Một đờng thẳng đợc gọi là một tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung duy nhất với đờng tròn đó.. Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.. Ngợc l
Trang 1Phần 1 Những kiến thức cơ bản
Dạng 1 Sự xác định và tính chất cơ bản cuả đờng tròn
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Định nghĩa : Tập hợp hay còn gọi là quỹ tích các điểm cách điểm O một khoảng cho trớc một khoảng không đổi R > 0 đợc gọi là đờng tròn tâm O bán kính R Ta thờng kí hiệu là (O ; R)
2 Hình tròn là tập hợp các điểm ở bên trong một đờng tròn và ác điểm của chính đờng tròn đó
3 Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định bởi một đờng kính của nó Nếu AB là một đoạn thẳng cho trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp tất cả các điểm M sao cho ãAMB 90= 0 Khi đó tam O
sẽ là trung điểm của AB, còn bán kính R AB
2
=
4 Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi Đờng tròn
đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung đó ra làm hai phần bằng nhau Ngợc lại, đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung( không đI qua tâm ) thì cuông góc với dây cung đó.
6 Trong một đờng tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm O Trong hai dây cung không bằng nhau, dây cung nào lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.
B Bài toán ví dụ :
1 Cho tứ giác ABCD có àC D 90+ =à 0 Gọi M, N, P,
Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA
Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một
đờng tròn
Q N
P
M
A
B
2 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB; C là một điểm
di động trên đờng tròn ; H là hình chiếu của C trên
AB Trên OC lấy OM = OH
a Khi H thuộc OB thì M chạy trên đờng nào ?
b Kéo dài BC một đoạn CD = CB Điểm D chạy
trên đờng nào ?
M O
D
C
H
Dạng 2 tiếp tuyến của đờng tròn
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Một đờng thẳng đợc gọi là một tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung duy nhất với đờng tròn đó Điểm đó đợc gọi là tiếp điểm.
2 Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm Ngợc lại, đờng thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn
3 Hai tiếp tuyến của đờng tròn xuất phát từ một điểm thì bằng nhau và đờng thẳng nối điểm này với tâm với tâm đờng tròn là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
4 Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó Tâm của đờng tròn nội tiếp là giao của ba đờng phân giác trong của tam giác
Trang 2
B Bài toán ví dụ :
1 Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Lấy AO
làm đờng kính vẽ nửa đờng tròn tâm O’ cùng phía
với nửa đờng tròn (O) Một cát tuyến bất kì qua A
cắt (O’) và (O) lần lợt tại C và D
a Chứng minh C là trung điểm của AD và các
tiếp tuyến tại C và D với các nửa đờng tròn song
song với nhau
b Nêu cách xác định điểm C sao cho BC là tiếp
tuyến của (O’)
C
O
D
O'
2 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp
đ-ờng tròn (O) Gọi D là trung điểm của AC; tiếp
tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E Tia
CE cắt (O) tại điểm thứ hai F
a Chứng minh : đờng thẳng BC song song với
tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O)
b Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành
c Gọi I là trung điểm của CF và G là giao của
các tia BC và OI So sánh các góc BAC và BGO
I G C
F
D O
E
B
A
H
3 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, AC là một
dây cung của nó Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đờng phân
giác góc Cax cắt đờng tròn tại E và cắt BC kéo dài
tại D
a Chứng minh tam giác ABD cân và OE // BD
b Gọi I là giao điểm của AC và BE Chứng minh
DI vuông góc với AB
c Khi C di động trên nửa đờng tròn (O) thì D chạy
trên đờng nào ?
x
I E
O
D
C
Dạng 3 vị trí tơng đối của hai đờng tròn
A Các kiến thức cần nhớ :
Giả sử hai đờng tròn (O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm Khi đó mỗi vị trí tơng đối giữa hai đờng tròn ứng với một hệ thức liên hệ giữa R và r nh sau :
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ
2 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
- Tiếp xúc trong
- Tiếp xúc ngoài
1
d = R – r
3 Hai đờng tròn không giao nhau
- ở ngoài nhau
- Đựng nhau
0
d > R + r
d < R + r
B Chú ý :
Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông
góc với dây cung chung và chia đôi dây cung này
B A
Trang 3C Bài toán ví dụ :
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ
tiếp tuyến chung BC(B, C là tiếp điểm) Gọi M là trung
điểm của BC Chứng minh :
a BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’
b Tam giác ABC vuông
c AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
d OM vuông góc với O’M
C
A
M
B
Dạng 4 góc nội tiếp
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh của nó cắt đờng tròn đó.
2 Trong một đờng tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau của một đờng tròn thì bằng nhau
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông
- Trong một đờng tròn, một góc nội tiếp không quá 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
B Chú ý :
Trong một đờng tròn hai dây cung không cắt nhau
AB và CD là song song khi và chỉ khi hai cung AC
và BD bằng nhau
AC // CD ⇔AC BDằ =ằ
C Bài toán ví dụ :
1 Cho đờng tròn tâm O và một điểm M ở ngoài
đ-ờng tròn MA, MB là hai tiếp tuyến của đđ-ờng tròn
(O) C là một điểm trên cung AB của đờng tròn tâm
M bán kính MA ( cung AB nằm trong đờng tròn
(O)) Các tia AC, BC cắt đờng tròn (O) tại P, Q (
P A,Q B≠ ≠ ) Chứng minh PQ đi qua O.
B
A
O
Q
P
2 Cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, K là
điểm chính giữa của cung AB Trên cung KB lấy
một điểm M (M khác K và B) Trên tia AM lấy
điểm N sao cho AN = BM
a Chứng minh AKN∆ = ∆BKM
b Chứng minh tam giác KMN vuông cân
c Kẻ dây BP song song với KM Tứ giác ANKP là
P
N K
O
M
Trang 43 Cho đờng tròn (O) và một cát tuyến CAB Từ
điểm chính giữa E của cung lớn AB kẻ đờng kính
EF, cắt AB tại D CE cắt (O) tại điểm thứ hai I Các
dây AB và FI cắt nhau tại K Chứng minh :
a Bốn điểm E, D, K, I cùng thuộc một đờng tròn
b CI.CE = CK.CD
c IC là phân giác của góc ngoài tại đỉnh I của tam
giác AIB
D
A K I
F
E
O
4 Tam giác ABC vuông tại A M là một điểm trên
AC đờng tròn đờng kính CM cắt BM và BC lần lợt
tại D và N; AD cắt đờng tròn nói trên tại S Chứng
minh :
a Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn
b CA là phân giác của góc SCB
c Các đờng thẳng AB, MN, CD đồng quy
S
N
O
M
D A
Dạng 5 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đờng tròn (O) tạo nên một góc gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax
và dây cung AB.
2 Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung
bị chắn.
B Bài toán ví dụ :
1 Cho đờng tròn (O) cà đờng thẳng d ở ngoài đờng
tròn A là hình chiếu của O trên d Kẻ cát tuyến
ABC và hai tiếp tuyến Bx, Cy cắt d lần lợt tại D,E
Chứng minh AE = AD
D
E
O
B
A
C
2 Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A
và B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax và
By cùng vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm I; tia
vuông góc với CI tại C cắt By tại K Đờng tròn
đ-ờng kính IC cắt IK tại P Chứng minh :
a Bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đờng tròn
b AI.BK = AC.CB
c Tam giác APB vuông
y x
P
K
I
Trang 53 Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB M là
một điểm bất kì trên cung AB Kẻ MD vuông góc
với AB Qua điểm C trên cung MB kẻ tiếp tuyến Cx
cắt DM tại I, DM cắt AC ở E và cắt BC kéo dài ở F
chứng minh :
a Các tứ giác BCED và ADCF nội tiếp đợc trong
một đờng tròn
b ãMEC ABC=ã
c I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEC
x
E I
M
C F
Dạng 6 góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
2 Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn có số đo bằng một nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc đó.
A
C
A
C
B
D
B
2
2
B Bài toán ví dụ :
Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến
MBA và hai tiếp tuyến MC, MD Phân giác của góc
ACB cắt AB tại E chứng minh :
b.DE là phân giác của góc ADB
E B
M
C
D
A
Dạng 7 quỹ tích cung chứa góc
A Các kiến thức cần nhớ :
1 Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc a không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB, gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB.
Đặc biệt cung chứa góc 90 0 là đờng tròn đờng kính AB
2 Dựng tâm O của cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB :
- Dựng đờng trung trực d của AB
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc a
- Sau đo dựng Ax’ vuông góc với Ax
O là giao điểm của Ax’ và d
d x' x
a O
Trang 6B Bài toán ví dụ :
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, K là điểm chính
giữa của cung AB, M là một điểm di động trên cung
BK Trên AM lấy điểm N sao cho AN = BM Chứng
minh :
a Tam giác MNK vuông cân
b Đờng thẳng vuông góc với AM tại N luôn đi qua
một điểm cố định Từ đó suy ra N chạy trên một cung
tròn cố định
x I
K
M
N
Dạng 8 tứ giác nội tiếp một đờng tròn
A Các kiến thức cần nhớ :
1 tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn đó, còn đờng tròn đợc gọi là ngoại tiếp tứ giác
2 Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng hai vuông
Ngợc lại, một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng hai vuông thì tứ giác đó nội tiếp đợc
B Bài toán ví dụ :
1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O)
S là điểm chính giữa cung AB SC và SD cắt AB tại
E và F
a Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc
b Chứng minh SO là phân giác góc ASB
c DE và CF kéo dài cắt (O) lần lợt tại M và N
Chứng minh SO vuông góc với MN
E F
O
A
B
C D
S
N M
2 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Đờng
tròn đờng kính BC cắt AB và AC lần lợt tại E và F,
BF cắt CE tại H Gọi K là điểm đối xứng với H qua
BC Chứng minh :
a K nằm trên đờng tròn (O)
b EF vuông góc với OA
x
F E
O'
H O A
K
3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O)
Gọi điểm chính giữa của các cung AB, BC, CD, DA
lần lợt là M, N, P, Q
a Chứng minh MP và NQ vuông góc với nhau
b Gọi giao điểm của DC với PA, PB theo thứ tự là
E, F chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đợc
F E
I Q
M
N P
O
C D
Trang 7Phần 2 toán theo chuyên đề.
Chuyên đề 1 chứng minh tứ giác nội tiếp
A Ph ơng pháp: Có hai phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh một tứ giác là nội tiếp :
- Chứng minh hai góc đối diện có tổng bằng 1800
- Chứng minh có hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới cùng một góc.
B Các bài toán :
1 Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm
A và B Gọi EF là một tiếp tuyến chung của chúng
AB cắt EF tại I
a Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng
b Chứng minh I là trung điểm của EF
c Gọi C là điểm đối xứng của B qua I Chứng
minh tứ giác AECF nội tiếp đợc
I B
A
O
O'
E C F
2 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và một
đ-ờng thẳng d vuông góc với AB tại H M là điểm di
động trên nửa đờng tròn Giao điểm của d với MA,
MB lần lợt tại C, D
a Chứng minh HC.HD = HA.HB
b Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua H Chứng
minh tứ giác ACDB’ nội tiếp
c Khi M di dộng trên cả đờng tròn (O) thì tâm I
của đờng tròn ngoại tiếm tam giác ADC chạy trên
d
B'
C O
M
H D
3 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và
B Các tiếp tuyến tại A của (O) và (O’) cắt (O’) và
(O) lần lợt tại E và F Gọi I là tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác EAF
a Chứng minh tứ giác OAO’I là hình bình hành và
OO’// BI
b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O’ cùng thuộc
một đờng tròn
c Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB
Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp
F
E B
A
I
Chuyên đề 2 chứng minh MộT ĐƯấng THẳNG là tiếp tuyến
Của một đờng tròn
A Ph ơng pháp: Có hai phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn :
- Chứng minh đờng thẳng đã cho vuông góc với bán kính của đờng tròn tại đầu mút của nó.
- Để chứng minh d là tiếp tuyến của đờng tròn tại tiếp điểm A ta chứng minh góc tạo bởi tia Ad với một dây cung AB nào đó bằng một góc nội tiếp chắn cung AB.
B Các bài toán :
Trang 8Chuyên đề 3 chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuông góc
A Ph ơng pháp: Dựa vào các dấu hiệu song song, vuông góc để chứng minh
B Các bài toán :
Chuyên đề 4 chứng minh ba điểm thẳng hàng
A Ph ơng pháp: Có ba phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh ba điểm thẳng hàng :
- Chứng minh hai đờng thẳng tạo thành từ ba điểm đã cho cùng vuông góc hoặc cùng song song với một
đờng thẳng nào đó.
- Lợi dụng hai góc kề bù.
- Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi qua điểm thứ ba.
B Các bài toán :
Chuyên đề 5 chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
A Ph ơng pháp: Có ba phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy :
- Dựa vào tính đồng quy của các đờng trong tam giác
- Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thẳng thứ ba.
- Chứng minh các đờng đều đi qua một điểm cố định.
( mỗi phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bởi những kĩ năng khác nhau.)
B Các bài toán :
Chuyên đề 6 chứng minh điểm cố định
A Ph ơng pháp:
- Di chuyển các điểm di động đến những vị trí đặc biệt để phán đoán ra điểm cố định và chứng minh
điều phán đoán.
- Để xác định vị trí đặc biệt của một yếu tố để một hình nào đó có dạng đặc biệt ta giả sử hình đặc biệt
đó hình thành sau đó tìm ra mối liên hệ với các hình cố định để tìm ra sự ràng buộc của yếu tố cần tìm.
B Các bài toán :
Chuyên đề 7 toán cực trị
A Ph ơng pháp: Chứng minh một đoạn thẳng là lớn nhất hay nhỏ nhất thờng dựa vào các kết luận sau :
- Đoạn thẳng nối liền hai điểm nhỏ hơn bất kì đờng gấp khúc nào nối hai điểm đó ( BĐT tam giác )
- Nếu cho trớc một điểm ở ngoài một đờng thẳng thì đờng vuông góc ngắn hơn mọi đờng xiên cùng kẻ từ
điểm đó tới đờng thẳng.
- Trong đờng tròn, đờng kính có độ dài lớn hơn mọi dây cung khác.
B Các bài toán :
Chuyên đề 8 quỹ tích
A Ph ơng pháp:
1 Lời giải bài toán quỹ tích gồm hai phần :
Phần thuận : Chứng minh những điểm M có tính chất đã cho thuộc hình H.
Phần đảo : Chứng minh mỗi điểm của hình H đều có tính chất đã cho.
Đôi khi trong phần thuận ta tìm đợc hình H’ chứa hình H Khi đó ta cần dựa vào giả thiết để giới hạn
hình H’ thành hình H rồi mới tiến hành phần đảo(phần này thờng đợc gọi là phần “giới hạn”)
2 Để chứng minh quỹ tích những điểm M là đờng tròn ta thờng dùng hai cách :
- Chứng minh điểm M cách một điểm cố định một khoảng không đổi
- Chứng minh M nhìn một đoạn cố định dới một góc vuông.
B Các bài toán :
Trang 91 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai
tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với
nửa đờng tròn tại C ( khác A và B ) cát Ax, By lần
lợt tại E và F chứng minh :
a EO vuông góc với OF
b Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB
c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với
AB
2 Cho ∆ABC cân tại C, I là trung điểm của AB
Đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại A cắt CI tại H
a Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
b Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC Chứng
minh B’ cũng thuộc đờng tròn (O)
c Chứng minh điều ngợc lại là nếu H là trực tâm
của tam giác cân ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam
giác AHC tiếp xúc với AB
3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C, D là hai
điểm trên đó AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa
đờng tròn lần lợt tại E và F
a Chứng minh ãABD AFB, ABC AEB.=ã ã =ã
b Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là
tiếp tuyến của nửa đờng tròn
d Giả sử CD cắt Bx tại G, phân giác của góc CGE
cắt AE, AF lần lợt tại N, M Chứng minh tam giác
AMN cân
