Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 2.Các công thức biến đổi căn thức: 1.. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chun
Trang 1Chuyên đề : Rút gọn biểu thức
A NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1 Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
2.Các công thức biến đổi căn thức:
1. A có nghĩa khi A≥0
2 A2 = A
3 AB = A. B ( Với A ≥ 0; B≥ 0 )
4
B
A B
A = ( Với A ≥ 0; B > 0 )
5 A2B = A B ( Với B≥ 0 )
6 A B = A2B ( Với A ≥ 0; B≥ 0 )
A B = - A2B ( Với A < 0 ; B≥ 0 )
B
B
A = 1 ( Với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )
8
B
B A
B
A = ( Với B > 0 )
9
10
3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
1 (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2
2 (A – B) 2 = A 2 –2AB +B 2
3 A 2 –B 2 = (A-B )(A+B)
4 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3
5 (A-B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3
6 A 3 +B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 )
7 A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2)
2 2
C C A B
A A B
A B
−
±
m (víi
A B A B
A B
−
±
m (víi
Trang 24 Các tính chất cơ bản của một phân thức Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử
( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức về dạng rút gọn.
* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số
- Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 20 − 45 +3 18+ 72
b/ ( 28 −2 3+ 7) 7 + 84
c/ ( 6 + 5 )2 − 120
Giải:
a/ 20 − 45 +3 18+ 72 = 22.5 − 32.5+3 32.2 + 62.2
= 2 5 −3 5+9 2 +6 2
= (2−3) 5 +(9+6) 2 =15 2 − 5
b/ ( 28 − 2 3 + 7 ) 7 + 84 = 22 7 7 − 2 3 7 + 7 7 + 22 21
= 2.7−2 21+7+2 21
= 14 + 7 + ( 2 − 2 ) 21 = 21
c/ ( 6 + 5 )2 − 120 = 6 + 2 30 + 5 − 22 30
= 6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11
Trang 3+
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A= 51 3 − 51 3
b/ 4 2 3
B= −
−
c/
C= + −
Giải:
a/ A= 51 3− 51 3
=
5 3 5 3 2 3 3
−
b/ 4 2 3
B= −
−
( )
2 2
c/
C= + −
+ + = 2 1 3 + 13 − 3( 23 1)
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 3 1 2 3
=
2 2
Trang 4( )( ) ( ( )( ) )
2 3 2
2 3 4
+ +
( )
(2 3 )(3 1 ) 2 3( ( 3 1) ) 3( 3 1) 3 3 3
1
3 3 1 3 1
−
+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ ( ) ( )2
2 2 3 2 − + + 1 2 2 − 2 6 9 =
b/ 2 + 3 + 2 − 3 = 6
c/ ( ) (2 )2
8
Giải:
a/ ( ) ( )2
2 2 3 2 − + + 1 2 2 − 2 6 9 =
BĐVT ta có :
( ) ( )2
2 2 3 2 − + + 1 2 2 − 2 6 =2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP− + + + − = =
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/ 2 + 3 + 2 − 3 = 6
BĐVT ta có :
2( 2 3 2 3)
2
4 2 3 4 2 3
6
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/ ( ) (2 )2
8
BĐVT ta có :
Trang 5( ) ( ) ( )( )
2 5 2 2 5 2
2 5 4 2 5 4
8
−
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2 + 3 và 10
b/ 2003 + 2005 và 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2 + 3 và 10
Ta có: ( )2
2 + 3 = + + 2 3 2 6 = + 5 2 6 = + 5 24
Và ( )2
10 = 10 5 5 5 = + = + 25
Vì 24 < 25 => 24 < 25=> 5 + 24 5 < + 25
Hay ( ) ( )2 2
2 + 3 < 10 ⇒ 2 + 3 < 10
b/ 2003 + 2005 và 2 2004
Ta có: ( )2
2003 + 2005 = 2003 2005 2 2003.2005 + +
= 4008 2 2004 1 2004 1 + ( − ) ( + =) 4008 2 2004 + 2 − 1
Và ( )2
2
2 2004 = 4.2004 2.2004 2 2004 = +
Vì
2004 1 2004 2004 1 2004
4008 2 2004 1 4008 2 2004
2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004
− < => − <
=> + − < +
c/ 5 3 và 3 5
Ta có: 5 3 = 5 3 2 = 75
Và 3 5 = 3 5 2 = 45
Vì 75 > 45 => 75 > 45 => 75 > 45 => 5 3 > 3 5
*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Trang 6Nhận xét biểu thức trong căn Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…
II Bài tập:
1 Thực hiện phép tính:
a/ ( 12 + 75 + 27 : 15) ;
b/ 252 − 700 + 1008 − 448;
c/ (2 8 3 5 7 2 + − )( 72 5 20 2 2 − − )
2 Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 2 3 1 3;
− + −
b/ 3 2 2 + + 6 4 2 ; −
c/ 2 3 : 2 3 2 2 3 .
3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 3 + 5 và 2 2 + 6;
b/ 7 1
2 21 và 4 1
9 5; c/ 14 − 13 và 2 3 − 11.
4.Cho A= 11 + 96 và 2 2
B=
Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
5 Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ ( )( ) ( )2
2 − 2 − 5 2 − 3 2 5 − = 20 2 33 − ;
b/ 8 2 10 2 5+ + + 8 2 10 2 5− + = 2+ 10;
2
A = A
Trang 7c/ 1 1 1 9
1 2 + 2 3 + + 99 100 =
*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I Các ví dụ:
a M
+
với a >0 và a ≠1 a/ Rút gọn biểu thức M
b/ So sánh giá trị của M với 1
Giải: Đkxđ: a >0 và a ≠ 1
:
a M
+
= + ÷
1
1 :
1
1 1
1
−
+
−
+
−
=
a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a
1 1
1 1
1
1
1
+
−
− +
= +
−
−
+
=
b/ Ta có
a a
a
M = −1= 1 − 1 , vì a > 0 => a > 0 => 1 > 0
a nên 1 − 1 < 1
a
Vậy M < 1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
x x
x x x
x x
x
P
2
2 2
2 2
1
3 1
1
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức P
c/ Tính giá trị của P với x = 3−2 2
Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
≠
−
−
≠
−
≥
−
>
0 2 1
0 2
0 1 0
x
x x
x
≠
≠
≥
⇔
≠
≠
≥
>
⇔
3 2 1
3 2 1
0
x x x
x
x
x
x
b/ Đkxđ : x ≥1;x ≠ 2;x ≠ 3
Trang 8
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
x x
x x x
x x
x
P
2
2 2
2 2
1
3 1
1
−
+
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
− +
−
−
− +
=
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
2
2 2
2 2
1 2
1
2 1 3
1 1
1
x x x
x x
x
x
x x
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
− +
=
2
2 2
2 1
2 1 3
1 1
( x)
x
x x
x x
x
x
x x
−
−
−
−
+
−
−
− +
−
− +
=
2
2 3
2 1 3
1 1
x
x x
x x x
x
x + − − − − − = − − = −
1 2 2 2
=
x vào biểu thức P= 2 −x x , ta có:
1 2 2 1
2
1 2 2 1
2
1 2 2
2
2
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
1 2
1
+
=
−
=
* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp Ta đã trục căn thức
ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
9
11 3 3
1 3
2
2 −
−
−
−
+
−
+
=
x
x x
x x
x
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A < 2
c/ Tìm x nguyên để A nguyên
Giải:
a/ Đkxđ: x ≠±3
3 3 3
3 3
3 3
9
3
3 3
11 3 3 3
6 2 3
3
11 3 3 1 3
2
3 3
11 3 3
1 3
2 9
11 3 3
1 3
2
2
2 2
2
−
=
− +
+
=
−
+
+
=
− +
+
− + + + +
−
=
− +
−
− + + +
−
=
− +
−
−
−
+ + +
=
−
−
−
−
+
−
+
=
x
x x
x
x x x
x
x x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
A
Trang 9b/ Ta có
3
3
−
=
x
x
A , A < 2 tức là
( )
(*) 0 3
6 0
3
6 2
3
0 3
3 2
3 0
2 3
3 2
3
3
<
−
+
⇔
<
−
+
−
⇔
<
−
−
−
⇔
<
−
−
⇔
<
−
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi
<
−
> +
0 3
0 6
x x
⇔ − 6 < x < 3
Vậy với −6 <x <3thì A < 2
3
9 3
9 3 3
3
U x
x x
x
x
−
⇔ Ζ
∈
− +
=
−
=
Mà U(9) ={±1;±3;±9}nên ta có:
• x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên
* Ví dụ 4: Cho biểu thức
− +
+
+ +
−
−
+
x
x x
x
x x
x
B
1
1 1 1
1
a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x ≥0 và x ≠1
− +
+
+ +
−
−
+
x
x x
x
x x
x
B
1
1 1 1
1
3
Trang 10
1
1
1
2 1 1
1
1 2
1
1 1
1
1
1 1
2
2
−
=
− +
+
−
+ +
=
+
− + +
−
+
− +
=
− +
+
− + +
+
−
−
− +
=
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x x
b/ Ta có B = x − 1 và B = 3, tức là x −1= 3⇔ x = 4⇔ x =16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thì B = 3
* Ví dụ 5: Cho biểu thức
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
xy y
x
y y x x y x y x y x y x
A
+
+ +
+
+ + +
+
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
3 3
: 1 1 2
1 1
xy y
x
y y x x y x y x y x y x
A
+
+ +
+
+ + +
+
=
( x y)
xy
y x xy y
xy x y x xy
y x y x xy
y x
+
+ +
+
−
+
+ +
+
(x y)
xy
y x y x
xy
y x
+
+
+
xy
y x
y x
xy xy
y
+
+
=
b/ Ta có x − y 2 ≥0⇔ x+ y −2 xy ≥0
⇔ x + y ≥ 2 xy
16
16 2 2
=
=
≥
+
=
xy
xy xy
y x
Vậy min A = 1 khi 4
16
xy
=
*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2
Trang 11(Đõy là dạng toỏn cơ bản và có tớnh tổng hợp cao)
khụng… nếu bài toỏn chưa cho)
biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cỏch hợp lý để làm xuất hiện nhõn tử chung.
+ Thường xuyờn để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khỏc khụng.
kết luận.
+ Tuõn thủ nghiờm ngặt cỏc phộp biến đổi phương trỡnh, bất phương trỡnh.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toỏn để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận.
II Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức
2
x A
x
1) Rỳt gọn A
2) Tỡm x để A < –1
Bài 2: Cho biểu thức A = x 1 x x x x
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0
C =
x 1 x x 1 x− + x 1
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
Trang 12a) 2 2
D =
b) P = 1 x x 1 x x
c)
2
+
d) x 1 2 x 2
H =
x 2 1
− −
Trang 13Bài 7: Cho các biểu thức 2x 3 x 2
P =
x 2
Q =
x 2
+ a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q
Bài 8: Cho các biểu thức
+
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
=
3
2 2
3 6
9 : 9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x B
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tỡm x để B > 0
c) Với x > 4 ; x ≠ 9 , Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1)
x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để 1
P là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để 1 5
P ≤ − 2
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ + + + + + với x ≥ 0 Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x
Bài 12: Cho biểu thức
M =
+
−
+
− +
+
−
−
+ + +
+
1 1 1
1 :
1 1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M nếu a=2− 3 và b=
3 1
1 3 +
− c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a+ b =4