Ta có phương trình: x x 2 20 24 3 − = . Giải ra ta được: x = 80 (km) Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) Ta có phương trình: x x x 60 : 40 60 : 50 1 2 2 40     − + + = −  ÷  ÷     . Giải ra ta được: x = 280 (km) Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 80 80 1 8 x 4 x 4 3 + = + − . Giải ra ta được: 1 4 x 5 = − (loại), x 2 = 20 (km) Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h. HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4) Ta có phương trình: 24 16 2 x 4 x 4 + = + − . Giải ra ta được x 1 = 0 (loại), x 2 = 20 (km/h) Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1) x 2,5x = + + . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn) Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động HD: Gọi số xe lớn là x (x ∈ Z + ). Ta có PT: 180 180 15 x x 2 − = + ⇒ x 1 = 4; x 2 = –6 (loại) Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N) Ta có phương trình: 100 100 5 x 2 x 2 − = − . Giải ra ta được: x 1 = −8 (loại), x 2 = 10 (thỏa mãn) Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng 2 5 diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9) Ta có phương trình: 2 2 4x (24 2x)(18 2x) 5 = − − . Giải ra ta được: x 1 = −18 (loại), x 2 = 4 (thỏa) Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y ∈ Z) Ta có hệ: 6(x y) 10x y x 5 xy 25 10y x y 4 + = + =   ⇔   + = + =   . Vậy số phải tìm là 54 Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 2 5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể. HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80) Ta có hệ: 80 80 1 x 120 x y 10 12 2 y 240 x y 15  + =  =   ⇔   =   + =   Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc. HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16) Ta có hệ: 16 16 1 x 24 x y 3 6 1 y 48 x y 4  + =  =   ⇔   =   + =   (thỏa mãn điều kiện đầu bài) Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x ∈ Z, x > 0) Ta có phương trình: 360 (x 1) 1 400 x   + + =  ÷   . Giải ra ta được: x 1 = 15, x 2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy. Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch. HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y ∈ N*) Ta có hệ phương trình: x y 600 x 200 0,18x 0,21y 120 y 400 + = =   ⇔   + = =   Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0). Ta có hệ: (x 1)(y 4) xy x 6 (x 2)(y 14) xy y 28 + − = =   ⇔   − + = =   Chuyên đề 5: Một số bài toán hình học tổng hợp (6 tiết) Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp µ A , O là trung điểm của IK a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) · · 0 KBI KCI 180+ = (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O) b) µ · µ 0 1 1 2 C OCI C I 90+ = + = $ ⇒ OC ⊥ AC ⇒ AC là tiếp tuyến của (O) c) 2 2 2 2 AH AC HC 20 12 16= − = − = (cm). 2 2 CH 12 OH 9 AH 16 = = = (cm) Vậy: OC = 2 2 2 2 OH HC 9 12 225 15+ = + = = (cm) Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp b) Tính góc · CHK c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào? HD: a) · · 0 BHD BCD 90= = ⇒ BHCD nội tiếp b) · · · 0 0 DHC DBC 45 CHK 45= = ⇒ = c) ∆KCH ∆KDC (g.g) ⇒ KC.KD = KH.KB d) · 0 BHD 90= ⇒ Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên » BC Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định HD: a) · · 0 OMP ONP 90= = ⇒ ONMP nội tiếp b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO là hình bình hành c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra: CM CO CD CN = ⇒ CM.CN = CO.CD = Const d) ∆ONP = ∆ODP (c.g.c) ⇒ · 0 ODP 90= . Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định. Vì M ∈ [AB] nên P ∈ [EF] Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? tại sao? c) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB). Gọi K ≡ MH ∩ EB. So sánh MK với KH HD: a) · · 0 EOA OME 180+ = ⇒ AEMO nội tiếp b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông. c) ∆EMK ∆EFB: EM EF MK BF = do MF = BF ⇒ EM EF MK MF = 2 1 1 H B C O A K I K H B C A D E 1 1 1 1 P N E F D C O A B M x y K H Q P E F O A B M Mặt khác: ∆ABE ∆HBK: EA AB HK HB = . Vì: EF AB MF HB = (Talet) ⇒ EM EA MK KH = . Vì: EM = AE ⇒ MK = KH. Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho 2 AI AO 3 = . Kẻ dây MN ⊥ AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM 2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI 2 HD: a) Dễ thấy · · 0 BIE ECB 180+ = ⇒ IECB nội tiếp. b) Ta có ¼ » · · AM AN AME ABM= ⇒ = ⇒ ∆AME ∆ACM (g.g) ⇒ AM 2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI 2 = AI.IB (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: AI 2 = AM 2 − MI 2 = AE.AC − AI.IB Bài 6: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, µ 0 A 45= . Vẽ các đường cao BD và CE của ∆ABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC c) Tính tỉ số DE : BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. CM: OA ⊥ DE. HD: a) Ta có: · · 0 AEH ADH 180+ = ⇒ đpcm b) ∆v.AEC có µ 0 A 45= ⇒ · 0 ACD 45= ⇒∆DCH vuông cân tại D ⇒ HD = HC. c) ∆ADE ∆ABC (g.g) ⇒ DE AE AE 2 BC AC 2 AE. 2 = = = . d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có · · BAx BCA= mà · · BCA AED= (cùng bù với · DEB ) ⇒ · · BAx AED= ⇒ DE // Ax ⇒ OA ⊥ DE. Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì · · BMD BCD+ không đổi c) DB.DC = DN.AC HD: a) CBMD nội tiếp trong đường tròn đường kính CD b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiếp ⇒ · · 0 BMD BCD 180+ = c) Ta có: · 0 ANB 90= (gt) ⇒ N ∈ (O) Mặt khác: · · BDN BAN= (Cùng chắn » BN ) và · · BAN ACD= (So le trong) Suy ra: · · BDN ACD= . Lại có: · · · DAC DAN DBN= = (Cùng chắn » DN ) Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) ⇒ đpcm Bài 8: Cho ∆ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F O' E N M I O A B C x O H D E A B C M N C O A B D 2 2 1 1 1 O 2 O 1 F E H C A B [...]... tại I K c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh C 1 2 rằng KCOH nội tiếp 4 3 I · · HD: a) MCI = MDI = 90 0 ⇒ MCID nội tiếp b) Chứng minh I là trực tâm của ∆MAB rồi suy ra đường cao A MH đi qua I O H c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: µ µ µ µ C1 + C4 = 90 0 ⇒ C 2 + C3 = 90 0 , từ đó suy ra KCOH nội tiếp c) MN = EC = AC.BC = 10.40 = 20(cm) ; d) S = Bài 14: Cho ∆ABC vuông... AF.AC µ µ µ µ d) E1 + E 2 = H1 + H 2 = 90 0 ⇒ EF là tiếp tuyến của (O1) Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2) Bài 9 Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các A cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE a) Chứng minh BC // DE b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp O c) Tứ giác... Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật ⇒ EC = MN µ µ µ µ b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M1 + M 2 = C1 + C 2 = 90 0 ⇒ MN ⊥ MI µ µ µ µ Tương tự: N1 + N 2 = C3 + C 4 = 90 0 ⇒ MN ⊥ NK ⇒ MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn  1πAB 2 πAC 2 πBC 2  2 − −  ÷ = 100π(cm ) 2 4 4 4  Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB... thẳng AB và CD; AD và CE a) Chứng minh BC // DE b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp O c) Tứ giác BCQP là hình gì? HD: a) BC và DE cùng vuông góc với OD ⇒ BC // DE B C · · b) ODE + OCE = 1800 ⇒ CODE nội tiếp · · » » E Ta có: PAQ = PCQ (Do BD = CD )⇒ APQC nội tiếp D c) BCQP là hình thang Vì: P Q · · Ta có: QPC = CAQ (Cùng chắn cung QC của (APQC) · · · · » Lại có: QAC = QAP và QAP = BCP (cùng chắn... Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) K · · HD: a) Từ gt chứng minh: HAB = DAC = 450 rồi chứng A F · · · Minh: HAB + BAC + DAC = 1800 ⇒ H, A, D thẳng hàng · · b) Chứng minh FBC = 450 , BFC = 90 0 Suy ra H ∆BFC vuông cân · · · c) Chứng minh BKC = BEC = BMC = 450 , từ đó suy ra B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn Chú ý đến FMDC là tứ giác nội tiếp B C D B D  . · · 0 OMP ONP 90 = = ⇒ ONMP nội tiếp b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO là hình bình hành c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra: CM CO CD CN = ⇒ CM.CN = CO. CD = Const d) ∆ONP = ∆ODP. B< 1? c) Tìm các giá trị của x để B = 4 HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9: a 9 B a 9 + = − ; b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9 ; c) B = 4 ⇔ a = 15 Bài 15: Cho biểu thức A = 1 1 1 1 1 : 1. 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3. ĐS: y = 4x + 12 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành