Luận văn phép Biến đổi Fuorier

Chơng I Tổng quan về các phép biến đổi 1 Khái niệm về các phép biến đổi tín hiệu 1.1 Khái niệm. Phép biến đổi của một hàm hoặc của một tín hiệu s (t) là thuật toán mà kết quả của nó là một cách biểu diễn khác của s (t). 1.2 ý nghĩa. Sự vận dụng biến đổi tín hiệu giúp cho việc biểu diễn phổ của tín hiệu khi mà sự biển đổi hai chiều của hình ảnh có thể đạt đợc mục tiêu là tập chung năng lợng hình ảnh trong một vùng nhỏ để phục vụ cho mục đích nén tín hiệu. Ta có thể so sánh một lăng kính giống nh một phép biến đổi Fourier mà việc phân tích ánh sáng mặt trời trong nó có phổ mà ta nhìn thấy nó có mầu khác nhau (tức là có tần số là khác nhau). Sau đây phép biến đổi cũng cho biết sự hợp thành của một tín hiệu trong việc xây dựng các khối hoặc có hàm cơ bản của miền biến đổi. Trong miền Fourier, các khối xây dựng là hình sin. Tín hiệu có biểu diễn duy nhất trong miền Furier giống nh tổng liên tiếp của các hình sin của các biên độ khác nhau, các tần số và pha. Trong một sự tham gia nửa biến đổi Walsh đơn giản có hàm cơ bản là sự biến đổi có độ rộng xung trình tự của biên độ là 1 nh trong hình 1 - 1. ở đây nó đợc thừa nhận ngoại trừ sự tiêu hao tổng hợp mà S(t) là của khoảng thời gian tồn tại từ t = 0 tới t = 1 Hình 1.1 Một số hàm Walsh điển hình. Biển đổi Fourier nhận đợc là: S(t) = + dtetS tj .).( (1.1.1) (Thuận) -1- t = 0 t = 1 s(t) = + dtetS tj .).( 2 1 (1.1.2) (Ngợc) Sự phân tích hàm S(t) là theo công thc (1.1) nghĩa là biến đổi Fourier thuận. Nó phân tích S(t) trong các đờng hình sin có tần số , biên độ /S( )/và pha < S( ). Ngợc lại với phép biến đổi Fourier thuận là phép biến đổi Furier ngợc đợc định nghĩa theo công thức (1.2). Tổng hợp S(t) từ các hàm cơ bản của e tj của biện độ phức S( ). Một cách nhìn khác của công thức (1.1) là độ lớn của S( ) là tổng số của e tj mà S(t) chứa đựng. Vì vậy mà sự tơng quan chéo của S(t) với e tj ta đợc kết quả là S( ). Một sự đơn giản tơng của (1.1) là việc xác định các hệ số và của véc tơ cơ bản e 1 = [1 0 ] t , e 2 = [ 0 1 ] t nó cần thiết chi việc tổng hợp véc tơ . = + = 1 0 0 1 b a (1.1.3) Để tìm hệ số ta cần lấy tích vô hớng của và e 1 = <,e 1 > = a (1.1.4) và hệ số ta cần lấy tích vô hớng của và e 2 = <,e 2 > = b (1.1.5) Hoặc là phép chiếu của lên e 1 và e 2 cho thứ tự và . Việc sử duụng các hàm cơ bản đơn giản nh hàm Walsh sẽ rất đơn giản về biên độ hoặc trong kết quả tính toán. Tuy nhiên số lợng phép toán thờng là chỉ một trong vài thừa số trọn nh biển đổi riêng biệt. Một vấn đề nữa tính chất biển đổi của hàm Walsh và sự thích hợp trong việc ứng dụng nó. Những nguyên nhân để ta da đến các biến đổi khác nhau của tín hiệu là có nhiều nguyên nhân. Do đó cần có các phép biến đổi tín hiệu khác nhau. Mỗi phếp biến đổi sẽ cho ra những u nhợc điểm riêng và thích hợp cho từng loại tín hiệu mà ta áp dụng. Các phép biến đổi khác nhau nh phép biến đổi Fourier (nh đã nói ở trên), phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Z. Biến đổi Laplace là sự tổng hợp của phép biến đổi Fourier và nó diễn tả hàm X(t) nh trọng lợng tổng liên tiếp của các hàm cơ bản e st . Nh vậy công htức của biến đổi Laplace là: X(t) = + dsesX st .).( (1.1.6) ở đây hàm tỷ trọng X(s) là biến đổi Laplace của X(t) và s là đại lợng phức hay còn gọi là tần số phức. -2- Nh đơn giản nhìn từ (1.6), phép tính tơng đơng trong miền Laplace, sự vi phân hoặc tích phân của X(t) trong miền thời gian đợc nhận bởi s hoặc 1/s. Nh vậy biến đổi của Laplace trong miền vi- tích phân tuyến tính sẽ thay đổi nó trong phơng trình đại số. Nghĩa là từ một phơng trình vi- tích phân phức tạp bằng việc biến đổi Laplace đã biến đổi đợc về phơng trình đại số đơn giản để tính toán. Kết quả quan trọng này là cơ sở của việc phân tích hệ thống tuyến tính bằng biến đổi Laplace. Mới hơn nữa là với sự áp dụng của phép biến đổi Fourier nhanh (Fast Furier Transzitor) ký hiệu là FFT. Sự áp dụng phép biến đổi này đã làm cho tốc độ tính toán tăng lên trong miền tần số, cho hoạt động của miền thời gian via dụ nh tổng chập và sự tơng quan modem ra đa và thiết bị thu định vị âm thanh. Việc da vào sử dụng phép biến đổi FFT là rất cần thiết để sử lý tín hiệu và các hàm nh bộ lọc phù hợp và búp hớng đợc trình bày trong miền tần số. Các phép biến đổi tín hiệu bởi công dụng của việc mang lại sự xen kẽ đại diện. Thờng thì việc tìm là phơng pháp đặc biệt của tín hiệu thì khó khăn hoặc không tìm đợc trong miền gốc. Sự tồn tại và xác định vị trí của chu kỳ phức, phổ và mẫu pha cho ví dụ đặc trng có lợi trong miền tần số cho sự tách sóng và phân loại tín hiêụ. Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi là việc nén tín hiệu. Cùng với là ma trận Nx W mà các thành phần của nó là ví dụ điển hình của hình ảnh. Sự biến đổi đợc cho từ công thức. = W T . W Lựa chọn cẩn thận trong ma trận biến đổi W có thể tạo ra sự biến đổi hình ảnh ma trận là tha thớt và đạt độ lớn thành phần là lớn nhất của nó dày đặc trong một vùng của . Đây là một dự tính tơng quan và năng lợng nén bằng phép biến đổi. ở đây việc nén dữ liệu là bởi việc phát các thành phần vào một vùng nhỏ đầu cuối có nhiệm vụ thu tín hiệu sau đó phục hồi hình ảnh nén bằng bộ biến đổi ngợc. Đặc biệt là chỉ có 15% các thành phần cảu cần đợc giữ lại không có kết quả có hại trong chất lợng hình ảnh. 1.3 ứng dụng của phép biến đổi tín hiệu Các tín hiệu của quá trình đo lờng điều khiển. Ví dụ dòng điện, điện áp nói chung là các đại lợng có độ lớn biến đổi theo thời gian và đợc ký hiệu là X(t). Ta gọi chúng là tín hiệu trong miền thời gian cho chúng ta hình ảnh của tiến trình tín hiệu. Để giúp quá trình sử lý tín hiệu, chúng ta thờng quen dùng các phép biến đổi nhằm cung cấp thêm những thông tin cần thiết cho quá trình sử lý và làm tăng hiệu quả xử lý của chúng. Các phép biến đổi làm nhiệm vụ này, chúng chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang các miền toạ độ khác nhau miền tần số, miền toán tử P, miền rời rạc Z và ngợc lại. Tơng ứng với các toạ độ này, ta có biến đổi Fourier, biến đổi Laplace rời rạc các kỹ s điện đã rất quen thuộc với biến đổi Laplace, nó giúp chúng ta chuyển chơng trình tích phân của tín hiệu theo thời gian thành phơng trình đại số với toán tử P. Cũng vậy biến đổi Fourier là công cụ hiệu quả cho phép chuyển phơng trình vi tích phân của hàm tín hiệu theo thời gian thành các ph- ơng trình đại số với số phức j. Một câu hỏi đặt ra là tại sao chúng ta lại cần quan tâm đến các thông tin trong miền tần số f ? Để trả lời câu hỏi này chúng ta hãy lấy ví dụ cho các tín -3- hiệu trong điện tử y học. Điện tâm đồ và đồ thị ghi nhịp đập của tim theo thời gian. Đồ thị biểu diễn điển hình của chúng cho ta thông tin về tình trạng sức khoẻ và sai khác của điện tâm đồ của ngời bệnh so với dạng chuẩn của nó, qua đó cho ta biết tình trạng sức khoẻ của ngời bệnh. Các máy điện tâm đồ đi kèm theo máy tính còn có bộ phân tích nhịp tim theo tần số. Ngời ta có thể dự báo chính xác hơn về một số bệnh căn cứ vào các tần số chứa trong điện tâm đồ. Biến đổi Fuorier đợc sử dụng rông rãi trong kỹ thuật cũng nh mọi kỹ thuật biển đổi khác. Chúng có những u điểm và phạm vi ứng dụng nhất định và biến đổi sóng WT cũng không phải trờng hợp ngoại lệ. 2 Đặc điểm và ý nghĩa của các phép biến đổi cơ bản 2.1 Biến đổi Laplace Nh ta đã đề cập trong mục (1.2) tức là để xây dựng các phép biến đổi thuận nghịch Laplace chỉ việc thay cặp biến đổi Fourier đối số j bằng một biến số phức s (có thể đặt s = + j ). Nh vậy ta có công thức biến đổi Laplace thuận nghịch nh sau: F(s) = + dtetf st .).( (1.2.1) f(t) = + jc jc st dsesF j .).(. 2 1 trong đó hàm số F(t) đợc gọi là ảnh Laplce của f(t) sao cho f(t) có tên là hàm gốc. Với cách thay biến số nh vậy, các phơng trình của mạch viết theo tần số đã trở thành dạng toán tử trong đó các phổ tần đợc thay bằng các ảnh Laplace. Vì vậy việc giải các bài toán trở nên đơn giản hơn. Về mặt kỹ thuật việc chuyển các hàm số từ gốc sang ảnh và ngợc lại có thể đợc tiến hành nhờ các bảnh đối chiếu gặp trong các cuốn sách tra khảo kỹ thuật. Dới đây là một số ví dụ diển hình. Hàm gốc f(t) ảnh Laplace F(s) * dt tdf )( SF(s) - f(0) * dttf )( + 0 )()( 1 dttfsF s * -tf(t) ds tdF )( * )( 1 tf t dssF s 0 )( * e -at f(t) F (s + a) * f(t-a) . 1(t-a) e -as F(s) -4- * f( a t ) a F (as) * 1 (t) s 1 * t n 1 ! +n s n * e -at as + 1 * sin t 22 +s * cos t 22 +s * (t) 1 Trong thực tế khi phân tích các bài toán về biến đổi tín hiệu. Biến đổi Laplace ngợc chỉ mang ý nghĩa về mặt lí thuyết còn thực tế khi tìm gốc của ảnh, tra bảng gốc Laplace. ý nghĩa của phép biến đổi Laplace là dùng để giải các bài toán vi tích phân bậc cao trong việc biến đổi tín hiệu mà các phép biến đổi kinh điển không thể thực hiện đợc. Bởi vì phơng pháp biến đổi Laplace đã đa các bài toán vi tích phân về dạng phơng trình đại số, làm cho quá trình tính toán trở lên đơn giản. 2.2 Biến đổi Fourier (FT) a. Khái niệm. Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) đợc định nghĩa nh sau: X(e j ) = = n tj enx )( (1.2.2) Nh vậy là Biến đổi Furier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số (n) thành việc biểu diễn tín hiệu X(e j ) trong miền biến số . (hoặc tần số f = 2 ) tức là liên tục ảo j là biến số ảo. Nh vậy ta thấy rằng X(e j ) sẽ là một hàm phức của biến số . Theo quan điểm toán tử, chúng ta dùng tín hiệu toán tử (FT) nh sau: FT [x(n)] = X(e j ) x(n) FT X(e j ) tức là toán tử FT tác động vào x(n)sẽ cho X(e j ) b. Điều kiện tồn tại của biến đổi Furier. Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (1.8) hội tụ. Ta có thể phát biểu điều kiện hội tụ của chuỗi này nh sau: Chuỗi trong (1.8) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau: =n nx )( < (1.9) Nếu điều kiện này đợc thoả mãn thì chuỗi (1.8) hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của . - Nhận xét: Xét về mặt toán học chúng ta có quan hệ: -5- E x = 2 2 )()( = = n n nxnx (1.2.3) Nếu: =n nx )( < (1.2.4) Thì: 2 )( =n nx < và ta cũng có: E x = < = 2 )( n nx Vậy nếu năng lợng E x của tín hiệu x(n) là hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn điều kiện (1.9) tức là ta có thể nói rằng. Biến đổi Fourier của tín hiệu số có năng lợng hữu hạn là luôn luôn tồn tại. c. Biến đổi Fourier ngợc (IFT) Chúng ta biết rằng X(e j ) là một hàm tuần hoàn của biến tần số có chu kỳ 2 và X(e jw ) tồn tại nếu điều kiện (1.9) đợc thoả mãn. Vậy chúng ta có thể khia triển hàm X(e j ) thành chuỗi Fourier trong khoảng (-,) vì thế chúng ta có thể tím thấy các giá trị của x(n) từ X(e j ) Từ công thức (1.8) ta có: X(e j ) = = n nj enx ).( Nhân cả hai vế với e nj rồi lấy tích phân trong khoảng (-,) qua một số bớc tính toán ta đợc. x(n) = )()( 2 1 wdeeX njj (1.2.5) Đây là công thức phép biến đổi IFT. Dùng ký hiệu toán tử ta có thể biểu diễn nh sau: IFT[X(e j )] = x(n) hoặc X(e j ) )(nx IFT Nh vậy ta có cặp biến đổi thuận ngợc là FT[X(e j )] = X(e j )] IFT[X(e j )] = x(n) 2.3. Biến đổi Z a. Khái niệm: Biến đổi ZT của một tín hiệu rời rạc s(n) là một biểu thức S(z) đợc xác định bởi công thức sau: ZT[x(n)] = X(z) = + = n n Znx ).( (1.2.6) Biến đổi ZT nh trên cón đợc gọi là biến đổi Z thuận. ở đây Z là một số phức. Nh vậy biến đổi Z đã biến đổi việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập tự nhiên n thành việc biểu diễn tín hiệu X(Z) trong miền Z (tức là trong mặt phẳng phức Z, vì Z là biến số phức) và X(Z) là một hàm phức của biến số Z. -6- Theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử ZT nh sau: ZT[x(n)] = X(Z) x(n) )(ZX ZT . tức là toán tử ZT tác động vào x(n) sẽ cho ra X(Z). Từ định nghĩa ta thấy rằng biển đổi Z là một chuỗi luỹ thừa vô hạn, nó tồn tại chỉ với các giá tri Z mà tại đó chuỗi này hội tụ b) Biến đổi Z một phía. Biến đổi Z một phía đợc định nghĩa nh sau n n ZnxZX = 0 1 )()( (1.2.7) theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử ZT 1 nh biến đổi Z hai phía nh sau. ZT 1 [x(n)] = X 1 (Z) Sự khác nhau giữa biến đổi Z một phía và hai phía là: - Tổng theo n chạy từ 0 . - Không biểu diễn đợc tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm (n<0). - Biến đổi Z một phía và hai phía là có tính nhân quả nh sau. + Đối với tín hiệu nhân quả thì biến đổi Z một phía là duy nhất vì tín hiệu nhân quả bằng 0 với n < 0. + Về mặt ký hiệu, để phân biệt với b đổi Z hai phía ta ghi số 1 ở phía bên trái X 1 (Z), ZT 1 số 1 có nghĩa là một phía. c. Mặt phẳng Z. ở trên ta đã nói mặt phẳng Z, bây giờ ta xét chi tiết hơn . Bởi vì Z là biến số phức vì vậy ta có thể viết dới dạng phần thực và phần ảo. Z = Re[Z] + jIm[Z]. mặt phẳng Z đợc tạo bởi trục tung Im[Z] và trục hoành Re[Z] Ngoài ra có thể biểu diễn Z trong toạ dộ cực và Z đợc viết dới dạng sau: Z = r.e j Toạ độ cực trong mặt phẵm Z đợc minh hoạ trên hính sau: -7- 0 Im[Z] Re[Z] r Ta cũng có liên hệ giữa Re[Z], Im và r, nh sau: Re[Z] = r cos jIm[Z] = r sin. Ngoài ra trong mặt phẳng Z còn có một vòng tròn đơi vị Z đợc đánh giá nh sau: Z = e j Vòng tròn đơn vị đặc biệt quan trọng trong việc đánh giá các đặc tính của hệ thống số dựa vào các vị trí, các điểm cực, điểm 0, chúng nằm ở trong hay ngoài vòng tròn đơn vị. d. Sự tồn tại của biến đổi Z. - Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi X(z) = = = n n nxZTZnx )]([)( hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z. - Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi X 1 (z) = = = 0 1 )]([)( n n nxZTZnx hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z một phía. e. Cực và không - Trong thực tế chúng ta thờng gặp các biến đổi Z cho dới dạng một ht- ơng số của hai đa thức cuả Z (Z -1 ) và nh vậy X(Z) là hàm hữu tỉ của Z. X(z) = )( )( zD zM - Tại các điểm Z or ta có X(Z or ) = 0 thì các diểm đó gọi là các không của X(Z). Vậy nghiệm của tử số M(z) chính là 0 của X(Z). Nếu N(Z) là đa thức của Z bậc M thì X(Z) có N cực. -8- 0 Im[Z] Re[Z] r - Tại các điểm Z = Z pk ta có X(Z) = thì các điểm đó gọi là các cực của X(Z). Vậy nghiệm của mẫu số D(Z) chính là cực của X(Z). Nếu D(Z) là đa thức của Z bậc N thì X(Z) có N cực. f. Biến đổi Z ngợc (TFT) Thông thờng khi chúng ta có biến đổi Z, X(Z) của mọi dãy nào đó, tức là chúng ta có biểu diễn của cặp x(n) trong miền Z, sau khi khảo sát gián tiếp dãy trong miền Z thi chúng ta cần phải đa nó về miền biến số độc lập tự nhiên, tức là chúng ta tìm x(n) từ biến đổi Z X(Z) của nó. Biến đổi Z ngợc giúp chúng ta thực hiện công việc này. Biểu thức của biến đổi Z ngợc là: x(n) = dzZZX j n c 1 )( 2 1 Trong đờng cong C phải khép kín bao quanh gốc tạo độ của mặt phẳng phức Z theo chiều dơng và phải nằm trong miền hội tụ của X(Z). - Theo quan điểm toán tử ta cũng có kí hiệu IZT IZT[X(Z)] = x(n) Cuối cùng ta có cặp biến đổi Z nh sau: ZT[X(n)] = X(Z) = = n n Znx )( IZT[X(Z)] = x(n) = c n dzZZX j 1 )( 2 1 3. Các phép biến đổi xử lí tín hiệu 3.1 u nhợc điểm của biến đổi Fourier Biến đổi Fuorier (Fourier Transform) viết tắt là FT do nhà toán học Pháp Joseph Fourier(1768 - 1830) đề ra từ năm 1812 và trở nên rất quen thuộc đối với các kỹ s. Mọi hàm chu kỳ liên tục hoặc có một số giới hạn các điểm gian đoạn loại 1 bất kỳ trong miền thời gian t đợc khai triển thành một tổng vô hạn các hàm mũ phức chu kỳ. Tinh thần cơ bản của biến đổi Fuorier thuận là chuyển hàm gốc x(t) trong miền thời gian thành ảnh X( ) trong miền tần số = 2f theo biểu thức sau đây . + = f f tj dtetxX )()( (1.3.1) Nhờ FT thuận ta tìm đợc phân bố biên độ của tín hiệu thời gian, đờng biểu diễn biên độ tín hiệu theo tần số gọi là đặc tính biên tần. Ngợc lại có thể tìm hàm gốc x(t) theo ảnh X( ) theo biểu thức biến đổi Fuorier ngợc: + = f f tj deXtx )()( (1.3.2) Tín hiệu x(t ) nhân với hàm mũ phức ở tần số f nào đó rồi đợc tích phân từ trừ vô cùng thành cộng vô cùng nghĩa là trong suốt thời gian t. Theo công thức Euler: -9- tjte tj .sin.cos += (1.3.3) Ta nhận thấy phần thực của (3) là phần cos còn phần ảo là sin theo tần số f. Ví dụ dòng điện tần số công nghiệp f = 50 Hz đợc biểu diễn theo thời gian nh hình 1 và phổ biên tần của nó theo biến đổi FT thuận đợc biểu diễn bằng một vạch theo trục tần số nh hình 1.2. Đặc tính biên tần hình.1.2 cho ta thông tin là chỉ có một tín hiệu có biên độ ở tần số 50 Hz. Do tính đối xứng theo trục tần số ta chỉ cần vẽ theo trục dơng của biên độ. Ngoài đặc tính biên tần ngời ta còn sử dụng đặc tính pha tần nghĩa là biểu diễn góc pha của tín hiệu theo tần số. Hình 1.2 Tín hiệu trong miền thời gian Hình 1.3 Đặc tính biên tần của tín hiệu Nhờ FT, tín hiệu trong miền thời gian đợc biến đổi thành tín hiệu trong miền tần số, nhờ đó ta có thể thực hiện các bộ lọc tần số nhằm thu đợc tín hiệu mong muốn. FT trở thành công cụ rất hiệu quả trong việc xử lý tín hiệu chu kỳ. Ta cũng nhận thấy các phép đạo hàm và tích phân trong miền thời gian đối với x(t) trở thành các phép đại số với ảnh X( ). Bây giờ ta xét tín hiệu phức tạp hơn là tổng của 4 điều hoà tần số 10, 25, 50 và 100 Hz cho theo biểu thức: x(t ) = cos10t + cos25t + cos50t + cos100t (1.3.4) Có đồ thị thời gian cho trên hình.1.3 và phổ biên độ tần số của chúng cho trên hình1.4. -10- [...]... nhiên cũng có những biến đổi đợc sử dụng dựa trên tính đơn giản hoá này Ví dụ biến đổi Karhunen Loeve và phép tính xấp xỉ của nó là một trong các biến đổi khối đợc sử dụng phổ biến cho các tín hiệu rời rạc theo thời gian Để hạn chế hiệu ứng blocking, các nhà nghiên cứu đã đa ra phép biến đổi trực giao xếp chồng LOT Các hàm cơ sở đợc sử dụng trong biến đổi LOT dài hơn chiều dài biến đổi và có sự chuyển... lĩnh vực ứng dụng rất rộng lớn của phân tích phổ Viễn thông, thiên văn, chuẩn đoán y học, FFT đã khai thác lợi ích của nhiều ngành toán học mà trớc đây ngời ta cha khai thác hết -32- - FFT đã đặt nền móng cho việc tính toán nhanh các biến đổi khác nh: Biến đổi Walsh, biến đổi Hadamard, biến đổi Haar, biến đổi wavelet 3.1.1 Phép biến đổi rời rạc a) Các định nghĩa * Tổng quan Giả sử ta có dãy tuần hoàn... băng của biến đổi wavelet transform Có bốn loại khác nhau của biến đổi wavelet và không có tên cụ thể cho từng loại biến đổi đó Cách gọi tên cách loại khác nhau này tuỳ theo từng tài liệu và từng thời điểm ở đây chúng ta thống nhất gọi tên chúng thích hợp nhất là: + Biến đổi wavelet liên tục CWT ( , a ) = 1 t a s( t ). a dt (2.1.8) Có sự giống nhau trong phép biến đổi Fourier, t thay đổi tỉ lệ... nhiên có hai điểm khác biệt cơ bản giữa STFT và CWT là: * không tính biến đổi Fuorier của các tín hiệu, do đó mỗi đỉnh đơn sẽ tơng ứng với một hình sin và không tính các tần số âm * chiều rộng cửa sổ đợc thay đổi Phép biến đổi đợc tính toán đối với mỗi thành phần phổ Đây là đặc điểm quan trọng nhất của biến đổi sóng WT Về mặt toán học biến đổi sóng thuận đợc định nghĩa bằng biểu thức: C Ư WT * ( , a ) =... ngợc lại Biến đổi sóng WT khắc phục đợc nhợc điểm này Hình 9: Hàm cửa sổ ứng với các hệ số khác nhau -14- Hình 10: Hình ảnh không gian 3 chiều của tín hiệu đối với b khác nhau 3.3 Biến đổi khối (Block Transform) Trong một vài ứng dụng và mã hoá biến đổi, tín hiệu đợc phân chia thành các khối gần kề không chồng sát lên nhau Sau đó áp dụng mã hoá biến đổi trên mỗi khối độc lập Để thực hiện biến đổi, ta... qua giải thông giống nhau (hình 2.6), là phép biến đổi giống nhau đợc thực hiện đơn giản nh phép biến đổi wavelet nhanh ( fast wavelet transform) nếu có một cách đơn giản cho tỉ lệ s(t) Sự đánh giá cao s(t) và giới hạn tỉ lệ cho việc nén đợc thực hiện bởi hai khối sau mỗi khối tỉ lệ trong hình (2.6) nó trở thành bộ lọc thông thấp sự tiêu hao cơ bản của phép biến đổi wavelet nhanh mà ta sẽ nghiên cứu ở... nhất với DTWT với (k) ở công thức (2.9) Trong trờng hợp nay thì tơng đơng với việc DWT là biến đổi Fuorier -28- s(t) Cửa sổ đầu tiên t T s(t) Cưa sổ thứ hai T t Hình 2.7 Tần số thay đổi và thời gian biến đổi Hình 2.7 thể hiện cho ta vai trò của tỉ lệ (thời gian độ rộng cửa sổ) trong sự điều khiển thời gian và biến đổi tần số trong việc phân tích tín hiệu s(t) bao hàm hai tam giác nhọn ở thời gian tách... có tần -11- số 25 Hz, trong khoảng từ 800 ữ 1000 ms có tần số 10 Hz Biến đổi FT của chúng có dạng hình 6 với các gợn sóng ở lân cận các phổ vạch 10, 25, 50 và 100 Hz Hình 1.6 Tín hiệu không dừng Hình 1.7 Phổ biên - Tần số tín hiệu không dừng 3.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transform) STFT Trong biến đổi Fuorier ngắn STFT ( Short time Fourier Transform), tín hiệu đợc chia... thức (2.3.5) để làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn * Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn X (n) có chu kỳ N đợc định nghĩa nh sau: N 1 X (k ) = x(n).e j 2 k n N (2.3.6) n =0 Nếu chúng ta đặt: 2 WN= e j N Ta có: W kn = e WN kn j =e 2 N j (2.3.7) kn 2 N kn Vậy ta có thể viết lại biểu thức biến đổi Fourier rời rạc nh sau: N 1 X... 1 ) = arctg 3 3 * Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngợc Biến đổi Fourier rời rạc ngợc đợc định nghĩa nh sau: 1 x ( n) = N N 1 X (k ).e j 2 kn N (2.3.9) k =0 Hoặc: x ( n) = 1 N N 1 N (k ) Ư W k =0 kn N (2.3.10) Nh vậy ta đã lấy cách biểu diễn dãy tuần hoàn x(n) có chu kỳ N bởi tổng các dãy hàm mũ làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc ngợc Chúng ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc ngợc là