đề thi vào lớp 10 chuyên Năm học 2006 - 2007 môn toán ( Thời gian làm bài 150' ) Bài 1 Cho biểu thức : P = ( 3x 9x 3 x x 2 + + + 1 x 1 + 1 x 2+ ) : 1 x 1 a.Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P ? b.Tìm các số tự nhiên x để 1 P là số tự nhiên ? c.Tìm giá trị của P với x = 4 - 2 3 Bài 2 Cho ba số thực a,b,c thoả mãn điều kiện o a,b,c 2 a b c 3 + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 Bài 3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Bài 4 Cho phương trình : x 3 - m(x+2) + 8 = 0 1/Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ? 2/Khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 ,x 3 . Chứng minh: x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 = 3x 1 x 2 x 3 Bài 5 Cho đường tròn (O) và dây AB; điểm M chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D. a. Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua một điểm khi M thay đổi trên đường tròn ? b. Chứng minh rằng: 2 2 MA AH AD MB BD BH = (Giám thị không giải thích gì thêm) đáp án biểu điểm Bài 1 (2điểm) a. Điều kiện x 0 x 1 0,5 đ P = ( ) ( ) ( ) x 3 x 2 x 1 x 1 x 2 + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 + + + + = ( ) 2 x 1+ 0,5 đ b.Do ( ) 2 x 1+ 0 với x nên 0 ( ) 2 1 1 x 1 + Vì thế 1 P = ( ) 2 1 x 1+ N ( ) 2 1 x 1+ =1 ( ) 2 x 1+ =1 0,5 đ Mà x 1+ > 0 nên x 1+ =1 x = 0 Khi đó 1 P =1 là số tự nhiên c.x = 4 - 2 3 = ( ) 2 3 1 suy ra P = ( ) 2 2 3 1 1 + = ( ) 2 3 1 1 + = 3 0,5 đ Bài 2 (2điểm) Từ giả thiết 0 a,b,c 2, suy ra (2 - a)(2 - b)(2 - c) + abc 0 0,5 đ 8 - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) 0 8 - 12 + 2ab + 2bc + 2ca 0 (vì a + b + c = 3) 2ab + 2bc + 2ca 4 0,5 đ a 2 +b 2 +c 2 +2ab + 2bc + 2ca 4 + a 2 +b 2 +c 2 (a + b + c) 2 4 + a 2 +b 2 +c 2 9 4 + a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2 5 0,5 đ Dấu đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị của bộ số này. Vậy Max P = 5 khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị của bộ số này. 0,5 đ Bài 3 (2 điểm) x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 (1) Đặt x + y = a , xy = b ( a,b Z) Phương trình (1) có dạng: a 2 - b = b 2 b 2 + b - a 2 = 0 (2) = 1 + 4a 2 0,5đ Để phương trình (2) có nghiệm nguyên thì là số chính phương suy ra 4 a 2 + 1 = k 2 (k N) (k - 2a)(k + 2a) = 1 0,5 đ Ta có bảng sau: k - 2a 1 -1 k + 2a 1 -1 a 0 0 Thay a = 0 vào (2) ta có: b 2 + b = 0 b(b + 1) = 0 b 0 b 1 = = 0,5 đ * Với a 0 b 0 = = x y 0 xy 0 + = = x 0 y 0 = = * Với a 0 b 1 = = x y 0 xy 1 + = = (x,y) (1; 1) (x,y) ( 1;1) = = 0,5 đ Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x,y) là (0;0), (1;-1), (-1;1) Bài 4 (1 điểm) a. x 3 - m(x + 2) + 8 = 0 (1) (x + 2)( x 2 - 2x + 4 - m) = 0 0,25 đ 2 2 x 2 0 x 2 x 2x 4 m 0 x 2x 4 m 0 + = = + = + = Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình x 2 - 2x + 4 - m = 0 (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác (-2) , m 3 1 4 m 0 m 12 4 4 4 m 0 > = + > + + 0,25 đ b. Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của (2). Khi đó x 3 = -2 Theo hệ thức Vi-ét: 1 2 1 2 x x 2 x x 4 m + = = 0,25 đ Như vậy x 1 + x 2 = - x 3 (x 1 + x 2 ) 3 = - x 3 3 3 3 3 1 2 1 2 3 3 x x 3x x x x+ + = 3 3 3 1 2 3 1 2 3 x x x 3x x ( x ) 0+ + + = 3 3 3 1 2 3 1 2 3 x x x 3x x x+ + = 0,25 đ B i 5 (3 điểm) a. Tứ giác MEHF nội tiếp đường tròn vì có MEH + MFH = 180 0 AMB = 180 0 - EHF = EHA + FHB EHA = AMB FHB (1) 0,5 đ MHF = MEF (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF) Lại có MHF + FHB = 90 0 = MEF + EMD FHB = EMD Kết hợp với (1) suy ra EHA = DMB Gọi N là giao điểm của AD với đường tròn (O) Ta có DMB = NAB (góc nội tiếp cùng chắn cung NB) EHA = NAB 0,5đ Do đó AN// HE mà HE MA nên NA MA MAN = 90 0 AN là đường kính của đường tròn. Vậy MD luôn đi qua một điểm cố định. 0,5đ b. Kẻ DI MA, DK MB. Ta có: MAH MBD AH S AM.HE BD S BM.DK = = MAD MBH AD S AM.DI BH S BM.HF = = Vậy 2 2 AH AD MA HE.DI BD BH MB DK.HF = (*) 0,5 đ Ta có HMB = FHB (cùng phụ với MHF) mà FHB = EMD (chứng minh trên) HMB = EMD AMH = DMB )2( Tứ giác MEHF nội tiếp đường tròn nên AMH = EFH )3( (cùng chắn cung EH) và EHF = 180 0 - AMB Tứ giác MIDK nội tiếp đường tròn nên DMB = DIK )4( (cùng chắn cung DK) Và IDK = 180 0 - AMB EFH = DIK (suy ra từ (2), (3), (4) )và EHF = IDK ( = 180 0 - AMB) DIK HFE (g - g) 0,5đ ID DK HF HE = ID.HE DK.HF= ID.HE 1 DK.HF = Kết hợp với (*) ta có 2 2 MA AH AD MB BD BH = 0,5đ . đề thi vào lớp 10 chuyên Năm học 2006 - 2007 môn toán ( Thời gian làm bài 150'. ra P = ( ) 2 2 3 1 1 + = ( ) 2 3 1 1 + = 3 0,5 đ Bài 2 (2điểm) Từ giả thi t 0 a,b,c 2, suy ra (2 - a)(2 - b)(2 - c) + abc 0 0,5 đ 8 - 4(a + b