Bài giảng Phương trình lượng giác

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung 1 §1. Các phương trình lượng giác cơ bản 1 §2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 14 Chủ đề 2. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ 23 §1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản 23 §2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 31 §3. Phép đặt ẩn phụ tan 2 x t  39 §4. Phép đặt ẩn phụ t = tanx 43 Chủ đề 3. Phương trình tích 45 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) 1 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung §1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình cơ bản đối với sin Xét phương trình sin x m  . (1)  Điều kiện có nghiệm:   1;1 m  .  Công thức nghiệm: Với mọi   1;1 m  , ta có (1)  arcsin 2 arcsin 2 x m k x m k            ( k   ). y=sinx -1 1 - π 2 π 2 arcsinm O m y x Hình 1 Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn ; 2 2          của phương trình (1) ( Hình 1). Ta thấy với mỗi   1;1 m  , giá trị arcsin m luôn tồn tại duy nhất. 2. Phương trình cơ bản đối với cos Xét phương trình cos x m  . (2)  Điều kiện có nghiệm:   1;1 m  .  Công thức nghiệm: Với mọi   1;1 m  , ta có (2)  arccos 2 x m k     ( k   ). π y=cosx -1 1 π 2 arccosm O m y x Hình 2 Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn   0;  của phương trình (2) (Hình 2). Ta thấy với mỗi   1;1 m  , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất. 3. Phương trình cơ bản đối với tan 2 Xét phương trình tan x m  . (3) Với mọi m , (3) có nghiệm và (3)  arctan x m k    ( k   ). Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng ; 2 2          của phương trình (3) (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất. y=tanx arctanm - π 2 π 2 O m y x Hình 3 4. Phương trình cơ bản đối với cot Xét phương trình cot x m  . (4) Với mọi m , (4) có nghiệm và (4)  arctan x m k    ( k   ). Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng   0;  của phương trình (4) ( Hình 4). Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất. π 2 π O y=cotx arccotm m y x Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản 3      sin sin f x g x                   2 2 f x g x k f x g x k            ( k   );      os osc c f x g x               2 f x g x k     ( k   );      tan tan f x g x                 2 f x g x k f x k            ( k   );      cot cot f x g x                 f x g x k f x k          ( k   ). 6. Một số chú ý  Phương trình cot x m  với 0 m  thường được giải bằng cách quy về phương trình cơ bản đối với tan , cụ thể:  cot 0 2 x x k       .  Với 0 m  : 1 1 cot tan arctan x m x x k m m        .  Các giá trị arcsin m , arccos m , arctan m cos thể được tính bằng máy tính cầm tay. Tuy nhiên, có một số trường hợp đặc biệt dưới đây  Xét phương trình sin 0 x  . Nếu áp dụng công thức nghiệm đã cho, thì phương trình tương đương với arcsin0 2 2 arcsin 0 2 2 x k x k x k x k x k                         . Vậy sin 0 x x k     .  Một số trường hợp tương tự: sin 1 2 x x k       ; sin 1 2 x x k         ; cos 0 2 x x k       ; cos 1 2 x x k     ; cos 1 2 x x k        . B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải các phương trình a) 1 sin2 2 x   . b)   3 cos 4 1 2 x    . 4 c) tan 4 2 3 3 x           . d)   1 cot 3 1 3 x    . e) sin 2 sin3 0 x x   . f) sin 2 sin3 0 x x   . g) cos4 cos5 0 x x   . h) cos4 cos5 0 x x   . i) sin 3x cos5 0 x   . Giải. a) 2 2 6 12 7 7 2 2 6 12 x k x k PT x k x k                                 ( k   ). b)                                   5 1 5 4 1 2 6 4 24 2 5 1 5 4 1 2 6 4 24 2 k x k x PT k x k x ( k   ). c) Chú ý rằng   arctan 2 3 12    , do đó 4 3 12 16 4 k PT x k x              ( k   ). d)   1 tan 3 1 3 3 1 3 3 9 3 k PT x x k x                  ( k   ). e) 2 3 2 2 sin3 sin 2 3 2 2 2 5 x k x x k PT x x x x k x k                          ( k   ). f)   3 2 2 sin3 sin 2 sin3 sin 2 2 5 5 x x k PT x x x x x k x                   ( k   ). g) 2 5 4 2 cos5 cos4 2 5 4 2 9 9 x k x x k PT x x k x x k x                         ( k   ). h) Ta có 5     cos5 cos4 cos5 cos 4 2 5 4 2 ( ) 9 9 . 5 4 2 2 PT x x x x k x x k x x k x k k x                                       i) Ta có cos5 sin3x cos5 cos 3x 2 5 3x 2 2 4 ( ) 5 3x 6 . 2 2 1 4 PT x x x k x k k x k x k                                                        Ví dụ 2. Giải phương trình a) [ĐHB13]   2 sin5 2cos 1 x x . b) 3 cos2 3cosx 4cos x x   . c) 2 2 7 sin cos 1 4 2 x x                   Giải. a) Ta có                                                    2 sin5 1 2cos sin5 cos2 sin5 sin 2 2 2 5 2 2 6 3 2 ( ) 3 3 2 5 2 2 2 . 14 7 PT x x x x x x k x x x k k k x x k x b) Ta có       3 cos2 3cos 4cos 0 cos2 cos3 0 cos3 cos2 2 3 2 2 cos3 cos 2 ( ) 5 5 3 2 2 2 . PT x x x x x x x k x x k x x x x x k k x k                                              c) Ta có 6     2 2 7 1 1 sin cos 1 1 cos 2 1 cos 7 2 1 4 2 2 2 2 cos 2 cos 7 2 0 sin 2 cos2 0 sin 2 cos2 . 2 PT x x x x x x x x x x                                                                  Ta thấy cos2 0 x  không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cuối cũng cho cos2 x , ta được phương trình tương đương tan 2 1 2 4 8 2 k x x k x               ( k   ). Ví dụ 3. Giải các phương trình a) 2 2 sin cos 2 1 x x   . b) 2 cos sin2 1 x x   . Giải. a) Ta có 2 2 2 2 cos2 cos cos 2 1 sin cos 2 cos cos2 cos x x PT x x x x x x             .  2 2 2 2 cos2 cos 2 2 2 3 3 x k x x k k x x x k x x k x                         . (   2 2 3 k k k k              ).    2 2 2 cos2 cos cos2 cos 3 3 2 2 2 k x x k x x x x x x x k x k                                   . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2 3 k x   , 2 3 3 k x     , 2 x k      ( k   ). b) Ta có 2 cos 1 sin2 PT x x    . Chú ý rằng   2 2 2 1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos x x x x x x x       . Do đó, phương trình nói trên tương đương với   2 2 cos sin cos sin 2cos cos sin cos cos sin cos sin 0 tan 2 arctan 2 ( ) sin 0 . x x x x x x x x x x x x x x k x x k k                                   Ví dụ 4. Giải các phương trình [...]... ĐS:  Bài 2 Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn 1;70 của phương trình 29 cos3 x  cos 2 x  1 cos 2 x  tan x  cos2 x 2 ĐS: 374 Bài 3 Tìm m để phương trình 2  sin 4 x  cos 4 x   cos 4 x  2sin 2 x  m  0 có ít nhất một   nghiệm thuộc đoạn  0;   2 ĐS: 2  m  10 3 30 §2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Đối với các phương trình lượng giác chỉ... nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: a) max y1  1 , min y1  0 b) m  4 2 1 (khi đó, max ym  ) 2 4 21 Chủ đề 2 Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ §1 Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn x x phụ đơn giản: t  sin x , t  sin , t  sin 2 x , t  cos x , t  cos , t  cos... hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là   2k  ( k   ) 18 3 2 sin x  cos x  1  a , ( a là tham số) sin x  2 cos x  3 1 a) Giải phương trình khi a  3 b) Tìm a để phương trình có nghiệm 2 sin x  cos x  1 c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  sin x  2 cos x  3 Ví dụ 5 Cho phương trình 2 Giải Vì 12   2   32  4  0 nên phương trình sin x  2 cos x  3  0 vơ nghiệm...  2   ( k   ) 5 x  2    x  2k  x    k    3  18 3 PT  3 cos 5 x  sin 5 x  2sin x  Nhận xét Phương trình ở ví dụ trên khơng phải phương trình bậc nhất Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức dạng A sin  B cos Ví dụ 4 Giải các phương trình cos 2 x  1 a) 3 sin x  2 cos x 1  2sin x  cos x  3 b) [ĐHA09] 1  2 sin x 1  sin x  Giải a) Điều kiện:... max S  2 , min S   2  2  Ví dụ 6 Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m a) Giải phương trình khi m  1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Phương trình đã cho tương đương với 1  cos 2 x   1 1  cos 2 x sin 2 x   m  sin 2 x  3cos 2 x  1  2m 2 2 a) m  1 thì phương trình trở thành sin 2 x  3cos 2 x  3  2sin x cos x  3 1  2sin 2 x   3  2sin x cos x  6sin... tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos );  hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ), ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:  Dạng 1: Xét phương trình dạng f  sin x  cos x;sin x.cos x   0 (1) t    2; 2       Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x     2 4  sin x cos x  t  1   2  t 2 1  Phương trình (1) trở thành... t 2 1 4  sin x cos x   2 31  t 2 1  Phương trình (3) trở thành f  t ;   0 2    Dạng 4: Xét phương trình dạng f  sin x  cos x ;sin x.cos x   0 (4) t  0; 2       Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x     1 t2 4  sin x cos x   2  1 t2  Phương trình (4) trở thành f  t ; 0 2   B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1 Giải các phương trình a) 3  sin x  cos x   2 sin x cos x... 12  C BÀI TẬP Bài 1 Giải các phương trình sau   k 10 a) sin 5 x  1 ĐS: x    3  b) cos  2 x     2 2  ĐS: x  c) sin 5 x  sin 7 x  0 ĐS: x  k , x  2   k , x    k 3 6  k  12 6 11   k  k , x   4 24 6  k ĐS: x    21 7 k k ĐS: x  , x 6 8 ĐS: x  d) sin 2 x  cos 7 x  0 e) cos 2 7 x  f) 1 4 cos2 x  cos 2 7 x  0 Bài 2 Giải các phương trình sau:... a) a  : phương trình trở thành 3 5 5  sin x  cos x  0  tan x  1  x    k ( k   ) 3 3 4 b) Ta có 2 2  2  a    2a  1   3a  1 2  4a 2  6a  4  2  a 2  3a  2  Do đó phương 1 trình có nghiệm khi và chỉ khi 2  a 2  3a  2   0  a 2  3a  2  0    a  2 2 19 1  1  c) Vì tập giá trị của S là   ; 2  nên max S  2 , min S   2  2  Ví dụ 6 Cho phương trình 2sin... (2)    1  cos 2 x 3 1     cos 2 x   2 x    2k  x    k (thỏa mãn) 2 4 2 3 6  (1)   (2)  x    2k (thỏa mãn) 28 Vậy các họ nghiệm của phương trình là x     k và x    2k ( k   ) 6 C BÀI TẬP Bài 1 Giải các phương trình sau  k  7  ,   2k ,  2k 4 2 6 6 a) [ĐHD13] sin 3 x  cos 2 x  sin x  0 ĐS: x  b) tan x  cos x  cos 2 x  sin x  1  tan x tan  2 . Kết hợp i u kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường tròn lượng giác ( i m đen) và bỏ i i m vi phạm i u kiện (2) ( i m được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của phương trình là là:. nhất đ i v i sin và cos 14 Chủ đề 2. Gi i phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ 23 §1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản 23 §2. Phương trình đ i xứng và gần đ i xứng đ i v i sin, cos 31. có   4sin sin2 sin3 2 cos3 cos sin3 2sin3 cos3 2sin3xcos sin 6 sin 4 sin2 x x x x x x x x x x x x           . Do đó sin6 sin 4 sin 2 sin4 sin 6x cos 2 0 sin 2 cos2 0 sin 2 cos2 tan2