ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH HÒA BÌNH TRƯƠNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ Môn: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 26/6/09 Thời gian: 150 phút. Bài 1: ( 2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz b) Cho x, y, z thỏa mãn: 2 5 5 x y z xy yz xz xyz + + = + + = − = − . Tính x 3 + y 3 + z 3 Bài 2: ( 2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 + 2y 2 – 2xy + 3x – 3y + 2 = 0 b) Cho tam giác vuông có chu vi bằng 84cm, một cạnh góc vuông dài 35cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó. Bài 3: ( 2 điểm) a) Giải hệ phương trình: 2 2 1 13 xy x y x y − − = + = b) Giải phương trình: x 2 – 3x – 2 1x − +4 = 0 Bài 4; ( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O, trên cạnh AB và BC lần lượt lấy 2 điểm I và M sao cho BI = CM. a) Chứng minh rằng tam giác OIM là tam giác vuông cân. b) Kéo dài AM cắt CD tại N. Chứng minh rằng: IM song song với BN c) Gọi K là giao điểm của OM và BN. Chứng minh rằng: CK vuông góc với BN. Bài 5: ( 1 điểm) cho tam giác ABC lấy điểm M thuộc BC. Gọi O là trung điểm của AM. Nối B với O cắt AC tại N, nối C với O cắt AB tại P. Người ta đã chứng minh được rằng: PA NA a PB NC + = là một số không đổi. a) Hãy dự đoán kết quả của a ( yêu cầu giải thích cách dự đoán). b) Hãy chứng minh dự đoán trên. GIẢI Bài 1: a) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = ( x + y) 3 – 3x 2 y – 3xy 2 + z 3 – 3xyz = [ ( x + y) 3 + z 3 ] – 3xy( x + y + z) = ( x + y + z) [ ( x + y ) 2 – ( x+ y)z + z 2 ] – 3xy ( x + y + z) = ( x + y + z)( x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx) b)Từ a) => x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z)( x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx) + 3xyz Từ gt => x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 - 2( xy + yz + zx) = 4 – 2 ( -5) = 14 x 3 + y 3 + z 3 = 2 ( 14 + 5 ) – 15 = 23 Vậy x 3 + y 3 + z 3 = 23 Bài 2: a) Pt đã cho tương đương với PT: x 2 – ( 2y – 3)x + 2y 2 – 3y + 2 = 0 ( 1) Ta có tồn tại y PT ẩn x (1) có nghiệm ∆ ≥ 0 4y 2 – 1 ≤ 0 1 1 2 2 y− ≤ ≤ Do y nguyên nên y = 0 => x 2 + 3x + 2 = 0 x 1 = -1 ; x 2 = -2 thỏa x nguyên Vậy PT có nghiệm: (x,y) = ( -1; 0) ; ( -2; 0) b) giả sử tam giác ABC vuông tại A có các cạnh góc vuông là b, c, cạnh huyền là a và cạnh b = 35cm. ( c > 0 ; a > 35 ) theo gt: a + b + c = 84 => a + c = 84- 35 = 49. (1) Áp dụng định lí PiTa Go ta có a 2 – c 2 = b 2 ( a+ c)( a – c) = 1225 a – c = 1225 : 49 = 25 (2) từ (1) và (2) ta có 2a = 74 a = 37 => c = 12 a và c thỏa ĐK Vậy cạnh góc vuông còn lại là 12cm . Diện tích tam giác là: 35. 12 = 420 ( m 2 ) Bài 3: a) Đặt S = x + y ; P = xy thì hệ Pt có dạng 2 1 2 13 P S S P − = − = (S,P) = ( 5; 6) ; ( -3; - 2) x và y là nghiệm của các PT: x 2 – 5x + 6 = 0 và x 2 + 3x – 2 = 0 Giải các PT có nghiệm của hệ PT là: (x,y)= ( 2; 3) ; ( 3; 2) ; 3 17 3 17 3 17 3 17 ; ; ; 2 2 2 2 − − − + − + − − ÷ ÷ ÷ ÷ . b) ĐK: x ≥ 1. PT đã cho tương đương với PT: ( x 2 – 4x + 4) + ( x – 1 + 2 1x − + 1) = 0 ( x – 2) 2 + ( 1x − - 1) 2 = 0 2 0 1 1 0 x x − = − − = x = 2 . Thỏa ĐK Vậy PT có nghiệm x = 2. Bài 4: a) ∆ BIO = ∆ CMO ( c.g.c) OI = OM => ∆ OIM cân tại O c b a C B A ∆ BIO = ∆ CMO => · · BOI COM= . Chứng minh tương tự có ∆ IAO = ∆ MBO => · · IOA MOB= => · · · · BOI BOM COM IOA+ = + Mà · · · · BOI BOM COM IOA+ + + = 180 0 2( · · BOI BOM+ ) = 180 0 => · · BOI BOM+ = 90 0 Hay · IOM = 90 0 Vậy ∆ IOM vuông cân tại O. b)Do AB // DN => BM MA MC MN = Mà BM AI MC IB = => AI MA IB MN = = > IM//BN ( định lí đảo của định lí Ta- Lét) c) Có · · BKM IMO= = 45 0 ( so le trong) Mà · BCO = 45 0 => · · BKO BCO= => BKCO nội tiếp => · · BOC BKC+ = 180 0 . Do · BOC = 90 0 => · BKC = 90 0 => CK ⊥ BN ( đpcm) Bài 5: a) Dự đoán: a = 1 *) giải thích: Khi M trùng B thì a = 1; Khi M trùng C thi a = 1 b)Áp dụng định lí Mê-nê-lauýt Vào ∆ ABM với 3 điểm P, O, C thẳng hàng có . . PA CB OM PB CM OA = 1 => . PA CB PB CM = 1 ( do OM= OA) => PA PB = CM CB (1) Tương tự áp dụng định lí Me-nê-lauýt vào ∆ AMC với 3 điểm B, O, N thẳng hàng có . . NA BC OM NC BM OA = 1 => . NA BC NC BM = 1 => NA NC = BM BC (2) Từ (1) và (2) ta có: PA NA CM BM CM BM PB NC CB CB CB + + = + = =1 N K I M O D C B A / / O P N M C B A . ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH HÒA BÌNH TRƯƠNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ Môn: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 26/6/09 Thời gian: 150 phút. Bài. CK ⊥ BN ( đpcm) Bài 5: a) Dự đoán: a = 1 *) giải thích: Khi M trùng B thì a = 1; Khi M trùng C thi a = 1 b)Áp dụng định lí Mê-nê-lauýt Vào ∆ ABM với 3 điểm P, O, C thẳng hàng có . . PA CB