CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ CĂN THỨC Nguyễn Văn Trung Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM
SỐ CĂN THỨC
Nguyễn Văn Trung
Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng và THCN chúng ta thường thấy có một bài toán tính phân mà phần lớn
là tính tích phân của các hàm số căn thức, để giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt các bài toán tích phân của các hàm số căn thức một cách hệ thống, bản thân đã mạnh dạn viết một cách hệ thống các phương pháp tính tích phân của các hàm số căn thức, một phần nào đó nhằm giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN năm học
2008 - 2009
Dạng 1: ∫ ax2 dx+bx+c
Ví dụ : 1.Tính tích phân ∫
= 0
1 x2 x 4
dx
Đặt t = x+ x2 +x+4
⇒ =∫2 +
1 2 1
2
t
dt I
Tổng quát : Tính tích phân 2 ; >0
+ +
c bx ax
dx I
Đặt t = a x+ ax2 +bx+c
2.Tính tích phân ∫ =∫ − −
+ +
−
2
dx x
x
dx I
Đặt
−
∈
=
−
2
; 2 ,
sin 2 ) 1 (
3 x t t π π
Tổng quát : Tính tích phân
2 2 2
nu m
c bx ax
a c bx ax
dx I
−
= + +
<
+ +
= ∫
Đặt
−
∈
=
2
; 2
; sin u m t t π π
n
Trang 2Dạng 2: ∫ ax mx2 ++bx n dx+c
) (
Ví dụ : Tính tích phân = ∫1 +− +
) 3 4 (
x x
dx x
I
(x2 – x + 1)’ = 2x – 1
4x + 3 = 2(2x – 1) + 5
+
−
−
=
1
) 1 2 ( 2
x x
dx x
x
dx x
I
Tổng quát : Tính tích phân =∫ ++ +
c bx ax
dx n mx I
2
) (
TS = A(2ax + b) + B
+ +
+
=
⇒
c bx ax
dx B
c bx ax
dx b ax A
I
2 2
) 2
(
Dạng 3: ∫ (ax+b)(cx+d)3
dx
Ví dụ : Tính tích phân
∫
∫
+
+ +
=
+ +
=
3
3
1
3 2 ) 1 (
) 1 )(
3 2 (
x
x x
dx
x x
dx I
Đặt :
1
3 2
+
+
=
x
x t
Tổng quát : Tính tích phân ∫ ( ) ( ) −
+ +
dx
2
n k
d cx
b ax d
cx
+
+ +
=
Đặt : n
d cx
b ax t
+
+
=
Dạng 4: dx
d cx
b ax
∫ ++
Ví dụ : Tính tích phân = ∫1 +−
0 1
3
x x I
Trang 3Đặt : dx t dt
x
x x
1
3
+
−
⇒ +
=
Tổng quát : Tính tích phân dx
d cx
b ax
∫ ++
Đặt : t cx d
d cx
b ax
+
+
Dạng 5: dx
a x x
dx
∫ 2 +
Ví dụ : Tính các tích phân : ∫ = ∫ −
−
2 2 2
6
xdx x
x
dx I
J = 2∫3 +
5 x x2 4
dx
(ĐT TSĐH KA 2003)
Giải :
Đặt :
tdt xdx
xdx tdt
t x x
t
x t
=
⇒
=
⇒
+
=
⇒
−
=
⇒
−
=
2 2
3 3
3
2 2 2
2 2
Do đó : ∫ = ∫ +
+
1 2
3
1 ( 2 3) t 3
dt t
t
tdt
Tổng quát : x x a dx
a x x
dx
∫
+
2
Đặt : t = x2 +a
Dạng 6 : dx
c b ax
x P
∫ +( )+
Ví dụ : Tính các tích phân sau :
x
x
11 1 (ĐTĐH KA 2004)
x
x
3 4
Tổng quát : ∫ P(x) dx
Trang 4Đặt t = ax+b+c
Ta được : ax+b =t −c ≥0
dt c t a dx
b c ct t
a x
c ct t
b ax
) 2 2 ( 1
) 2
( 1
; 2
2 2
2 2
−
=
− +
−
=
+
−
= +
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 : Tính các tích phân sau :
1) =∫3 +
0 x2 16
dx I
2) =∫4 +
0 x2 9
dx J
Bài 2 : Tính các tích phân sau :
1) =∫1 − +
0 x2 x 1
dx I
2) =∫1 − − +
0 x2 2x 3
dx J
Bài 3 : Tính các tích phân sau :
1) =∫3 −− +
) 6 3 (
x x
dx x I
2) ∫
−
= 0
) 8 2 (
x x
dx x J
Bài 4 : Tính các tích phân sau :
1) ∫
= 0
2 ( 2x 1 )2(x 1 )4
dx I
2) =∫2 + +
0 ( 4x 1 )(x 1 )3
dx J
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1) =∫8 +
3 1
3
x
xdx I
2) =∫4 +
0 x 1
dx J
Trang 53) dx
x x
x
K =∫4 ++
1
1
4) =∫2 +
1 x 2x 1
dx L
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1) =∫2 +
1 x 1 x2
dx I
2) dx
x
x
J = ∫3 +
1 2
2
1
3) K x x2dx
1 0
2 1 −
=∫
4) =2∫2 −
2 x x2 2
dx L
Bài 6 : Tính các tích phân sau :
1) =∫7 + +
2 2 x 1
dx I
2) =∫1 +
0 2x 1
xdx J
3) =∫6 + + +
2 2x 1 4x 1
dx K
4) =10∫ − −
5 x 2 x 1
dx L
Trên đây là một số dạng toán về các tích phân của các hàm số căn thức thường gặp trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN môn toán, người viết đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy, một số dạng toán này người viết đã đem ra giảng dạy ở các lớp 12 trường THPT Phong Điền trong những năm gần đây, một phần nào đó đã giúp cho các em học sinh ôn tập về tích phân của các hàm số căn thức một cách có hệ thống và đạt kết quả cao trong kì thi Đại học, Cao đẳng và THCN
Trang 6LỜI CẢM ƠN
Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong
Điền đã quan tâm giúp đỡ, về mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn các ý kiến đóng góp hết sức thiết thực của quí thầy cô giáo trong tổ toán, để bài viết được hoàn thành.
Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2009 Người viết sáng kiến kinh nghiệm
NGUYỄN VĂN TRUNG