Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung ....................................................................... 5 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ................................................................................. 5 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 15 Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác ..................................................23 Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản ...................................................................................... 23 Loại 2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ................................................. 31 Loại 3. Phép đại số hóa 2 tan x t ................................................................................................. 41 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ................................................................................................... 45 Chủ đề 3. Phương trình tích .............................
PHẠM HỒNG PHONG Phân loại chi tiết Hệ thống ví dụ phong phú Bài tập có đáp số đầy đủ Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa: pham hong phong, phuong trinh luong giac Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung . 5 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản . 5 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . 15 Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác 23 Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản 23 Loại 2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos . 31 Loại 3. Phép đại số hóa 2 tan x t . 41 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx . 45 Chủ đề 3. Phương trình tích .48 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình cơ bản đối với sin Xét phương trình sin x m . (0.1) Điều kiện có nghiệm: (0.1) có nghiệm 1;1m . Công thức nghiệm: Với mọi 1;1m , ta có (0.1) arcsin 2 arcsin 2 x m k x m k ( k ). Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn ; 2 2 của phương trình sin x m ( Hình 1). Ta thấy với mỗi 1;1m , giá trị arcsin m luôn tồn tại duy nhất. y=sinx -1 1 - π 2 π 2 arcsinm O m y x Hình 1 2. Phương trình cơ bản đối với cos Xét phương trình cos x m . (0.2) Điều kiện có nghiệm: (0.2) có nghiệm 1;1m . Công thức nghiệm: Với mọi 1;1m , ta có (0.2) arccos 2x m k ( k ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn 0; của phương trình sin x m (Hình 2). Ta thấy với mỗi 1;1m , giá trị arccosm luôn tồn tại duy nhất. π y=cosx -1 1 π 2 arccosm O m y x Hình 2 3. Phương trình cơ bản đối với tan 3 Xét phương trình tan x m . (0.3) Với mọi m , (0.3) có nghiệm và (0.3) arctanx m k ( k ). Trong đó, arctanm là nghiệm thuộc khoảng ; 2 2 của phương trình tan x m (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctanm luôn tồn tại duy nhất. y=tanx arctanm - π 2 π 2 O m y x Hình 3 4. Phương trình cơ bản đối với cot Xét phương trình cot x m . (0.4) THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 Với mọi m , (0.4) có nghiệm và (0.4) arctanx m k ( k ). Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình cot x m (Hình 4). Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất. π 2 π O y=cotx arccotm m y x Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản: sin sinf x g x 2 2 f x g x k f x g x k ( k ); os osc cf x g x 2f x g x k ( k ); tan tanf x g x 2 f x g x k f x k ( k ); cot cotf x g x f x g x k f x k ( k ). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2cos sin 2x x . 1 Giải. Ta có THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 1 2 2 1 sin sin 2x x 2 2sin sin 0x x sin 2sin 1 0x x sin 0 1 sin 2 x x 2 6 5 2 6 x k x k x k , ( k ). Ví dụ 2. Giải phương trình: sin 2 cos 0x x . 1 Giải. Cách 1. 1 2sin cos cos 0x x x cos 2sin 1 0x x 1 2 cos 0 sin x x 2 2 6 7 2 6 x k x k x k , ( k ). Cách 2. 1 sin 2 cosx x sin 2 sin 2 x x 2 2 2 3 2 2 2 x x k x x k 2 6 3 3 2 2 k x x k , ( k ). Chú ý. Trong ví dụ trên, ta thấy khi giải bằng hai cách khác nhau ta được các công thức nghiệm khác nhau. Tuy nhiên các công thức nghiệm nói trên cùng thể hiện một tập nghiệm của phương trình. y x -1 -1 1 1 O Ví dụ 3. Giải phương trình: 2 2 sin cos 2 1x x . 1 Giải. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 1 2 2 cos 2 1 sinx x 2 2 cos 2 cosx x cos2 cos cos2 cos x x x x . 2 3 2 2 2 2 2 x x k x x k 2 2 3 x k k x 2 3 k x ( 2 2 3 k k k k ). 3 cos2 cosx x 2 2 2 2 x x k x x k 2 3 3 2 k x x k . Vậy nghiệm của 1 là: 2 3 k x , 2 3 3 k x , 2x k ( k ). Ví dụ 4. Giải phương trình: 5 sin3 sin cos 2 2 x x x . 1 Giải. Ta có 1 1 2 sin3 sin 3 sin 2x x x sin 3 sin 2x x 3 2 2 3 2 2 x x k x x k 2 2 5 5 x k k x ( k ). Ví dụ 5. Giải phương trình: sin3 1 cos 4 cos3 sin 4x x x x . 1 Giải. 1 cos3 sin 4 sin3 cos 4 sin3x x x x x sin 7 sin 3x x 7 3 2 7 3 2 x x k x x k 2 10 5 k x k x ( k ). Ví dụ 6. Giải phương trình: sin 4 sin 7 cos3 cos6x x x x . 1 Giải. 1 1 1 2 2 cos11 cos3 cos9 cos3x x x x cos11 cos9x x THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 cos11 cos 9x x 11 9 2 11 9 2 x x k x x k 20 10 2 k x x k ( k ). Ví dụ 7. Giải phương trình: 2 1 tan 1 cos 3 x x . 1 Giải. 1 2 1 tan 1 0 cos 3 x x 2 tan tan 0 3 x x 1 tan tan 0 3 x x tan 0 1 tan 3 x x 6 x k x k ( k ). Ví dụ 8. Giải phương trình: 2 2sin sin 1 0 2cos 3 x x x 1 Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: 2cos 3 0x 3 cos 2 x 2 6 x k ( k ). Ta có 1 2 2sin sin 1 0x x sin 1 1 sin 2 x x 2 2 2 2 7 2 6 x k x k x k ( k ). Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn 1 2 sin 1 sin x x được biểu diễn bằng những điểm đen. các họ nghiệm của 1 là 2 2k , 7 6 2k ( k ). y x π 2 +2kπ 7π 6 +2kπ -π 6 +2kπ π 6 +2kπ -1 -1 1 1 O [...]... , k , k ( k ) 6 3 Bài 2 374 Bài 3 2 m 10 3 29 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos A Nội dung phương pháp Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: +) tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos ), +) hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với... 2k , 6 10) 5 18 , 17 18 , 42 5 6 2 k ( k ) 7 21 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Chủ đề 2 Đại số hóa phương trình lượng giác Loại 1 Một số phép đại số hóa đơn giản A Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn x x x phụ đơn giản: t sin x , t sin 2 , t sin 2 x , t cos x , t cos 2 , t ... x 2k 3 4 4 ( k ) sin 2 x sin x 4 2 x x 2k x 2k 12 3 4 Nhận xét Phương trình ở ví dụ trên khơng phải phương trình bậc nhất Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức Ví dụ 3 Giải phương trình: 3 sin x 1 sin x cos x 2 cos 2 x 1 2 cos x 1 Giải Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 x k 2 2... cos 2 x 3 , x 0; 2 1 2sin 2 x Bài 2 Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn 1;70 của phương trình cos 2 x tan 2 x cos3 x cos 2 x 1 cos2 x Bài 3 Tìm m để phương trình 2 sin 4 x cos 4 x cos 4 x 2sin 2 x m 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2 28 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1 1) 2k ( k ) 3) 2k ( k ) 3... 2 x 5 2k x 5 k 6 12 C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau 1) sin x 3 cos x 0 2) sin x cos x 1 4 3) sin 3x cos 2 x sin 2 x cos x 4) cos x 4 cos 2 x 3 cos x 0 2 5) 2sin x 4sin 3 x 3sin x sin 2 x 0 6) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 7) sin x sin 2 x cos x cos 2 x 0 Bài 2 Giải các phương trình sau sin 2 x 4 1) cos... 2 Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm của 1 là Ví dụ 7 Cho phương trình 2 sin x cos x 1 a sin x 2 cos x 3 1 , ( a 2k ( k ) 18 3 là tham số) 1 1) Giải phương trình khi a 3 19 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2) Tìm a để 1 có nghiệm Giải Xét phương trình sin x 2 cos x 3 0 2 2 Ta có 12 2 32 4 0 2 vơ nghiệm... 0707 44 Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos A Tóm tắt lý thuyết * Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng: 1 A sin x B cos x C , trong đó, A và B là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 ( A2 B 2 0 ) * Cách giải: chia hai vế của 1 cho A A2 B 2 sin x A2 B 2 , ta được phương trình tương đương: B A2 B 2 cos x C A2 B 2 A cos A B... (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ), ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau: Dạng 1: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x 0 1 t 2; 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x 4 t 2 1 sin x cos x 2 2 Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên 1 trở thành f t; t 21 0 Dạng 2: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x 0 2 t ... D Đáp số Bài 1 1) 2k , 6 3 k ; 2) 12 2 k ; 7) 2k , 3 7 2k ; 4) 12 k , 3 5 6 k ; 3) k , 8 2 k Bài 2 1) k , 3 k ; 5) x k ; 6) 8 2 4 3 k4 ; 4) k 5 4 k 5 , 4 k 7 ; 5) k , ; 2) 12 2k , 7 12 8 k2 , 2k ; 3) 4 k ;6) 12 2k , 2k ; 7) k 4 14 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 2 Phương trình bậc... 2 a 2a 1 3a 1 4a 2 6a 4 2 a 2 3a 2 1 Do đó 1 có nghiệm 2 a 2 3a 2 0 a 2 3a 2 0 a 2 2 Ví dụ 8 Cho phương trình 2sin 2 x sin x cos x cos 2 x m 1 1) Giải phương trình khi m 1 2) Tìm m để 1 có nghiệm Giải Ta có 1 1 1 cos 2 x m sin 2 x 3cos 2 x 1 2m 1 cos 2 x sin 2 x 2 2 1) m 1 1 trở thành