CHUYÊN đề rút gọn căn THỨC bậc HAI

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Chuyên đề : RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI A. NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần chú ý: 1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 2.Các công thức biến đổi căn thức: 1. A có nghĩa khi A≥0 2. AA = 2 3. BAAB . = ( Với A 0≥ ; B 0≥ ) 4. B A B A = ( Với A 0≥ ; B > 0 ) 5. BABA = 2 ( Với B 0≥ ) 6. A B = BA 2 ( Với A 0≥ ; B 0≥ ) A B = - BA 2 ( Với A < 0 ; B 0≥ ) 7. AB BB A 1 = ( Với AB 0≥ và B 0 ≠ ) 8. B BA B A = ( Với B > 0 ) 9. 10. GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 1 1. (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 2. (A – B) 2 = A 2 –2AB +B 2 3. A 2 –B 2 = (A-B )(A+B) 4. (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 5. (A-B) 3 = A 3 –3A 2 B +3AB 2 –B 3 6. A 3 +B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) 7. A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) 2 2 ( ) 0, ) C C A B A A B A B A B = ≥ ≠ − ± m (víi ( ) 0, 0, ) C C A B A B A B A B A B = ≥ ≥ ≠ − ± m (víi Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức. 4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử ( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức về dạng rút gọn. * Các dạng bài tập: - Rút gọn biểu thức số. - Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế: + Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức; + Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến. * DẠNG1 : RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a/ 721834520 ++− . b/ ( 847)73228 ++− . c/ ( ) 12056 2 −+ . Giải: a/ 721834520 ++− = 2.62.335.35.2 2222 ++− = 26295352 ++− = ( ) 52152)69(532 −=++− . b/ ( ) 84773228 ++− = .21.27.77.327.7.2 22 ++− = 21272127.2 ++− = ( ) 212122714 =−++ . c/ ( ) 12056 2 −+ = 30.253026 2 −++ = 1130230256 =−++ . GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 2 1 1 3 4 1 d/ 2 200 : 2 2 2 5 8   − +  ÷  ÷   Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: a/ 1 1 5 3 5 3 A = − + − b/ 4 2 3 6 2 B − = − c/ 1 2 2 2 3 6 3 3 C = + − + + Giải: a/ 1 1 5 3 5 3 A = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 5 3 5 3 5 3 − − + = + − 5 3 5 3 2 3 3 5 3 2 − − − − = = = − − b/ 4 2 3 6 2 B − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 − + − = = − − − − = = = = − − c/ 1 2 2 2 3 6 3 3 C = + − + + ( ) 1 1 2 2 3 3 3 3 1 = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 + + + + − + = + + GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 2 2 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1 / 2 200 : 2 10 .2 : 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8 1 3 2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2 4 2 d     − + = − +  ÷  ÷  ÷  ÷       = − + = − + =  ÷   3 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 4 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 + + = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 1 3 1 − − − − = = = = = − − + − + Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: a/ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − = b/ 2 3 2 3 6+ + − = c/ ( ) ( ) 2 2 4 4 8 2 5 2 5 − = − + Giải: a/ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9− + + − = BĐVT ta có : ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP− + + − = − + + + − = = Vậy đẳng thức đã được chứng minh. b/ 2 3 2 3 6+ + − = BĐVT ta có : ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 + + − + + − = ( ) ( ) 2 2 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3 2 2 + + − + + − = = 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 6 2 2 2 VP + + − + + − = = = = = Vậy đẳng thức đã được chứng minh. c/ ( ) ( ) 2 2 4 4 8 2 5 2 5 − = − + BĐVT ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 − = − − + − + GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 4 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 5 2 5 2 + − − = − = − = − + − + + − 2 5 4 2 5 4 8 5 4 VP + − + = = = − Vậy đẳng thức đã được chứng minh. + Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 2 3+ và 10 b/ 2003 2005+ và 2 2004 c/ 5 3 và 3 5 Giải: a/ 2 3+ và 10 Ta có: ( ) 2 2 3 2 3 2 6 5 2 6 5 24+ = + + = + = + Và ( ) 2 10 10 5 5 5 25= = + = + Vì 24 < 25 => 24 < 25 => 5 24 5 25+ < + Hay ( ) ( ) 2 2 2 3 10 2 3 10+ < ⇒ + < b/ 2003 2005+ và 2 2004 Ta có: ( ) 2 2003 2005 2003 2005 2 2003.2005+ = + + ( ) ( ) 2 4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 2004 1= + − + = + − Và ( ) 2 2 2 2004 4.2004 2.2004 2 2004= = + Vì ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2004 1 2004 2004 1 2004 4008 2 2004 1 4008 2 2004 2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004 − < => − < => + − < + => + < => + < c/ 5 3 và 3 5 Ta có: 2 5 3 5 .3 75= = Và 2 3 5 3 .5 45= = Vì 75 > 45 => 75 45 75 45> => > 5 3 3 5=> > GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 5 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1 Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán: + Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo. + Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng hoặc đưa về hằng đẳng thức + Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu… II. Bài tập: 1. Thực hiện phép tính: a/ ( ) 12 75 27 : 15+ + ; b/ 252 700 1008 448− + − ; c/ ( ) ( ) 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2+ − − − . 2. Rút gọn các biểu thức sau: a/ 2 3 1 3 ; 2 2 − − + b/ 3 2 2 6 4 2 ;+ + − c/ 2 3 2 3 2 2 3 : . 2 2 6 2 3   + + +  ÷ − +  ÷   3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 3 5 + và 2 2 6+ ; b/ 7 1 2 21 và 4 1 9 5 ; c/ 14 13− và 2 3 11− . 4.Cho 11 96A = + và 2 2 1 2 3 B = + − Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B. 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a/ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 3 2 5 20 2 33− − − − = − ; b/ 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10+ + + − + = + ; c/ 1 1 1 9 1 2 2 3 99 100 + + + = + + + GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 6 2 A A = Chuyên đề: Rút gọn biểu thức *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I. Các ví dụ: * Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 1 1 : 1 2 1 a M a a a a a +   = +  ÷ − − − +   với a >0 và a 1≠ a/ Rút gọn biểu thức M. b/ So sánh giá trị của M với 1. Giải: Đkxđ: a >0 và a 1≠ a/ 1 1 1 : 1 2 1 a M a a a a a +   = +  ÷ − − − +   ( ( ) ) ( ) 2 1 1 : 1 1 1 1 − + − + − = a a aaa ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) a a aaa aa a a aa a 1 11 11 1 1 . 1 1 22 − = +− −+ = + − − + = b/ Ta có aa a M 1 1 1 −= − = , vì a > 0 => 0>a => 0 1 > a nên 1 1 1 <− a Vậy M < 1. * Ví dụ 2: Cho biểu thức         − + − −         −− − − −− = xx x xx x xx P 2 2 2 2 21 3 1 1 a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa. b/ Rút gọn biểu thức P. c/ Tính giá trị của P với 223 −= x . Giải: a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :        ≠−− ≠− ≥− > 021 02 01 0 x x x x      ≠ ≠ ≥ ⇔        ≠ ≠ ≥ > ⇔ 3 2 1 3 2 1 0 x x x x x x x b/ Đkxđ : 3;2;1 ≠≠≥ xxx GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 7 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức         − + − −         −− − − −− = xx x xx x xx P 2 2 2 2 21 3 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )       − + − −       +−−− +−− − −+−− −+ = xx x xxx xx xxxx xx 2 2 2 2 2121 213 11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx xx x xx xx xx − −−       −− +−− − −− −+ = 2 22 . 21 213 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) xx x x xx xx xx − −−         − +−− − +− −+ = 2 2 . 3 213 1 1 ( ) ( ) ( ) x x x x x xxx − = −− = − −−−−+= 21.21 .211 c/ Thay ( ) 2 12223 −=−= x vào biểu thức x x P − = 2 , ta có: ( ) ( ) 12 122 12 122 12 122 2 2 − +− = − −− = − −− = P 12 12 1 += − = * Nhận xét về phương pháp giải: Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không. Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng. * Ví dụ 3: Cho biểu thức 9 113 3 1 3 2 2 − − − − + − + = x x x x x x A với 3 ±≠ x a/ Rút gọn biểu thức A. b/ Tìm x để A < 2. c/ Tìm x nguyên để A nguyên. Giải: a/ Đkxđ: 3 ±≠ x ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 3 3 33 33 33 93 33 1133362 33 1133132 33 113 3 1 3 2 9 113 3 1 3 2 2 22 2 − = −+ + = −+ + = −+ +−++++− = −+ −−+++− = −+ − − − + + + = − − − − + − + = x x xx xx xx xx xx xxxxxx xx xxxxx xx x x x x x x x x x x x A GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 8 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức b/ Ta có 3 3 − = x x A , A < 2 tức là ( ) (*)0 3 6 0 3 623 0 3 323 02 3 3 2 3 3 < − + ⇔< − +− ⇔ < − −− ⇔<− − ⇔< − x x x xx x xx x x x x Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi    <− >+ 03 06 x x 36 <<−⇔ x Vậy với 36 <<− x thì A < 2. c/ Ta có )9(3 3 9 3 9 3 3 3 Ux xxx x A ∈−⇔Ζ∈ − ⇔Ζ∈ − += − = Mà { } 9;3;1)9( ±±±= U nên ta có: • x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ ) • x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên. * Ví dụ 4: Cho biểu thức         − + +         ++ − − + = x x x xx x x x B 1 1 . 1 1 12 3 3 với 0≥x và 1≠x a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = 3. Giải: Đkxđ : 0 ≥ x và 1 ≠ x a/         − + +         ++ − − + = x x x xx x x x B 1 1 . 1 1 12 3 3 GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 9 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11. 1.1 1 21. 1.1 12 1 11 . 1.1 112 2 −=− ++− ++ = +− ++− +−+ =       − + +−+ ++− −−+ = xx xxx xx xx xxx xxx x x xxx xxx xxx b/ Ta có 1 −= xB và B = 3, tức là 16431 =⇔=⇔=− xxx ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thì B = 3. * Ví dụ 5: Cho biểu thức 33 33 : 112 . 11 xyyx yyxxyx yx yxyx A + +++         ++ +         += với x > 0 , y > 0 a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0 a/ 33 33 : 112 . 11 xyyx yyxxyx yx yxyx A + +++         ++ +         += ( )( ) ( ) ( ) yxxy yxxyyxyxyx xy yx yxxy yx + +++−+         + + + + = : 2 . ( ) ( ) ( ) yxxy yxyx xy yx xy + ++         + += : 2 ( ) 2 xy yx yx xy xy yx + = + + = b/ Ta có 020 2 ≥−+⇔≥       − xyyxyx .2 xyyx ≥+⇔ Do đó 1 16 162 2 ==≥ + = xy xy xy yx A ( vì xy = 16 ) Vậy min A = 1 khi 4. 16 x y x y xy  =  ⇔ = =  =   GV: Dương Văn Phong Trường THCS Thị Trấn Thứ 11 10 [...]... x A= Bài 2: Cho biểu thức 2 2 x ữ x + 1 x 1 ữ ữ ữ a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của x để A > - 6 x 2 1 10 x + + ữ: x 2 + ữ x +2ữ x +2 x 4 2 x Bài 3: Cho biểu thức B = a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị của x để A > 0 Bài 4: Cho biểu thức C = 1 3 1 + x 1 x x +1 x x +1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị của x để C < 1 Bài 5: Rút gọn biểu thức : GV: Dng Vn Phong... Th Trn Th 11 Bài 7: Cho các biểu thức P = 2x 3 x 2 và Q = x 2 x 3 x + 2x 2 x +2 a) Rút gọn biểu thức P và Q; b) Tìm giá trị của x để P = Q x3 x 9 x x 3 x 2 : Bài 8: Cho các biểu thức B = 1 x9 x+ x 6 2 x x +3 a) Rút gọn biểu thức B b) Tim x ờ B > 0 c) Vi x > 4 ; x 9 , Tim gia tri ln nhõt cua biờu thc B( x + 1) 3x + 9x 3 1 1 1 + + Bài 9: Cho biểu thức P = ữ: x + x 2 x 1 x + 2... nghĩa, rút gọn biểu thức P; 1 là số tự nhiên; P c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 b) Tìm các số tự nhiên x để x +2 x +3 x +2 x P= :2 Bài 10: Cho biểu thức : ữ ữ x 5 x +6 2 x x 3ữ x +1ữ a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để 1 5 P 2 Bài 11: Cho A = 2x 5 x +1 x + 10 + + với x 0 Chứng minh rằng giá x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 trị của A không phụ thuộc vào biến số x Bài 12: Cho biểu thức. .. x 0 Chứng minh rằng giá x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6 trị của A không phụ thuộc vào biến số x Bài 12: Cho biểu thức a +1 a +1 ab + a ab + a + 1 : + 1 M= ab + 1 ab + 1 ab 1 ab 1 a) Rút gọn M 3 1 1+ 3 a+ b =4 b) Tính giá trị của M nếu a= 2 3 và b= c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu CC BI TP KHC x2 + x 1/ Cho y = +1 2x + x x x +1 x a/ Rỳt gn y b/ Tỡm x y = 2 c/ G/S x=1.Chng minh rng . Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Chuyên đề : RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI A. NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần chú ý: 1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 2.Các công thức biến đổi căn thức: . triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu… II. Bài tập: 1. Thực hiện. A = Chuyên đề: Rút gọn biểu thức *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I. Các ví dụ: * Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 1 1 : 1 2 1 a M a a a a a +   = +  ÷ − − − +   với a >0 và a 1≠ a/ Rút