giao an on thi tot nghiep TOAN 12 HR

c Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó.. Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu bằng định nghĩa - Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố

1 Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.

2 Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

+ Nếu f x'     0, x I và f' x  0chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I

+ Nếu f x'     0, x I và f' x  0chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I

e) y 3 x2 f) yx 2 sinx 0  x  2  g) y = x – ex

3

1 2 3 1 3

2 3

1 Khái niệm cực trị của hàm số

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

3 Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:

a Quy tắc 1:

+ Tìm  f  x

+ Tìm các xi (i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục

nhưng không có đạo hàm

+ Xét dấu  f  x Nếu  f  x đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại x i

b Quy tắc 2:

+Tính  f  x

+ Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,…) của phương trình   fx  0.

+ Tìm  f  x và tính f  x i

* Nếu f x i  0thì hàm số đạt đại tại điểm xi

* Nếu f x i  0thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi

3

15 2

Bài 2 Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:

 (m là tham số) cĩ cực đại, cực tiểu

và các giá trị cực trị trái dấu

VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

2 Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn a b; 

+Tìm các x x1 , , , 2 x nthuộc đoạn a b; tại đĩ hàm số f cĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng

y   trên   ; 0 c) 4 2 2 5

1 sin

x y

VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

lim lim

x x

2 Xét sự biên thiên của hàm số.

a Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu cĩ) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu cĩ)

b Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trịcủa hàm số (nếu cĩ), điền các kết quả vào bảng

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu cĩ)+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

II MỘT SỐ BÀI TỐN TH Ư ỜNG GẶP VỀ Đ Ồ THỊ.

Bài tốn 1 Giao điểm của hai đồ thị

Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thị (C1) và (C2)

Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2)

Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x0

* Thay x0 vào một trong hai hàm số ta có y0

* Tọa độ giao điểm là M(x0,y0)

Nhận xét: Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm phương trình f(x) =

g(x)

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình( ) ( )

Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thị (C1) và (C2)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết: 1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x0;y0)

Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến:

y – y0 = f’(x0)(x – x0)

2) Đường thẳng d có hệ số góc k.

Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x0 là hoành độ tiếp điểm ápdụng câu 1)

3) Đường thẳng d đi qua A(xA;yA).

Cách giải: * Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – xA) + yA

* Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ:

y ) x x ( k ) x

Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số: y = 2x x23

 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.ø

Bài 2: Cho hàm số: y = -x3 - 3x2 + 2.

1)Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2)Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình: x3 +3x2 + 1 + m = 0 (1) 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là nghiệm phương trình y’’ = 0

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 22 x x

 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số

2)Tìm điểm thuộc đồ thị có toạ độ nguyên

Bài 4: Cho hàm số y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm), m là tham số

1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m=1

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểmA(0; 1)

3)Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ;

PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

A PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Các kiến thức cần nhớ:

1) Hàm số mũ y = ax:

- TXĐ: R, ax > 0 với mọi x

- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1

- Các tính chất của lũy thừa

0 ) x ( g , 1 a 0

) x ( g a

);

x ( g ) x ( f 1

a 0

a

a

a

) x ( )

x ( g ) x (

1 a 0 ) x ( g ) x ( f

1 a a

2 5

- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0  a  1

- Các công thức biến đổi:

1 a



loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2| 1 1 2

2

loga b loga b loga b

b log c log b

a log

1 b log

b

c

log b log b

1 a 0 ) x ( g log ) x ( f

1 a

) x ( g ) x ( 0

1 a 0 )

x ( g log ) x ( f

- Phương pháp giải thường dùng:

+ Đưa về cùng cơ số+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình:

a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23

b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + 1 = 0

Bài 2: Giải các phương trình:

a)log3x log4 x log12x b)log 2 x log 3 x log 6 x

Bài 4: Giải các bất phương trình:

4

1 x (

x

 ( x ) logx x

PHẦN III : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I NGUYÊN HÀM A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ

1 Định nghĩa: Hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là của f trên K nếu

'( ) ( ),

F x f x  x K Chú ý f x dx F x( )  ( ) C : Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K.

2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

cot sin x dx x C

3 Caực phửụng phaựp tớnh nguyeõn haứm

a.Phơng pháp đổi biến số: f u x u x dx F u x ( ) '( )   ( )C

a.Phơng pháp tớch phaõn tửứng phaàn: udv u v vdu

BAỉI TAÄP AÙP DUẽNG

Tỡm nguyeõn haứm cuỷa caực haứm soỏ sau

2 Tớnh chaỏt Vụựi f(x), g(x) lieõn tuùc treõn khoaỷng K vaứ a, b, c laứ ba soỏ baỏt kyứ thuoọc K.

Khi ủoự ta coự:

2 Caực phửụng phaựp tớnh tớch phaõn

a.Phơng pháp đổi biến số:  

( )

( )

u b b

Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

2 2 2 1

2 6

dx 8.

Bài 3 Tính các tích phân sau

 2

2 3

xdx

8

sin x ;

III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

a Hàm số yf x( )liên tục trên đoạna b;  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và đường thẳng x a x b ,  là

| ( ) |

b a

S  f x  g x dx

2 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ

Hàm số yf x( )liên tục, không âm trên đoạna b;  Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  , quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:

2 ( )

b a

V  f x dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Baứi 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = 2 - x2 với đờngthẳng (d): y = x.

Baứi 2 Cho hàm số y = x 1 3 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và phơngtrình tiếp tuyến của nó tại A(0,1)

Baứi 4 Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 2x - x2

, y = 0 khi ta quay quanh:Trục Ox

Baứi 5 Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :

y = xe x, x = 1 và y = 0 ( 0 x 1  ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox

a a

0 x

5 Cộng và trừ số phức :

(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i

(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’R)

Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b R)

'

2 1

, ' '

1 c)

m i

m

d)

a i a

a i a



 e) (1 23i)(1i i)

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với đáy , cạnh bên SB bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 Tính thể tích khốichóp S.ABCD

3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA

vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

4 Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C =

600 Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300

a) Tính độ dài đoạn AC’

b) Tính thể tích của lăng trụ

5 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E

b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy

c) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó

8 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA (ABC), góc giữacạnh bên SB và đáy bằng 600

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó

10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của

AB, SI(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp

Phần 2 MẶT TRỊN XOAY

A MẶT CẦU, KHỐI CẦU

1 Định nghĩa :

Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O; R) S(O; R) = {M| OM = R}

2 Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P)

Khoảng cách từ O đến (P) là độ dài đoạn OH Ta có:

- (P) gọi là tiếp diện

3 Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên

P

C(O;R) S(O;R)

P

C(O;R) S(O;R)

r

R

O O

O

H

M

) ( ; )

a OH R dS O R  b OH)  R dS O R( ; )  H c OH) R dS O R( ; ) A B; 

- H gọi là tiếp điểm - d gọi là cát tuyến

- d gọi là tiếp tuyến - AB gọi là dây cung

4 Tính chất tiếp tuyến của mặt cầu

Từ điểm A ngoài S(O; R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

a) Độ dài các đoạn nối A với tiếp điểm bằng nhau

b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên S(O; R)

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu bằng định nghĩa

- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố định là một mặt cầu tâm O, bán kính OM

- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là

trung điểm O của AB, bán kính R  AB2

- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định bằng hằng số k2 là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán

2 2

Bài tập áp dụng

1) Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.

HD: - Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A’B’C’D’

- Chứng minh A, B, C, D, A’, B,’ C’, D’ cách đều một điểm cố định

Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình hộp chữ nhật

Ta có O cách đều A, B, C, D, A’, B’, C’, D’

2) Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

a) Xác định mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D

b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Tính bán kính mặt cầu trong a)

Vậy A và B cùng nhìn CD dưới một góc vuông

Nên thuộc mặt cầu đường kính CD

b) Bán kính mặt cầu 2 2 5 2

3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt

phẳng đáy ABCD SA = AB = a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C

b) Tính diện tích mặt cầu

HD: a) - Ta có A, B, D cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông

nên năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu

b) Diện tích của mặt cầu S  4 R2  3 a2

Dạng 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ

a) Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình chóp nội

tiếp mặt cầu)

*) Điều kiện hình chóp đáy có đường tròn ngoại tiếp

- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

- Xác định giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung

trực vừa dựng

b) Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hình lăng

trụ nội tiếp mặt cầu)

*) Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp

- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy)

- Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăngt trụ

Bài tập áp dụng

4) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC =

c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC

HD: Xác định tâm mặt cầu:

- Gọi E là trung điểm của BC E là tâm đường ngoại tiếp tam giác OBC

- Dựng đường thẳng d vuông góc với (OBC) tại E

- Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh OA

- (P) cắt d tại I Ta có IB = IC = IO = IA

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Tính bán kính:

a a

B

C S

P

d

I D

5) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a

ĐS:

2 2

Dạng 3: Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng

a) Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của O lên (P)

c OHR dS O R  A B d gọi là cát tuyến; AB gọi là dây cung

Bài tập áp dụng

6) Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R, điểm A nằm trên mặt cầu, (P) là mặt phẳng

qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 300

a) Xác định vị trí tương đối của (P) và mặt cầu Tính diện tích thiết diện.b) Đường thẳng  qua A vuông góc với (P) cắt mặt cầu tại B Tính độ dài đoạn AB

HD: a) - Gọi H là hình chiếu của O lên (P)

Ta có OI vuông góc AB

B MẶT TRỤ, MẶT NÓN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

H'

O

H

A

A MẶT TRỤ

1 Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng 

song song với l

- Đường thẳng  là trục

- Khoảng cách giữa  và l là bán kính

2 Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh trục của nó

3 Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó.

4 Các công thức Công thức tính diện tích S =2 Rh xq  ;

S = S + S đáy= 2 R.(h +R) 

Công thức tính thể tích V= R h  2 Chú ý: V’ = Sxq

B MẶT NÓN

1 Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng 

cắt l nhưng không vuông góc với l

- Đường thẳng  là trục

- Giao điểm O của l và  gọi là đỉnh

- Hai lần góc hợp bởi l và  gọi là góc ở đỉnh

2 Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó.

3 Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó.

4 Các công thức Công thức tính diện tích S = Rl xq  ; S = S + S = R.(l +R) TP xq đáy 

Công thức tính thể tích 1 2

V= R h

3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng thuộc mặt trụ, mặt nón.

- Một đường thẳng thuộc mặt trụ nếu nó đi qua một điểm của mặt trụ và song song với trục.

- Một đường thẳng thuộc mặt nón nếu nó đi qua đỉnh của mặt nón và tạo với trục một góc không đổi và bằng nửa góc ở đỉnh.

7) Cho mặt phẳng (P), điểm A nằm trên mặt phẳng (P),

một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (P) sao cho hình

chiếu H của B trên (P) không trùng với A, điểm M

chạy trên (P) sao cho ABM  BMH

Chứng minh M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là AB

B

H

M

Chứng minh MK = BH

Dạng 2: Thiết diện của một mặt phẳng với mặt trụ

- Thiết diện vuông góc với trục là một đường tròn.

- Thiết diện qua trục hoặc song song với trục là một hình chữ nhật

8) Một hình trụ có bán kính đáy bằng R, trục OO’ và đường cao R 3 Hai điểm A,

B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng

300

a) Tính diện tích thiết diện qua AB và song song với trục hình trụ

b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B

c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB vàtrục hình trụ

HD: a Thiết diện qua AB song song với trục là hình chữ nhật ACBD

SACBD = AD.BD = AD2tan300

b Góc giữa hai bán kính qua A và B bằng AOC với  2 2

2

2 cos

c Gọi K, K’ lần lượt là trung điểm của AC và BD có KK’ // OO’

H là giao điểm của KK’ với AB, I là trung điểm của OO’

Có HI là đoạn vuông góc chung của AB và OO’; IH = OK

Dạng 3: Thiết diện của một mặt phẳng với mặt nón

- Thiết diện vuông góc với trục là một đường tròn.

- Thiết diện qua đỉnh cắt hình nón theo hai đường sinh là một tam giác cân có đỉnh là đỉnh của hình nón.

9) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ có

đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD

và A’B’C’D’

b) Chứng minh tất cả các đỉnh của hình lập

phương nằm trên một mặt cầu Hãy tính diện

tích mặt cầu đó

HD: a Hình trụ có bán kính đáy 2

2

a

R  ; chiều cao h = a

b Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai đáy, I là trung điểm của OO’

Chứng minh: I cách đều các đỉnh của hình lập phương Bán kính mặt cầu RC = IA

Phần 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANTOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ – TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂMTÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

C A