Sở GD & ĐT Hà Nội KIỂM TRA HỌC KÌ II Trường THPT Phúc Thọ Năm học: 2009-2010 ………… *……………… ……… *………… Môn: TOÁN Lớp 11 Thời gian: 90 phút ( Không tính thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG Câu1(2điểm): a) 2 1 lim 1 3 x x A x x →+∞ + = + − b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số 3 y = f(x) = 2x + 3x 1 − − tại điểm M(0;-1). Câu2(2điểm): 1. (1đ) Cho hàm số : 2 4 2 1 1 khi 0 ( ) 1 khi 0 x x f x x x m x + − ≠ = + − = (m là tham số) Tìm m để hàm số f liên tục tại 0x = . Câu3(4điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuômg góc với đáy và SA = a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SD. a) Chứng minh AH vuông góc với SC. b) Chứng minh mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SAC). c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). II. PHẦN THI RIÊNG CHO TỪNG BAN : 1. Phần dành cho ban KHTN Câu4A(2điểm). a) Tính 1 2 sin lim 2 n n n π + + . b) Tính đạo hàm cấp n ( ) * , 2n N n∈ ≥ của hàm số 2 1 ( ) 1 x x f x x − + = − , Áp dụng tính (100) 1 (2) 98! f . 2. Phần dành cho ban KHXH&CB Câu4B(2điểm). a) Tính 2 1 sin lim 2 n n n π + − b) Cho hàm số 1 ( ) 99!. f x x = .Tính (100) (1)f . ………… HẾT……… (Thí sinh không được xem tài liệu) ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOAN LỚP 11 (Năm 2009-2010) Câu Đáp Án Điểm 1a) 2 2 1 1 lim lim 1 1 1 3 1 3 x x x x A x x x x x x →+∞ →+∞ + + = = + − + − ÷ ÷ 2 1 1 1 lim 2 1 1 3 x x x →+∞ + = = − + − ÷ 1b) 2 ' '( ) 6 3y f x x = = − + Hệ số góc của tiếp tuyến: '(0) 3f = Vậy phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M là: 3 1y x= − . 2 3 O H K A B C D S I 3a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 SA ABCD gt SA BC ABCD AB BC ABCD la hv BC SAB BC AH SAB • ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ • ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ • SA AB a= = ⇒ Tam giác SAB cân tại A. suy ra trung tuyến AH cũng là đường cao ( ) ( ) ( ) AH SB 2 1 ; 2 AH SC ⇒ ⊥ • ⇒ ⊥ 3b) AH SC• ⊥ (3) chứng minh tuơng tự ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim lim 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x f x x x x x x x x → → → → + − = = = = + + + + + + + Hàm số f liên tục tại x = 0 0 lim ( ) (0) x f x f → ⇔ = 1 3 1 2 2 m m⇔ = − ⇔ = AK SC• ⊥ (4) Từ (3) và (4) suy ra ( )SC AHK⊥ ( ) ( )SAC AHK⇒ ⊥ 3c) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 C/m h/ccua SC mp . ,( ) ( , ) vuong can tai 2 1 ˆ ˆ vuong tai B tanBSC (BSC) 35 15' 2 2 BC SAB a SB SAB SC SBA SB SC SAB A SB a BC a SBC SB a • ⊥ ⇒ = •∆ ⇒ = •∆ ⇒ = = = ⇒ ≈ 3d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ABCD la hv Trong dùng ; BD AC BD SA BD SAC BD SBD SAC SBD SAC AI SO AI SBD d A SBD AI • ⊥ • ⊥ ⊥ ⇒ ⊂ ⇒ ⊥ • ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 2 2 2 2 2 vuong tai , 1 1 1 1 3 2 , 0 2 2 3 3 SAO A AI SO AC a AO AI AS A a a a AI • ⊥ = + = + = = ÷ ÷ ⇒ = V 4A a) 1 2 sin lim 2 n n n π + + = sin sin lim(2 ) 2 lim 2 2 n n n n π π + = + Nhận xét sin 1 0 sin 1 0 2 2 n n n n π π ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ và 1 lim 0 2 n = Vậy 1 2 sin lim 2 n n n π + + = 2 4A b) 2 1 ( ) 1 x x f x x − + = − = 1 1 x x − + − ; 2 1 '( ) 1 (1 ) f x x = − + − 3 4 1.2 1.2.3 ''( ) ; '''( ) (1 ) (1 ) f x f x x x = = − − (4) (5) 5 6 1.2.3.4 1.2.3.4.5 ( ) ; ( ) (1 ) (1 ) f x f x x x = = − − ……………………………………… Qui nạp ta có: ( ) 1 ! ( ) , 2 & (1 ) n n n f x n n N x + = ≥ ∈ − Thật vậy, với n=2: 3 3 2 2! "( ) (1 ) (1 ) f x x x = = − − (đúng) Giả sử hàm số có đạo hàm cấp n =k và ( ) 1 ! ( ) , (1 ) k k k f x x + = − k > 2 Ta cm: ( 1) 2 ( 1)! ( ) (1 ) k k k f x x + + + = − ' ' ( 1) ( ) 1 2 ! ( 1)! ( ) ( ) (1 ) (1 ) k k k k k k f x f x x x + + + + = = = − − (đpcm) Áp dụng tính (100) 1 (2) 98! f = 101 1 100! . 9900 98! (1 2) = − − 4B a) 2 1 sin lim 2 n n n π + − = sin sin 1 1 lim(1 ) 1 lim lim 2 2 2 2 n n n n n n π π + − = + − Nhận xét: sin 1 0 sin 1 0 2 2 n n n n π π ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ và 1 lim 0 2 n = Vậy 2 1 sin lim 2 n n n π + − = 1 + 0 – 0 = 1. 4B b) 1 ( ) 99!. f x x = Tính (100) (1)f 2 3 (4) 4 5 1 1.2 '( ) ; ''( ) 99!. 99!. 1.2.3 1.2.3.4 '''( ) ; ( ) 99!. 99!. f x f x x x f x f x x x = − = = − = …………………………………… Qui nạp ta có: ( ) 1 ! ( ) ( 1) . 99!. n n n n f x x + = − ( không yêu cầu chứng minh) Vậy (100) (1)f = 100 101 100! ( 1) . 100 99!.1 − = Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng cho tối đa số điểm cho ý đó. . Sở GD & ĐT Hà Nội KIỂM TRA HỌC KÌ II Trường THPT Phúc Thọ Năm học: 2009-2010 ………… *……………… ……… *………… Môn: TOÁN Lớp 11 Thời gian: 90 phút ( Không tính thời gian phát đề) . .Tính (100) (1)f . ………… HẾT……… (Thí sinh không được xem tài liệu) ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOAN LỚP 11 (Năm 2009-2010) Câu Đáp Án Điểm 1a) 2 2 1 1 lim lim 1 1 1 3 1 3 x x x x A x x x x x x →+∞. (SAC). c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). II. PHẦN THI RIÊNG CHO TỪNG BAN : 1. Phần dành cho ban KHTN Câu4A(2điểm). a) Tính 1 2 sin lim 2 n n n π + + . b)