CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( 6 tiết , từ 29 / 03 đến 03/ 04 / 2010 ) MỤC TIÊU Kiến thức cơ bản cần nhớ 1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ một vec tơ , khoảng cách giữa hai điểm , biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích có hướng của hai vec tơ. Phương trình mặt cầu 2. Phương trình mặt phẳng: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 3. Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau , song song nhau hoặc vuông góc nhau Các dạng toán cần luyện tập 1. Tính toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số ; tính được tích vô hướng của hai vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng, tính thể tích của khối tứ diện. 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước. Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một điểm cho trước, biết đường kính). 3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song. 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng (biết đi qua hai điểm cho trước, đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng. CHUẨN BỊ Học sinh : Ôn tập lý thuyết ở nhà và giải trước các bài tập giáo viên đưa trước ở nhà Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập để học sinh luyện tập ở nhà TIẾN TRÌNH ÔN TẬP Hoạt động 1 : Ôn tập hệ thống lý thuyết Hoạt động 2 : Luyện tập các dạng toán cần biết Bài 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5) . Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Các mặt của hình hộp là hình gì ? Các mặt hình hộp là hình bình hành ABCD là hình hành DC AB⇒ = uuur uuur (*) Gọi ( ; ; )C x y z là điểm cần Nêu hệ thức vec tơ khi ABCD là hình bình hành ? Với cách làm tương tự tìm các đỉnh còn lại. ABCD là hình hành DC AB⇒ = uuur uuur tìm. Ta có : ( 1; 1; 1)DC x y z= − + − uuur (1;1;1)AB = uuur 1 1 2 (*) 1 1 0 1 1 2 x x y y z z − = = ⇔ + = ⇔ = − = = Vậy : C(2 ; 0; 2 ) Tương tự : A’(3;5;-6) , B’(4;6;-5) , D’(3;4;-6) Bài 2 : Trong không gian cho ba điểm A( -1 ; 2; 3) , B( 2; -4;3) và C( 4; 5; 6) a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc mặt phẳng ( ) α : 2 3 1 0x y z− + − = c. Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB d. Tính khoảng cách từ C đến (P) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu cách tìm vec tơ pháp tuyến của một mặt phẳng : + Đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C + Đi qua A,B và vuông góc với (P) Mặt trung trực của đoạn AB có những tính chất nào ? Mặt phẳng (ABC) có vec tơ pháp tuyến là : ,n AB AC = r uuur uuur Mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với α có vec tơ pháp tuyến là ,n AB n α = r uuur uur Mặt trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Do đó nó nhận vec tơ AB uuur làm vec tơ pháp tuyến a. Ta có : (3; 6;0) (5;3;3) , ( 18; 9;39) AB AC n AB AC = − = = = − − uuur uuur r uuur uuur Phương trình mặt phẳng là : 18( 1) 9( 2) 39( 3) 0 6 3 13 39 0 x y z x y z − + − − + − = ⇔ + − + = b. Mặt phẳng ( ) α có vec tơ pháp tuyến là : (2; 1;3)n α = − uur Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến là : , ( 18; 9;9)n AB n α = = − − r uuur uur Phương trình mặt phẳng (P) là : 18( 1) 9( 2) 9( 3) 0 2 3 0 x y z x y z − + − − + − = ⇔ + − + = c. Mặt trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB Ta có : 1 ( ; 1;3) 2 I − và vec tơ pháp tuyến là (3; 6;0)AB = − uuur Phương trình cần tìm là : 1 3( ) 6( 1) 0 2 2 4 15 0 x y x y − − + = ⇔ − − = d. Khoảng cách từ C đến (P) là : 10 ( ;( )) 6 d C P = Bài 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau : a. Đường thẳng đi qua hai điểm A(4 ; 1 ; -2 ) và B( 2 ; -1 ; 9 ) b. Đường thẳng d đi qua A(3 ; 2 ; -1 ) và song song với đường thẳng 1 1 2 3 4 x y z− + = = − c. Đường thẳng d đi qua M( - 2 ; 3 ; 4 ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 10 0P x y z+ − + = d. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 3 1 0 ; 2 3 2 0x y z x y z− + + = + − + = Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định các yếu tố nào ? Hãy nêu cách xác định vec tơ chỉ phương của đường thẳng trong các trường hợp đã nêu Cần xác định 2 yếu tố : + Tọa độ của vec tơ chỉ phương của đường thẳng + Tọa độ của một điểm mà đường thẳng đi qua a. Vec tơ chỉ phương là AB uuur b. Hai đường thẳng song song thì có cùng vec tơ chỉ phương c. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng là vec tơ được xác định bởi tích có hướng của hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên giao tuyến a. Đường thẳng có vec tơ chỉ phương là ( 2; 2;11)AB = − − uuur Phương trình tham số của đường thẳng AB là : 4 2 1 2 2 11 x t y t z t = − = − = − + b. d có vec tơ chỉ phương là (2; 3;4)a = − r , phương trình cần tìm là : 3 2 2 3 1 4 x t y t z t = + = − = − + Bài 4 : Cho ba điểm A( 2 ;0 ;0) , B( 0 ;1 ;0) và C( 0 ;0 ;3). a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b. Tìm hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Em có nhận xét gì về vị trí của ba điểm A, B, C với các trục tọa độ ? Nhắc lại cách tìm hình chiếu của một điểm lên trên mặt phẳng ? A thuộc Ox , B thuộc Oy , C thuộc Oz. Do đó mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng theo đoạn chắn - Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (ABC) - Hình chiếu vuông góc của O lên (ABC) là giao điểm của d và (ABC) a. Phương trình mặt phẳng (ABC) là : 1 2 1 3 3 6 2 6 0 x y z x y z + + = ⇔ + + − = b. Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Khi đó d có vec tơ chỉ phương là : (3;6;2)a = r Phương trình tham số của d là : 3 6 2 x t y t z t = = = Tọa độ hình chiếu H của O là nghiệm của hệ phương trình 3 6 2 3 6 2 6 0 x t y t z t x y z = = = + + − = 6 49 6 49 t t⇒ = ⇔ = Vậy tọa độ cần tìm là : 18 36 12 ( ; ; ) 49 49 49 H Bài 5 : Cho mặt phẳng (P) : 2 2 10 0x y z− + − = và điểm A( 2; 5; -2) a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với mặt phẳng (P) b. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) c. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua đường thẳng 1 2 1 : 3 2 1 x y z d − − + = = và vuông góc với (P) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Khi hai mặt phẳng song song thì hai vec tơ pháp tuyến của nó như thế nào với nhau ? Hãy nêu cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) Hãy nêu cách tính vec tơ pháp tuyến của mp(R) Hai mặt phẳng song song thic có cùng vec tơ pháp tuyến Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách từ A đến (P) Mặt phẳng ( R) có vec tơ pháp tuyến là tích coa hướng của vec tơ chỉ phương của d và vec tơ pháp tuyến của (P) a. Do (Q) song song với (P) nên phương trình của (Q) có dạng : ( ) 2 2 0 10x y z D D− + + = ≠ − (Q) qua A nên : 4 10 2 0 8 D D − − + = ⇔ = Phương trình của (Q) là : 2 2 8 0x y z− + + = b. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là : 4 10 2 10 18 ( ;( )) 6 3 3 d A P − − − = = = c. d đi qua M(1; 2; -1 ) và có vec tơ chỉ phương (3;2;1)a = r , mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến là (2; 2;1)n = − r Vec tơ pháp tuyến của mp(R) là ' , (4; 1; 10)n a n = = − − ur r r Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 4( 1) ( 2) 10( 1) 0 4 10 12 0 x y z x y z − − − − + = ⇔ − − − = Bài 6 : Cho A( 2; 3; 1 ), B(4;1; -2), C(6;3;7) , D(-5;-4;8). a. Chứng minh ABCD là tứ diện . Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD b. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và cách C một khoảng bằng 17 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu cách chứng minh ABCD là tứ diện ABCD là tứ diện A ⇔ không thuộc mặt phẳng (BCD) a. Ta có : ( ) ( ) 2;2;9 9; 5;10 BC BD = = − − uuur uuur Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp tuyến là : , (65; 101;8)n BC BD = = − r uuur uuur Phương trình mặt phẳng (BCD) là : 65 101 8 143 0x y z− + − = Thế tọa độ điểm A vào phương trình của (BCD) ta được : -143 = 0 ( sai ) Vậy A không thuộc (BCD) hay ABCD là tứ diện Ta có : 308 ( ;( )) 14490 AH d A BCD= = b. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên có vec tơ pháp tuyến là (2; 2; 3)AB = − − uuur Phương trình của (P) có dạng 2 2 3 0x y z D− − + = ( ;( )) 17 12 6 21 17 17 d C P D = − − + ⇔ = 32 15 17 2 D D D = − + = ⇔ = − Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là : 2 2 3 32 0;2 2 3 2 0x y x y z− − + = − − − = Bài 7 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và măt phẳng (P) : 2 2 1 0x y z− + + = a. Viết phương tình mặt cầu tâm B và đi qua A b. Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c. Viết phương trình mặt cầu tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nhắc lại định nghĩa mặt cầu Các dạng phương trình mặt cầu Nêu cách tìm bán kính mặt cầu trong các điều kiện đã nêu Nêu điều kiện để mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau ? Học sinh nêu định nghĩa , 2 dạng phương trình mặt cầu + Mặt cầu tâm B và qua A nên có bán kính R = BA + Mặt cầu đường kính BC có tâm là trung điểm của BC và bán kính 2 AB R = Mặt cẩu tiếp xúc với mặt phẳng khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu a. Mặt cầu có bán kính R = AB = 6 . Phương trình mặt cầu là : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 6x y z− + − + − = b. Mặt cầu có tâm 3 (1; ; 2) 2 I − là trung điểm của đoạn BC Bán kính 69 2 2 BC R = = Phương trình mạt cầu là : ( ) ( ) 2 2 2 3 69 1 2 2 4 x y z − + − + + = ÷ c. Mặt cầu có bán kính là : 0 2.2 2.( 6) 1 ( ,( )) 5 1 4 4 R d C P − + − + = = = + + Phương trình mặt cầu cần tìm là : ( ) ( ) 2 2 2 2 6 25x y z+ − + + = Bài 8: Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 2 6 8 1 0x y z x y z+ + − + − + = , hai điểm A(0; 3; 2), B(1; -1;-1) a. Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S) b. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M(1; 1; 1) c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với AB và tiếp xúc với (S) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Khi (P) tiếp xúc với (S) thì IM và (P) có quan hệ như thế nào với nhau ? Hãy cho biết vec tơ pháp tuyến của mặt I M vuông góc (P) tại M, nên IM uuur là vec tơ pháp tuyến của (P) và M là điểm mà (P) đi qua Do (Q) vuông góc với AB nên (Q) nhận vec tơ AB uuur làm vec tơ pháp a. Ta có 1 3 4 1 A B C D = − = = − = Tâm I(1; -3; 4) 2 2 2 1 9 16 1 5R A B C D= + + − = + + − = b. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M nên IM ⊥ (P). Mặt phẳng (P) đi qua M và có vec tơ pháp tuyến là (0;4; 3)IM = − uuur , phương trình cần tìm là : 4 3 1 0y z− − = c. Mặt phẳng (Q) vuông góc với AB nên có vec tơ pháp tuyến là phẳng (Q) là vec tơ nào ? tuyến (1; 4; 3)AB = − − uuur . Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 4 3 0x y z D− − + = (Q) tiếp xúc với (S) ( ;( )) 5d I Q⇔ = 1 12 12 5 26 1 5 26 1 5 26 1 5 26 D D D D + − + ⇔ = ⇔ + = = − + ⇔ = − − Vậy có hai phương trình cần tìm là : 4 3 1 5 26 0 4 3 1 5 26 0 x y z x y z − − − + = − − − − = Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng d có phương trình 2 1 1 2 1 x y z− − = = a. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên d b. Viết phương trình mặt cầu tâm (S) tiếp xúc với d Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu lại các cách tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với d, khi đó bán kính của mặt cầu được tính như thế nào Cách 1 : + Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d + Hình chiếu của A lên d là giao điểm của (P) và d Cách 2 : + Lấy điểm H thuộc d ( tọa độ chứa tham số ) + Tính AH uuur + H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi AH a⊥ uuur r ( a r là vec tơ chỉ phương của d ) R = AH a. + (P) : 2 6 0x y z+ − − = + Tọa độ hình chiếu là : 7 5 1 ; ; 3 3 3 H ÷ b. Bán kính mặt cầu (S) là R = AH = 165 3 Phương trình mặt cầu là : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 55 1 2 3 3 x y z+ + − + − = Bài 10: Xét vị trí tương đối của d : 1 3 1 1 3 x y z+ − = = − với : a. 1 1 2 : 2 3 6 x t y t z t = + ∆ = − = + b. 2 8 2 1 4 x t y t z t = + = − = + c. 1 2 4 1 3 x t y t t = − − = + − + Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu các bước xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Học sinh trình bày các bước thực hiên ( có thể trình bày 2 cách ) a. d qua M(-1; 3; 0) và có vtcp ( ) 1; 1;3a = − r 1 ∆ qua N(1 ; 0 ; 3) và có vtcp ( ) 2; 2;6b = − r Ta có : , 0a b = r r r ( ) 2; 3;3MN = − uuuur ( ) , 0;3; 1a MN = − r uuuur Vậy : 1 / /d ∆ b. Tương tự : d và 2 ∆ cắt nhau c. Tương tự : d và 3 ∆ chéo nhau Các bài tập rèn luyện : 1. Cho A(5 ; 1 ; 1), B(1 ; 6 ;2), C(5 ; 0 ;4), D(4 ; 0 ;6) a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng b. Tính khoảng cách từ D đến (ABC) c. Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (ABC) d. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) 2. Cho A(5;1;3) , B(1;6;2) và C(5;0;4) a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bành hành b. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A và song song với BC c. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) 3. Cho A(1;2;3), B(1;6;2) và mặt phẳng (P) : 2 2 1 0x y z+ − − = a.Viếtphương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P), tìm tọa độ giao điểm của d và (P) 4. Cho ( ) :3 2 5 0x y z α − − + = và 1 7 3 : 2 1 4 x y z− − − ∆ = = a. Chứng tỏ rằng ∆ song song với ( ) α b. Tính khoảng cách giữa ∆ và ( ) α 5. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng 2 : 1 2 x t y t z t = + ∆ = + = a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên ∆ b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ c. Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆ 6. Cho điểm M(1; 4;2) và mặt phẳng ( ) α : 1 0x y z+ + − = a. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) α b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua ( ) α c. Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với ( ) α 7. Cho A(-2; 6; 3), B(1; 0; 2), C(0;2;-1), D(1; 4; 0) a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD) b. CMR tam giác BCD vuông, từ đó tính diện tích tam giác BCD c. Tính thể tích khối chóp A.BCD 8. Cho 4 điểm A(1;0;0) , B(0; 1;0), C( 0; 0; 1) và D(-2; 1; -1) a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD c. Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD 9. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 2 : 3 1 x t y t z t = + ∆ = − = − và 2 2 3 : 1 2 2 x t y t z t = + ∆ = − = − + a. Chứng tỏ hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ chéo nhau b. Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 ∆ và song song với 2 ∆ c. Tính khoảng cách giữa 1 ∆ và 2 ∆ 10. Cho đường thẳng (d) : 1 2 2 1 x t y t z = + = = − và (P): 2 2 1 0x y z+ − − = a. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P) b. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(0; 1; 0), nằm trong (P) và vuông góc với (d) 11. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0 ), C(1; 1; 1) và mặt phẳng ( ) : 2 0x y z α + + − = a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( ) α b. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trên ( ) α 12.Trong không gian Oxyz cho điêm A thỏa mãn hệ thức 4 3OA i j k= + − uuur r r r và đường thẳng d có phương trình : 3 3 2 1 2 x y z− + = = a. Hãy tìm hình chiếu vuông góc của A trên d b. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d 13. Cho hai điểm A(1; -2; 1), B(-3;1;3) a. Viết phương trình mặt trung trực của của đoạn thẳng AB b. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( )Oyz Dặn dò : Xem lại phần nguyên hàm và tích phân . − = = Vậy : C(2 ; 0; 2 ) Tương tự : A’(3;5 ;-6 ) , B’(4;6 ;-5 ) , D’(3;4 ;-6 ) Bài 2 : Trong không gian cho ba điểm A( -1 ; 2; 3) , B( 2; -4 ;3) và C( 4; 5; 6) a. Viết phương trình mặt phẳng. CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( 6 tiết , từ 29 / 03 đến 03/ 04 / 2010 ) MỤC TIÊU Kiến thức cơ bản cần nhớ 1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ một vec. BỊ Học sinh : Ôn tập lý thuyết ở nhà và giải trước các bài tập giáo viên đưa trước ở nhà Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập để học sinh luyện tập ở nhà TIẾN TRÌNH ÔN TẬP Hoạt động 1 : Ôn tập hệ