các bài toán về hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10

+ điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0 + điểm nằm trên truc tung thì có hoành độ bằng 0 + điểm nằm bên phải trục tung có hoành độ dương.. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đ

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊA.Lý thuyết

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

- Đồng biến trên R khi a > 0

- Nghịch biến trên R khi a < 0

c Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠0) là một đường thẳng

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠0, trùng với đt y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠0)

Bước 1 Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bước 2 Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b

d Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠0)

• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong

đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng

Hàm số y = ax2 (a ≠0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠0)

Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

III.Kiến thức bổ sung

1 Mặt phẳng tọa độ.

+) điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0

+) điểm nằm trên truc tung thì có hoành độ bằng 0

+) điểm nằm bên phải trục tung có hoành độ dương

+) điểm nằm bên trái trục tung có hoành độ âm

+) điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất thì hoành độ và tung độ đều dương

+) điểm nằm ở góc phần tư thứ hai thì hoành độ âm và tung độ dương

+) điểm nằm ở góc phần tư thứ ba thì hoành độ và tung độ đều âm

+) điểm nằm ở góc phần tư thứ tư thì hoành độ dương và tung độ âm

2 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức

I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi yA = f(xA)

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y

= -2(x + 1) Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

II.Quan hệ giữa hai đường thẳng.

Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1 (1)

(d2) : y= a2x + b2 (2)1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

b) Cho biết (d1) cắt (d2) tại A, (d1) cắt (d3) tại B, (d3) cắt (d2) tại C Tìm tọa độ các điểm A,B,C

c) Tính diện tích của ABC

Giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm tọa độ giao điểm nhờ giải hpt

c) SABC = SABE + SCBE hoặc SABC = SABD + SCBD

III.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại, kết hợp điều kiện hệ số góc khác nhau để tìm ra tham số

Ví dụ 4: ( Ví dụ 3 trang 37 trong tài liệu)

Cho 3 đường thẳng:

(d1): y = x + 2 (d2): y = 2x + 1 (d3): y = (m2 + 1) x + m

a) Tìm giá trị của m để (d3)//(d2)

b) Tìm các giá trị của m để 3 đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm

IV Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng.

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm không có tham số

Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào phương trình đường vừa lập để tìm tham số

Ví dụ 5:

a) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1)

b) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5)

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx 2 (c 0).

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

cx2= ax + b (V)Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).

2.Tìm điều kiện để (d) và (P).

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol ( P )

a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một mặt

phẳng tọa độ

b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P) Tính diện

tích tam giác AOB

c*) Tìm điểm M trên (P) để MA = MB

d*) Tìm điểm N trên cung AB của (P) sao cho tam

giác ANB có diện tích lớn nhất

Ví dụ 8: Tìm m để (P): y = x2 cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành

độ xA; xB thoả mãn xA(1+ xA) + xB(xB+1) =2

VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.

1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x 0;y0)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a

Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1;y1) và B(x2;y2).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình tìm a,b

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0).

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :

y0 = ax0 + b (3.1)+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên:

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A( 1

VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).

1 Cách tìm điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m

Gọi (xo; yo) là điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m ta có

yo= axo + b với mọi mĐưa phương trình về dạng A.m = B với mọi m

Ví dụ 10 (VD 2- Trang 36 trong tài liệu)

Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + 2

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) bằng 1

c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất

3 Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;2)

4 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 5

5 (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3

6 (d) cắt (d’): y = 2x +3 tại một điểm trên trục tung

7 (d) cắt (d’’):x + 2y = 5 tại một điểm trên trục hoành

8 (d) cắt (d1): y = 5x + 3 tại một điểm có hoành độ 3

9 (d) cắt (d2): x – 3 y = 6 tại một điểm có tung độ -2

b)Cho m = 2, tìm hệ số góc và tung độ gốc của (d).

c)Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số và tìm góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox

d)Khi m= 3 tìm giao điểm của (d) với đường thẳng y=3x + 3

e)Tìm đỉêm cố định của đồ thị hàm số với mọi m

g) Khi m= - 3 tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ

h)Khi m = -1, điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(1;2), B(-5;0)

Bài tập 2

a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy : y=x + 1; y = 2x – 1; y = 4x – 5.b)Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy : y = x – 1 ; 3y = x + 3; y = 2mx - 1.Bài tập 3

c) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1)

d) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5)

Bài tập 4

Cho hai đường thẳng y = 2x + m - 1 , y = x + 2m Tìm tập hợp các giao điểm của hai đường thẳng trên

Bài tập 5 Cho A(2;1), B(1;2), C(2;4), D(2m + 1 ; m – 3)

a) Xác định giao điểm của AB với hai trục toạ độ

b) Tìm m để A, C, D thẳng hàng

c) Xác định trực tâm H của tam giác ABC

d) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành

Bài tập 6

Cho hàm số y= ( m-1)x + 3

a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?

b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45o?

Bài tập 7

Tìm m ,n để hai đường thẳng (2m + 2)x -3ny = 4 và x + (m +n)y = 5 cắt nhau tại điểm M(-1;2)

12 Viết phương trình đường thẳng đi qua (1;2) và tiếp xúc với parabol trên.

13 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y + x= 3 và tiếp xúc với parabol trên

14 Tìm m để (P) không có điểm chung với đường thẳng y = 2x + m – 3

15 Tìm m để (P) tiếp xúc với đường thẳng y = mx – 1 Xác định toạ độ tiếp điểm

16 Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng y – x = 2

17 Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành độ xA;

19 Tìm các điểm của (P) cách đều hai trục toạ độ

20 Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = mx + 2m – 3 tại hai điểm ở hai phía của trục tung

21 Tìm m để (P) cắt đường thẳng y =2 mx + 2m + 3 tại hai điểm A, B có hoành độ xA;

Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O)

Bài số 3: Cho Parabol (P): 2

2

x

y= và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:

a Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó

b Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

2)Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)

-Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A (x y0; 0) ⇔ y0 =ax0+b

- Đường thẳng y = ax + b và đường thẳng y =a’x +b’ song song khi  ≠b b a a= ''-Giải phương trình bậc nhất 1 ẩn

-Giải và biện luận phương trình 1 ẩn px=q

- Định lý Bơdu

-Hệ phương trình tương đương

…………

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:

DẠNG I : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:

Bài 1: Giải các hệ phương trình

324

y x

y x

=+1064

532

y x

y x

=+

−

1425

0243

y x

y x

352

y x

y x

−

=+

−

15)

31

(

1)31(5

y x

y x

=+53

3,01,02,0

y x

y x

=

01032

y x y x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

=

−+

xy y

x

xy y

x

4)5)(

54

(

6)32)(

23

=

−++

5)(2)(

4)(3)(2

y x y x

y x y x

=

−+

+

−

=+

−

12)1(3)33)(

1(

54)3(4)42)(

32

(

x y y

x

y x y

=+

1158

12

111

y x

y x

−+

=+

++

12

32

4

32

12

2

x y y x

x y y x

−+

=+

−+

94

512

44

213

y x

x

y x

2 Một số bài toán quy về giải hệ phương trình

Bài 1: Cho hệ phương trình

52

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 1998)

Tìm m;n để hệ phương trình (I) tương đương với hệ phương trình (II)

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2000)

Bài 8:

Cho các hàm số y = 2x – 2 và y=(m+1)x - m2- m

Tìm m để các đồ thị hàm số trên là các đường thẳng song song

( Bộ đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2014)

DẠNG II: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT ,VÔ NGHIỆM ,CÓ VÔ SỐ NGHI ỆM

Biến đổi hệ đã cho







=+

=+

/ / /x b y c a

c by ax

( )(1)(2)

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔phương trình (1) có nghiệm duy nhất⇔ p≠0

Hệ vô nghiệm ⇔phương trình (1) vô nghiệm ⇔  ≠q p=00

Hệ có vô số nghiệm ⇔phương trình (1) có vô số nghiệm ⇔ 0

0

p q

=+8

94

my x

y mx

Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

=+

/ / /x b y c a

c by ax

(1)(2)

- Nếu q = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu q≠0 thì hệ vô nghiệm

m my x

m y mx

Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔(m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

i) Nếu m2 – 4 ≠ 0 hay m≠ ±2 thì x =

2

324

)2)(

32(

m

m m

m m

Khi đó y = -

2+

+

m

m

2+

;-m

m

)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (

2

32+

+

m

m

2+

;-m

m

)

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

m my

x

m y

−

=+4

104

my x

m y

13)

1(

m y x

m my x m

DẠNG III: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Các bước làm:

-Tìm tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (nếu cần), rồi từ đó tìm

x,y theo tham số

-Thay x,y vào điều kiện cho trước rồi tìm tham số

-Kết luận

Bài 1: Cho hệ phương trình 2 5

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x;y)sao cho x y là số nguyên

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 1997)

−

=+4

104

my x

m y

mx

(m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>

13)

1(

m y x

m my x m

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) với thoả mãn x=3y

c) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) với thoả mãn xy > 0

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2002)

Bài 4:

9

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

−

=

−

162

93

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

c) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b)Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

(Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì M(x;y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau)

Tính các giá trị x;y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S=x + y đạt giá trị lớn nhất.

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2003)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết

I Các kiến thức liên quan:

1) Tính chất chia hết của số nguyên.

2) Tính chất của số chính phương.

3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x1; x2 thì :

- Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

- Đổi vai trò của ẩn

- Đưa về phương trình ước số

- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

- Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

+) Với x = 0 thay vào (2) ta được y2 + 3y + 2 = 0 ta có y1 = - 1; y2 = -2

+) Với x = 1 thay vào (2) ta được y2 + 2y + 1 = 0 ta có y = - 1

Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là : (0; -1); (0; -2); (1; -1)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 - 10x + 24 = 0 ta có x3 = 6; x4 = 4 Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3).

Ví dụ 3:Cho phương trình: 3x2−(2p−1)x p+ 2−6p+ =11 0 ( p là tham số)

Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.

Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 - 2x - 11 = y2⇔ (x2 - 2x -1) - y2 = 12 ⇔ (x - 1- y)(x - 1+y) = 12

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

NX: Nếu vế phải của (1) là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số

Ví dụ: Tìm các số nguyên dương x y, thoả mãn 2x2- xy + 7x + 2y - y2- 7=0 (1)

Nhận xét: Nếu coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta được:

2x2 – x(y + 7) – y2 + 2y – 7 = 0

Có: ∆ = (y +7)2 – 4.2(– y2 + 2y – 7 ) = 9y2 +2y + 105 … Không thuận lợi.

Do đó ta coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn y ta được:

Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a∈ Ν *

Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho.

PT này có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3 nguyên

Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên.

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương.

Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho:

2(x +y) + xy = x2 + y2

Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008