Ứng dụng của tích phân "đẳng cấp"

C. NG DNG CA TCH PHN VO TNH DIN TCH HèNH PHNG V TH TCH CA VT TH TRềN XOAY I. TNH DIN TCH HèNH PHNG 1. Din tớch hỡnh thang cong Cho hm s f(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc ng y = f(x), x = a, x = b v trc honh (Ox) hoc y = 0 l b a S = f(x) dx ũ Phng phỏp gii toỏn Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) trờn on [a; b] Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn b a f(x) dx ũ Vớ d 1. a. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = lnx, x = 1, x = e v Ox. b. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th ca hm s y = sinx trờn on [0; 2 ] v Ox Gii a. Ta cú sinx = 0 cú 1 nghim x = ( ) 0;2 Vy din tớch hỡnh phng cn tỡm l: S = 2 2 0 0 sinx dx = sinxdx + sinxdx = 2 0 cosx + cosx = 4 b. Do lnx 0 x 1; e ộ ự ở ỷ " ẻ nờn ( ) e e e 1 1 1 S = lnx dx = lnxdx = x lnx -1 = 1 ũ ũ Vy S = 1 (vdt). Vớ d 2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y = -x + 4x - 3, x = 0, x = 3 v Ox. Gii Bng xột du x 0 1 3 y 0 + 0 ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S = - -x + 4x - 3 dx + -x + 4x - 3 dx ũ ũ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 8 = - - + 2x + 3x + - + 2x + 3x = 3 3 3 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ Vy 8 S = 3 (vdt) 2. Din tớch hỡnh phng 2.1. Trng hp 1. Cho hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b l b a S = f(x) - g(x) dx ũ Phng phỏp gii toỏn Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) - g(x) trờn on [a; b]. Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn b a f(x) - g(x) dx ũ Các trường hợp cụ thể TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong [a; b], khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b a S = [f(x)-g(x)]dx ∫ TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là 1 x a;b     ∈ , khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 x b b a a x S = f(x)-g(x) dx = [f(x)-g(x)]dx + [f(x)-g(x)]dx ∫ ∫ ∫ TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là 1 2 x ;x a;b     ∈ , khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 2 2 1 x x x a x b S = f(x)-g(x) dx + f(x)-g(x) dx + f(x)-g(x) dx             ∫ ∫ ∫ Chú ý: + Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm, làm tương tự trường hợp 3. + Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x) = 0 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P 1 ): y = x 2 – 2x và (P 2 ): y = x 2 + 1 và các đường thẳng x = -1; x = 2. Giải Ta có x 2 – 2x = x 2 + 1 Û 2x + 1 = 0 Û x = -1/2. Do đó : S = 2 -1/2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1/2 (x -2x)-(x +1) dx = [(x -2x)-(x +1)]dx + [(x -2x)-(x +1)]dx ò ò ò = ( ) ( ) -1/2 2 -1 -1/2 2x +1 dx + 2x +1 dx ò ò = ( ) ( ) 1 - 2 2 2 2 1 -1 - 2 x + x + x + x = 1 25 13 + = 4 4 2 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) là β α S = f(x) - g(x) dx ò . Trong đó α, β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) ( ) a b<£ a b£ . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn α; β é ù ë û . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân β α f(x) - g(x) dx ò . Ví dụ 4 a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = 4x và đường thẳng (d): 2x + y – 4 = 0 b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2 y = x +11x - 6, y = 6x c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x 2 và đường thẳng (d): -2x + y – 3 = 0 Giải a. Ta cú (P): y 2 = 4x x = 2 y 4 v (d): 2x + y 4 = 0 x = 4- y 2 Phng trỡnh tung giao im ca (P) v ng thng (d) l: 2 y 4 = 4-y 2 y = 2 y = -4 Vy din tớch hỡnh phng cn tỡm l: S = 2 2 2 3 2 2 2 -4 -4 -4 4- y y y y y y ( - )dy = (2- - )dy = (2y- - ) = 9 2 4 2 4 4 12 b. t 3 2 3 2 h(x) = (x + 11x - 6) - 6x = x - 6x +11x - 6 x = 1 h(x) = 0 x = 2 x = 3 ộ ờ ờ ờ ờ ờ ở ị Bng xột du x 1 2 3 h(x) 0 + 0 0 ( ) ( ) 2 3 3 2 3 2 1 2 S = x - 6x + 11x - 6 dx - x - 6x +11x - 6 dx ũ ũ 2 3 4 2 4 2 3 3 1 2 x 11x x 11x 1 = - 2x + - 6x - - 2x + - 6x = 4 2 4 2 2 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ Vy 1 S = 2 (vdt). Chỳ ý: Nu trong on ; ộ ự ở ỷ phng trỡnh f(x) = g(x) khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng thc f(x) - g(x) dx = f(x) - g(x) dx ộ ự ở ỷ ũ ũ . Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 3 y = x , y = 4x . Gii Ta cú 3 x = 0 x = 4x x = 2 ộ ờ ờ ờ ở ( ) ( ) 0 2 3 3 -2 0 S = x - 4x dx + x - 4x dxị ũ ũ 0 2 4 4 2 2 -2 0 x x = - 2x + - 2x = 8 4 4 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ Vy S = 8 (vdt) Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y = x - 4 x + 3 v trc honh. Gii Ta cú 2 2 x - 4 x + 3 = 0 t - 4t + 3 = 0, t = x 0 t = 1 x = 1 x = 1 t = 3 x = 3 x = 3 ộ ộ ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ở ở ở 3 3 2 2 -3 0 S = x - 4 x + 3 dx = 2 x - 4x + 3 dxị ũ ũ ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 = 2 x - 4x + 3 dx + x - 4x + 3 dx ộ ự ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ũ ũ 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 16 = 2 - 2x + 3x + - 2x + 3x = 3 3 3 ộ ự ổ ử ổ ử ờ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Vy 16 S = 3 (vdt) Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y = x - 4x + 3 v y = x + 3 Gii Phng trỡnh honh giao im 2 x - 4x + 3 = x + 3 2 2 x + 3 0 x = 0 x - 4x + 3 = x + 3 x = 5 x - 4x + 3 = -x - 3 ỡ ù ù ộ ù ù ờ ộ ớ ờ ờ ù ờ ù ờ ở ù ờ ù ợ ở Bng xột du x 0 1 3 5 2 x - 4x + 3 + 0 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 2 2 0 1 3 S = x - 5x dx + -x + 3x - 6 dx + x - 5x dxị ũ ũ ũ 1 3 5 3 2 3 2 3 2 0 1 3 x 5x -x 3x x 5x 109 = - + + - 6x + - = 3 2 3 2 3 2 6 ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Vy 109 S = 6 (vdt) Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y = x -1 , y = x + 5 Gii Phng trỡnh honh giao im 2 2 x -1 = x + 5 t -1 = t + 5, t = x 0 2 2 t = x 0 t = x 0 t -1 = t + 5 x = 3 t = 3 t -1 = -t - 5 ỡ ù ù ỡ ù ù ù ù ộ ớ ớ ờ ù ù ù ù ờ ợ ù ờ ù ợ ở ( ) ( ) 3 3 2 2 -3 0 S = x -1 - x + 5 dx = 2 x -1 - x + 5 dxị ũ ũ Bng xột du x 0 1 3 2 x 1- 0 + ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S = 2 -x - x - 4 dx + x - x - 6 dxị ũ ũ 1 3 3 2 3 2 0 1 -x x x x 73 = 2 - - 4x + - - 6x = 3 2 3 2 3 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ Vy 73 S = 3 (vdt). Chỳ ý Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh II. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY 1. Trng hp 1. Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = f(x) 0 x a;b ộ ự ở ỷ " ẻ , y = 0, x = a v x = b (a < b) quay quanh trc Ox l b 2 a V = f (x)dx ũ . Vớ d 9. a. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn 2 2 2 (C) : x + y = R quay quanh Ox. b. Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay, sinh ra bi mi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau khi nú quay xung quanh trc Ox: x = 1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x 2 2x Gii a. Honh giao im ca (C) v Ox l 2 2 x = R x = R Phng trỡnh 2 2 2 2 2 2 (C) : x + y = R y = R - x ( ) ( ) R R 2 2 2 2 -R 0 V = R - x dx = 2 R - x dxị ũ ũ R 3 3 2 0 x 4R = 2 R x - = 3 3 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Vy 3 4R V = 3 (vtt). b. Th tớch ca vt th trũn xoay cn tỡm l : 2 2 2 2 4 3 2 -1 -1 S = (x -2x) dx = (x -4x +4x )dx = 5 2 4 3 -1 x 4 ( - x + x ) 5 3 = 18 5 (vtt) Vy 18 V = 5 (vtt). 2. Trng hp 2. Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng ( ) x g y 0 y c;d = , x = 0, y = c v y = d (c < d) quay quanh trc Oy l d 2 c V = g (y)dy ũ . Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse 2 2 2 2 x y (E) : + = 1 a b quay quanh Oy. Gii Tung giao im ca (E) v Oy l 2 2 y = 1 y = b b Phng trỡnh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y a y (E) : + = 1 x = a - a b b b b 2 2 2 2 2 2 2 2 -b 0 a y a y V = a - dy = 2 a - dy b b ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ ị ũ ũ R 2 3 2 2 2 0 a y 4a b = 2 a y - = 3 3b ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Vy 2 4a b V = 3 (vtt). 3. Trng hp 3. Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = f(x), y = g(x) , x = a v x = b (a < b, f(x) 0,g(x) x a; b0 ) ộ ự ở ỷ " ẻ quay quanh trc Ox l b 2 2 a V = f (x) - g (x) dx ũ Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Gii Honh giao im 4 x 0 x = 0 x = 1 x = x ỡ ộ ù ù ờ ớ ờ ù ờ ù ở ợ . ( ) 1 1 4 4 0 0 V = x - x dx = x - x dxị ũ ũ 1 5 2 0 1 1 3 = x - x = 5 2 10 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Vy 3 V = 10 (vtt). 4. Trng hp 4. Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng x = f(y), x = g(y) , y = c v y = d (c < d, f(y) 0,g(y) y c; d )0 ộ ự ở ỷ " ẻ quay quanh trc Oy l d 2 2 c V = f (y) - g (y) dy ũ Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng 2 x = -y + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Gii Tung giao im 2 y = -1 -y + 5 = 3 - y y = 2 ộ ờ ờ ờ ở ( ) ( ) 2 2 2 2 -1 V = -y + 5 - 3 - y dyị ũ ( ) 2 4 2 -1 = y -11y + 6y + 16 dy ũ 2 5 3 2 -1 y 11y 153 = - + 3y + 16y = 5 3 5 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ . Vy 153 V = 5 (vtt). III. BI TP RẩN LUYN PHNG PHP GII TON 1. TNH DIN TCH HèNH PHNG Vớ d 1 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1 b/ th hm s y = e x +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1 c/ th hm s y = x 3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4 d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2 Bi 1: Cho (p) : y = x 2 + 1 v ng thng (d): y = mx + 2. Tỡm m din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng trờn cú din tớch nh nht Bi 2: Cho y = x 4 - 4x 2 + m (C). Tỡm m hỡnh phng gii hn bi (C) v Ox cú din tớch phớa trờn Ox v phớa di Ox bng nhau Bi 3: Xỏc nh tham s m sao cho y = mx chia hỡnh phng gii hn bi 3 x -x y = 0 x 1 y = 0 cú hai phn din tớch bng nhau Bi 4: (P): y 2 = 2x chia hỡnh phng gii bi x 2 + y 2 = 8 thnh hai phn Tớnh din tớch mi phn Bi 5: Cho a > 0 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 2 4 2 4 x + 2ax +3a y = 1+ a a -ax y = 1+ a Tỡm a din tớch ln nht Bi 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: 1) (H 1 ): 2 2 x y = 4- 4 x y = 4 2 2) (H 2 ) : 2 y = x -4x +3 y = x +3 3) (H 3 ): -3x -1 y = x -1 y = 0 x = 0 4) (H 4 ):      2 2 y =x x =-y 5) (H 5 ): 2 y = x y = 2- x      6) (H 6 ):      2 y +x-5= 0 x+y-3=0 7) (H 7 ): lnx y = 2 x y = 0 x = e x =1          8) (H 8 ) :      = − = − + 2 2 y x 2x y x 4x 9) (H 9 ): 2 3 3 y = x + x - 2 2 y = x      10) (H 10 ): 2 y -2y + x = 0 x + y = 0      11) (C): y = x (d): y = 2- x (Ox)        12) x (C): y = e (d): y = 2 (Δ):x =1      13) 2 y = 2x +1 y = x -1      14) 2 2 y = - 4-x x +3y = 0      15) y = x x + y-2 = 0 y = 0      16 2 2 x y = 2 1 y = 1+ x        17 2 y = 2x y = x, y = 0, y = 3      18) y = lnx, y = 0 1 x = , x = e e      19. 2 2 1 1 y = ;y = sin x cos x π π x = ;x = 6 3        20) y = 4x - x 2 ; (P) và tiếp tuyến của (P) đi qua M( 5 6 , 6) 21) 2 y = x -4x +5 y = -2x +4 y = 4x -11      22) 2 2 y = -x +6x-5 y = -x + 4x -3 y = 3x -15      23) y = x 1 y = x y = 0 x = e          24) 2 y = x -1 y = x +5      25) 3 2 y = x y = x      26) 2 y = -3x - x +2 y = 0      27) 2 y = x + 2 y = 4-x      28) 2 2 y = x -2x + 2 y = x + 4x +5 y =1      29) 2 2 y = x -1 y = -x +7      30) 3 y = x y = 0 x = -2;x =1      31) y = sinx -2cosx y = 3 x = 0;x =π      32) 2 y = x +3+ x y = 0      33) 2 y = x + 2x y = x + 2      34) 2 2 y = 2x -2x y = x +3x -6 x = 0;x = 4      35) 2 y = x -5x+6 y = 6      36) 2 2 y = 2x y = x -2x -1 y = 2      37) 2 y = x -3x+2 y = 2      38) 2 5 6 1 y x x y x      = − + = + 39) 2 2 y = x -3x +2 y = -x      40) 2 y = x -4x +3 y = 3      41) x -x y = e y = e x =1      42) 2 2 6 x y = x -x x = 0;x =1      43) y = sin x y = x -π      44) 2 2 y = 2x y = x -4x -4 y = 8      45) 2 y = 2x 2x + 2y+1= 0 y = 0      46) ( ) 2 2 2 2 y = x a -x a > 0      47) 2 y = (x +1) x = sinπy      48) 2 y = x -1 x = 2      49) 2 x = y -1 x = 2      32) 2 x = (y+1) y = sinx x = 0      33) 2 2 x y = 4- 4 x y = 4 2        34) 4 x = 0; 1 x = 2 x y = ;y = 0 1-x            35) x-2 y = 5 y = 0 x = 0;y = 3- x      36) 2 2 2 y = 6x x + y =16      37) 2 2 y = x x y = 27 27 y = x          38) 2 3 2 y = (4-x) y = 4x      39) y = logx y = 0 1 x = ,x =10 10        40) 2 2 ax = y ay = x      (a > 0) 41) 2 y = x y = sin x + x 0 xπ      ≤ ≤ 42) 2 2 2 y = 2x 27y = 8(x -1)      43) x 2 /25 + y 2 /9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0; 15/4) 44) Cho (P): y = x 2 và điểm A(2; 5) đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k. Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) nhỏ nhất 45) 3 2 y = x -2x + 4x -3 y = 0      1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H) có phương trình x +1 y = x và các đường thẳng x = 1, x = 2 và y = 0 (Ox) 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y = x 2 – 2x và trục hoành. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C) có phương trình y = x 4 - 4x 2 + 5 và đường thẳng y = 5. 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x 3 –3x , và y = x . 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) 3 2 y = x -x + x +3 ; trục hoành; x = -2 ; x = 1 b) 3 2 y = 2x + x +1 ; trục hoành; x = 2 c) 3 y = -3x +3x +6 ; trục hoành d) -3x -1 y = x -1 và hai trục tọa độ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x 2 – 2x + 3; y = 5 – x; x = -2; x = 3 b) y = x 2 – 2x + 2; y = -x 2 – x + 3 c) 1 x = 0;x = ; 2 trục Ox và đường cong 4 x y = ; 1-x d) x y = xe ;y = 0;x = -1;x = 2 e) 1+ lnx x =1;x = e;y = 0;y = x f) y = sin 2 xcos 3 x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0; x = 1/2 g) ( ) y = 2+cosx sinx ; y = 0; π 3π x = ;x = 2 2 h) x = 1; x = 2; Ox; ( ) 3 1 y = ; x x +1 i) Hai trục tọa độ; đường thẳng x = 1 và đường cong ( ) 5 y = x x +1 k) 3 2 y = x -4x + x +6 và trục Ox l) 4 4x y = ; x +1 Ox; x = -1; x = 1 Bài 1. Cho miền (A) giới hạn bởi đồ thị hàm số (P) y=-x 2 -1, tiếp tuyến (d) với (P) tại điểm M(-1;y 0 ) thuộc (P) và trục tung: 1).Tính diện tích của miền (A). 2).Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (A) quanh trục Ox, trục Oy. Bài 2. Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số x -1 y = x +1 và hai trục tọa độ. 1) Tính diện tích của miền (B). 2) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy. Bài 3. Miền (D) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số x -1 y = x +1 và hai tiệm cận của (C) và hai đường thẳng x=3, x=-3. 1).Tính diện tích của miền (D). 2). Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay (D) quanh trục Ox, trục Oy. Bài 4. Miền (E) giới hạn bởi y = e x ; y = lnx, x = 1, x = e . 1).Tính diện tích của miền (E). 2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (E) quanh trục Ox. Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Bài3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trụcOx a) 1;0;0;23 3 ===−+= xxyxxy b) 0;633 2 =++−= yxxy c) xyxy == ;4 2 Bài5: Tính thể tích hình tròn xoay giới hạn bởi : 1;;0;ln ==== xexyxxy tạo nên khi quay quanh trục Ox Bài6: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox miền D giới hạn bởi : π π ===+= xxyxxy ; 2 ;0;sincos 44 Bài7: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi : 2 ;0;0;sincos 2 π ===+= xxyxxxy Bài8: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox miền D giới hạn bởi : 2;0;ln === xyxy Bài9: Cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường :          = ≤+−= ≤= 4 )2(3 2 1 )0( 4 1 2 2 x yyyx yyx a)Tính diện tích miền phằng D. [...]... sin x (Bộ Đề) 0 b 2 18 x ln xdx 1 /2 19 0 x cos 2 xdx (BK_94) (BK_94) 2 20 21 dx 2/ 3 x (BK_95) 2 x 1 cos x sin xdx (BK_98) 0 22.Cho hàm số: f(x) = sin x.sin 2x.cos5x a Tìm họ nguyên hàm của g(x) b Tính tích phân: I = 2 f(x) dx x e + 1 (BK_99) 2 ln 2 e 2x dx e +1 0 1 2 x 1 dx 24 x +1 0 23 x /4 25 0 1 26 cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x 3dx 1 + x3 0 1 4 2 0 x + 4x + 3 /3 28 (XD_96) (XD_98) . Tính diện tích của miền (B). 2) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy. Bài 3. Miền (D) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số x -1 y = x +1 và hai tiệm cận của (C). x=-3. 1).Tính diện tích của miền (D). 2). Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay (D) quanh trục Ox, trục Oy. Bài 4. Miền (E) giới hạn bởi y = e x ; y = lnx, x = 1, x = e . 1).Tính diện tích của miền (E). 2) điểm M , N . Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P). VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay