Chương 3 hàm liên tục một biến số

1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 3 Hàm liên tục một biến số 3 3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 3 3.1.1 Các định nghĩa 3 3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín 4 3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục 5 3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số 7 3.2 Các tính chất của hàm liên tục 10 3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm 10 3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn 10 3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 14 3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu 14 3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược 15 3.4 Khái niệm liên tục đều 16 Chương 3. Hàm liên tục một biến số Lê Văn Trực 2 3.4.1 Mở đầu 16 3.4.2 Định nghĩa 16 3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp 18 3.5 Bài tập chương 3 19 3 3 Chương 3 Hàm liên tục một biến số Khái niệm liên tục của hàm số là khái niệm rất cơ bản, đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết và ứng dụng. Trước hết, ta hãy tìm hiểu về tính liên tục của hàm số. 3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1 Cho → \:fA và 0 x A ∈ . Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm 0 x nếu với bất kỳ số 0 ε > cho trước có thể tìm được số 0 δ > sao cho x A ∀ ∈ mà 0 ||xx δ −< ta có 0 |() ()|fx fx ε −<. Hàm f liên tục tại mọi điểm x A∈ thì ta nói f liên tục trên A. Nếu f không liên tục tại x 0 , ta nói rằng f gián đoạn tại x 0 . Quay trở về định nghĩa giới hạn của hàm số ta có thể phát biểu sự liên tục của hàm f tại x 0 như sau: Tính chất Giả sử A → \f: và ∈ 0 x A . Khi đó hàm f liên tục tại x 0 khi và chỉ khi → = 0 0 lim ( ) ( ) xx fx fx . Định nghĩa 2 Hàm f liên tục tại điểm ∈ 0 x A nếu như mọi dãy {x n } nằm trong A, mà 0n x x→ ta đều có → 0 () () n fx fx khi →∞n . Ví dụ 1: Xét hàm số ()| | .fx x= Lấy bất kì ∈ \ 0 x Do 000 |() ()||||| ||| | fx fx x x x x−=−≤− . Cho nên 0 ε ∀> , chọn δ ε = , thì ∀ ∈−<\ 0 , | |xxx δ ta có 0 |() ()|fx fx ε − < . Vậy hàm ()| |fx x= liên tục tại mọi ∈ \.x Ví dụ 2: Dùng ngôn ngữ () ε δ − hãy chứng minh 2 2 lim(3 2) 10. x x → −= Ta thấy: 2 | ( ) 10| | 3 2 10| 3| 2| | 2| 3| 2| | 2 4| 3| 2| (| 2| 4) 3 ( 4) fx x x x xx x x δδ −= −−= − += = −−+<− −+<+ khi |2|x δ −< 4 Trước hết, nếu chọn 1 δ < thì |()10|3.515fx δ δ − <= Từ đây, nếu ta chọn 15 ε δ < thì |()10|fx ε − < . Cuối cùng ta hãy chọn = min{1, } 15 ε δ thì khi |2|x δ − < ta có |()10|fx ε −<, điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Dùng ngôn ngữ () ε δ − hãy chứng minh hàm số y = x 2 liên tục tại mọi điểm. Giả sử x 0 là tuỳ ý, cho 0 ε > và 0 ||xx δ −< . Ta thấy 2 000 0000 00 |() ()|| || || | ||| 2|||(||2||) yx yx x x x x x x xx xx x xx xx x −=−=− += =− − + ≤− − + nên 00 ||(2||)yy x δ δ −< +. Nếu chọn 1, δ < theo trên ta có 00 ||(2||1)yy x δ − <+. Mặt khác, nếu 0 2| | 1x ε δ < + thì 0 ||yy ε −<. Vậy hãy chọn 0 min{1, }, 2| | 1x ε δ = + thì khi 0 ||xx δ −< ta có 0 ||yy ε −<. Vậy hàm số liên tục tại x 0 Ví dụ 4: Xét hàm số f(x)=sinx. Lấy x 0 bất kì thuộc \ . Ta thấy 00 0 00 0 | sin sin | | 2cos .sin | 22 2| sin | 2| | | | 22 xx xx xx xx xx xx +− −= ≤ −− ≤≤=− (ta đã biết |sin | | | x x< với 0x ≠ ) Cho trước ε >0 chọn δ ε = , khi 0 ||xx δ − < ta có 0 |sin sin | x x− < ε . Vậy hàm f liên tục tại mọi x∈ \ . 3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín Cho hàm :fA R→ và 0 x A∈ Định nghĩa 3 Hàm f liên tục bên phải tại điểm 0 x A ∈ nếu ε ∀ > 0 cho trước, 0 δ ∃> sao cho ∀∈ x A mà 00 xxx δ ≤< + ta có |f(x)−f(x 0 )|< ε , (3.1.4) kí hiệu 0 0 lim ( ) ( ) xx fx fx + → = (3.1.4) ’’ Định nghĩa 4 Hàm f liên tục bên trái tại điểm 0 x A ∈ nếu ε ∀ > 0 cho trước, 0 δ ∃> sao cho x A∀∈ mà 00 x xx δ − <≤ ta có |f(x) − f(x 0 )|< ε , (3.1.5) kí hiệu 0 0 lim ( ) ( ) xx fx fx − → = (3.1.5) ’ Các hàm số liên tục bên phải hoặc bên trái được gọi là liên tục một phía. 5 5 Định lý 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm 0 x A ∈ là nó liên tục theo cả hai phía tại 0 x . Chứng minh: Điều kiện cần là hiển nhiên. Ngược lại, nếu f liên tục theo cả hai phía tại 0 x , thì ε ∀ > 0 , 1 0 δ ∃> sao cho x A∀∈ , 01 0 xx δ ≤− < ta có |f(x) − f(x 0 )|< ε và 2 0 δ ∃> sao cho x A∀∈ , δ <− ≤ 20 0xx ta có |f(x) −f(x 0 )|< ε . Khi đó gọi 12 min( , ) δ δδ = , thì 0 ,| |xAxx δ ∀∈ − < ta có |f(x) −f(x 0 )|< ε . Vậy f liên tục tại x 0 Định nghĩa 5 Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Bây giờ cho hàm f xác định trên đoạn [a,b]. Nếu hàm f liên tục trên (a,b), liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b, thì ta nói rằng hàm f liên tục trên [a,b]. Ví dụ 5: Xét hàm số 1 ví i 0 2 () 1 víi 2 3 0 ví i c¸ c gi ¸ tr Þ cßn l¹i. x fx x x ⎧ ⎪ =− ⎨ ⎪ ⎩ ≤≤ <≤ Ta thấy hàm số không liên tục tại các điểm x = 0, x = 2, x = 3 vì chẳng hạn tại x = 2, ta có: 22 lim ( ) 1, lim ( ) 1 xx fx fx −+ →→ = =− . Ví dụ 6: Hàm số 1 () fx x a = − không liên tục tại điểm x = a vì tại a hàm số không xác định. 3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục a) Tính liên tục của tổng hiệu tích và thương của hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số mà mỗi hàm đều có giới hạn ta có thể chứng minh định lý sau. Định lý 3.1.2 Nếu hai hàm số f và g xác định trên cùng một tập R A ⊂ và cả hai đều liên tục tại điểm 0 x A∈ thì tại điểm đó các hàm c.f trong đó c là hằng số; ; .fgfg± và f g (với 0 ()0gx ≠ ) cũng liên tục. Ví dụ 7: Hàm đa thức 1 01 1 nn nn yax ax axa − − =+ ++ + liên tục trên toàn tập \ và phân thức hữu tỉ 6 1 01 1 1 01 1 nn nn mm mm ax ax a x a y bx bx b x b − − − − ++++ = ++++ liên tục tại các giá trị x trừ các giá trị làm cho mẫu số triệt tiêu. ii) Hàm mũ =>≠ (0,0) x yaa a liên tục trên toàn tập R iii) Hàm lôgarit y = log a x (a>0, a ≠ 0) liên tục trong khoảng (0,+ ∞ ) iv) Hàm luỹ thừa =∈`() n yxn liên tục trong khoảng ( , − ∞+∞) v) Các hàm y = sinx, y = cosx liên tục trên tập \ , các hàm sin 1 tg , sec cos cos x xx x x == liên tục trừ ra các giá trị π +(2 1) 2 k và các hàm cos 1 cot g , cosec sin sin x xx x x == liên tục trừ ra các giá trị π k . b) Tính liên tục của hàm số hợp Định lý 3.1.3 Giả sử hàm →⊂⊂\\: (,)fA BA B liên tục tại điểm 0 x A∈ còn hàm g: → \B liên tục tại điểm 00 ()yfx B=∈ Khi đó hàm hợp → \ 0 :gf A liên tục tại x 0 . Chứng minh: Cho một số tuỳ ý 0 ε > . Vì hàm liên tục tại y 0 , nên với 0 ε > có thể tìm được 1 0 δ > sao cho 01 , | |yB yy δ ∀∈ − < ta có 0 |() ()|gy gy ε −<. Mặt khác vì f liên tục tại x = x 0 nên với 1 δ nói trên ta có thể tìm được 0 δ > sao cho 0 ,| |xAxx δ ∀∈ − < suy ra 001 |||()()|yy fx fx δ − =− <. Tóm lại, theo cách chọn số δ suy ra 0 ,| |xAxx δ ∀ ∈−< ta có 000 0 0 | ( )( ) ( )( )| | ( ( )) ( ( ))| | ( ) ( )|gf x gf x gf x gf x gy gy ε −=−=−<. Vậy hàm 0 gf liên tục tại điểm x 0 . Ví dụ 8: i) Do hàm luỹ thừa x μ (x >0) biểu diễn được dưới dạng ln x xe μμ = là hợp của hàm logarit và hàm mũ nên liên tục. ii) Hàm x x liên tục tại điểm bất kì x >0. Thật vậy ln ln () xxxxx xe e==. Ví dụ 9: Xét sự liên tục của hàm số →+∞ + = + 2 lim 1 nx nx n x xe y e Với x >0 ta có →+∞ →+∞ + + = + + 2 2 lim lim 1 1 1 nx nx nx nn nx x x xxe e e e 7 7 Với x >0, khi chú ý là nx e →∞ khi n →+∞ ta có →+∞ + = + 2 2 lim 1 nx nx n xxe x e Với x <0, khi chú ý là → 0 nx e khi →+∞n ta só 2 lim 1 nx nx n xxe x e →+∞ + = + Ta thấy với x =0 2 lim 0 1 nx nx n xxe e →+∞ + = + Vậy 2 khi 0 () khi 0 xx yfx xx ≤ ⎧ ⎪ == ⎨ > ⎪ ⎩ Hiển nhiên là khi 0x ≠ hàm số liên tục. Mặt khác ta thấy 00 lim ( ) lim ( ) 0 (0) xx fx fx f −+ →→ ===, vậy hàm số cũng liên tục tại x=0. Do đó f(x) liên tục ∀∈\x . Ví dụ 10: Cho 1 2 khi 2 1 () khi 2. 1 x ax fx x e − = ⎧ ⎪ = ⎨ ≠ ⎪ + ⎩ Tìm a để hàm liên tục ∀∈\x . Dễ thấy khi 2x ≠ hàm số liên tục. Để hàm số liên tục x ∀ ∈ \ thì nó phải liên tục tại x=2. Ta thấy 1 22 2 1 lim ( ) lim 0 1 xx x fx e ++ →→ − == + (bởi vì 1 2x e − →+∞ khi 2x + → ) 1 22 2 1 lim ( ) lim 1 1 xx x fx e −− →→ − == + (bởi vì 1 2 0 x e − → khi 2x − → ). Vậy a∀ hàm số không thể liên tục tại x = 2. 3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu tại x = x 0 hàm f(x) không liên tục. Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: hoặc x 0 không thuộc tập xác định của f(x), hoặc x 0 thuộc tập xác định của f(x) nhưng 0 0 lim ( ) ( ) xx fx fx → ≠ , hoặc không có 0 lim ( ) xx fx → . Điểm gián đoạn x 0 của hàm số f(x) được gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu các giới hạn một phía 0 lim ( ) xx fx + → , 0 lim ( ) xx fx − → tồn tại hữu hạn và ít nhất một trong hai giới hạn này khác f(x 0 ). Điểm gián đoạn không phải loại 1 sẽ được gọi là điểm gián đoạn loại 2. Như vậy điểm x 0 là điểm gián đoạn loại 2 nếu hàm số không có giới hạn một phía hay một trong hai giới hạn đó là vô hạn. 8 Giả sử x 0 là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x). Nếu thỏa mãn đẳng thức 00 lim ( ) lim ( ) xx xx f xfx +− →→ = thì điểm gián đoạn x 0 gọi là khử được. Nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía nói trên bằng ∞ thì x 0 gọi là điểm gián đoạn vô cùng. Ví dụ 11: Cho hàm số: khi 0 () 1 khi 0. xx fx xx ≥ ⎧ = ⎨ + < ⎩ Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số. Ví dụ 12: Cho hàm số 1 ()fx x = Điểm x=0 là điểm gián đoạn loại 2, bởi vì 00 11 lim , lim xx xx xx +− →→ = +∞ = −∞ . Ví dụ 13: Cho →+∞ =lim 0 x x x e (trong chương 4 ta có thể tính giới hạn này một cách dễ dàng nhờ qui tắc L’hospital). Xét hàm số 2 1 2 1 khi 0 () khi 0 x ex fx x ax − ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ = ⎩ Với giá trị nào của a hàm số gián đoạn tại x = 0. Khi đó hãy xét xem x = 0 là điểm gián đoạn loại gì? Đặt 2 1 , khi 0tx x ± =→ thì t →+∞. Ta thấy: 0 lim ( ) lim 0, t t x fx te + − →+∞ → = = 0 lim ( ) lim 0 t t x t fx e − →+∞ → = = . Vậy với 0a ≠ hàm số gián đoạn tai x = 0. Mặt khác do 00 lim ( ) lim ( ) 0, xx fx fx +− →→ = = nên x = 0 là điểm gián đoạn khử được. Ví dụ 14: Cho hàm số: sin khi 1 () arcsin khi 1 1, cos k hi 1. xx fx x x axx ≤− ⎧ ⎪ =−<< ⎨ ⎪ +≥ ⎩ a là tham số Hãy xét tính liên tục của hàm số. Khi 1x ≠ ± , hàm số liên tục, ta còn phải xét tính liên tục của hàm số tại 1x =± . Mặt khác 9 9 11 11 lim ( ) lim sin sin( 1) sin1, lim ( ) lim arcsin arcsin( 1) 2 xx xx fx x fx x −− ++ →− →− →− →− = =−=− = =−=− π Suy ra hàm số gián đoạn loại 1 tại x =−1 Hơn nữa 11 11 lim ( ) lim( cos ) cos1, lim ( ) lim arcsin arcsin1 . 2 xx xx fx a x a fx x π ++ −− →→ →→ = +=+ === Vậy tại x = 1 hàm số liên tục nếu cos1 2 a π =− và gián đoạn loại 1 nếu cos1 2 a π ≠− . Cuối cùng, nếu x 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số, ta gọi hiệu 00 00 | ( ) ( )| | lim ( ) lim ( )| xx xx fx fx fx fx +− +− →→ ⎛⎞ −= − ⎜⎟ ⎝⎠ (3.1.6) là bước nhảy của hàm số tại x 0 . Định lý 3.1.4 Mọi điểm gián đoạn của hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] đều là điểm gián đoạn loại một. Chứng minh: Giả sử → \:[ , ]fab là một hàm tăng và 0 [,] x ab ∈ là điểm gián đoạn của f. Đặt 0 sup{ ( )| [ , )}fx x ax α = ∈ (3.1.7) 0 inf{ ( )| ( , ]}fx x xb = ∈ β . (3.1.8). Trong trường hợp đặc biệt nếu x 0 =a ta chỉ xét β , nếu x 0 = b ta chỉ xét α . Theo (3.1.17) và (3.1.8) α , β là hữu hạn. Định lí được chứng minh nếu ta chứng minh được rằng 0 0 lim ( ) xx xx fx α → < = (3.1.9) và 0 0 lim ( ) xx xx fx β → > = (3.1.10) Thật vậy, theo định nghĩa supremum 0 0, x x ε ε ∀ >∃< sao cho ()fx ε α εα − <≤ . Chọn 0 x x ε δ =−.Ta thấy x ∀ mà 00 x xx δ −<< thì 0 x xx ε < < ,ta có () ()fx fx ε α εα − <≤≤ (3.1.11) hay 00 |() | ( , )fx x x x α εδ − <∀∈− (3.1.12) Vậy 0 0 lim ( ) xx xx fx α → < = . 10 Bằng cách tương tự ta chứng minh được 0 0 lim ( ) xx xx fx β → > = . 3.2 Các tính chất của hàm liên tục 3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm Định lý 3.2.1 Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập A, liên tục tại điểm 0 x A∈ . Khi đó i) Nếu f(x 0 )> α thì 0 ∃ > δ sao cho f(x) > α 0 0( ) x xA δ ∀ ∈∩, trong đó 00 0( ) { :| | }xxxx δ δ = −<. (3.2.1) ii) Nếu β < 0 ()fx thì tồn tại δ >0 sao cho 0 () 0( ) .fx x x A δ β <∀∈ ∩ (3.2.2) Chứng minh: i) Do hàm số f liên tục tại 0 x A ∈ nên 0, 0 ε δ ∀ >∃> sao cho x A∈ 0 ||xx δ −< thì 0 () ( )fx fx ε ε −< − < , có nghĩa là 0 () ( )fx fx ε >− 0 0( ) x xA δ ∀ ∈∩. Bây giờ hãy chọn ε α =−> 0 () 0fx khi đó 00 () () ()fx fx fx α α >−+= 0 0( ) x xA δ ∀ ∈∩. ii) Tương tự hãy chọn 0 ()fx εβ =− . Ý nghĩa: Hàm liên tục f(x) bảo toàn dấu của nó trong một lân cận của điểm x 0 . 3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn Định lý 3.2.2 (Định lý Weierstrass thứ nhất) Nếu hàm f xác định và liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn, tức là tồn tại các hằng số m và M sao cho ≤≤∀∈() [,]mfx Mxab . (3.2.3) Chứng minh: Ta hãy chứng minh định lý bằng phản chứng. Thật vậy, ta giả sử rằng hàm số không bị chặn. Khi đó với mỗi số tự nhiên n ta tìm được trên [a,b] giá trị x = x n sao cho: () n fx n> (3.2.4) Theo bổ đề Bolzanô - Weierstrass từ dãy {x n } có thể trích ra một dãy con {} k n x hội tụ đến một giới hạn hữu hạn: 0 k n x x→ khi k →+∞, trong đó hiển nhiên 0 .ax b ≤ ≤ [...]... xét hàm (Hình 3. 2 .3) : 1 ⎧1 ⎪ 3 khi 0 ≤ x ≤ 2 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ 2 khi 1 ≤ x ≤ 1 3 2 ⎩ 2 3 1 3 0 1 2 13 1 x 14 Hình 3. 2 .3 2 1 2 nằm trung gian giữa số f (0) = và f (1) = nhưng không có giá trị c nào trên (0,1) 5 3 3 2 sao cho f ( c) = 5 số 3. 3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 3. 3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu Định lý 3. 3.1 Cho f(x) là hàm đơn điệu Điều kiện cần và đủ để hàm. .. tục , nên hàm arccos x: [−1,1] → [0, π ] cũng đơn điệu giảm và liên tục π π Hàm tg x: ( − , ) → ( −∞, +∞ ) đơn điệu tăng và liên tục nên hàm arctg x: ( −∞, +∞ ) → ( − π π 2 2 , ) đơn điệu tăng và liên tục 2 2 vi) Tương tự hàm cotgx: (0, π ) → ( −∞, +∞ ) đơn điệu giảm và liên tục nên hàm ngược arccotg x: ( −∞, +∞ ) → (0, π ) đơn điệu giảm và liên tục 3. 4 Khái niệm liên tục đều 3. 4.1 Mở đầu Cho hàm f(x)... các hàm liên tục và định lí về tính liên tục của hàm hợp ta có định lí sau: Định lí 3. 4.2 Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó Chú ý: Ta chú ý rằng nếu f(x) liên tục tại điểm x0, thì lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) x → x0 x → x0 Như vậy, nếu hàm f(x) liên tục thì có thể thay đổi thứ tự việc lấy giới hạn và việc tính giá trị của hàm Sau đây dựa vào tính liên tục của những hàm. .. minh 3. 5 Bài tập chương 3 2x + 1 1 Chứng minh lim f ( x ) = − bằng ngôn ngữ “ ε − δ ” x →−1 x +3 2 3. 1 Cho f ( x ) = 3. 2 Chứng minh hàm số f ( x ) = 3. 3 Khảo sát liên tục của các hàm số sau: 1) f ( x ) = 1 khi x ≠ −1 và f ( −1) tuỳ ý (1 + x )2 2) f ( x ) = x sin − 3) f ( x ) = e 3. 4 1 liên tục tại mọi điểm x ≠ 1 bằng ngôn ngữ “ ε − δ ” 1+ x 1 khi x ≠ 0, f (0) = 0 x 1 x2 khi x ≠ 0, f (0) = 0 Xét xem hàm. .. hàm số f : [0,2] → được cho bởi ⎧2 x khi 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = ⎨ ⎩2 − x khi 1 < x ≤ 2 có liên tục không? 3. 5 Tìm a để hàm số 19 20 ⎧ ex khi x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ a + x khi x ≥ 0 ⎩ liên tục 3. 6 Xét tính liên tục của hàm số ⎧ x ln x2 khi x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ khi x = 0 ⎪a ⎩ 3. 7 sau: Xác định các điểm gián đoạn và khảo sát tính chất của các điểm đó đối với các hàm số 1) y = x2 − 1 x3 − 3 x + 2 2) y = cos2 x+ 3) ... không liên tục đều trong khoảng đó 3. 14 Chứng minh rằng hàm không bị chặn f(x)=x+sinx liên tục đều trên toàn trục số −∞ < x < +∞ 3. 15 3. 16 Xét tính liên tục đều của các hàm sau: 1) f ( x ) = x khi x ∈ [ −1,1] 4 − x2 2) f ( x ) = ex cos 1 khi x ∈ (0,1) x 3) f ( x ) = x khi x ∈ [1, +∞ ) 3. 17 Nghiên cứu tính liên tục và vẽ phác hoạ đồ thị của hàm số sau 1 1 ⎞ ⎛1 y = ar ct g ⎜ + + ⎟ ⎝ x x −1 x − 2 ⎠ 3. 18... khoảng (a,b) tìm được một số ξ sao cho: f (ξ ) = 1 n ∑ f ( xk ) n k =1 21 3. 12 Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng a ≤ x < +∞ và tồn tại giới hạn hữu hạn lim f ( x ) thì hàm số này bị chặn trong khoảng đã cho x →+∞ 3. 13 Chứng minh rằng hàm f ( x ) = sin π liên tục và bị chặn trong khoảng (0,1) nhưng x không liên tục đều trong khoảng đó Chứng minh rằng hàm f(x) =sin2x liên tục và bị chặn trong... là hàm tăng và có miền giá trị là [a,b]=[ f −1 (f(a)), f −1 (f(b))] Vậy f −1 là hàm liên tục Nhận xét: Định lí còn đúng khi f là hàm giảm thực sự hoặc thay [a,b] bằng (a,b) 15 (3. 3 .3) 16 π π Ví dụ 1: Hàm sin x: [ − , ] → [ −1,1] đơn điệu tăng và liên tục, nên theo định lý trên hàm 2 2 π π arcsinx: [−1,1] → [ − , ] cũng đơn điệu tăng và liên tục 2 2 Hàm cos x: [0, π ] → [−1,1] đơn điệu giảm và liên tục. .. mâu thuẫn với (3. 4.4) Định lí được chứng minh k →∞ k k 17 18 Chú ý rằng định lí không còn đúng nếu hàm f(x) chỉ liên tục đều trên khoảng (a,b) Ví dụ 3: Hàm y = 1 liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trên khoảng này x 1 1 ′ Thật vậy, ∃ε 0 = 1, ∃xn = , xn = n 2n ′ Khi đó | xn − xn |= 1 → 0, nhưng 2n ′ | f ( xn ) − f ( xn ) |=| n − 2n |= n ≥ 1 = ε 3. 4 .3 Liên tục của các hàm số sơ cấp Từ... Vì hàm liên tục tại x0 nên f ( xnk ) → f ( x0 ) Nhưng khi đó từ (3. 2.4) ta suy ra f ( xnk ) → +∞ , khác f(x0) là một hàm số hữu hạn Mâu thuẫn này suy ra định lý được chứng minh Ta chú ý rằng định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng Ví dụ như hàm 1 liên tục trên khoảng (0,1) nhưng trong khoảng này hàm số không bị chặn x Định lý 3. 2 .3 (Định lý Weierstrass thứ hai) Nếu hàm f : [ a, b] → liên . Chương 3 Hàm liên tục một biến số 3 3. 1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 3 3. 1.1 Các định nghĩa 3 3. 1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín 4 3. 1 .3. 3. 3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 14 3. 3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu 14 3. 3.2 Tính liên tục của hàm ngược 15 3. 4 Khái niệm liên tục đều 16 Chương 3. Hàm. các hàm liên tục 5 3. 1.4 Điểm gián đoạn của hàm số 7 3. 2 Các tính chất của hàm liên tục 10 3. 2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm 10 3. 2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một