Lý do chọn đề tài:- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7.. Mặt khác khi học
Trang 1I Lý do chọn đề tài:
- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7 Từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết
đ-ợc 3 số hạng ta có thể tính đđ-ợc số hạng thứ t Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7
II- Nội dung đề tài
1 Cễ SễÛ LYÙ LUAÄN KHOA HOẽC:
1.1Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c b
a
= Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ
b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu a c
b = d thì ad = bc
Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a
b c
d a
c b
d d
b c
a
d
c
b
a = ; = ; = ; =
1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ tỉ lệ thức
d
c b
a
d b
c a d b
c a d
c b
a
±
≠
−
−
= +
+
=
= +Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b a = d c = e f
+
−
+
−
= + +
+ +
=
=
=
f d b
e c a f d b
e c a f
e d
c b a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
1.3.Chú ý:
Trang 2+ Khi có dãy tỉ số
5 3 2
c b
a = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
d
c
b
a = suy ra
1 2
; 0 ;k a k c( , 0)
b d b d b d k b k d
ữ ữ
từ b a = d c = e f suy ra
3
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
ữ
2 Một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau
Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết
Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu a c a d b c . a b c. ;b a d. ;c a d.
b = ⇒d = ⇒ = d = c = b
Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
9,36 0.52.16,38 0,52.16,38
0,91 9,36
x x
−
− Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn nh sau :
a) 1 :2 1 :3 2
3x 3 4 5
b) 0, 2 :11 2: 6( 7)
5 = 3 x+
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
60 15
x
x
−
=
−
2
60 15 15 60 900
30
x x
x x x x
−
=
−
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa
về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60
x
x
− = −
x
x
− =
+
Trang 3Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 5
x
x
− =
−
Giải:
Cách 1: từ
3 5
3 7 5 5
7 21 25 5
12 46 5 3 6
x
x
x x
−
⇒ =
Cách 2: từ 3 5 3 5
x
− áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
3 1
x
x
+
−
⇒ − = ⇒ =
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
( ) ( ) ( ) ( )
5 14 3 4
x x
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a = =b c (1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
; ;
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c
= = =
Ta có k.a + k.b + k.c = d
k a b c d k
a b c
+ +
Từ đó tìm đợc x a d. ;y bd ;z cd
a b c a b c a b c
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Trang 4.
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
+ +
b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* k x k y k z e1 + 2 + 3 =
k x +k y +k z = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
- a x1 = a a y y2; 3 = a z4
- a x a y a y a z2 = 1 ; 4 = 3
- b x b y b z1 = 2 = 3
- b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2
z b
x b y b
−
+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= = và x +y + z = 27
Giải:
Cách 1 Đặt 2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k+ 3k+ 4k= 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ =k 3 Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12
- Cách 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
2 3 4 2 3 4 279 3
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
+ +
+ +
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết
2 3 4
x = =y z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x = =y z=k
- Cách 2: Từ
x = =y z suy ra 2 3 5
x = y = z
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
24 39 520 24 9 203 5 217 3
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
Trang 5Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x= =y z và 2x2 + 3y2 − 5z2 = − 405
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x = =y z=k
- Cách 2: từ
2 3 4
x= =y z
suy ra
x y z
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 2 405 9
x = y = z = x + y − z = − =
Suy ra
2
2 2
2
2
2
4
9
16
x
y
z
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x= =y z và x.y.z = 648
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x = =y z= k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
3
3
3
648 27
8
x x y z xyz x
Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12
Bài tập 5 Tìm x,y, z biết ;
x y z x
= = và x +y +z = 27 Giải:
từ 6x = ⇒ =9y 2x 3y
Từ
z x z
Suy ra
2 3 4
x = =y z
Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1
Trang 6Bài tập 6 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải:
Từ 3 2
2 3
x y
x= y⇒ =
Từ 4 2
2 4
x z
x= z⇒ =
Suy ra
x = =y z sau đó giải nh bài tập 1
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
từ 6x = 4y = 3z 6 4 3
x y z x y z
Sau đó giải tiếp nh bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4
x− z = y− x = z− y
và 2x +3y -5z = -21 Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
0
6 3 ; 4 3 ;3 6
x z y z z x x z y z z x
x z y z z x
+ −
Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 6
Bài tập 9: Tìm x,y,z biết
x− = y− = z−
và x +y +z =27
Giải:
- Cách 1: Đặt 4 6 8
x− = y− = z−
=k
- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x− = y− = z−
1
4
2 6
3
8
4
x
x y
y z
z
+ +
−
− = ⇒ =
− = ⇒ =
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
Dạng 2 : Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phơng pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c
b = d Ta có các phơng pháp sau :
Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc
Trang 7Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;
b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
tr-ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến
đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải
Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:a c
b = d hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
Giải:
Cách 1: Xét tích ( )
a b c ac bc
a c d ac ad
Từ a c ad bc(3)
b = ⇒d =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d
- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,
Ta có:
(1),( 0)
(2),( 0)
b k
b
d k
d
−
−
Từ (1) và (2) suy ra: a b c d
- Cách 3: từ a c b d
b = ⇒ =d a c
Ta có: a b a− = − = − = − =a b a a 1 b a 1 d c c d−c
Do đó: a b c d
- Cách 4: Từ
a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c
−
= ⇒ = =
−
−
- Cách 5: từ
Trang 81 1
a b c d
= ⇒ = ⇒ − = −
Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức a c
b = d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (c/m,a,b,c> 0)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
5 4 2
c b a
=
=
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
11
22 5 4 2 5 4
+ +
+ +
=
=
a
Suy ra
10 2
5
4 2
4
4 2
2
=
→
=
=
→
=
=
→
=
c c
b b
a a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ
lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc
Lời giải:
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)
17
119 5
16 6
4 2 5 16
4 6
2 5 4
− +
− +
=
=
=
=
=
a
Suy ra
Trang 9
35 7
5
28 7
4
21 7
3
=
→
=
=
→
=
=
→
=
c c
b b
a a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là
3
2
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là
9
4
.Tìm ba số đó
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có 2; 4
b = c = và a3 + + = −b3 c3 1009 Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1
5 số thóc ở kho I,
1 6
số thóc ở kho II và 1
11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4
Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 5
Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 10
theo bài ra ta có 4 5 10
5a= 6b= 11cvà a+b+c=710
5a= 6b= 11c⇒ 5.20a= 6.20b= 11.20c
710 10
+ +
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm đợc 3 3 3
1, 2m ;1, 4m ;1, 6m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5 Tính số học sinh của mỗi khối
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c
Trang 10Theo bài rat a có ;
Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4: Một số sai lầm th ờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng .
.
a = =b a b hay .
.
a = = =b c a b c
Bài tập 1: tìm 2 số x,y biết rằng
x = y và x.y=10
H/s sai lầm nh sau : . 10 1
x = =y x y = = suy ra x=2,y=5
Bài làm đúng nh sau:
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± từ đó suy ra y= ± 5 vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
= = ⇒ = = vì xy=10 nên 2x.5x=10 2
⇒ = ⇒ = ±
Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
2 3 4
x = =y z và x.y.z= 648
H/s sai lầm nh sau
648
27
2 3 4 2.3.4 24
x = = =y z x y z = =
Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm
2 ứng dụng vào công tác giảng dạy:
a- Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về
tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tợng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các
em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài toán
b Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu đợc nh sau
Trang 1178 43 28 65,1 12 27,9 3 7,0
c Những bài học kinh nghiệm rút ra, h ớng nghiên cứu tiếp theo.
- Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trớc hết ngời thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy ngời thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân
- Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phơng trình và
hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
d. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh
III Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình hay mắc phải
Mặc dù đã rất cố gắng nhng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi cha thể đa
ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Taõn An, ngaứy thaựng naờm 200
Ngời thực hiện
Nguyeón Thanh Ngoan