thi hoc sinh gioi toan ( HOT)

Phòng giáo dục - Đào tạo huyện Vũ th Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp 8 năm học 2008 2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn + + = + + = 2 2 2 a b c 0 a b c 2009 , tính = + + 4 4 4 A a b c . 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức ( ) = + + 2 f x x px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để ( ) ( ) ( ) =f k f 2008 .f 2009 . Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + = . 2, Cho số tự nhiên ( ) = 2009 9 a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. Bài 4: (3 điểm) Cho phơng trình 2x m x 1 3 x 2 x 2 + = + , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng. Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ã EOF . Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho ã ã EAD FAD= . Chứng minh rằng: = 2 2 BE BF AB CE CF AC . Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích. Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng GD-đt vũ th Hớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1 đề chính thức 1.1 Cho ba số a, b, c thoả mãn + + = + + = 2 2 2 a b c 0 a b c 2009 , tính = + + 4 4 4 A a b c . 2,00 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2009 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 4 + + + + = + + + + = = ữ ( ) ( ) 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 A a b c a b c 2 a b b c c a 2 = + + = + + + + = 0,50 0,50 1,00 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + = + + + = + + + + = + + = + + + ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 B xy z x y xy 3 x y x y xy 3 x y x y x y xy 3x 3y y 3 3y 6y 9 y 3 3 x x y 1 3 3 2 4 2 4 Dấu = xảy ra khi y 1 0 y 3 x 0 x y z 1 2 x y z 0 = + = = = = + + = Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 1,25 0,50 0,25 2 Cho đa thức ( ) = + + 2 f x x px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để ( ) ( ) ( ) =f k f 2008 .f 2009 . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 f f x x f x x p f x x q f x 2.x.f x x p.f x p.x q f x f x 2x p x px q f x x px q 2x p 1 f x x 1 p x 1 q f x f x 1 + = + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + = + Với x = 2008 chọn ( ) k f 2008 2008= + Â Suy ra ( ) ( ) ( ) f k f 2008 .f 2009= 1,25 0,50 0,25 3.1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0+ + = . 2,00 ( ) ( ) 3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + = + + = x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1. Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có: x 5 7 x 2 3y 1 7 y 2 + = = + = = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2. 0,75 0,50 0,75 3.2 Cho số tự nhiên ( ) = 2009 9 a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của 2,00 2 b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 3.2009 6027 9 3 3 6027 a 2 2 2 10 b 9.6027 54243 c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1 = = = < = + = + = 3 2 1mod9 a 1mod9 mà ( ) a b c dmod9 d 1mod9 2 Từ (1) và (2) suy ra d = 8. 1,00 0,75 0,25 4 Cho phơng trình 2x m x 1 3 x 2 x 2 + = + , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng. 3,00 Điều kiện: x 2;x 2 ( ) 2x m x 1 3 x 1 m 2m 14 x 2 x 2 + = = + m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. m 1 phơng trình trở thành 2m 14 x 1 m = Phơng trình có nghiệm dơng 2m 14 2 1 m m 4 2m 14 2 1 m 1 m 7 2m 14 0 1 m < < > Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi m 4 1 m 7 < < . 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ã EOF . 3,00 O D B A C E F AEB đồng dạng CBF (g-g) 2 2 AB AE.CF AC AE.CF AE AC AC CF = = = AEC đồng dạng CAF (c-g- c) AEC đồng dạng CAF ã ã AEC CAF = mà ã ã ã ã ã ã 0 0 EOF AEC EAO ACF EAO 180 DAC 120 = + = + = = 1,00 1,00 1,00 6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho ã ã EAD FAD= . Chứng minh rằng: = 2 2 BE BF AB CE CF AC . 3,00 3 A B C D F E K H Kẻ EH AB tại H, FK AC tại K ã ã ã ã BAE CAF; BAF CAE = = HAE đồng dạng KAF (g-g) AE EH AF FK = ABE ACF S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC = = = = Tơng tự BF AF.AB CE AE.AC = 2 2 BE BF AB CE CF AC = (đpcm). 1,00 1,25 0,50 0,25 7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích. 2,00 Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên bảng không đổi. Mà ( ) 2008. 2008 1 S 1 2 3 2008 1004.2009 0mod2 2 + = + + + + = = ; 1 1mod2 do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1. 1,00 1,00 4 . thức ( ) = + + 2 f x x px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để ( ) ( ) ( ) =f k f 2008 .f 2009 . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2009 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 4 + + + + = + + + + = = ữ ( ) (. số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2,00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + = + + + = + + + + = + + = + + + ữ ữ 2 2 2 2