Tài liệu hàm liên tục

HÀM LIÊN TỤC Trần Văn Cương Các định nghĩa 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa Cho f : A → R hàm số xác định tập A = ∅ R a) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 ∈ A ∀ε > 0, ∃δ = δ(x0 , ε) > 0, ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε Nếu f không liên tục x0 ta nói f gián đoạn x0 b) Hàm số f gọi liên tục tập A liên tục điểm x ∈ A 1.1.2 Nhận xét (i) f liên tục x0 ∈ A với lân cận V điểm f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ∩ A) ⊂ V (ii) f liên tục x0 ∈ A ⇔ ∀{xn } ⊂ A, xn → x0 ta có lim f (xn ) = f (x0 ) n→+∞ (iii) Nếu x0 điểm cô lập A f liên tục x0 1.1.3 Các ví dụ Ví dụ Hàm số f (x) = x liên tục x0 ∈ R Cho ε > 0,chọn δ = ε,ta có |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | < ε với |x − x0 | < δ Vậy f liên tục x0 ∈ R Ví dụ Hàm số f (x) = sin x liên tục x0 ∈ R Ta có x + x0 x − x0 x − x0 | sin x − sin x0 | = |2 cos sin | ≤ 2| sin | ≤ |x − x0 | 2 Cho trước ε > 0,nếu chọn δ = ε ta có |f (x) − f (x0 )| < ε với |x − x0 | < δ Vậy f liên tục x0 ∈ R Tương tự hàm số f (x) = cos x liên tục x0 ∈ R Ví dụ Hàm số f (x) = 1+x liên tục điểm x0 = −1 x0 +1 Nếu x0 > −1.Đặt α = > 0.Khi với x ∈ (x0 − α; x0 + α).Ta có: | |x − x0 | |x − x0 | − |= < + x + x0 (1 + x)(1 + x0 ) α2 với ε > chọn δ = α2 ε,ta có |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀|x − x0 | < δ =⇒ f liên tục x0 > −1 > 0.Khi với ∀x ∈ (x0 − β; x0 + β).Ta có: Nếu x0 < −1.Đặt β = −1−x | |x − x0 | |x − x0 | − |= < + x + x0 (−1 − x)(−1 − x0 ) β2 với ε > chọn δ = β ε,ta có |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀|x − x0 | < δ =⇒ f liên tục x0 < −1 Vậy f liên tục x0 = −1 1.2 Hàm liên tục phía 1.2.1 Định nghĩa Hàm số f : A → R gọi liên tục phải (t.ứ liên tục trái) điểm x0 ∈ A với ε > tồn δ > cho |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀x ∈ A, ≤ x − x0 < δ (t.ứ ∀x ∈ A, ≤ x0 − x < δ) Các hàm số liên tục phải hàm số liên tục trái gọi chung hàm số liên tục phía 1.2.2 Mệnh đề Hàm số f : A → R liên tục điểm x0 liên tục phải liên tục trái x0 Chứng minh Hiển nhiên f liên tục điểm x0 liên tục phải liên tục trái x0 Ngược lại,giả sử f liên tục phải liên tục trái x0 Cho ε > 0,do giả thiết f liên tục phải x0 ,tồn δ1 > cho |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀x ∈ A, ≤ x − x0 < δ1 Tương tự,do f liên tục trái x0 ,tồn δ2 > cho |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀x ∈ A, ≤ x0 − x < δ2 Chọn δ = min(δ1 , δ2 ),ta có |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀x ∈ A, ≤ x − x0 < δ Vậy f liên tục x0 1.2.3 Các ví dụ Ví dụ Xét hàm f (x) = x < x =  2x + x >   sin x x Với hàm này,ta có lim− f (x) = = f (0),nhưng lim+ f (x) = = f (0).Vậy x→0 x→0 hàm liên tục bên trái x = không Ví dụ Xét hàm  sin x  x f (x) =  2x + liên tục bên phải x = x0 Với hàm này,ta có lim+ f (x) = = f (0),nhưng lim− f (x) = = f (0).Vậy x→0 x→0 hàm liên tục bên phải x = không liên tục bên trái x = Ví dụ Xét hàm sin x x = x f (x) = x = Ta thấy lim− f (x) = lim+ f (x) = = f (0).Vậy hàm liên tục x = x→0 x→0 1.3 Hàm liên tục khúc 1.3.1 Định nghĩa Cho (a, b) ∈ R2 , a < b f : [a; b] → R.Ta nói f hàm liên tục khúc đoạn [a; b] ∃n ∈ N∗ (a0 , a1 , , an ) ∈ [a; b]n+1 cho :   a = a0 < a1 < · · · < an = b ∀i ∈ {0, 1, , n − 1}, f liên tục khoảng (ai ; ai+1 )   có giới hạn phải hữu hạn , giới hạn trái hữu hạn ai+1 1.4 Phân loại điểm gián đoạn 1.4.1 Định nghĩa •Nếu x = x0 tồn hữu hạn giới hạn : + lim f (x) = f (x− ) lim+ f (x) = f (x0 ) x→x0 x→x− + ba giá trị f (x0 ), f (x− ), f (x0 ) khơng x = x0 gọi điểm gián đoạn loại I hàm số f (x) Điểm x0 gọi điểm gián đoạn khử + f (x− ) = f (x0 ) = f (x0 ) Nếu điểm x0 ∈ A điểm gián đoạn loại I điểm − gián đoạn khử hiệu số f (x+ ) − f (x0 ) gọi bước nhảy hàm số f (x) điểm x = x0 •Các điểm gián đoạn khơng phải điểm gián đoạn loại I gọi điểm gián đoạn loại II.Như điểm gián đoan loại II có giới hạn phía khơng tồn 1.4.2 Các ví dụ Ví dụ Hàm f (x) = x2 x ∈ [−1; 1] x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) có điểm x = ±1 điểm gián đoạn loại I Ví dụ Hàm f (x) = x1 có điểm x = điểm gián đoạn loại II Các phép toán hàm liên tục Các định lý hệ trực tiếp định lý tương ứng giới hạn hàm số 2.1 Định lý Giả sử hàm số f : A → R liên tục x0 ∈ A.Khi đó: (i) Nếu f (x0 ) > α tồn δ > cho f (x) > α, ∀x ∈ Oδ (x0 ) ∩ A (ii) Nếu f (x0 ) < β tồn δ > cho f (x) < β, ∀x ∈ Oδ (x0 ) ∩ A 2.2 Định lý Giả sử hàm số f : A → R liên tục x0 ∈ A.Khi đó: (i) f + g, |f | αf (α ∈ R) liên tục x0 (ii) f.g liên tục x0 (iii) Nếu g(x0 ) = fg liên tục x0 (iv) f ∨ g := sup(f, g) f ∧ g := inf(f, g) liên tục x0 (v) f + = sup(f, 0) f − = sup(−f, 0) liên tục x0 Chứng minh (i)•Cho ε > 0, f, g liên tục x0 nên ∃δ1 , δ2 > cho: |x − x0 | < δ1 =⇒ |f (x) − f (x0 )| < 2ε ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ2 =⇒ |g(x) − g(x0 )| < 2ε Đặt δ = min(δ1 , δ2 ),ta có : ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < 2ε |g(x) − g(x0 )| < 2ε =⇒ |[f (x) + g(x)] − [f (x0 ) + g(x0 )]| = |[f (x) − f (x0 )] + [g(x) − g(x0 )]| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |g(x) − g(x0 )| < ε.Vậy f + g liên tục x0 •Cho ε > 0, f liên tục x0 nên ∃δ > cho: ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε Vì ∀x ∈ A, ||f (x)| − |f (x0 )|| ≤ |f (x) − f (x0 )|, nên ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒ ||f (x)| − |f (x0 )|| < ε.Vậy |f | liên tục a •Cho ε > 0,vì f liên tục x0 nên ∃δ > cho: ε ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < |α| + Từ ta có : ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒ |αf (x) − αf (x0)| = |α||f (x) − f (x0)| < Vậy αf liên tục x0 (ii)Vì g liên tục x0 nên bị chặn lân cận x0 Do ∃δ1 > 0, M > cho: ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ1 =⇒ |g(x)| ≤ M |α|ε < ε |α| + Cho ε > 0,vì f, g liên tục x0 nên ∃δ2 , δ3 > cho: ∀x ∈ A, ε |x − x0 | < δ2 =⇒ |f (x) − f (x0 )| < 2M |x − x0 | < δ3 =⇒ |g(x) − g(x0 )| < 2(|f (xε0 )|+1) Đặt δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ),ta có :   |g(x)| ≤ M |f (x) − f (x0 )| < ε ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ =⇒  |g(x) − g(x )| < 2M ε 2(|f (x0 )|+1) Từ suy : |f (x)g(x) − f (x0)g(x0 )| = |[f (x) − f (x0 )]g(x) + f (x0 )[g(x) − g(x0)]| ≤ |f (x) − f (x0 )||g(x)|+|f (x0)||g(x)−g(x0 )| ≤ |f (x)−f (x0 )||g(x)|+(|f (x0)|+1)|g(x)− ε g(x0 )| < 2M M + (|f (x0 )| + 1) 2(|f (xε0 )|+1) = ε Vậy f g liên tục x0 (iii) Vì lim g(x) = g(x0 ) nên theo (i) ta có : lim |g(x)| = |g(x0 )| x→x0 x→x0 Do |g(x0)| > nên ∃δ1 > cho: ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ1 =⇒ |g(x)| > |g(x0 )| Đặc biệt : ∀x ∈ A, |x − x0 | < δ1 =⇒ g(x) = (x) Do hàm fg(x) xác định A ∩ (x0 − δ1 ; x0 + δ1 ) Cho trước ε > 0,vì f, g liên tục x0 nên ∃δ2 , δ3 > cho : ∀x ∈ A, )| |x − x0 | < δ2 =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε|g(x ε|g(x0 )|2 |x − x0 | < δ3 =⇒ |g(x) − g(x0 )| < 4(|f (x0 )|+1) Đặt δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ),ta có : (f (x) − f (x0 ))g(x0 ) − f (x0 )(g(x) − g(x0 )) f (x) f (x0 ) ≤ = − g(x) g(x0 ) g(x) g(x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) f (x0 ) g(x) − g(x0 ) ε|g(x0 )| ε|g(x0)|2 2(|f (x0 )| + 1) < + + =ε |g(x0 )| 4(|f (x0 )| + 1) |g(x0 )|2 g(x) g(x) g(x0 ) Vậy fg liên tục x0 (iv) Để ý ta có cơng thức 1 sup(f, g) = (f + g + |f − g|), inf(f, g) = (f + g − |f − g|) 2 Từ suy f, g liên tục x0 sup(f, g) inf(f, g) liên tục x0 (v) Với ý f, 0, −f hàm liên tục x0 nên áp dụng (iv) ta có đpcm 2.3 Định lý.(Sự liên tục hàm hợp) Nếu hàm số f : A → B liên tục x0 ∈ A hàm số g : B → R liên tục y0 = f (x0 ) hàm hợp g ◦ f : A → R liên tục x0 Chứng minh Giả sử ε > số tùy ý.Vì g liên tục y0 = f (x0 ) nên tồn số η > tương ứng cho |y − y0 | < η |g(y) − g(y0 )| < ε,tức |g(f (x)) − g(f (x0 ))| < ε Mặt khác hàm f (x) liên tục x0 nên với số η > nói trên,tồn số δ > tương ứng cho |x−x0 | < δ |f (x)−f (x0 )| < η,tức |y −y0 | < η,do |g(y) − g(y0)| = |g(f (x)) − g(f (x0))| < ε.Thành thử ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x : |x − x0 | < δ =⇒ |g(f (x)) − g(f (x0 ))| < ε Điều chứng tỏ g ◦ f liên tục tai x0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Hết tiết 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Các tính chất hàm số liên tục đoạn 3.1 Định lý.(Weierstrass).Cho hàm số f : [a; b] → R liên tục đoạn [a;b].Khi a) f bị chặn đoạn [a; b] b) f đạt cận cận đoạn [a; b],tức tồn ξ, η ∈ [a; b] cho sup f (x) = f (ξ), inf f (x) = f (η) x∈[a;b] x∈[a;b] Chứng minh.a) Giả thiết phản chứng f không bị chặn đoạn [a; b],tức với số nguyên dương n ≥ tồn xn ∈ [a; b] cho f (xn ) ≥ n (1) Dãy {xn } bị chặn nên chứa dãy xnk → x0 Từ bất đẳng thức a ≤ xnk ≤ b, ∀k ≤ suy a ≤ lim xnk ≤ b,tức x0 ∈ [a; b].Do giả thiết f liên tục x0 ,ta có k→∞ f (xnk ) → f (x0 ) =⇒ sup |f (xnk )| < +∞ mâu thuẫn với (1).Vậy hàm f phải bị chặn đoạn [a; b] b) Theo kết a),M = sup f (x) < +∞.Từ định nghĩa sup,sẽ có dãy x∈[a;b] {xn } ⊂ [a; b] cho M = lim f (xn ) n→∞ Dãy {xn } bị chặn nên chứa dãy xnk → ξ Từ bất đẳng thức a ≤ xnk ≤ b, ∀k ≤ suy a ≤ lim xnk ≤ b,tức ξ ∈ [a; b].Do giả thiết f liên tục ξ,ta có k→∞ M = lim f (xn ) = f (ξ) n→∞ Hoàn toàn tương tự,tồn η ∈ [a; b] cho inf f (x) = f (η) x∈[a;b] 3.2 Định lý.(Bolzano-Cauchy).Giả sử f (x) hàm liên tục đoạn [a;b] f (a)f (b) < 0.Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Chứng minh Để xác định giả thiết khơng tính tổng quát ta coi f (a) > f (b) < 0.Đặt A = {t ∈ [a; b] : f (x) > 0, ∀x ∈ [a; t]} Hiển nhiên A = ∅ (vì a ∈ A).Đặt t∗ = sup A,thì t∗ ∈ [a; b].Ta chứng minh f (t∗ ) = Theo định nghĩa sup, tồn dãy {tn } ⊂ A cho t∗ = lim tn Bởi f liên n→∞ tục t∗ , ta có f (t∗ = lim tn ) ≥ n→∞ Do giả thiết f (b) < nên t∗ = b t∗ < b.Bây f (t∗ ) > tinh liên tục f t∗ ,tồn δ > cho f (x) > 0, ∀x ∈ [t∗ − δ; t∗ + δ] ⊂ [a; b],do f (x) > 0, ∀x ∈ [a; t∗ + δ] Suy t∗ + δ ∈ A,mâu thuẫn với t∗ = sup A trên.Vậy f (t∗ ) = 3.3 Hệ Giả sử f (x) hàm liên tục đoạn [a;b] f (a) = f (b).Khi lấy giá trị C trung gian f (a) f (b): f (a) < C < f (b)(hoặc f(b) 0, ∃δ = δ(ε) > 0, ∀x′ , x′′ ∈ A : |x′ − x′′ | < δ =⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε 4.2 Nhận xét Nếu f : A → R liên tục A f liên tục A.Điều ngược lại nói chung khơng 4.3 Các ví dụ Ví dụ 9.Các hàm số x, sin x, cos x (xét ví dụ 1,2 mục 1.1.3) hàm số liên tục R Ví dụ 10.Hàm số f (x) = x1 khơng liên tục R\{0}.Bởi chọn ε0 = 1,và x′n = n1 , x′′n = 2n , n = 1, 2, ta có δn = |x′n − x′′n | → |f (x′n ) − f (x′′n )| = n ≥ 1(∀n = 1, 2, ) 4.2 Định lý.(Cantor).Hàm f (x) liên tục đoạn [a; b] liên tục đoạn Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử f (x) liên tục đoạn [a; b] khơng liên tục đoạn đó.Khi ε0 > 0, ∃x′n , x′′n ∈ [a; b] : |x′n − x′′n | → =⇒ |f (x′n ) − f (x′′n )| ≥ ε0 Dãy x′n thỏa mãn a ≤ x′n ≤ b,nên dãy bị chặn theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass ta trích dãy x′nk hội tụ.Vậy tồn x∗ cho lim x′nk = x∗ nk →∞ Vì x′nk ∈ [a; b] nên x∗ ∈ [a; b].Giới hạn x′nk x∗ nên ta có ε ε > 0, ∃N1 , ∀nk > N1 =⇒ |x′nk − x∗ | < Mặt khác,vì |x′n − x′′n | → nên |x′nk − x′′nk | → ,với ε nói ε ∃N2 , ∀nk > N2 =⇒ |x′′nk − x′nk | < Đặt N = max(N1 , N2 ),thì nk > N,ta có |x′′nk − x∗ | ≤ |x′′nk − x′nk | + |x′nk − x∗ | < ε ε + = ε 2 Điều chứng tỏ lim x′′nk = x∗ nk →∞ Theo giả thiết hàm f (x) liên tục đoạn [a; b] nên liên tục x∗ Từ hai hệ thức lim x′′nk = x∗ , lim x′nk = x∗ ta suy lim f (x′′nk ) = nk →∞ nk →∞ nk →∞ f (x∗ ), lim f (x′nk ) = f (x∗ ),do nk →∞ lim |f (x′nk ) − f (x′′nk )| = |f (x∗ ) − f (x∗ )| = nk →∞ Điều trái với giả thiết phản chứng |f (x′nk ) − f (x′′nk )| ≥ ε0 trên.Vậy định lý chứng minh Điều kiện liên tục hàm số đơn điệu 5.1 Định lý Nếu f (x) hàm xác định đoạn [a; b],tăng khoảng (hoặc giảm khoảng đó) tập giá trị đoạn [c; d] hàm số liên tục đoạn [a; b] Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp hàm tăng.Trường hợp hàm giảm chứng minh hoàn toàn tương tự Giả sử f (x) hàm tăng [a; b] f ([a; b]) = [c; d].Do f (x) hàm tăng nên f (b) = d Lấy điểm x0 tùy ý [a; b).Ta chứng minh hàm f (x) liên tục phải x0 Đặt y0 = f (x0 ).Do x0 = b nên y0 = d 10 Cho trước ε > đủ bé cho y0 + ε ∈ [c; d].Do f ([a; b]) = [c; d] nên tồn x1 ∈ [a; b] cho f (x1 ) = y0 + ε = f (x0 ) + ε.Vì f (x0 ) < f (x1 ) f (x) hàm tăng nên x0 < x1 ,tức x1 = x0 + δ với δ > 0.Từ f (x) tăng nên với x thỏa mãn x0 < x < x0 + δ ta có f (x0 ) < f (x) < f (x0 ) + ε.Vậy ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + δ) =⇒ f (x0 ) < f (x) < f (x0 ) + ε Điều chứng tỏ f (x) liên tục phải x0 Như f (x) liên tục phải điểm x ∈ [a; b) Tương tự ta chứng minh f (x) liên tục trái điểm x ∈ (a; b].Hai điều cho ta kết luận f (x) liên tục [a; b] 5.2 Định lý Điểm gián đoạn hàm đơn điệu f (x) khoảng (a; b) điểm gián đoạn loại I Chứng minh Giả sử x0 ∈ (a; b) điểm gián đoạn f (x) giả sử f (x) hàm đơn điệu tăng (trường hợp đơn điệu giảm chứng minh tương tự).Do với x < x0 f (x) ≤ f (x0 ).Vậy tồn khoảng (x0 − δ; x0 ) cho hàm f (x) đơn điệu tăng bị chặn (bởi f (x0 )).Từ theo tiêu chuẩn hội tụ hàm đơn điệu tồn giới hạn hữu hạn lim− = f (x− 0) x→x0 Tương tự,cũng tồn giới hạn hữu hạn lim = f (x+ 0) x→x+ Vậy x0 điểm gián đoạn loại I 5.3 Định lý.(Sự liên tục hàm ngược) Nếu y = f (x) hàm tăng (t.ứ giảm) [a; b] có tập giá trị [c; d] tồn hàm ngược x = f −1 (y) f ,xác định tập [c; d] hàm ngược liên tục tăng (t.ứ giảm) [c; d] Chứng minh Giả sử f (x) hàm tăng [a; b] có tập giá trị [c; d].Theo định lý 5.1 hàm f (x) liên tục [a; b].Do f (x) tăng,nên với x : a ≤ x ≤ b f (a) ≤ f (x) ≤ f (b).Điều cho ta f (a) = c, f (b) = d.Lấy tùy ý y ∈ (c; d).Vì f (x) có tập giá trị [c; d] nên (a; b) tồn x cho y = f (x).Giá trị x nói ∀x′ = x,do tính tăng f (x) ta phải có f (x′ ) = f (x),do f (x′ ) = y.Vì vậy, [c; d] xác định hàm ngược x = f −1 (y).Hàm tăng y1 < y2 đặt y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) ta có f (x1 ) < f (x2 ),do suy x1 < x2 ,tức 11 f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ).Hơn tập giá trị x = f −1 (y) toàn khoảng [a; b] nên theo định lý 5.1,hàm f −1 (y) liên tục [c; d] Tính liên tục hàm số sơ cấp đơn giản 6.1 Hàm mũ y = ax (a > 0) 6.1.1 Định lý Hàm ax (a > 0) liên tục toàn trục số Chứng minh.Lấy điểm tùy ý x ∈ R.Giả sử dãy xn → x Với n ∈ N chọn số hữu tỉ rn sn cho xn − 1 < rn < xn < sn < xn + n n Bởi lim (xn − n1 ) = lim (xn + n1 ) = x nên n→∞ n→∞ lim rn = lim sn = x n→∞ n→∞ Nếu a > 1,ta có arn < axn < asn lim arn = lim asn = ax nên lim axn = n→∞ n→∞ n→∞ ax Nếu a = 1, axn = 1, ∀n ax = lim axn = ax n→∞ Cuối < a < 1,ta có arn > axn > asn từ suy lim axn = ax Vậy y = ax (a > 0) liên tục n→∞ toàn trục số 6.1.2 Hệ Hàm số y = ex liên tục toàn trục số 6.2 Hàm logarit y = loga x(0 < a = 1) 6.2.1 Định nghĩa Hàm số ngược hàm số mũ ax (0 < a = 1) gọi hàm số logarit (cơ số a),ký hiệu loga x Đặc biệt a = e ta logarit Neper x ln x Từ định lý suy : 6.2.2 Định lý Hàm số loga x(0 < a = 1) liên tục tăng ngặt (hoặc giảm ngặt) (0, +∞) tùy theo a > (hay < a < 1) 6.3 Hàm lũy thừa y = xα (x > 0) •Hàm số định nghĩa nhờ cơng thức y = xα = eα ln x 12 Từ kết xét mục 6.1 tính chất liên tục hàm hợp suy hàm xα liên tục x > 6.4 Hàm lượng giác lượng giác ngược 6.4.1 Các hàm lượng giác sin x, cos x liên tục điểm x ∈ R hàm lượng giác sin x tan x = , (cot x = ) cos x tan x liên tục điểm x = π2 + kπ, k ∈ Z (kπ, k ∈ Z) 6.4.2 Hàm lượng giác ngược a)Hàm sin : [− π2 ; π2 ] → [−1; 1] liên tục tăng thực nên hàm ngược nó: π π arcsin : [−1; 1] → [− ; ] 2 liên tục tăng thực b)Hàm cos : [0; π] → [−1; 1] liên tục giảm thực nên hàm ngược : arccos : [−1; 1] → [0; π] liên tục giảm thực c)Hàm tan : (− π2 ; π2 ) → (−∞; +∞) liên tục tăng thực nên hàm ngược nó: π π arctan : (−∞; +∞) →: (− ; ) 2 liên tục tăng thực d)Hàm cot : (0; π) → (−∞; +∞) liên tục giảm thực nên hàm ngược : arccot : (−∞; +∞) → (0; π) liên tục giảm thực 6.4.3 Hàm lượng giác hyperbolic Xuất phát từ hàm mũ ex ta đưa vào hàm sinhyperbolic,cosinhyperbolic,tanghyperbolic,cotanghyperbolic đây: shx := ex − e−x ex + e−x shx thx := chx chx := 13 cothx := thx Hiển nhiên chúng hàm liên tục toàn trục số 6.5 Khái niệm hàm sơ cấp •Các hàm sơ cấp bao gồm :Hàm mũ,hàm logarit,hàm lũy thừa,hàm lượng giác hàm lượng giác ngược •Hàm sơ cấp hàm nhận từ hàm sơ cấp số hữu hạn phép toán cộng,trừ,nhân,chia,lấy phép lấy hàm hợp Bởi hàm sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định phép tốn nói bảo tồn tính liên tục nên ta có kết luận : Mỗi hàm sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định 14 ... Các hàm số liên tục phải hàm số liên tục trái gọi chung hàm số liên tục phía 1.2.2 Mệnh đề Hàm số f : A → R liên tục điểm x0 liên tục phải liên tục trái x0 Chứng minh Hiển nhiên f liên tục điểm... Định lý.(Sự liên tục hàm hợp) Nếu hàm số f : A → B liên tục x0 ∈ A hàm số g : B → R liên tục y0 = f (x0 ) hàm hợp g ◦ f : A → R liên tục x0 Chứng minh Giả sử ε > số tùy ý.Vì g liên tục y0 = f... f (x0 )| < ε, ∀|x − x0 | < δ =⇒ f liên tục x0 < −1 Vậy f liên tục x0 = −1 1.2 Hàm liên tục phía 1.2.1 Định nghĩa Hàm số f : A → R gọi liên tục phải (t.ứ liên tục trái) điểm x0 ∈ A với ε > tồn