b Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.. b Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.. Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắ
Trang 1PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.
a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư.
Trong trường hợp b > 0 và r ≠0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b.
Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng:
2 Tính chia hế t : Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói :
a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a b)
b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a)
Vậy: ab (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq.
3 Các tính chấ t :
1) Nếu a b thì ±a ± b (b≠0)
2) a a; 0 a với mọi a ≠ 0
3) a ± 1 với mọi a
4) Nếu a m thì a n m (m ≠0, n nguyên dương).
5) Nếu a b và b a thì |a| = |b|
6) Nếu a b và b c (b,c≠0) thì a c.
7) Nếu a c và b c(c≠0) thì (a±b) c Điều ngược lại không đúng.
8) Nếu a m hoặc b m thì ab m(m≠0) Điều ngược lại không đúng.
9) Nếu a p và a q, (p, q)= 1 thì a pq
10) Nếu a = mn; b = pq và mp nq thì ab
11) Nếu ab m và (b,m) = 1 thì a m
12) Nếu a±b m và a m thì b m
II Số nguyên t ố :
1.Đị nh nghĩ a : Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
2 Đị nh lí c ơ b ả n c ủ a s ố h ọ c : Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số
nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số).
Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó.
Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất).
Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó.
Ví dụ: 6 , 28, , 2 n-1 (2 n - 1)
III Mộ t s ố ph ươ ng pháp thông th ườ ng để gi ả i bài toán v ề chia h ế t :
Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi
Trang 2chia n cho k.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1).
Có hai trường hợp xảy ra :
* n 2 => n(n + 1) 2
* n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) 2 => n(n +1) 2
b) Chứng minh tương tự a.
Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq
+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q.
+ Nếu (p, q) ≠1, ta phân tích A(n) = B(n) C(n) rồi chứng minh:
B(n) p và C(n) q
Ví dụ 2 : a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6.
b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3
Do đó A(n) chia hết cho 6.
Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10.
Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k ( Đã học trong tính
chất chia hết của một tổng ở lớp 6)
(Liên hệ: A(n) không chia hết cho k )
Ví dụ 4 : Chứng minh n 3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6 (Trích đề thi HSG cấp II toàn
Cách 4: Viết A(n) được dưới dạng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia hết cho k.
Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều không chia hết cho k thì A(n)
Trang 3không chia hết cho k
Ví dụ 6: Chứng minh : 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 60 chia hết cho 15.
Giải: Ta có: 2 + 2 2 +2 3 + + 2 60 = (2 + 2 2 + + 2 4 ) + (2 5 + +2 8 )+ +(2 57 + 2 60 )
= 2(1+2+4+8) +2 5 (1+2+4+8) + + 2 57 (1+2+4 + 8) = 15.(2 + 2 5 + + 2 57 ) 15.
IV Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết:
Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet:
Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dưới dạng hình ảnh như sau:
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít nhất hai chú thỏ vào chung một chuồng.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có hiệu chia hết cho m.
Giải: Chia một số nguyên bất kì cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; ; m
- 1 Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít nhất hai số có cùng số
dư Do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m.
Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) k ta làm theo trình tự sau:
Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1)
k.Tiếp tục:
Giả sử A(k) k.
Chứng tỏ A(k + 1) k Nếu đúng => Kết luận : A(n) k
Ví dụ 8: Chứng minh : 16 n - 15n - 1 chia hết cho 225.
Đặt A(n) = 16 n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 => A(1) đúng.
Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16 k - 15k -1 225 Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m:
4 a) n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49
b) n 2 + 3n +5 không chia hết cho 11
Trang 410) ab(a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) chia hết cho 30 với mọi số nguyên a,b.
11) a) (6 2n + 19 n - 2 n+1 ) chia hết cho17.
b) (7.5 2n + 12.6 n ) chia hết cho 19.
c) (5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 ) chia hết cho 59.
12) a)a 2 + b 2 chia hết cho 7 thì a và b cũng chia hết cho 7.
b) a 2 + b 2 chia hết cho 3 thì a và b cũng chia hết cho 3
Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC
A Tóm tắ t lý thuy ế t :
I Đị nh ngh ĩ a:
1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng
số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết:
2 Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)
3 Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a ± c ≡ b ± d (mod m)
4 Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m)
5 Nếu a ≡ b (mod m) thì a n ≡ b n (mod m)
6 Nếu a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m) với k > 0
7 Nếu ka ≡ kb (mod km) thì a ≡ b (mod m) với k > 0
8 Nếu ka ≡ kb (mod m) và (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m)
9 Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : n p ≡ n (mod p) ; n ∈ Z
Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : n p-1 ≡ 1 (mod p), với (n,p) = 1
10 Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương
nhỏ hơn m và nguyên tố với m Thế thì : n(m) ≡ 1 (mod m)
* Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố :
m = a 1α a 2β a nλ Thế thì : (m) = m −a −a −a n
1 1
1 1
1 1
2 1
III Bài tậ p ứ ng d ụ ng :
Bài 1: Chứng minh 2 100 - 1 chia hết cho 5
Giải : Ta có 2 4 ≡1(mod 5) =>(24 ) 25 ≡125 (mod 5) =>2 100 ≡1(mod 5) hay 2100 - 1 5
Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 99 cho 3.
Giải : Có 2 3 ≡ -1 (mod 3)⇔ (23 ) 33 ≡ (-1)33 (mod 3) ⇔ 299 ≡ -1 (mod 3)
Vậy 2 99 chia 3 dư 2.
Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2 999
Bài 4: Chứng minh 2 2008 không chia hết cho 10.
Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5
Giải:
Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet:
Cho k lần lượt lấy 10 5 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 10 5 + 1 giá trị khác
Trang 5nhau của 1983 k - 1 Chia 10 5 +1 số này cho 10 5 , ta có nhiều nhất là 10 5 số dư, do đó theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 10 5 Giả sử đó là hai số 1983 m -1 và 1983 n - 1 (m > n) Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10 5 :
(1983 m - 1) - (1983 n -1) = 1983 m - 1983 n = 1983 n (1983 m-n -1) 105
Do 1983 không chia hết cho 10 5 => 1983 n cũng không chia hết cho 10 5
Vì vậy 10 m-n - 1 chia hết cho 10 5 Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5
1 ) = 4 10 4 Nên ta có 1983 4.104 ≡ 1 (mod 105 ).
số 4.10 4 là số k phải tìm.
Đề
bài áp d ụ ng :
1 Tìm số dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 1532 5 -1 cho 9
c) chia 3 40 cho 83.; d) chia 2 1000 cho 25; e) chia 3012 93 cho 13
2 Chứng minh rằng : a) 2 4n - 1 15; b) 270 + 3 70 13
c) 12 2n+1 - 11 n+2 133; d) 2222 5555 + 5555 2222 7
e) 1 4k + 2 4k + 3 4k + 4 4k không chia hết cho 5
TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2010-2011
KẾ HOẠCH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9
Năm học 2011-2012 Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
1 1
1
1 2
2 2
+ + +
−
=
+ + +
−
=
− + + +
−
=
+ + n n
n
n n
x x x
x
x x x x x
x x
Trang 6b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức
1 1
1 2 1
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
4
2
+ +
−
=
+ +
−
=
− +
−
=
+
− + +
−
=
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x x
c b ac
c a ab
ac ab
b
a
b a bc b
a c b a ac b
a
ab
abc bc
c b ac abc c
a ab
b
a
abc bc
c b ac c a ab
b
a
−
− +
=
−
−
− +
=
− +
− +
=
+
− + +
+
− +
=
=
− +
− +
−
− +
=
− +
− +
− +
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
4 2
4
2
4 2
4 4
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
2007 206
1 1
2007 2007
2007
2 2
2 2
2 4
+
− +
+
=
+ + +
+ +
−
=
+ +
+
−
=
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.a3+b3 +c3 −3abc
c b a c
−++
=
(a b c) (a b c ab bc ca)
c b a ab c
c b a b
a c
+
=
++
−++
−++
+
=
2 2 2
2 2
3
c b a
c b a c
b a c
c
b
+ + +
= +
+ + +
=
+
− +
− + + + + + +
+
=
3 3
3 3
3 2
2 2
2 2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc
Trang 7Giải: Vì a + b + c = 0 ( ) ( )
abc c
b a abc
c b a
c b
a ab b
a c
b a
30
3
3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3
=++
⇒
=
−++
⇒
−
=++
+
⇒
−
=+
⇒
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0 Tính 2 2
4a b
ab P
−
=Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0⇔( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔a = b
Do đó
3
13
2 2
a
ab P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu:
1
;
=+
+
c
z b
y a
x z
2 2
2
=++
c
z b
y a x
Giải: + + =0⇒ + + =0⇒ayz+bxz+cxy =0
xyz
cxy bxz ayz z
c y
Giải:( a – b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy ra khi a = b
4 Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải: + = Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 Hay + ≥ 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b
5 Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải: + = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2 Hay + ≤ - 2
Giải:2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
7 ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c
Chuyên đề 3:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Trang 8DẠNG
• Nếu a > 0 :
2 2
MinP Khi x=- b
2a
• Nếu a < 0 :
2 2
4 a
2 a Một số ví dụ:
9 12 4
=
a a
a a
a a
−
+ +
− +
+ +
2
2 2
8 : 5 , 0 1
2 5
9 12 4
=
a a
a a
3 2 2 3 2
+
=
a
a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a
+ +
=
−
+ +
− +
+ +
2
2 8
2 2
4 2 2
2 2
8 : 5 ,
0
1
2 5
,
0
3
2 3
2
a a
a a
a a
a
2
2 2
2 4
2 2
4 2
−
+ +
=
Trang 9• Ví dụ 2 Thực hiện phép tính: A x x y y xy x x y y xy
2 : 2 2
3 3 2
2
2 2
− +
+
−
− +
1
2 3 4
3 4
+
− +
−
+ + +
=
x x x x
x x x
2
1
2 2 3 4
3 4 2
3 4
3 4
+
− + +
−
+ + +
= +
− +
−
+ + +
=
x x x x x
x x x x
x x
x
x x x
+ +
+
a a a a
a a a a
25
2 2
−
−
y y
y x x
x
x
.Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x−3
3
y
x x
5 5 2
2 :
25 10
25
2 2
x
x x y
y
y x x
2 8 5
1 5
=
x x
y x
Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
Trang 10Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: ( + ) < + −
>
ac bc ab a
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
3 1
2 1
x x
x x
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0) có nghiệm nếu 2 ≥ + 4
a
c a b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
2
3 1
1 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
+
+ +
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6
3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2.Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
Trang 11Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
1 1
b a
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
Trang 12Chuyên đề 7: Một số bài tập cơ bản về hình học
Bài 1 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F
1 Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
2 AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao
?
3 Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Gọi K là giao của MH và EB So sánh MK
và KH
Hướng dẫn :1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO là tứ giác nội tiếp
2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có
MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là hình chữ nhật
QK
H
Trang 13∆EAB ∆ KHB (g.g) ⇒ = HBAB
KH
EK
mà = HBABMF
EF
( Ta let) ⇒ = KHEA
MK EM
Vì EM = EA ⇒ MK = KH
Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B Kẻ cát tuyến chung CBD ⊥ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)
1 Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng
2 Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp
3 Chứng minh BA , CK và DI đồng quy Hướng dẫn :
1 CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng
2 Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp
3 A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F
a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
Hướng dẫn :
a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng
b) D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp
c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB Hay DE là phân giác góc D của ∆BDE Tương tự EC là phân giác góc
E của ∆BDE Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp
∆BDE
d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’
= ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1)
DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)
ED
Trang 14Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính bằng nhau )
Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q
Hướng dẫn :
1 CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ =
1800
2 ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP
3 Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông
4 Để SCPQD = 3.SACD⇒ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là ½
Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung điểm của CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB
Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó
1) Gọi E là trung điểm của dây CD Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một đường tròn
2) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao
?3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD
Hướng dẫn chứng minh1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giác SADO nội tiếp đường tròn đường kính SO Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường tròn đường kính SO
2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông
2) Ta thấy ∆SAC ∆SDA ⇒ =SASC
DA AC
∆SCB ∆SBD ⇒ =SBSC
BD BC
QD
C
O
Pd
D
AC
BEK
Trang 15Mà SA = SB ⇒ = BDBC
AD
AC
⇒ AC.BD = AD.BC (1)Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó
∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK
∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB
Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD
Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F
1) Chứng minh CDEF nội tiếp
2) Kéo dài DE cắt AC ở K Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?
3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22
Hướng dẫn :1) Dựa vào số đo cung ta thấy
C = DEB ⇒ C + DEF = 1800
Nên tứ giác CDEF nội tiếp 2) ∆BED ∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE = BQC
2 2 2
2 1 2
2
AC
r
= AB
r
= BC r
2 1 2 2
2 2
2 1 2
2
BC
r + r
= AC + AB
r + r
= BC
r
⇔ r2 = r12 + r22
Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ các đường cao AD , BE của tam giác Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn TÌm tâm I của đường tròn đó
D
E
PM
Trang 16c) Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi
Hướng dẫn giải :
a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm của AB ) là tâm
b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )
mà ABE = AMN ( chắn cung AN )nên ADE = AMN hay DE // MN c) Kẻ thêm hình như hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN
Bài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R)
1)Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của ∆ABC
2)Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ≠ B,C ) Trên tia đối của MB lấy
KH
Trang 174) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒ AM = BD ⇒ S = MA + MB + MC = 2.AM ≤ 2.AI
⇒ S ≤ 4R S Max= 4R khi AM là đường kính
Bài 9 : Cho ∆ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao cho BM=BN và CM = CP Chứng minh rằng :
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
c) Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất
Hướng dẫn :a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra :
DN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFP ( c.g.c )
⇒ON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
b) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp
c) Kẻ OH ⊥ NP
Có NP = 2 NH = 2 NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)
= 2.OE Cos (A/2)
Vậy NPMin = 2r.cos(A/2)
Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC Nối AF và BE cắt nhau ở H
d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp
Trang 18∆BEK ∆BFH ⇒
13
13 a 9
= BF
BH BE
= BK
e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng
Đề 1:
Câu 1: ( 6,0 điểm) 1)Giải phương trình: x 2 3 2x 5+ + − + x 2− − 2x 5 2 2− =
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 4x 4x+ + 2 + 4x 12x 92 − +
Câu 2: ( 3,0 điểm)Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì
2 2
ba 3 phút Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên
Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao
BK bằng 12cm Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB)
ĐỀ 2:
Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc
x 3
3 x 1
x
) 3 x ( 2 3 x 2 x
3 x x P
−
+ + +
2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x
x 1 x
1 1
x 2 x
1 2
x 3 x
+ +
+ + + +
+ + + +
2) x36−2 + y4−1 =28−4 x−2− y−1
Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho biểu thức A = x2 − 4x+ 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Trang 192) Cho (x+ x2 + 3 )(y+ y2 + 3 )=3 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y
Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x2 + 1 =
y2
2) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau: x+ y = 1980
Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
độ dài các cạnh của tam giác DEF./
x x
− +
= + + b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C
Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E ∈(O) , B , F ∈(O’) )
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng : ∆AOM và ∆BMO’ đồng dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Trang 20Bài5(1đ) Cho hỡnh vuụng ABCD Tớnh cosMANẳ biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD
3 3 27
3 3
x x
a Rút gọn A
b Tính giá trị của A khi x = 3+2010
Bài 2(3đ) Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5)
b Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc ở câu a Gọi giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục 0x là B; giao điểm của đờng thẳng hạ từ A vuông góc với 0x là C Tính diện tích tam giác ABC?
Bài 3(2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
2010 2009
2008
z y
Chứng minh rằng: z – x =2 (x−y)(y−z)
Bài 4(2.5) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Bài 5(2.5) Cho a, b>0 Chứng minh rằng: a b
b
a a
b2 + 2 ≥ +Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( Bˆ= 900, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính
AC Kẻ dây cung BD vuông góc với đờng kính AC Gọi H là giao điểm của AC và BD Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh
BC tại I ( I khác C) Chứng minh rằng:
a CI.CA = CB.CE
b HI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EC
Bài 7(4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R) Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) tại D;
AN là đờng kính của đờng tròn (0)
a Chứng minh: BD = CN
b Tính độ dài AC theo R và α Biết = α
c Gọi H, G lần lợt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng H; G;
0 thẳng hàng
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I ĐỊNH NGHĨA: Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương đỳng của một số nguyờn
Trang 21II TÍNH CHẤT:
1 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên
6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Trang 22Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
4
1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
=
4
1 k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1 k(k+1)(k+2)(k-1)
4
1.2.3.4.5 -
4
1.1.2.3.4 +…+
4
1 k(k+1)(k+2)(k+3) -
4 1
k(k+1)(k+2)(k-1) =
4
1 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
4 2n − n + n − +
=
9
1 10 4 10
4 2n + n + = 3 +
1 10
Trang 2310 2n − n + n − +
=
9
4 10 4
10 2n + n +
= 3+
2
10n
là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể
là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈N , n ≥2 )
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
không phải là số chính phương
Trang 24Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính
phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 ⇒ a2 ⇒ a2 4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56,