bt ham lien tuc

Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . Các dạng toán toán về giới hạn hàm Dạng 1: Giơi hạn dang o o Phương pháp: Thường tạo nhân tử chung để rút gon tôi đa nhân tử làm cho tư và mẫu triêt tiêu Dung các hằng đẳng thức đang nhớ Công thức: a n -b n =(a-b)(a 1−n +a ) 122 −−− +++ nnn babb Đặc biệt: x n -1 =(x-1)(x )1 21 ++++ −− xx nn các v dụ: vd1:tính các giới hạn sau: a)lim 4 23 2 − −− x xx ;b)lim 39 42 2 2 −+ −− x x x 2 → x o→ vd2: tính các giới hạn sau: a)lim x x cos1 tan1 − − =? B)lim )6/cos( tan3tan 3 π + − x xx =? x → ∏/4 x 3/ π → hướng dấn:lim cos x=cos x o ; lim sin x=sin x x o x→ x o x→ lim tan x=sin x o ; lim cot x=cotx o o ; x o x→ x o x→ vd3: tìm các giới hạn sau: L=lim mxxx nxxxx m n −+++ −++++ 2 32 x 1 → hướng dấn : phân tích theo nhân tử chung x-1 Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 1 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . vd4: tìm giới hạn sau: L= lim x xxxx 1)4)(!31)(21)(1 ( −++++ = ? x o→ hướng dấn: tách tạo nhân tử chung là x hoặc khai triển tử số dạng 2: phương pháp : đôi biến. đổi cân giới hạn để đưa về dạng đơn giản hơn vd1:cho n là số nguyên dương và a o≠ cmr: l=lim x ax n 11 −+ = n a (đây là công thức cần nắm) x o→ hướng dấn: đăt t= n ax+1 và đổi cận của giới hạn vd2:tìm ghạn sau a)Lim x x sin 1sin1001 −+ =? x π → b) L=lim x xx 13121 3 −++ =? x o→ c)L=lim x xxx 1413121 4 3 −+++ =? x o→ hướng dấn:thêm bớt đưa về dạng ở vd1 dùng abc-1=abc-bc +bc-c +c-1= bc(a-1) +c(b-1)+(c-1) vd3; tìm giới hạn: a)L =lim x xm 2 sin 1cos − =? Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 2 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . x o→ b)L=lim x xxm n 2 sin coscos − =? x 0 → hướng dấn: đặt cosx=y nm. và đổi cận Dạng 3:dùng ghạn lim x xsin =1 x 0 → phương pháp ; biến đổi dưa về áp dụng ghạn trên dùng cho ghạn có cả lượng giác và đai số vd1 : cmr: 1) lim bx ax tan tan =lim bx si ii sin =1 x o→ x o→ 2)lim 2 cos1 x ax− = 2 2 a x o→ hướng dấn :biến đổi về dạng trên vd2: tìm các ghạn sau: a)L=lim 3 2sinsin2 x xx − =? x 0 → b)k=lim 3 sintan x xx − =? x 0 → c)H=lim x x 2 sin2 cos1− =? x 0 → hướng dẫn ; dùng ghạn cơ bản vd3:tim ghạn sau: 1) L=lim x x cos21 3sin − =? x 3/ π → 2)H=lim x xx 6sin 2sin12sin1 −−+ =? x 0 → Hướng dấn: nhân liên hợp Tạo nhân tử chung Vd 4: tìm giới hạn : Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 3 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . L=lim 2 3cos2coscos1 x xxx− =? x o→ vd5:tìm lim )sin(tan )cos 2 cos( x x π =? x o→ vd6:tìm các ghạn:1)L=lim 6 cos 9 2 x x π − =? x 3 → 2)H= lim(4-x)tan 8 x π =? x 4 → 3)T=Lim qx px sin sin =? x π → dạng 4: dạng ∞ ∞ pp : chia cho x có số mũ cao nhất. vd1: L = Lim xxx xxx 2543 132 2 2 +++ −++ =? x ±∞→ hướng dấn : chia ra hai trường hợp x +∞→ và x −∞→ dạng 5: dạng ∞−∞ PP: chuyển về dạng khác băng thuật thêm bớt. Chú ý :dùng liên hợp Vd1: 1)L= Lim ( )1 3 3 xx −+ =? x +∞→ 2)k = Lim ( )1 4 4 xx −+ =? x −∞→ hướng dấn : dùng liên hợp vd2: 1) L= Lim (2x-1- )344 2 −− xx ) x +∞→ 2)Lim ( )23 2 3 23 xxxx −−+ =? x +∞→ HD: tách thành hai ghạn. Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 4 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . Dạng 6:giới hạn một phía; PP: căn cứ vào cân gh để tìm hàm . Vd1: 1)Lim 2 |63| + + x x =? x + → 2 2)Lim xx xx + − 2 3 =? x + → o vd2: 1) L=Lim 3 21 2 − − x x =? x + → 3 2) K= Lim 2 4 2 − − x x =? x + → 2 HD : căn cứ vào cận để xét dấu của hàm số Vd3: 2 9 x− với -3 3 ≤≤ x F(x) = 1 với x=3s 9 2 −x với x>3 Tìm Lim f(x) ;lim f(x);Lim f(x) x + → 3 x − → 3 x 3 → hd : chọn biểu thức thích hợp. bài tập tự luyện 1)L=Lim x xxx 11 2 ++−+ =? x o→ 2)Lim ax aaxx − − =? x a→ 3)lim t xtx −+ =? Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 5 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . t o→ 4)lim 23 2423 2 2 +− −−−− xx xxx x 1→ 5) cho f(x) = x x || tìm lim f(x) x 0→ 6)lim nn ax ax − − x a→ 7)lim 1 2 − −+++ x nxxx n x 1→ 8) lim x nxxx 1)1) (21)(1( −+++ x 0→ 9) lim ( ) 1 3 1 1 2 x x − − − x 1→ 10) lim 3 )12( )31)(32)(1( + +−− x xxx x +∞→ 11) a) Lim 2 )sin(2)2sin( x Sinaxaax ++−+ x 0→ b) LIm ( xx tan) 2 − π x 2 π → 12)a) lim x xx tan sin1sin1 −−+ x 0→ b)lim 2 2cossin1 x xxx −+ x 0→ c)Lim (cos xx cos1 −+ ) x +∞→ 13) xét tính liên tục của các h/số sau: Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 6 Nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n . 1 65 2 − −+ x xx nếu x 1≠ a) f(x) = 7 nếu x=1 x x2sin nếu x 0 ≠ b)f(x) = 2 nếu x=0 O nếu x<0 c)f(x)= x 2 nếu 0 1≤≤ x -x 44 2 −+ x nếu x>1 x x 11 2 −− nếu x 0 ≠ d) f(x) = 2 nếu x=0 14) cmr pt : x 05 5 =−−x có nghiệm x 0 )2;1(∈ và thỏa mạn : x 0 9 8≥ 15) cho ba số a,b,c cmr pt sau luôn có nghiệm: a(x-b)(x-c) + b(x-a)(x-c)+ c(x-a)(x-b)=0 16) a) Lim 1 1 3 4 − − x x x 1→ b) Lim 121 4 −+ x x x 0→ c) Lim ( ) 22 axxaxx −−+ x −∞→ Trêng THPT nghi léc 1 - nguyÔn v¨n nho. 7 Những dạng toán cơ bản . Các dang toán về đạo hàm: (2 đến 3 buổi) I) dạng 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa; pp: +) cho x một số gia x tính số gia y tơng ứng. +) tìm x y . +) tìm Lim x y ox Thờng ứng dụng cho hàm cho bởi nhiều biểu thức Và hàm cho bởi biểu thức chứa tri tuyệt đối và cho bởi tích nhiều nhân tử. ví dụ 1: cho các hàm số : x x 1 sin nếu x o f(x) = 1 || 2 +x x và g(x) = o nếu x=o xét tính liên tục và sự tồn tại đao hàm của các hàm số khi x=o. hớng dân : so sánh giới hạn và giastrij tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa. ví vụ 2: cho hàm số f(x) = |x-2|( |x|-4) +m. xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tai x=0 và x=2. HD : dùng định nghĩa . ví dụ 3: cho f(x) =|x-a| )(x trong đó hàm số )(x là hàm liên tục tại a hãy tìm f ' (a) với a là một số cho trớc. HD: xét đạo ham trái và đạo hàm phải. ví dụ 4: 1) cho hàm số x xcos1 nếu x o f(x) = 1 nếu x=o Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho. 8 Những dạng toán cơ bản . Hàm số f(x) có đạo hàm tại x=o hay không. 2) cho a x 1 2 ++bx nếu x O Hàm số f(x) = A sinx+ b cosx nếu x<O Tìm a vab để hàm số có đạo hàm tại x =O. HD : tìm đạo hàm trái phải tại điểm đó. Dạng 2: Các bài toán về phép tính đạo hàm . PP; dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm. Bảng đao hàm cơ bản đạo hàm của hàm số hợp ví dụ 1: tính đạo hàm của các hàm số sau : 1) y = sin (cos )sincos() 22 xx . 2) Y= . 1 1 11 1 2 2 2 2 ++ + + + ++ xx xx x xx HD: sử dụng các quy tắc tính đạo hàm . ví vụ 2: cho y= x sinx.chứng minh : xy-2(y ' -sinx)+xy ' =O. HD : biến đổi tơng đơng . ví dụ 3: cho y = 2 2 xx + .chứng minh : y .1 ''3 Oy =+ HD : tính đạo hàm rồi thay vào . ví dụ 4 : cho f(x) =(x-1) (x-2)(x-3). Cmr: O f f f f f f =++ )3( )3( )2( )2( )1( )1( ' '' ' '' ' '' . HD : tính dạo hàm rồi thay vào . ví dụ 5: cho f(x) =2x 2 cos 22 x ; g(x)=x-x xsin 2 . Giải phơng trình. f ' (x)=g(x). HD ; tính đạo hàm rồi thay vào . ví du 6: cho f(x) = 32 122 xx + ;g(x) =9x x72 ' + . hãy giải PT: f ' (x) + g )( ' x =O. HD : tính đạo hàm rồi thay vào . Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho. 9 Những dạng toán cơ bản . III)dạng 3: Tìm đạo hàm bậc cao: PP:dùng công thức: f ')1()( )( = nn f .với n là số nguyên dơng . ví dụ 1: tìm f )(n (x) của các hàm số sau: 1) y=sinx;2) y=cosx;3) y=sinax .cosbx. ;4) y=sin x 2 và y= cos 3 x. HD : dự đoán công thức . ví dụ 2: tìm đạo hàm với caaos đã chỉ ra : 1) y= )8( 2 ; 1 y x x 2) y= )( 2 ; 23 1 n y xx + HD : dự đoán công thức . ví dụ 3: cho hàm số y= 23 35 2 + xx x tìm y )(n IV) dạng 4: ứng dụng của đạo hàm: PP: pptt tại điểm x O của đồ thị hàm số y= f(x) : Y = f ' (x ) O (x-x O ) +f(x O ). Chuyện động có PT S= f(t). Vt tức thời tai t o là v (t ) o =f )( ' o t . ví dụ 1 : cho đờng cong y=x 2 -5x +6 viết pptt của nó biêt tt đó song song với đờng thẳng y=3x+4 . HD : tìm hoành độ tiếp điểm. Ví dụ 2: cho đờng cong y= x 2 -5x +6 . viết PPTT biết tt đó đi qua M (5;5). Tìm hoành độ tiếp điểm. ví dụ 3 ; cho đờng cong y= x 17 23 + xx .cmr không có hai tiếp tuyến nào vuông góc với nhau. HD : chứng minh bằng phẩn chứng. ví dụ 4: 1) tính vi phân của hàm số f(x)= 1+x x tại điểm x=1 ứng với =x 0,02. Trờng THPT nghi lộc 1 - nguyễn văn nho. 10 . hàm số )(x là hàm liên tục tại a hãy tìm f ' (a) với a là một số cho trớc. HD: xét đạo ham trái và đạo hàm phải. ví dụ 4: 1) cho hàm số x xcos1 nếu x o f(x) = 1 nếu x=o Trờng