Nguyên hàm- tích phân

TvT ĐT : 0935568833 CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1 NGUYÊN HÀM 1/ Định nghĩa : - Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. - Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì hàm số y = F(x) + C ( với C là hằng số tuỳ ý ) cũng là một nguyên hàm của f trên K . - Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K được kí hiệu là f(x)dx f(x)dx = F(x) + C 2/ Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : dx = x + C xdx = dx = ln + C dx = ln + C dx = - + C dx = + C dx = ln + C dx = ln + C dx = ln +C dx = + C dx = + C dx = 2 + C dx = + C e dx = e + C e dx = e +C a dx = + C sinxdx = - cosx + C sin(ax + b)dx = - cos( ax + b) cosxdx = sinx + C cos( ax + b )dx = sin(ax + b) + C dx = tanx + C dx = tan( ax + b ) + C dx = - cotx + C dx = cot(ax + b) + C tanxdx = - ln + C cotxdx = ln + C 2/ Tính chất : - [ f(x) + g(x) ]dx = f(x)dx + g(x)dx - kf(x)dx = kf(x)dx 3/ Một số phương pháp tìm nguyên hàm : a/ Phương pháp đổi biến số : f[u(x)].u’(x)dx = F[u(x)] + C b/ Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần :u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - v(x)u’(x)dx BÀI TẬP Tìm các nguyên hàm sau : 1/ ( 3x + )dx 2/ ( 2x - 3x + 1)dx 3/ ( - x + 2x - x + 3)dx 4/ ( 2x - 5x + 7)dx 5/ ( 2x + )dx 6/ x( x - 1)dx 7/ ( - x - )dx 8/ ( x - 3x + )dx 9/ ( x - 1 - )dx 10/ ( + )dx 11/ ( + + )dx 12/ ( - )dx 13/ dx 14/ dx 15/ dx 16/ dx 17/ dx 18/ dx 19/ dx 20/ ( e - 3x + 5 )dx 21/ e( 1 - e )dx 22/ 2.edx 23/ ( 2sinx + 3cosx )dx 24/ sin( 2x + 1)dx 25/ cos( - 5x )dx 26/ sin dx 27/ cos2xdx TvT ĐT : 0935568833 28/ cosxdx 29/ sin5x.cos3xdx 30/ cos3xcosxdx 31/ sin4xsinxdx 32/ sin6x. cosxdx 33/ cosx sin3x cos5xdx 34/ dx 35/ dx 36/ dx Vui cười : “Ca rao ” về con gái Bắc thang lên hỏi ông trời Sao con cứ đói bụng hoài vậy ông ? * Ước gì anh bán bún riêu Để em ăn ké mỗi chiều ba tô ! * Bao giờ rừng hết lá cây Thì em sẽ có một ngày nhịn ăn ! NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ : dx Phương pháp : - Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) : + Ta phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các luỹ thừa : Q(x) = (ax + b) ( ax + b) .( Ax + Bx + C ) ( Ax + Bx + C ) + Phân tích : = + + + + + + + (*) Trong đó các hệ số M, N, , N , E, F, là các số thực chưa biết. + Muốn xác định nó ta quy đồng vế phải, rồi đồng nhất với các hệ số có bậc tương ứng ở vế trái để đưa về một hệ phương trình + Giải hệ này ta có các hệ số M, N, , N, E, F Phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định - Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) : Ta chia P(x) cho Q(x), rồi đưa về trường hợp như trên. Đặc biệt : - Nguyên hàm dạng : I = + Nếu ∆ = 0 : I = = + C + Nếu ∆ < 0 : I = : có dạng , đặt u = a.tant + Nếu ∆ > 0 : I = = ln + C - Nguyên hàm dạng : J = dx J = dx = dx = dx + ( B - ) = ln + I Tìm các nguyên hàm sau : 37/ dx 38/ dx 39/ dx 40/ 41/ 42/ 43/ 44/ 45/ 46/ dx 47/ dx 48/ dx 49/ dx 50/ dx 51/ dx 52/ 53/ 54/ 55/ 56/ 57/ 58/ dx 59/ dx 60/ dx PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TvT ĐT : 0935568833 61/ ( x+1)dx 62/ x(1-x)dx 63/ x( 3x - 1 )dx 64/ dx 65/ xdx 66/ xdx 67/ 68/ dx 69/ 70/ 71/ 72/ 73/ 74/ dx 75/ 76/ 77/ dx 78/ 79/ 80/ 81/ 82/ dx 83/ esinxdx 84/ dx 85/ dx 86/ 87/ ( lnx + 1) Lưu ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm chứa đặt x = asint đặt x = đặt x = atant 88/ dx 89/ 90 x.dx 91/ dx 92/ dx dx “Việc học như con thuyền ngược dòng Không tiến ắt sẽ lùi ” PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Phương pháp : udv = uv - vdu Ta thường đặt u và dv theo bảng sau : P(x)edx P(x).sinxdx P(x)lnxdx esinxdx u P(x) P(x) lnx e / sinx dv edx sinxdx P(x)dx sinxdx/ edx 93/ xedx 94/ xlnxdx 95/ xsinxdx 96/ ecosxdx 97/ xcos5xdx 98/ ecos3xdx 99/ xsinxdx 100/ dx 101/ xedx 102/ ( x - 2x + 3)e dx 103/ xsinxcosxdx 104/ 105/ lnxdx 106/ cos2x.e dx 107/ (e + cosx)xdx NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Nguyên hàm dạng : 1/ sinax.cosbxdx 2/ sinax.sinbxdx 3/ cosax.cosbxdx Phương pháp : Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng 108/ coss7x.cosxdx 109/ sin9xsinxdx 110/ cos cos dx 111/ cosx.cos5xdx 112/ cosx.sin3xdx 113/ sinxsin2xsin3xdx Nguyên hàm dạng : I = sinx.cosxdx ( m,n nguyên) Phương pháp : + Trường hợp m hoặc n nguyên lẻ : Đặt t = cosx nếu m lẻ , đặt t = sinx nếu n lẻ TvT ĐT : 0935568833 + Trường hợp m và n đều nguyên chẳn : Biến đổi biểu thức trong dấu nguyên hàm bằng công thức hạ bậc cosx = ; sinx = và công thức nhân đôi sin2x = 2sinxcosx + Trường hợp m,n cùng chẳn ( hoặc cùng lẻ ) và m,n có ít nhất một số nguyên âm : Đặt t = tanx ( hoặc t = cotx ) . Khi đó, sin2x = , cos2x = 114/ sinxcosxdx 115/ cosxsinxdx 116/ sinx.cosxdx 117/ cosxdx 118/ sinxdx 119/ cosxdx 120/ sinxdx 121/ cosxdx 122/ (cosx + 1)cosxdx 123/ dx 124/ 125/ 126/ sinxcosxdx 127/ cos5xsin5xdx 128/ sin2xcos2xdx 129/ cosxsin2xdx 130/ sinxcos2xdx 131/ sinxcosxdx 132/ 133/ 134/ 135/ 136/ 137/ tanxdx 138/ tanxdx 139/ tanxdx 140/ tanxdx Nguyên hàm dạng : dx Phương pháp : Đặt t = tan . Khi đó, sinx = cosx = Đặc biệt : Nguyên hàm dạng dx Phương pháp : Ta phân tích = A + B( ). 141/ 142/ 143/ 144/ 145/ 146/ dx 147/ Cho f(x) = . a/ Tìm A,B sao cho : f(x) = A + B( ). b/ Tính f(x)dx . 148/ dx 149/ dx 150/ dx Má Tôi Áo nâu lại sắp sờn vai Vai gầy má nặng gánh hai mảnh đời Mồ hôi ướt đẫm dòng đời Con nhìn má khổ không vơi nổi buồn Tiếng ru má vẫn êm đềm Mưa ngâu không dứt bên thềm mỗi năm Ngày mai tóc má hoa râm Nhìn con khôn lớn trăng rằm xanh xanh Nuôi con không quản nhọc nhằn Má như sóng biển trong xanh dịu hiền. Ngọc Duy  2 TÍCH PHÂN 1/ Định nghĩa : Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì : f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a) gọi là tích phân của hàm f từ a đến b . a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên , f(x) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Lưu ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận và biểu thức dưới dấu tích phân, không phụ thuộc vào biến. 2/ Tính chất : TvT ĐT : 0935568833 1/ f(x)dx = 0 2/ f(x)dx = - f(x)dx 3/ f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx 4/ [ f(x) + g(x) ]dx = f(x)dx + g(x)dx 5/ kf(x)dx = k f(x)dx với k ∈ R 3/ Phương pháp tính tích phân : a/ Phương pháp đổi biến số : f[u(x)]u’(x)dx = f(u)du b/ Phương pháp tích phân từng phần : udv = uv - vdu BÀI TẬP : 151/ ( ĐH Khối A - 2003 ) 152/ dx (ĐHKhối B - 2003) 153/ dx ( ĐH Khối D - 2003 ) 154/ dx ( ĐH Khối A - 2004 ) 155/ dx ( ĐH Khối B - 2004) 156/ ln( x - x )dx ( ĐH Khối D - 2004 ) 157/ dx ( ĐH Khối A - 2005) 158/ dx ( ĐH Khối B - 2005 ) 159/ ( e + cosx )cosxdx ( ĐH Khối D - 2005 ) 160/ dx ( ĐH Khối A - 2006 ) 161/ ( ĐH Khối B - 2006 ) 162/ ( x - 2 )edx ( ĐH Khối D - 2006 ) 163/ xlnxdx ( ĐH Khối D - 2007) 164/ dx ( ĐH Kkối A - 2008 ) 165/ ( ĐH Khối B - 2008) 166/ dx ( ĐH Khối D - 2008) 167/ (cosx - 1)cosxdx ( ĐH Khối A - 2009) 168/ dx ( ĐH Khối B - 2009) 169/ (e + x)e dx ( CĐ Khối A - 2009) 170/ dx ( ĐH Huế - A - 2000) 171/ xtanxdx ( ĐH Nông nghiệp I - B - 2000) 172/ dx 173/ 174/ ( ĐH Quốc gia HN - 97) 175/ 176/ dx ( ĐH Quốc gia HN - 98 ) 177a/ b/ sinxcosxdx ( ĐH Quốc gia TPHCM - 98) 178/ x dx ( với a > 0 ) ( ĐH Sư phạm HN - B - 2000) 179a/ dx b/ cosxdx ( ĐH Sư phạm TPHCM - A- 2000) 180/ ( ĐH Sư phạm TPHCM - D - 2001) 181/ dx ( ĐH Sư phạm Vinh - A - 98 ) 182/ dx 183/ dx ( ĐH Sư phạm Vinh - 99) 184/ dx 185/ dx 186/ ( ĐH Tài chính kế toán HN ) 187/ dx ( ĐH Thái Nguyên - 2001) 188a/ b/ dx 189/ 190/ 191/ (ĐH Thương mại ) 192/ dx 193/ dx 194/ dx ( ĐH Thuỷ lợi ) 195/ 196/ dx 197/ dx ( ĐH Y khoa HN ) TvT ĐT : 0935568833 198/ dx ( ĐH Y Thái Bình ) 199/ x dx ( ĐH Y - Dược TPHCM) 200/ 201/ (cos + sinx ) dx 202/ exdx ( ĐH An ninh ) 203/ cos2x(sinx+cosx )dx 204/ dx ( ĐH Bách khoa HN ) 205/ (xlnx) dx 206/ dx ( Phân viện báo chí và tuyên truyền ) 207/ ( 1 + x )dx ( ĐH Cảnh sát nhân dân - 2000) 208/ dx 209/ dx 210/ dx 211/ dx ( ĐH Cần Thơ ) 212/ dx ( Học viện công nghệ bưu chính viễn thông ) 213/ 214/ 215/ 216/ dx ( ĐH Đà Nẵng ) 217/ dx 218/ dx 219/ ( ĐH Giao thông vận tải ) 220/ dx ( ĐH Huế ) 221/ e sinxcosxdx 222/ sindx ( ĐH Kiến trúc HN ) 223/ x (1-x) dx ( ĐH Kinh tế quốc dân HN ) 224/ cotxdx ( Học viện kĩ thuật quân sự ) 225/ x dx ( ĐH Luật TPHCM ) 226/ xsinxcosxdx ( Học viện Ngân hàng ) 227/ dx 228/ cosx.cos4xdx 229/ (1 - x - x ) dx ( ĐH Ngoại ngữ HN ) 230/ 231/ dx 232/ dx ( ĐH Ngoại thương ) 233/ ( ĐH Nông nghiệp I - HN ) 234/ dx 235/ (2x + 7)ln(x + 1)dx ( CĐ Giao thông vận tải - 2006) 235/ dx ( CĐ Y tế - 2006) 236/ dx ( CĐ Xây dựng ) 237/ dx ( CĐ Sư phạm TPHCM ) 238/ xcosxdx 239/ dx 240/ dx 241/ 242/ x dx 243/ xdx 244/ dx 245/ 246/ 247/ ecosxdx 247/ sinxcosxdx 248/ 249/ 250/  3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ 1/ Diện tích hình phẳng : a/ Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là : S = dx b/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b là : S = dx TvT ĐT : 0935568833 c/ Lưu ý : - Ta có thể tính diện tích hình phẳng theo biến y : S = dy - Trong một số trường hợp ta phải phân nhỏ diện tích S : S = dx = dx + dx - Công thức : S = dx = luôn đúng khi f(x) ≥ g(x) hoặc f(x) ≤ g(x) 2/ Thể tích vật thể : a/ Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay đồ thị y = f(x) quanh trục hoành và giới hạn hai đường thẳng x = a, x = b là : V = π f(x)d b/ Cho hàm số x = g(y) liên tục và không âm trên [c;d] . Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay đồ thị x = g(y) quanh trục tung và giới hạn bởi hai đường y = b, y = c là : V = π g(x)dx BÀI TẬP : 251/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = x , trục ox và đường thẳng x = 2. 252/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = - 2 , trục ox và : a/ Hai đường thẳng x = 1, x = 3 b/ Hai đường thẳng x = -2, x = 3 253/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P) : y = x; y = x và x = 2. 254/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P) : y = - x + 2 và y = x . 255/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P) : y = 2x và y = 2x - 2. 256/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y - 2y + x = 0 và x + y = 0 257/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh ox hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = lnx ; x = 2 và y = 0 258/ Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo bởi khi quay quanh ox hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = xe ; x = 1 và y = 0 . 259/ Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = , y = 1 và y = 4. Tính thể tích vật thể của khối tròn xoay khi quay hình B quanh trục tung. 260/ Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = y , x = 0, y = 1 và y = -1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục oy 261/ Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = , x = 0, y = 0 và y = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục oy. 262/ Cho D là miền giới hạn bởi các đường y = 2x và y = 2x + 4. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do ta quay miền D quanh trục hoành. ( ĐH Luật HN) 263/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và x = - y 264/ Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x - 2x và y = -x + 4x ( ĐH Mỏ - Địa chất ) 265/ Cho đường cong (P) : y = 2x và đường thẳng (d) : x - 2y + 2 = 0. CMR : d là tiếp tuyến của (P). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên và trục ox. ( ĐH Kiến trúc HN ) 266/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = - x ( ĐH Quốc gia HN ) 267/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y = x - 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ từ hai điểm A(1;2) và B(4;5) . ( ĐH Bách khoa HN ) 268/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = ; y = 0; x = 1 và x = e TvT ĐT : 0935568833 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = ( ĐH Nông nghiệp HN) 269/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = 2 - x 270/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x - 4x + x + 6 và trục ox . Nguyên Đán Xuân của trời đất nay mới đến Trong tôi, xuân đã đến lâu rồi Từ lúc yêu nhau, hoa nở mãi Trong vườn thơm ngát của hồn tôi. Xuân Diệu Chúc mọi người có một năm mới sức khoẻ, hạnh phúc và thành đạt ! . dưới, b gọi là cận trên , f(x) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Lưu ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vào cận và biểu thức dưới dấu tích phân, không phụ thuộc vào biến. 2/ Tính chất : TvT ĐT. 249/ 250/  3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ 1/ Diện tích hình phẳng : a/ Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới. TvT ĐT : 0935568833 CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1 NGUYÊN HÀM 1/ Định nghĩa : - Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu