BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TẬP 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác 3 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản 3 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 15 Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23 Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản 23 Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 29 Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x 2 t tan  34 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx 38 Chủ đề 3. Phương trình tích 43 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình sin x m    1 * Điều kiện có nghiệm:   1 có nghiệm    m 1;1   . * Công thức nghiệm: Với   m 1;1   , ta có   1  x arcsinm 2k x arcsinm 2k            ( k   ). Trong đó, arcsinm là nghiệm thuộc đoạn 2 2 ;        của phương trình sin x m  ( Hình 1). Ta thấy với mỗi   m 1;1   , giá trị arcsinm luôn tồn tại duy nhất. y=sinx -1 1 - π 2 π 2 arcsinm O m y x Hình 1 2. Phương trình cosx m    2 * Điều kiện có nghiệm:   2 có nghiệm    m 1;1   . * Công thức nghiệm: Với   m 1;1   , ta có   2  x arccosm 2k     ( k   ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn   0;  của phương trình sin x m  (Hình 2). Ta thấy với mỗi   m 1;1   , giá trị arccosm luôn tồn tại duy nhất. π y=cosx -1 1 π 2 arccosm O m y x Hình 2 3. Phương trình tanx m    3 Với mọi m , ta có   3  x arctanm k    ( k   ). Trong đó, arctanm là nghiệm thuộc khoảng   2 2 ;    của phương trình tanx m  (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctanm luôn tồn tại duy nhất. y=tanx arctanm - π 2 π 2 O m y x Hình 3 4. Phương trình cot x m    4 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 Với mọi m , ta có   4  x arccotm k    ( k   ). Trong đó, arccotm là nghiệm thuộc khoảng   0;  của phương trình cot x m  (Hình 4). Ta thấy với mỗi m , giá trị arccotm luôn tồn tại duy nhất. π 2 π O y=cotx arccotm m y x Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản: +)     sin f x sin g x                   f x g x 2k f x g x 2k             ( k   ); +)     os o f x c g x sc               f x g x 2k     ( k   ). +)     tan f x tan g x                 2 f x g x k f x k             ( k   ). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. GPT: 2 2cos x sinx 2     1 Giải   1    2 2 1 sin x sinx 2     2 2sin x sinx 0      sin x 2sinx 1 0   THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6  1 2 sinx 0 sinx        6 5 6 x k x 2k x 2k                  , ( k   ). Ví dụ 2. GPT: sin 2x cosx 0     1 Giải   1  2sinxcosx cosx 0      cosx 2sinx 1 0    1 2 cosx 0 sin x         2 6 7 6 x k x 2k x 2k                     , ( k   ). Ví dụ 3. GPT: 2 2 sin x cos 2x 1   .   1 Giải   1  2 2 cos 2x 1 sin x    2 2 cos 2x cos x   cos2x cosx cos2x cosx       .     2 3   2  2x x 2k 2x x 2k            2k 3 x 2k x          2k 3 x   (     2k 3 2k k k      ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7   3    cos2x cos x     2x x 2k 2x x 2k               2k 3 3 x x 2k             . Vậy nghiệm của   1 là: 2k 3 x   , 2k 3 3 x     , x 2k     ( k   ). Ví dụ 4. GPT: 5x x sin 3x sin cos 2 2  .   1 Giải   1    1 2 sin3x sin3x sin2x    sin 3x sin2x   3x 2x 2k 3x 2x 2k             2k 5 5 x 2k x           ( k   ). Ví dụ 5. GPT:   sin 3x 1 cos4x cos3xsin4x   .   1 Giải   1  cos3xsin4x sin3xcos4x sin 3x    sin7x sin3x   7x 3x 2k 7x 3x 2k             k 2 k 10 5 x x           ( k   ). THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 Ví dụ 6. GPT: sin4xsin7x cos3xcos6x  .   1 Giải   1      1 1 2 2 cos11x cos3x cos9x cos3x      cos11x cos9x      cos11x cos 9x     11x 9x 2k 11x 9x 2k               k 20 10 2 x x k              ( k   ). Ví dụ 7. GPT: tanx 1 2 3 cos x 1   .   1 Giải   1  tanx 1 2 3 cos x 1 0           2 tanx 3 tan x 0    1 3 tanx tanx 0          1 3 tanx 0 tanx        6 x k x k           ( k   ). Ví dụ 8. GPT: 2 2sin x sinx 1 2cosx 3 0     .   1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 Giải Điều kiện để   1 có nghĩa: 2cosx 3 0    3 2 cosx   6 x 2k      ( k   ). Ta có   1  2 2sin x sinx 1 0     1 2 sin x 1 sin x         2 6 7 6 x 2k x 2k x 2k                     ( k   ). Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn 1 2 sin x 1 sin x        được biểu diễn bằng những điểm đen.  các họ nghiệm của   1 là 2 2k    , 7 6 2k    ( k   ). y x π 2 +2kπ 7π 6 +2kπ -π 6 +2kπ π 6 +2kπ -1 -1 1 1 O Chú ý: Khi biểu diễn họ 2k n x     ( k   , * n  , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác ta được: +) Một điểm trong trường hợp n 1  . +) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2  . Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị 2k n    với k 0  , 1 . +) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n 3  . n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị 2k n    với k 0  , 1 , …, n 1  . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 y x -1 -1 1 1 O n 2  y x -1 -1 1 1 O n 3  y x -1 -1 1 1 O n 4  Ví dụ 9. Giải phương trình   2 1 5sinx 2cos x cosx 0    .   1 Giải Điều kiện để   1 có nghĩa: cosx 0  .   1  2 1 5sinx 2cos x 0 cosx 0         .     2 3 Ta thấy   2    2 1 5sinx 2 1 sin x 0      2 2sin x 5sinx 3 0       1 2 sinx 3 1 sinx           voâ nghieäm  6 7 6 x 2k x 2k              .   3  cosx 0   2 x k     . . chung về phương trình lượng giác 3 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản 3 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 15 Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23 Loại. 3 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình sin x m    1 * Điều kiện có nghiệm:. CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TẬP 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất cả các bài thi trong