SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HAY

Phần I: Mở đầu I - Lý do chọn đề tài Trong quá trình học toán, các em học sinh có thể gặp đây đó những bài toán mà đầu bài có vẻ lạ, Không bình thờng, những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc. Những bài toán nh vậy thờng đợc gọi là Không mẫu mực ( non- standard problems). Những bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy toán học và thờng là sự thử thách đối với các em trong các kỳ thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào chuyên. Đơng nhiên Quen thuộc hay Không mẫu mực chỉ là tơng đối, nó còn phụ thuộc vào trình độ, kinh nghiệm của ngời giải toán. Có những bài Lạ Không mẫu mực đối với ngời này, nhng lại là quen thuộc đối với ngời khác. Khi đã gặp phải những phơng trình nh vậy hoặc Gần nh vậy thì nó lập tức trở nên rất quen thuộc và không quá khó, dần dần xây dựng cho học sinh một phơng pháp làm bài tổng quát, từ đó học sinh có phơng pháp làm bài sáng tạo, học tập tích cực chủ động. Từ những lý do trên tôi chọn đề tài Phơng pháp giải các phơng trình không mẫu mực II - Phạm vi mục đích của đề tài 1) Phạm vi: Do thời gian hạn chế, khẳ năng có hạn nên đề tài chỉ đề cập một phần, một số dạng toán, phơng trình không mẫu mực và phơng pháp đối với các lớp 8, lớp 9. 2) Mục đích : Giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phơng trình Không mẫu mực trở thành Quen thuộc với mình qua đó biết cách suy nghĩ, biết định hớng trớc các phơng trình Không mẫu mực khác Phần II : Nội dung Đề tài đợc viết bao gồm hai phần Phần A : Phơng trình một ẩn Phần B: Phơng trình nhiều ẩn Phần A: Phơng trình một ẩn Phơng pháp1: Đa về phơng trình tích 1) Các bớc giải : Tìm TXĐ của phơng trình Dùng phép biến đổi đại số, đa phơng trình về dạng f(x).g(x) h(x) = 0 ( Gọi là phơng trình tích ) Từ đó đa ra đợc f(x) = 0; g( x) = 0 h(x) = 0 là những phơng trình quyen thuộc. Nghiệm của ph- ơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0; g( x) = 0 h(x) = 0 thuộc tập xác định Két luận nghiệm của phơng trình + Chú ý : Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế các biểu thức chứa ẩn đa về dạng tích với ẩn phụ. Giải phơng trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phơng trình đã cho 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trình 672332110 2 +++=++ xxxx ( 1) ĐKXĐ - 3 Giải = = <=> =+ =+ <=> =+ =+ <=>=++<=> =+++<=> =+++++<=> 1 2 43 97 023 037 0)23)(37( 0)37(2)37(3 0672337.3)1( x x x x x x xx xxx xxxx Thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có hai nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình ( 43232 = + + xx ( 2) Giải : Đặt y x = + 32 ĐK ( y > 0 ) 32;323)2(414 1 )2( 21 22 +==<= >=< = >=+< = >=+<= > yyyyy y y Phơng pháp 2: áp dụng bất đẳng thức 1) Các bớc giải : Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g( x) a ( a là một hằng số. Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = a và g(x) bằng a Biến đỏi phơng trình về dạng h(x) = m ( m là một hằng số ) Mà ta luôn có h( x) m hoặc h(x) m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu dẳng thức xảy ra áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhia cốpxki v.v 2) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình 222 2414105763 xxxxxx =+++++ (1) Giải 222 )1(514105763)1( +=+++++<=> xxxxx Mà 5)1(5 5949)1(54)1(3 2 22 + =++++++ x xx Nên ta có ( x+ 1) 2 = 0 <=> x + 1 = 0 <=> x = -1 Ví dụ 2 : Giải phơng trình 395519 6 2 4 21 231 =++ + xxx x Giải Điều kiện + 023 01 01 2 2 xx x x Ta có 6 2 4 21 231 95519 + ++ xxx x 19 0 + 5 0 + 95 0 = 3 nên x - 1 = 0 ; x 2 - 1 = 0 và x 2 - 3x + 2 = 0. Giải ra ta đợc x = 1 Ví dụ 3 : Giải phơng trình 54)(22(5,33 222 ++=+ xxxxxx Giải Ta có x 2 - 2x + 2 = ( x -1) 2 + 1 > 0 x 2 - 4x + 5 = ( x-2 ) 2 + 1 > 0 2 )54()22( 5,33 22 2 +++ =+ xxxx xx áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x 2 - 2x + 2 và x 2 - 4x + 5 Ta có (x 2 - 2x + 2) + ( x 2 - 4x + 5) 5) 4x - (x 2) 2x - (x2 22 ++ Dấu bằng xảy ra khi (x 2 - 2x + 2) = ( x 2 - 4x + 5) <=> x 2 - 2x + 2 = x 2 - 4x + 5 <=> 2x = 3 <=> x = 3/2 Phơng pháp 3: Chứng minh nghiệm duy nhất 1) Các bớc giải ở một số phơng trình ta có thể thử tực tiếp để thấy nghiệm của chúng, ròi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không có nghiệm nào khác nữa 2) Một số ví dụ Ví dụ 1 : Giải phơng trình 932 22 3 =+ + xx ( 1) Giải *x = 1 là nghiệm của (1) * Nếu x 0 ta có 93232 0303 22 =+>+ ++ xx Do đó x 0 không thể là nghiệm của (1) . Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0 Ví dụ 2: Giải phơng trình 2 10 xxx x = (2) Với x > 0 Giải *x = 1 là nghiệm của (2) *Xét x>1 ta có x x > 1 x = 1 x 2 > x nên x - x 2 <0 do đó 2 10 xx <10 0 Suy ra 2 10 xx < x x Vậy x > 1 không là nghiệm của phơng trình (2) * Xét 0<x<1 ta có x x < 1 x = 1 x 2 < x => x - x 2 >0 nên 2 10 xx > 10 0 = 1 Suy ra 2 10 xx > x x Vậy 0<x<1 không là nghiệm của phơng trình (2) Vậy nghiệm của phơng trình (2) là x = 1 Phần B : Phơng trình nhiều ẩn I) Các phơng pháp thờng vận dụng Phơng pháp1: Đa về phơng trình tích a) Các bớc giải : Đa phơng trình về dạng f 1 ( x, y ). f 2 ( x, y ) f n ( x, y ) .= a 1 . a 2 a n. Với a 1 . a 2 a n. Z Xét mọi trờng hợp có thể xảy ra để tìm đợc nghiệm thích hợp của ph- ơng trình b) Các ví dụ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình xy - 4xy = 35 - 5y ( 1) Giải (1) <=> ( y- 4 ) ( x + 5 ) = 15 Vì x,y N nên x + 5 5; x + 5 là ớc của 15 do đó ta có = =+ 34 55 y x Hoặc = =+ 14 155 y x <=> = = 7 0 y x Hoặc = = 5 10 y x Vậy nghiệm tự nhiên (x; y) của phơng trình ( 1) là : ( 0; 7) ; ( 10; 5) Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình sau 2 m - 2 n = 1984 ( 2 ) Giải Với m n thì 2 m - 2 n 0 nên đẳng thức (2) không xảy ra Với n = 0 thì 2 m - 1 = 1984 không có số tự nhiên nào thoả mãn đẳng thức này Với m n 1 = = <=> = = <=> =<=>= 11 6 3112 22 31.2)2(2198422 6 6 m n nm n nmnnm Vậy nghiệm tự nhiên của phơng trình (2) là n = 6; m = 11 Phơng pháp2: Nhận xét về ẩn số a) Phơng pháp; trớc khi bắt tay vào giải toán ta nên nhận xét xem vai trò của các ẩn, cấu trúca của ẩn để có một cách giải phù hợp Nếu các ẩn có vai trò bình đẳng nh nhau thì ta có thể giải sử x y z Hoặc ngợc lại để thu hẹp miền xác định của bài toán Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau nh luỹ thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hoặc tích của các số nguyên liên tiếp thì ta khử ẩn để đa về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x 4 +x 2 +1 = y 2 Giải Vì x 2 0 với mọi x nên ( x 4 + x 2 + 1 ) - ( x 2 + 1 ) < x 4 + x 2 + 1 ( x 4 + x 2 + 1) +x 2 <=> (x 2 ) 2 < x 4 + x 2 + 1 (x 2 + 1) 2 <=> (x 2 ) 2 < y 2 (x 2 + 1) 2 Do đó ( x 2 + 1) 2 = y 2 => ( x 2 + 1 ) 2 = x 4 + x 2 + 1 <=> x 2 = 0 <=> x = 0 => y = 1 Vậy nghiệm nguyên (x,y) cần tìm là (0;1) ; ( 0; -1) Phần IV: Kết luận Chuyên đề phơng pháp giải phơng trình không mẫu mực đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết về phơng pháp giải mọt số dạng toán về phơng trình không mẫu mục, những kinhnghiệm tìm tòi lời giải, do đó giúp đỡ học sinh rèn luyện các thao tác t duy, phơng pháp suy luận và khả năng sáng tạo, đồng thời vẫn nêu lên hớng suy nghĩ và đờng lói giải toán nhng độc lập suy nghĩ của học sinh. Qua thực tế giảng dạy toi thấy muốn tạo chất lợng trong bộ môn toán ( đặc biệt đối với học sinh giỏi) ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết ngời giáo viên phải có một ppp giảng dạy phù hợp hớng học sinh học tập bằng phơng pháp độc lập suy nghĩ, t du tìm và suy nghĩ, t du tìm và xác định dạng toán để có phơng pháp giải bài toán khoa học nhất Trên đây là một số suy nghĩ và kinh nghiệm của bản thân toi trong việc giảng dạy phần chơng trinhf không mẫu mực. Do kinhnghiệm còn hạn chế nên nội dung chuyên đề chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong đợc sự đóng góp của đồng nghiệp . thuộc. Nghiệm của ph- ơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0; g( x) = 0 h(x) = 0 thuộc tập xác định Két luận nghiệm của phơng trình + Chú ý : Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế. 3: Chứng minh nghiệm duy nhất 1) Các bớc giải ở một số phơng trình ta có thể thử tực tiếp để thấy nghiệm của chúng, ròi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không có nghiệm nào khác. toán khoa học nhất Trên đây là một số suy nghĩ và kinh nghiệm của bản thân toi trong việc giảng dạy phần chơng trinhf không mẫu mực. Do kinhnghiệm còn hạn chế nên nội dung chuyên đề chắc chắn