Hàm Liên Tục

Hàm số liên tục tại một điểm.∈ K Định nghĩa 1: Cho hàm số y=fx xác định trên khoảng K và x0Hàm số y=fx được gọi là liên tục tại... Định nghĩa 2: Hàm số y=fx được gọi là liên tục trên m

Liªn tôc Kh«ng liªn tôc

TiÕt 58

x x

2 neáu x 1a)TÝnh f(1), g(1),h(1) vµ so s¸nh víi

* Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường liền nét.

* Đồ thị hàm số y= g(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1

* Đồ thị hàm số y= h(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1

1

1 0

1

x

y=f(x)y

I Hàm số liên tục tại một điểm.

∈ K

Định nghĩa 1: Cho hàm số y=f(x) xác

định trên khoảng K và x0Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

VÝ dô 1: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè

VËy hµm sè liªn tôc t¹i x0 = 3

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i x0=1

∀ ∈

VÝ dô 3: Cho hµm sè f(x)=x2 – 2x CMR: hµm sè liªn tôc víi x0 (0;3)

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0

II Hàm số liên tục trên một khoảng.

II Hàm số liên tục trên một

khoảng.

Định nghĩa 2:

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên

đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và

b) liên tục trên [a;b] nếu:

f(x) liên tục trên (a;b)

mọi điểm thuộc

I Hàm số liên tục tại một điểm.

Hàm số y=f(x) liên tục tại x 0

II Hµm sè liªn tôc trªn mét

b) liªn tôc trªn [a;b] nÕu:

f(x) liªn tôc trªn (a;b)

VËy f(x) liªn tôc trªn [3; +∞ )

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0

ïïíïïî

x khi x g(x) =

2 khi x<0

y

O Y

h(x) =

2 khi x = 0

Đồ thị là một đường liền nét tr ên khoảng

đồ thị là đường liền nét trên R

Kết luận:đồ thị hàm

số liên tục trên một khoảng là đường liền nét trên khoảng đó

O

bO

b) liªn tôc trªn [a;b] nÕu:

f(x) liªn tôc trªn (a;b)

mäi ®iÓm thuéc

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0

II Hµm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng.

x a

x b

f ( x )

) lim f ( x ) f ( a ) lim f ( x ) f ( b )

f(x) liªn tôc trªn (a;b) +)

+)

+ -

mäi ®iÓm thuéc

I Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm.

Hµm sè y=f(x) liªn tôc t¹i x 0 nÕu:

iii Một số định lí cơ bản.

III Một số định lí cơ bản.

f(x)-b) Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0

Định lí 1:

Định lí 2:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục

tại điểm x0 Khi đó:

x

x x x

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục

tại điểm x0 Khi đó:

x

x x x

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục

tại điểm x0 Khi đó:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục

tại điểm x0 Khi đó:

HĐ2: Trong ví dụ 4 cần thay số 5 bằng

số nào thì hàm số h(x) mới liên tục trên

2(

iii Một số định lí cơ bản.

HĐ3: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] với

f(a),f(b) trái dấu nhau

Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm

thuộc khoảng (a;b) không?

Hưng trả lời: “ Đồ thị hàm số y=f(x) phải cắt

trục Ox tại một điểm duy nhất nằm trong

(a;b)”

Tuấn cho rằng: “ Đồ thị hàm số y=f(x) có thể

không cắt trục hoành trong khoảng (a;b),

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên

tục tại điểm x0 Khi đó:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục

trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì

tồn tại ít nhất một điểm c (a;b)

f(a)0

y

x

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên

tục tại điểm x0 Khi đó:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục

trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì

tồn tại ít nhất một điểm c (a;b)

sao cho f(c)=0.

Định lí 3

Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng

Có thể phát biểu định lí 3 dưới một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)

∈

0

≠

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên

tục tại điểm x0 Khi đó:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục

trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì

tồn tại ít nhất một điểm c (a;b)

Suy ra pt: f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;2)

R

R.

Chú ý: f(0)=-5; f(3)=28; f(0) f(3)<0 nên pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;3)

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên

tục tại điểm x0 Khi đó:

Nếu hàm số y=f(x) liên tục

trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì

tồn tại ít nhất một điểm c (a;b)

sao cho f(c)=0.

Định lí 3

∈

Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình:-2x3+6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm

iii Một số định lí cơ bản

Giải:

Xét hàm số: f(x)=2x3-6x+1

Có f(-1)=-3, f(0)=1, f(2)=-3f(-1) f(0)<0; f(0) f(2)<0Hàm số liên tục trên R

Suy ra pt: f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)

Vậy pt có ít nhất 2 nghiệm

III Một số định lí cơ bản.

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Định lí 1:

Định lí 2:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0 Khi đó:

a) Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.b) Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)

Định lí 3

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.∈