Nâng cao cách giải bất đẳng thức

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng III.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1... Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng II.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1.. Áp dụng BĐT Côsi

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cosx+ £ 2

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 + + + ³ ³

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 0 2 ³ ³

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )³ +(1 3abc với a , b , c ³ 0 )3

x 1 , "x > 1 c)

+

³+

2 2

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ³ 4 với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)

b a b c 3 abc + + ³ 3 với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số )

x 2 Định x để y đạt GTLN

38 Cho

=+

2 3 2

xy

Định x để y đạt GTLN

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 0 2 ³ ³

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3 thì y đạt GTNN bằng

-362

ê

=êë

2

30 1x

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 13

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ³ 4 với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)

2 3 2

xy

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki

(«) Û a b2 2+2abcd c d+ 2 2£a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d 2 2

Û a d2 2+c b2 2-2abcd 0 Û ³ (ad cb- )2³0

2 Chứng minh: sinx cosx+ £ 2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cosx+ = 1 sinx 1 cosx+ £ (1 1 sin x cos x2+ 2) 2 + 2 )= 2

b d

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ

-=ïî

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1 >

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: + + ³

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ³ 33xyz Û xyz ³ 33xyz Û (xyz)2 ³ 27 Û xyz ³ 3 3

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y y x- £ 1

4 Đẳng thức xảy ra khi nào?

z3 + 1 + 1 ³ 33 3z Þ z3 + 2 ³ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t £

13

3Bảng biến thiên:

1 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

13

Þ A ³ 5

Dấu "=" xảy ra Û

ì =ïï

ïíï

ï + =ï

ï >

î

4 4xx

1 4y4y5

x y4x,y 0

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4 Vậy Amin = 5

ï = - =ïî

Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

Û 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1

Û a = b = c = 1

3

12 (ĐH Kiến trúc HN 2001)

Ta có: ìï + + =í

ïî

(a b) 2ab 2 cc(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt ì + =

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log³ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

· Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) f¢(x) = a(xa – 1 – 1); f¢(x) = 0 Û x = 1

Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax

b 1 2b

c

2 2

c 1 2c

aa

x,y,z 0

x y z 1

và đpcm Û x2+2y2+ y2+2z2 + z2+2x2 ³ 3 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2

Þ x2+2y2 ³ 1 (x 2y)+

3Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

3Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1

Û (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

Û (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

î

a, b, c > 0 abc = 1 Û

>

ìíî

x,y,z 0xyz=1 và P = + + + + +

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

ïí

ï + =î

=ïïí

+

ï =ïî

2( 2 3)x

63( 2 3)y

6Vậy min(x + y) = 5 2 6+

6

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ ac(a – b) ≥ bc(a – b) Þ ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

2 = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1)

và xy + yz + zx ≥ 33x y z 2 2 2 (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:

2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx >

n

11

n = å=n k

n k

k 0

1C

Þ æç + ö÷

n

11

2 ( do a + b = 1) Vậy maxA = 6 khi a = b = 1

2

Þ Q(t) ³ Qæ öç ÷1

9 = 82 Vậy P ³ Q(t)³ 82 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1

· Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , "x Î R (2)

Û 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

· Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p

Do đó nếu ta chứng minh được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng

Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 Û x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2) Dấu “=” ở (2) xảy ra Û

=é

êì =êí

êî =ë

y 1

x 1

y 0Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3)

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng Þ (*) đúng

2RDấu “=” xảy ra Û ìí = =

= =î

ïï =íï

ï + =ïî

x 4y

x 4y5

x y4

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4

< <

ï

x (5 4x)5

0 x

4

Û x = 1 Lập bảng xét dấu f¢(x), suy ra minS = 5

ï + =ïî

x x 2 y y5

x y4

Û

=ìïí+ =ïî

x 4y5

x y4

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4(3) Û æ ö £ç ÷ æç + ö÷

Dấu “=” xảy ra Û

=ì

ï =í

ï = +î

£ £ïî

2

2 x 48 Û =x 5 2 Bảng biến thiên:

ï =ï

í =ï

ï =î

99ttvới t = ( xyz) Þ 0 < t £ 3 2 æç + + ö £÷

2

Dấu "=" xảy ra Û

ïí+ + =ï

a 3b b 3c c 3a=1

3a+b+c=

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức

Þ A = = çæ + ö÷

2 2

SP

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng

S2 – 4P ³ 0 Û S2 – 4S2-SP

3 ³ 0 Û

-

-P1S

í

= +

y 04y 1 y Û y =

13

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

· Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 1 y ≥ 2 5 > 2 + 3 + 2

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3