Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau... Chứng minh fx luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên... b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:... Chứng minh rằng nếu x1... Tính diệ
Trang 1Tổng ôn tập toán 7
Bài 1:
1) Cho A= 1 − 2 + 3 − 4 + + 99 − 100
a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên Bao nhiêu ớc nguyên ?
2) Cho A= 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 2002 và B = 2 2003
So sánh A và B
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố
Bài 2 : Cho a= 1 + 2 + 3 + +n và b = 2n+ 1 ( Với n ∈ N, n≥ 2)
Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết: ( 2 1) 20042003
10
1 6
1 3
1
= + + + + +
n n
Bài 4 :
1) Rút gọn A=217.27.9++1442..2781++2163..36108
) 3 (
3 10
7
3 7 4
3 4 1
3
N n n
n
+ + + +
+
Chứng minh: S < 1
3) So sánh: 20032003.2004.2004−1 và 20042004.2005.2005−1
Bài 5:
1) Tìm số nguyên tố P sao cho số nguyên tố P + 2 và P +10 là số
nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
3)Cho phân số:
1
5
−
≠
∈ +
−
n
n
A
a) Tìm n để A nguyên
b) Tìm n để A tối giản
Bài 6: Cho n ∈ z chứng minh rằng: 5n -1 chia hết cho 4
Bài 7:
a) Tính 915199 2920 96
27 2 7 6 2
.
5
8 3 4 9 4
.
5
−
−
b) Tìm x biết:
−
−
=
−
−
−
−
3
1 8 5
1 8 : 15
1 1 2
1 4 4
3 2
1 1 5
1 24
6
1
24
:
30
1
1
x
Bài 8:
Trang 2So sánh:
2003
2 120 117
2
66 63
2 63 60
2
+ +
+ +
=
A
và
2003
5 80 76
5
48 44
5 44 40
5
+ +
+ +
=
B
Bài 9 Cho A=n3 + 3n2 + 2n:Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n
Bài 10: Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn:
5
4 1 1
1 + + =
c b a
Bài 11:
a) Tính
5
1 1 8
5 5625 , 0 : 375 , 0 8
7
5 : 7
3 5 7
1 6 3
10
+ +
−
−
) 1 (
2
10
1 6
1 3
1
+ + + + + +
x x
Bài 12:
1 Cho A= 3 + 3 2 + 3 3 + + 3 2004
a) Tính tổng A
b) Chứng minh rằng A 130
c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2) Tìm n ∈ Z để n2 + 13n− 13 n+ 3
Bài 13:
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố
b) Cho n ∈ N và n > 3 Chứng minh rằng nếu 2n =10a+b (0< b <10) thì a b chia hết cho 6
Bài 14:
a) Rút gọn:
401
1 41
5 29
5 5
2005
4 41
4 29
4 4 : 2005
3 43
3 19
3 3
2004
2 43
2 19
2 2
− +
−
− +
−
− +
−
− +
−
=
A
b) Tính x biết: : 1
3
1 3
2 + x= −
Bài 15:
a) Tìm chữ số tận cùng của số A = 2 2005 + 3 2005
b) So sánh:
1 2004
1 2004 2004
2003
+
+
=
1 2004
1 2004 2005
2004
+
+
=
B
Bài 16 :
Trang 3a) Tính nhanh:
13 11
13 7
13 17
13 2004
5 17
5 7
5 11
5 5 1002 2005 1003
1002 2005
1003
+
− +
−
+
− +
− +
−
=
A
b) So sánh: 2002 303 và 303 202 ; 31 11 và 17 14
Bài 17: a) Cho A= 1 − 3 + 3 2 − 3 3 + − 3 2003 + 3 2004
Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3
b) Tìm x, y nguyên tố biết: 59x+ 46y = 2004
Bài 18:
a) Tính:
−
+
=
67 61
35 61 43
105 43
37
35 37 31
35 : 60 7
6
5 3
2 3 3
A
b) Tìm chữ số x để ( 12 + 2x3 ) 3
Bài 19 : Tính giá trị của biểu thức:
12
1 3 ) 5 , 2 ( ) 28 , 1 ( 8
1 ) 37 , 0
(
4
3
=
A
11 12
4
9 5
6
6 3
.
8
120 6
9
.
4
−
+
=
B
Bài 20:
a) Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho: 3a + 1 = (b+ 1 ) 2
b) Cho các số nguyên dơng a, b, x, y thoả mãn các đẳng thức: a + b = x + y;
ab + a = xy Chứng tỏ rằng x = y
Bài 21:
2005
1
4
1 3
1 2
1
2 2
2
2 + + + + <
=
A
Bài 22:
a) Tính
100 99 98
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
=
A
b) Cho B= 4 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + + 3 2003 + 3 2004 và C= 3 2005
So sánh B và C
c) Tìm chữ số tận cùng của số A= 3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n (với n ∈ N)
Bài 23:
5
4 7 25 , 1 ).(
8 0 7 8
,
0
=
A
B =(11,819+:118,19,25).0,02
Trang 4Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số A= 10 1998 − 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Bài 24:
a) Cho f(x) =ax2 +bx+c với a, b, c là các số hữu tỉ
Chứng tỏ rằng: f( − 2 ).f( 3 ) ≤ 0 Biết rằng 13a+b+ 2c= 0
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
x
A
−
= 6
2
có giá trị lớn nhất
Bài 25
2005
1890 : 12
5 11
5 5 , 0 625 , 0
12
3 11
3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3
5 5 , 2
75 , 0 1 5 , 1
+
−
− +
−
+ +
− +
− +
− +
=
A
3
1 3
1
3
1 3
1 3
1 3
1
+ + + + + +
=
B
Chứng minh rằng
2
1
<
Bài 26:
a) Chứng minh rằng nếu b a = d c thì 55a a 33b b =55c c−+33d d
−
+
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b) Tìm x biết:
2001
4 2002
3 2003
2 2004
1+ − − − = −
x
Bài 27:
a) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c với a, b, c là các số thực
Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 28 :Tìm số tự nhiên n để phân số 72n n−−38 có giá trị lớn nhất
Bài 29:
a) Tính:
− + + 2,75 2,2
13
11 7
11 : 13
3 7
3 6 , 0 75
,
0
B = + + 9
225 49
5 : 3
25 , 0 22 7
21 ,
1
10
b) Tìm các giá trị của x để: x+ 3 +x+ 1 = 3x
Bài 30:
a) Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:
a c
c c b
b b a
a M
+
+ +
+ +
Trang 5b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤ 0.
Bài 31:
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A= 5n( 5n+ 1 ) − 6n( 3n+ 2 ) 91
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P2 + 14 là số nguyên tố
Bài 32:
a) Tìm số nguyên n sao cho n2 + 3 n− 1
b) Biết
c
bx ay b
az cx a
cy
Chứng minh rằng: a x =b y =c z
Bài 33:
Tính:
+
7
2 14 3
1 12 : 3
10 10
3 1
4
3 46 25
1 230 6
5 10 27
5 2 4
1
13
Bài 34:
a) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 77
b) Tìm các số nguyên x để B=x− 1 +x− 2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Chứng minh rằng: P(x)=ax3 +bx2 +cx+d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
Bài 35:
a) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a
= Chứng minh rằng:
22 22
d c
b a cd
ab
−
−
= và 2 22 22
d c
b a d c
b a
+
+
=
+ +
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n − 1 chia hết cho 7
Bài 36:Chứng minh rằng: 3a+ 2b 17 ⇔ 10a+b 17 (a, b ∈ Z )
Bài 37:
a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a
b) Tính
2004
1
3
2002 2
2003 1
1
4
1 3
1 2 1
+ + +
+
+ + + +
=
P
Bài 38: Cho y x z t z t y x t x z y = x+y t +z
+ +
= + +
= + + chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên
Trang 6P x z t y t y x z x z y t y t x z
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 39:
Tính :
68
1 52
1 8
1 39
1 6 1
+
−
+
−
=
512
2
512 2
512 2
512
=
B
Bài 40:
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
y x
z z
x
y y
z
x
+ +
=
− +
= + +
= +
Bài 41
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:
S = 3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n− 2n chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 (x− 2004 ) 2 = 23 −y2
Bài 42:Tính:
24
7 : 34 34
1 2 17
14
2
4
1 5 19
16 3 4
1
5
.
9
3
8
+
=
A
378
1 270
1 180
1 108
1 54
1
8
1
3
1
−
−
−
−
−
−
=
B
Bài 43: 1)Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1
b) 3m− 1 < 3
2) Chứng minh rằng: 3n+ 2 − 2n+ 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
Bài 44: a) Tìm x, y, z biết:
3
2
y
x
= ;
5 4
z y
= và x2 −y2 = − 16
b) Cho f(x) =ax2 +bx+c Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Bài 45:Cho 2n+ 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − 1 là hợp số
Bài 46: Tính nhanh:
100 99
4 3 2 1
) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9
1 7
1 3
1 2
1 ) 100 99
3
2
1
(
− + +
− +
−
−
− − − +
+ + +
+
=
A
Trang 75 5
2 25
2 3
10
1
) 15
4 ( 35
2 3 7
2
14
1
− +
−
+
−
=
B
Bài 47:
a) Tính giá trị của biểu thức A= 3x2 − 2x+ 1 với
2
1
=
x
b) Tìm x nguyên để x+ 1 chia hết cho x− 3
Bài 48: Tìm x, y, z biết
216
3 64
3 8
=
= và 2x2 + 2y2 −z2 = 1
Bài 49:
a) Tính giá trị của biểu thức:
50
31 93
14 1 3
1 5 12 6
1 6
5
4
19
2 3
1 6 15 7
3
4
.
31
11
1
−
− +
−
−
=
A
b) Chứng tỏ rằng:
2004
1 2004
1
3
1 3
1 2
1
1 − 2 − 2 − 2 − − 2 >
=
B
Bài 50:Cho phân số: =34 +−52
x
x
C (x ∈ Z) a) Tìm x ∈ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
b) Tìm x ∈ Z để C là số tự nhiên
Bài 51: Cho b a = d c Chứng minh rằng: 2
2 ) (
) (
d c
b a cd
ab
+
+
=
Bài 52:Tìm số nguyên tố p sao cho:
3p2 + 1 ; 24p2 + 1 là các số nguyên tố
Bài 53:
a) Tính giá trị của biểu thức
− +
− +
−
− +
−
+ +
−
=
75 , 0 1 5 , 1
25 , 1 3
5 5 , 2 12
5 11
5 5 , 0 625 , 0
12
3 11
3 3 , 0 375 , 0 : 2005
P
b) Chứng minh rằng:
10 9
19
4 3
7 3 2
5 2
1
3
2 2 2
2 2 2 2
Bài 54:
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dơng n thì:
3n+ 3 + 3n+ 1 + 2n+ 3 + 2n+ 2 chia hết cho 6
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 8x x
D = 2004 − + 2003 −
Bài 55: Cho n số x1, x2, …, xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1 Chứng minh rằng nếu x1 x2 + x2 x3 +
…+ xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4
Bài 56
a) Tính giá trị của biểu thức:
25
13 : ) 75 , 2 ( 53 , 3 88 , 0 :
25
11
4
3 125 505
, 4 3
4 4 : 624
,
81
2
2 2
2
−
+
+
=
A
b) Chứng minh rằng tổng:
2 , 0 2
1 2
1
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1
2004 2002
4 2 4 6
4
S
Bài 57:
a) Tìm các số nguyên x thoả mãn
1000 990
101 10
4
2005 =x− +x− +x+ +x+ +x+
b) Cho p > 3 Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì
Bài 58: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
d c b
2 + + + = + + + = + + + = + + +
Tính M c a d b d b c a c a d b d b c a
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 59: Cho z, y, z là các số dơng.
+ +
+ + +
+ +
z x
z y
y z
y x x
Bài 60:
a) Tìm x biết: x2 + 6x− 2 =x2 + 4
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =
2005 2 2004
2 ) ( 3 4 )
4
3
( − x+x + x+x
Bài 61:Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên Tìm x
?
Bài 62: Cho y x z t z t y x t x z y = x+y t +z
+ +
= + +
= +
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P x z t y t y x z x z y t y t x z
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
=
Bài 63:
a) Tính A= 3 − 3 2 + 3 3 − 3 4 + + 3 2003 − 3 2004
Trang 9b) Tìm x biết x− 1 +x+ 3 = 4
Bài 64: Chứng minh rằng:
Nếu a x b c a y b c = a−z b+c
− +
= +
Thì x a y z x b y z = x−c y+z
− +
= +
Bài 65: Cho x = 2005 Tính giá trị của biểu thức:
x2005 − 2006x2004 + 2006x2003 − 2006x2002 + − 2006x2 + 2006x− 1
Bài 66:
a) Tìm x nguyên biết: 2x− 7 + 2x+ 10 = 17
b) Tìm x nguyên để biểu thức
5 6
11 4 +
+
x
x
có giá trị nguyên
Bài 67:
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b2= ac ; c2 = bd
Chứng minh rằng:
d
a d c b
c b a
= + +
+ +
3 3 3
3 3 3
b) Cho a, b, c khác 0 thoả mãn: a ab b b bc c = c ca+a
+
= +
Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
c b a
ca bc ab M
+ +
+ +
=
Bài 68:
Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c khác 1 Thoả mãn: a x =bc ; b y =ca ; c z =ab
Chứng minh rằng: x + y + z + 2 = xyz
Bài 69:
a) Tìm x, y, z biết:
z y x z
y x y
z x x
z
y
+ +
=
− +
= + +
= +
b) Tìm a1, a2 ,…,a9 Biết:
1
9 2
8
8
2 9
1 − = a − = = a − = a −
a
Bài 70:
Tính : 97.3100
10 7
3 7 4
=
60
1 24
1 6
=
B
Bài 71: Tìm số nguyên tố P sao cho:
P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tố
Trang 10Bài 72: Cho a, b là hai số nguyên dơng biết rằng trong 4 mệnh đề sau:
A a + 1 chia hết cho b
B a = 2b + 5
C a + b chia hết cho 3
D a + 7b là số nguyên tố
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai Tìm các cặp số a, b ?
Bài 73: Thực hiện phép tính:
3
1 1 35
3 7
1 14
1
19
5 20
7 15
4 10 3
−
−
− +
−
− + +
b) 101 +401 +881 +1541 +2381 +3401
Bài 74:
a) Tìm số nguyên m thoả mãn m - 5 chia hết cho 2m + 1
b) Tìm x biết rằng: 3 − 1 3x + 5 3x− 1 = 162 (x∈ N)
c) Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6
Bài 75:
a) Chứng minh rằng: 19 19 + 69 69 chia hết cho 44
b) Cho tỉ lệ thức:
d
c b
a = Chứng minh rằng ta có:
d c
d c
b a
b a
2003 2002
2003 2002
2003 2002
2003 2002
−
+
=
− +
Bài 76:
1) Tính nhanh:
a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004
−1 3 2
b)
90
1 72
1 56
1 42
1 30
1 20
1
10
1
−
−
−
−
−
−
2) Thực hiện phép tính:
24
5 : 3
1 1 35
3 7
1 14
1
19
5 20
7 15
4 3 , 0
−
−
− +
−
− + +
Bài 77
1) Chứng minh rằng:
a) 8 2004 + 8 2005 chia hết cho 9
b) 8 7 − 2 18 chia hết cho 14
2) Tìm chữ số tận cùng của số A= 3n+ 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n (với n ∈ N)
Trang 11Bài 78:
a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và 2x2 −y2 = − 28
b) Cho biết
d
c b
a
= Chứng minh:
d c
d c
b a
b a
2005 2004
2005 2004
2005 2004
2005 2004
+
−
= +
−
Bài 79:
Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lí:
a) 3 1 , 8 : 43+57
−
+
3
2 2
3 13
5 7
8
.
3
2
2
3
− +
−
+
Bài 80: Tìm x, y ∈ Z thoả mãn:
a) x− 2001 + 2002 −y = 1
b) 3x+ 1 5y = 45x
Bài 81:
Cho a, b, c là ba số khác 0 và a2 = bc Chứng minh rằng:
b
c a b
c a
= +
+
2 2
2 2
Bài 82: Cho x, y ∈ Z Chứng minh:
Nếu 3x + 2y 17 thì 10x + y 17 và ngợc lại
Bài 83:
a) Chứng minh rằng: 10 6 − 5 7 chia hết cho 59
b) Cho x, y là các số nguyên Chứng minh rằng 5x + 2y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x + 7y chia hết cho 17
Bài 84:Chứng minh rằng nếu: 22 = −+33
−
+
v
v u
u
thì
2 3
v
u =
Bài 85:Tìm các số nguyên nguyên dơng x, y, z biết rằng:
xyz z
y
x3 − 3 − 3 = 3 và x2 = 2 (y+z)
Bài 86: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thoả mãn đẳng thức:
[ab(ab− 2cd) +c2d2].[ab(ab− 2 ) + 2 (ab+ 1 )]= 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức
Bài 87:
−
−
−
2005
1 1 2004
1
1 4
1 1 3
1 1 2 1
A
Trang 12
49 , 0 875 , 0 6
1 1
25
1 25 , 0 3 1
11
49 81
7 4 ,
1
121
2 9
2 16 , 0
+
−
+
−
− +
−
+
−
=
B
Bài 88:
1) Tính:
3 4
3 3
2 3
1
−
−
=
A
9
4 3 44 , 1 5 ) 5 (
=
B
2) So sánh: M = 31 − 13 và N = 6 − 11
3) Xét biểu thức: A= 2006 + 2007 −x
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa
b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 89:
1) Tìm phân số có mẫu bằng 20 Biết nó lớn hơn
−
11
5
nhng nhỏ hơn
−
11
4
2) Tìm số nguyên n sao cho: (n2 + 2n - 7) chia hết cho (n + 2)
3) Cho p và 2p + 1 là số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số
Bài 90:
1) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a
= Chứng minh rằng: 22 22 44 44
.
.
d c
b a d c
b a
+
+
=
2) Chứng minh rằng: (8 10 − 8 9 − 8 8) : 55 là số tự nhiên
3) Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ các đồ thị hàm số y=x và y = 2 Tính diện tích hình tam giác giới hạn bởi hai đồ thị đó ? Dùng đồ thị để tìm giá trị của x sao cho x < 2
Bài 91:
n = 1 − 2 + 3 − 4 + + ( − 1 ) − 1 với n =1, 2, 3,
Tính S35 + S60 = ?
b) Tìm x biết:
2003
4 2002
5 2001
6 2000
7 + + = + + +
x
Bài 92:
a) Tìm x biết: 3x+ 3 − 3x = 234 b) Tìm x, y, z biết:
21 6 10
z y x
=
= và 5x+ y− 2z = 28