43 đề thi chuyên Toán

Đề thi môn Toán Su tầm Đề thi tuyển sinh *Trờng THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức. A = 1 44 242242 2 + ++++ x x xxxx 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên Bài 2.( 3 điểm) 1) Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình. x 2 -(2m-3)x +1-m = 0 Tìm các giá trị của m để: x 1 2 + x 2 2 +3 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất 2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mãn: a 2003 + b 2003 = 2.a 2003. b 2003 Chứng minh rằng phơng trình: x 2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bài 3. ( 3 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180 0 . Tính tỉ số AB BC . 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD. Bài 4. ( 1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: | 2222 caba ++ | | b-c| với a, b,c là các số thực bất kì. 1 Đề thi môn Toán Su tầm *Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 ) Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 143 12 2 2 + xx xx 1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x) 2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0 Bài 2. ( 2 điểm) 1) cho phơng trình: 0 2 63)12(2 22 = +++ x mmxmx (1) a) Giải phơng trình trên khi m = 3 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn x 1 +2 x 2 =16 2) Giải phơng trình: 2 2 1 2 1 1 2 =++ + xx x Bài 3 (2 điểm) 1) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x 2 +4y 2 = 1 Chứng minh rằng: |x-y| 2 5 2) Cho phân số : A= 5 4 2 + + n n Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 2004 n sao cho A là phân số cha tối giản Bài 4( 3 điểm) Cho hai đờng tròn (0 1 ) và (0 2 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (0 1 ) tại A, tiếp xúc với (0 2 ) tại B. Tiếp tuyến của (0 1 ) tại P cắt (0 2 ) tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM 2 Đề thi môn Toán Su tầm (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút ) Câu 1. Cho phơng trình x 2 +px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a 1 , a 2 và phơng trình x 2 +qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b 1 ,b 2 . Chứng minh: (a 1 - b 1 )( a 2 - b 1 )( a 1 + b 1 . b 2 +b 2 ) = q 2 - p 2 Câu 2: cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; với x + y+z 0 Chứng minh: 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x 2 +5y 2 +8xy+2x-2y+2= 0 b) Cho các số dơng x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1 Chứng minh: 2 111 2 2 2 2 2 2 + + z z y y x x Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phơng trình: x 3 -y 3 = 1993. Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150) 3 Đề thi môn Toán Su tầm Câu 1(1đ): tính giá trị biểu thức A= 1 1 1 1 + + + ba với a= 32 1 + và b= 32 1 + Câu 2(1.5đ): Giải pt: 844 2 =++ xxx Câu 3(3đ): Cho hàm số y=x 2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. a) Viết phơng trình đờng thẳng AB. b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích max. Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt đờng tròn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh: a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC. b) các góc KAM và MAO bằng nhau. c) AH=2NO. Câu 5 (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1). Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 4 Đề thi môn Toán Su tầm Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút) Bài 1. (5,5 điểm) 1) Cho biểu thức. A = 2 5 n a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên 2) Tìm x biết: a) x chia hết cho 12; x chia hết cho 25; x chia hết cho 30; 5000 x b) (3x - 2 4 )7 3 =2.7 4 c)|x-5| =16+2(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức đã sử dụng bao nhiêu chữ số? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0? Bài 2. ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN. Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 100 0 . Vẽ tia phân giác Oz của góc XOY; Vẽ tia Ot nằm trong góc XOY sao cho YOT = 25 0 1) Chứng tỏ tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY 2) Tính số đo góc ZOT 3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút) Bài 1. ( 3 điểm) a) Tính 5 Đề thi môn Toán Su tầm 2004 3 2003 3 2002 3 2004 2 2003 2 2002 2 2005 5 2004 5 2003 5 2005 1 2004 1 2003 1 + + + + b) Biết . 13+ 23+ +103 = 3025. Tính S = 23+43+63+.+203 c) Cho A = yx xyxx + + 2 223 425,03 Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất Bài 2. (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117 Bài 3. ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đờng mà hai phần ba con đờng băng qua đồng cỏ và đoạn đờng còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian thỏ đi trên đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy. Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đồng cỏ lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần? Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ADCABE = b) Góc BMC = 1200 Bài 5. ( 3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đờng thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm . a) Tam giác ABC l tam giác gì? Chứng minh điều đó. b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh rằng AE = AB Đề thi học sinh giỏi thĩ xã Hà Đông ( 2003-2004) Toán 7 (120) Bài 1( 4 điểm) Cho các đa thức: 6 Đề thi môn Toán Su tầm f(x) = 2x 5 - 4x 3 +x 2 -2x +2 g(x) = x 5 - 2x 4 +x 2 - 5x +3 h(x) = x 4 +4x 3 +3x 2 -8x + 4 16 3 a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x) b) Tính giá trị của M(x) khi x = 25,0 c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0? Bài 2. (4 điểm) a) Tìm 3 số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, và 3a +5c-7b=60 b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x| Bài 3. (4) Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức a)P = m 6 2 có giá trị lớn nhất b) Q 3 8 = n n có giá trị nguyên nhỏ nhất Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB<AC,AB=c,AC=b. Qua M là trung điểm của BC ngời ta kẻ đờng vuông góc với đờng phân giác trong của góc A đờng này cắt các đ- ờng thẳng AB, AC lần lợt tại D,E a) Chứng minh BD=CE b) Tính AD và BD theo b,c Bài 5. (3) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= 100 0 .D là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho góc DBC =10 0 , góc DCB =20 0 . Tính góc ADB? Toán 8 (150) Bài 1(5) Cho + + + = 3 1 2 3 2 xx x A : x xx x x 3 13 1 42 2 + + a) Rút gọn A b) Tìm A để x= 6013 7 Đề thi môn Toán Su tầm c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên Bài 2.(3) Cho A=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 a) Rút gọn A b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x,y,z nguyên Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( mỗi ngời bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông báo: a) Hùng đạt điểm 10 b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm 9 Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi ngời. Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lợt dựng trên AB, AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ giác BDEC d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D) Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB) Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004) Toán 7 (120) Bài 1( 4) Giải phơng trình 04 107 309 105 311 103 313 101 315 =+ + + + xxxx 8 Đề thi môn Toán Su tầm Bài 2(4) Cho các số nguyên dơng x,y,z . Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < xz z zy y yx x Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình (2a+5b+1)(2 |a| +a 2 +a+b)=105 Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0). Mỗi ngời đợc phát một quân bài và đợc nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài đợc thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn 2 lần chơi, A nhận đợc 20 cái kẹo, B nhận đợc 10 cái kẹo, C nhận đợc 9 cái kẹo. Hỏi số đã ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớn nhất đợc viết trên các quân bài lớn hơn 9. Bài 5(5) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= góc C= 80 0 . Từ B và C kẻ các đ- ờng thẳng cắt các cạnh tơng ứng ở Dvà E sao cho góc CBD = 60 0 và góc BCE =50 0 Tính góc BDE Toán 8( 120 phút) Bài 1(4) Giải phơng trình: 110.100 1 12.2 1 11.1 1 110.10 1 102.2 1 101.1 1 +++= +++ x Bài 2(4) Tìm x để hàm số y= x/(x+2004) 2 có giá trị lớn nhất 9 Đề thi môn Toán Su tầm Bài 3( 4) Cho phơng trình 2 3 2 35 1 3 2 + = + + xx ax x a x a Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1? Bài 4(4) Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD( AB=CD) nối các đỉnh của hình thang đợc 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận đợc, có thể dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân) Bài 5(4) Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b. Gọi I b ,I c theo thứ tự là độ dài cảu các đờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b>c thì I b <I c Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng) thời gian: 150 Bài 1(3) Giải phơng trình: 1) |x 2 +2x-3|+|x 2 -3x+2|=27 2) 20 1 )1( 1 )2( 1 2 = x xx 10 [...]... biết hiệu của chúng bằng 7 và BCNN của a và b là 140 20 Su tầm Đề thi môn Toán Bài 5 (2đ): Tìm x là số nguyên biết: x-5 + x 5 = 0 Bài 6 (4đ): Cho đoạn thẳng AB = 7cm; điểm C nằm giữa A & B sao cho AC = 2cm; các điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB Gọi I là trung diểm của DE Tính độ dài của DE, CI 21 Su tầm Đề thi môn Toán Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)... +1 4 2 *Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150) Bài 1: (2đ) Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyên Chứng minh nếu a +b +c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4 Bài 2(2đ) Cho hệ phơng trình: (x+y)4 +13 = 6x2y2 + m xy(x2+y2)=m 1 Giaỉ hệ với m= -10 14 Su tầm Đề thi môn Toán 2 Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có... tại E Chứng minh: Đề thi môn Toán a Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD b Tam giác EPQ là tam giác cân Bài 4 (2đ): Giải hệ phơng trình: x+y = 1 x5 + y5 =11 Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90) Bài 1(4đ): Tính giá trị biểu thức: a A= 1 + (-2) + 3 + (-4) + .+2003 +(-2004) + 2005 b B = 1 -7 + 13 19 + 25 31 + (B có 2005 số hạng) Bài 2 (4đ): a chứng minh: C = (2004+20042+20 043 ++200410) chia... ba điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005) thời gian :150 Bài 1: (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: a) A(-1;3), b) B( 2 ; -1), c) C(1/2; 5) 2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm số Bài 2: (3đ) 13 y= x+1 Su tầm Đề thi môn Toán Cho hệ phơng trình:... Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông Mỗi đờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5 Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán 9 bảng B thời gian: 150) Bài 1 a) Rút gọn biểu thức: P= x 2y 2 + xy ( x y) 2 xy... tất cả các tổng trên là khác nhau Chứng minh a 6 2012 Bài 5 Hãy khôi phục lại những chữ số bị xoá( để lại vết tích của mỗi chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng *** ì ***2 **** *** ******* Đề số 2: Bài 1 Giải hệ phơng trình 26 Su tầm Đề thi môn Toán xy + 2 x + y = 0 yz + 2 z + 3 y = 0 xz + 3x + z = 0 Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a) Bài 3 Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị... (BL.CL)=HD2/LD2 Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lợt tại M&N Ký hiệu SAMN là diện tích tam giác AMN Chứng minh rằng: 3 3 3 S AMN 3 8 Đề số 10 Bài 1: Cho p là số nguyên tố >3 Chứng minh rằng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 luôn có nghiệm dơng (x0;y0;z0) Bài 2: Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a+b+c =3 Chứng minh rằng: 34 Su tầm Đề thi môn Toán a b c 3 + + 2 2... tích Đề số 11: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) trong đó a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện a>=b>=c>0 Bài 2: Tồn tại hay không số nguyên thoả mãn : n3 + 2003n = 20052005+1? Bài 3: 35 Su tầm Đề thi môn Toán Đặt: A= 1 1 1 1 + + + + 2.3 3.4 2003.2004 2005.2006 1 1 1 B= 1004.2006 + 1005.2005 + + 2006.1004 Chứng minh rằng A/B là số nguyên Bài 4: Cho tam giác đều... các phơng trình sau đều có nghiệm: t2 + 2at +3b =0; at2 2bt + 3c =0 Bài 3(3đ) Cho tam giác ABC 1 Gọi M là trung điểm của AC Cho biết BM = AC Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C chứng minh: DM vuông góc với BE 2 Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F chứng minh: Đề thi môn Toán a) OD OE OF + +... ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O 1 ),(O 2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z và T khác I) Chứng minh rằng XZ = YT Đề số 3: Bài 1 Cho 3 số chính phơng A, B, C 27 Su tầm Đề thi môn Toán Chứng tỏ rằng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hết cho 12 Bài 2 Chứng minh rằng : 3 3 2 1 = 3 1 3 2 3 4 + 9 9 9 Bài 3 Cho a b, a c, b c Chứng minh rằng: b2 c2 c2 a2 a . S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1). Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 4 Đề thi môn Toán Su tầm Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút) Bài. Đề thi môn Toán Su tầm Đề thi tuyển sinh *Trờng THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: