CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN2.1 Tích diện tích hợp bởi các đường cong và chiều dài của đường cong 2.1.1 Ứng dụng của tích phân tính chiều dài của đường cong Để tính độ dài của đường cong c
ĐẦU
Đề tài
Ứng dụng của tích phân
Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu trong sách và tài liệu trên mạng
Mục tiêu
Tìm hiểu được lý thuyết và ứng dụng của tích phân
CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Tích diện tích hợp bởi các đường cong và chiều dài của đường cong
Để tính độ dài của đường cong một cách chính xác, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách kẻ một đoạn thẳng từ điểm đầu đến điểm cuối của đường cong, nhưng phương pháp này cho độ chính xác không cao Để cải thiện độ chính xác, chúng ta nên chia đường cong thành ba điểm, kẻ đoạn thẳng từ điểm đầu đến điểm giữa và từ điểm giữa đến điểm cuối, sau đó đo độ dài của hai đoạn thẳng này và cộng lại Khi số điểm chia tăng dần lên đến n điểm, độ chính xác trong việc tính toán độ dài của đường cong sẽ dần cải thiện.
Nếu đường cong là một hình tròn, việc tính toán độ dài của nó trở nên đơn giản Chúng ta chỉ cần nối các điểm trên đường cong thành một đa giác và cộng tất cả các đoạn thẳng tạo thành đa giác Khi số lượng đỉnh của đa giác tăng lên, độ dài của nó sẽ dần tiến gần đến độ dài thực sự của đường tròn.
Giả sử có một đường cong C với hàm f liên tục trên một khoảng nhất định Để tính chính xác diện tích dưới đường cong C, chúng ta có thể chia khoảng đó thành n đoạn bằng nhau.
Như ta thấy nếu càng chia n đoạn thì giá trị L tính xấp xỉ tiến gần bằng đến chiều dài của đường cong C
Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm số f trong khoảng giá trị trung bình, ta nhận thấy rằng giá trị nằm giữa và được tính bằng công thức (1) Từ đó, công thức tính chiều dài của một cung được biểu diễn qua (2) Ví dụ, để tạo viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, việc tính chính xác chiều dài đường cổ áo là rất quan trọng Khi hạ cổ áo hình tim với chiều dài 16 cm và chiều rộng 4 cm, đường cổ áo sẽ có hình dạng parabol.
Vậy chiều dài của cổ áo xấp xỉ bằng 27,8 cm
2.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích giữa các đường cong
Sử dụng tích phân để xác định diện tích của miền nằm giữa hai đồ thị hàm số Cụ thể, xét miền S được giới hạn bởi hai đường cong f và g, cùng với hai đường thẳng đứng x = a và x = b, trong đó f và g là các hàm số liên tục và f(x) luôn lớn hơn hoặc bằng g(x) cho mọi x trong khoảng [a, b].
Để tính diện tích dưới đường cong, chúng ta chia diện tích S thành n mảnh có chiều rộng bằng nhau Sau đó, chúng ta ước lượng diện tích của mảnh thứ i bằng cách sử dụng hình chữ nhật có cạnh đáy tương ứng.
x và chiều cao f(xi * ) – g(xi * ) Xem hình 2
Theo như ta thấy chính là xấp xỉ hiện tích S của hình 1
Khi n tiến tới vô cùng, giá trị xấp xỉ này ngày càng chính xác hơn Vì vậy, chúng ta định nghĩa diện tích A của miền S là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ Công thức liên quan được thiết lập như sau.
Chúng ta nhận thấy rằng giới hạn của (1) tương ứng với tích phân xác định của hàm f – g Từ đó, ta có công thức để tính diện tích A của miền được giới hạn bởi đường cong.
Và các đường x=a,x=b trong đó f và t liên tục và mới mọi x thuộc là
Để tính diện tích giữa hai đường cong y = f(x) và y = g(x), với điều kiện f(x) ≥ g(x) trong một khoảng và g(x) ≥ f(x) trong khoảng khác, ta cần chia miền cần tìm thành nhiều miền nhỏ S1, S2, với diện tích tương ứng A1, A2, Diện tích tổng của miền S sẽ được tính bằng tổng diện tích các miền nhỏ, tức là A = A1 + A2 +
Diện tích giữa các đường cong y=f(x) và y=g(x) và giữa x=a và x=b là
Vd Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm được thiết kế như hình bên dưới Diện tích mỗi cánh hoa bằng?
Diện tích mỗi cánh hoa là:
Vậy diện tích mỗi cánh hoa là
Tích thể tích khối tròn xoay và diện tích khối tròn xoay
2.2.1 Tính diện tích khối tròn xoay
Bề mặt quay được hình thành khi một đường cong quay quanh một đường thẳng, tạo thành ranh giới bên của một khối quay Để định nghĩa diện tích của bề mặt quay, chúng ta cần đảm bảo rằng nó phù hợp với trực giác của mình Nếu diện tích bề mặt là A, chúng ta có thể hình dung rằng việc sơn bề mặt này sẽ yêu cầu lượng sơn tương đương với một khu vực phẳng có diện tích A.
Diện tích bề mặt bên của hình trụ tròn với bán kính r và chiều cao h được tính bằng công thức A = 2πrh Điều này có thể được hiểu qua việc tưởng tượng cắt hình trụ và làm phẳng nó thành một hình chữ nhật có kích thước 2πr và h Tương tự, khi cắt một hình nón tròn có bán kính đáy r và chiều dài đường nghiêng l theo đường nét đứt, chúng ta có thể làm phẳng nó để tạo thành một phần của hình tròn với bán kính tương ứng.
Bề mặt được hiển thị dưới đây được thu thập bằng cách quay đường cong quanh trục x, với f là một hàm dương và có đạo hàm liên tục Định nghĩa cho biết rằng khi là một số trong khoảng xác định, khi giá trị này nhỏ, ta có thể xác định được các tính chất liên quan đến hàm f Do f liên tục, điều này dẫn đến những kết luận quan trọng về hành vi của hàm trong khoảng đó.
Giá trị này sẽ trở nên tốt hơn nếu ta có :
Ta có công thức tính diện tích đường cong quanh trục x là
Nếu đường cong được mô tả bằng quanh trục x ta có S là
Suy ra Đối với bề mặt được quanh quanh trục y, ta có
Ta có thể sử dụng công thức: hoặc
2πx hoặc 2πy là chu vi của 1 đường tròn được vẽ bởi điểm (x, y) trên đường cong khi nó quay quanh trục x hoặc trục y tương ứng.
Để tính thể tích của khối tròn xoay, ta chia khối thành các đĩa mỏng có độ dày dx bằng nhau Tổng thể tích của tất cả các đĩa tròn này sẽ cho ra công thức tính thể tích khối tròn xoay.
(đối với trục x) và ( đối với trục y)
Vd tính diện tích khối tròn xoay xung quanh trục x ,với
Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây
Đường kính miệng ly được đo là 4cm và chiều cao là 6cm Thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng có hình dạng parabol Từ những thông số này, chúng ta có thể tính thể tích V của vật thể.
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol (P) Vì parapol (P) đi qua các điểm A(-2;6), B(2;6) và I(0;0) nên parabol (P) có phương trình
Ta có Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V
Tính moment và trọng tâm của khối lượng
Khi thợ lặn biển sâu lặn xuống, họ nhận thấy áp lực nước tăng lên do trọng lượng nước phía trên Cụ thể, một tấm ngang mỏng có diện tích A mét vuông chìm trong chất lỏng có mật độ ở độ sâu d mét sẽ chịu tác động của khối lượng chất lỏng phía trên Lực tác dụng lên tấm này được xác định bởi gia tốc trọng lực g Áp suất P trên tấm được tính toán dựa trên lực tác động trên một đơn vị diện tích.
Một nguyên tắc quan trọng của áp suất chất lỏng là áp suất tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng đều đồng nhất theo mọi hướng, như khi một thợ lặn cảm thấy áp lực giống nhau trên mũi và hai tai Điều này cho phép chúng ta xác định lực thủy tĩnh tác động lên các bề mặt như tấm thẳng đứng, tường hoặc đập trong chất lỏng Tuy nhiên, việc này không đơn giản vì áp suất không chỉ đồng nhất mà còn tăng lên khi độ sâu trong chất lỏng gia tăng.
Một tấm thẳng đứng được ngâm trong nước sẽ chịu tác động của lực thủy tĩnh, và để tính toán lực này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tổng Riemann Đầu tiên, cần giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác động lên một mặt của tấm Tiếp theo, lực này có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân, từ đó cho phép chúng ta tính giá trị chính xác của lực thủy tĩnh.
Để thiết lập trục x dọc, diện tích của dải hình chữ nhật thứ i được tính bằng áp suất tác động lên dải Do đó, lực thủy tĩnh trên tấm sẽ phụ thuộc vào áp suất này.
Tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm moment và trọng tâm
Mục tiêu chính của chúng tôi là xác định vị trí khối tâm (trọng tâm) của một tấm mỏng có hình dạng nhất định, nơi tấm này đạt được sự cân bằng theo chiều ngang như minh họa trong Hình 5.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một ví dụ đơn giản về Định luật đòn bẩy, được minh họa trong Hình 6 Hai khối lượng được gắn vào một thanh có khối lượng không đáng kể ở các mặt đối diện của điểm tựa, tại khoảng cách khác nhau từ điểm tựa Thanh sẽ đạt trạng thái cân bằng khi tuân theo quy tắc này, điều mà Archimedes đã phát hiện Hãy tưởng tượng một người nhẹ hơn có thể cân bằng một người nặng hơn trên bập bênh bằng cách ngồi xa hơn từ trung tâm.
Giả sử thanh nằm dọc theo trục x với các điểm tại và tại, và khối tâm tại vị trí xác định So sánh Hình 6 và 7 cho thấy rằng và do đó, Phương trình 2 được thiết lập.
Mômen của khối lượng được định nghĩa dựa trên các số và, với phương trình 3 chỉ ra rằng khối tâm được tính bằng cách cộng tất cả các mômen khối lượng và sau đó chia cho tổng khối lượng.
Hệ thống các hạt có khối lượng đặt tại các điểm trên trục x cho phép xác định vị trí khối tâm của hệ.
(4) tổng của các mômen riêng lẻ
Momen, ký hiệu là M, có thể được hiểu là mômen của một hệ thống nếu tổng khối lượng được coi là tập trung tại khối tâm Khi xem xét một hệ thống các hạt có khối lượng nằm tại các điểm trong mặt phẳng xy, chúng ta có thể xác định mômen của hệ đối với trục y và mômen đối với trục x.
Chúng ta xem xét một tấm phẳng có mật độ đồng đều để xác định vị trí khối tâm, gọi là tâm của R Theo nguyên lý đối xứng, nếu tấm này đối xứng qua một đường thẳng, thì tâm sẽ nằm trên đường đó Khi R được phản chiếu quanh một điểm cố định I, tâm I vẫn giữ nguyên Do đó, tâm của hình chữ nhật chính là tâm của nó Để tính toán, các khoảnh khắc cần được xác định sao cho nếu toàn bộ khối lượng của vùng tập trung tại khối tâm, các mômen vẫn không thay đổi Thêm vào đó, khoảnh khắc kết hợp của hai vùng không chồng lấp phải bằng tổng các khoảnh khắc của từng vùng riêng lẻ.
Giả sử vùng R được thể hiện trong Hình 10 (a), nằm giữa các đường thẳng và phía trên trục x, bên dưới đồ thị của hàm liên tục f Chúng ta chia khoảng thời gian thành n khoảng con có chiều rộng bằng nhau và chọn điểm mẫu là điểm giữa của mỗi khoảng phụ R Điều này cho phép xác định xấp xỉ đa giác của R như trong Hình 10 (b), với tâm của hình chữ nhật gần đúng là tâm của nó.
Diện tích của nó là , vì vậy khối lượng của nó là
Mômen của khoảng trục R quanh trục y là tích của khối lượng của nó và khoảng cách từ đến trục y
Bằng cách cộng thêm các mômen này, chúng ta có thể xác định mômen của một đa giác gần đúng Sau đó, khi lấy giới hạn, chúng ta sẽ thu được mômen chính xác của nó đối với trục y.
Theo cách tương tự chúng tôi tính mômen của khoảng trục x là tích của khối lượng của nó và khoảng cách từ đến trục x
Một lần nữa, chúng tôi thêm những momen này và lấy giới hạn để có được momen khoảng trục x
Khối tâm của tấm được xác định tương tự như các hệ thống hạt, với khối lượng của tấm là sản phẩm của mật độ và diện tích của nó.
( trong đó A là diện tích của đường cong với trục ox) và vì vậy
Vị trí của khối tâm không phụ thuộc vào mật độ Tóm lại, khối tâm của tấm (hoặc tâm của R) nằm tại điểm , nơi mà
Vd: tìm trọng tâm của diện tích giới hạn bằng các đường sau Giải:
Ứng dụng vào kinh tế và sinh học
2.4.1 Ứng dụng của tích phân vào kinh tế Ứng dụng vào lĩnh vực kinh tế học và sinh học
Giá bán của sản phẩm sẽ thay đổi phụ thuộc vào sản lượng Q
Thặng dư người tiêu dùng là giá trị còn lại của một mặt hàng sau khi các yêu cầu đã được đáp ứng Hàm cầu p(x) thể hiện giá mà một công ty cần tính để bán x đơn vị hàng hóa Để bán được số lượng hàng lớn hơn, công ty thường phải hạ giá, khiến hàm cầu trở thành hàm giảm Đồ thị của hàm cầu, hay còn gọi là đường cầu, được minh họa trong biểu đồ 1 Nếu X là số lượng hàng hóa hiện có, thì P=p(X) là giá bán hiện tại.
Diện tích hình phía trên đường màu hồng biểu thị thặng dư tiêu dùng, được tính bằng cách lấy diện tích dưới đường cong từ điểm 0 đến điểm X, sau đó trừ đi diện tích hình chữ nhật phía dưới.
Từ đó ta tính được công thức thặng dư tiêu dùng là theo công thức 1
Ví dụ: Nhu cầu của khách hàng về mặt sản phẩm được tính theo biểu thức như sau (đơn vị: USD):
Tìm thặng dư tiêu dùng khi mức bán là 1000
Cách giải: vì số lượng sản phẩm được bán là X00, giá tiền tương ứng sẽ là:
Do đó, theo định lý 1, thặng dư người tiêu dùng: đô
2.4.2 Ứng dụng của tích phân vào sinh học
Huyết động học, hay tần số dòng máu, là lượng máu mà tim bơm đi trong một đơn vị thời gian Trong ví dụ 7 phần 3.7, chúng ta đã thảo luận về định lý dòng chảy tầng theo công thức.
( giải thích công thức như sau)
Khi phân tích dòng chảy máu qua các mạch như tĩnh mạch và động mạch, chúng ta có thể hình dung hình dạng của mạch máu dưới dạng một ống hình trụ với bán kính và chiều dài cụ thể, như được thể hiện trong Hình 8.
Do ma sát ở thành ống, vận tốc máu lớn nhất tại trục trung tâm và giảm dần khi khoảng cách từ trục tăng lên, đạt giá trị 0 tại thành ống Mối quan hệ giữa vận tốc (v) và khoảng cách (r) được mô tả bởi định luật dòng chảy tầng do bác sĩ Pháp Jean-Louis-Marie Poiseuille phát hiện vào năm 1840 Luật này chỉ ra rằng vận tốc máu phụ thuộc vào độ nhớt của nó và chênh lệch áp suất (P) giữa hai đầu ống Nếu chênh lệch áp suất và chiều dài ống (l) không thay đổi, vận tốc sẽ là một hàm của khoảng cách từ trục.
Ta có diện tích gần đúng của vòng (hoặc vòng đệm) với bán kính trong và bán kính ngoài là với
Nếu kích thước nhỏ, vận tốc máu gần như không thay đổi trong suốt vòng tuần hoàn và có thể được xấp xỉ bằng v(r) Do đó, thể tích máu chảy qua một đơn vị thời gian sẽ xấp xỉ, và tổng thể tích máu chảy qua mặt cắt trong một đơn vị thời gian sẽ rơi vào khoảng.
Khi xác định giới hạn của biểu thức, ta có thể tính toán chính xác giá trị dòng chảy, thể hiện lượng máu đi qua mặt cắt ngang trong một đơn vị thời gian, từ đó dẫn đến phương trình cuối cùng.
Phương trình trên được gọi là định luật Poiseuille; nó cho thấy dòng chảy tỉ lệ thuận với lũy thừa bậc 4 của bán kính mạch máu.
Phương pháp pha loãng thuốc nhuộm được thực hiện bằng cách tiêm thuốc nhuộm vào tâm nhĩ phải, sau đó thuốc sẽ chảy qua tim và vào động mạch chủ Một đầu dò được đặt trong động mạch chủ để đo nồng độ thuốc nhuộm trong khoảng thời gian từ 0 đến T cho đến khi thuốc nhuộm được loại bỏ hoàn toàn Gọi c(t) là nồng độ của thuốc nhuộm tại thời điểm t Khi chia khoảng thời gian [0,T] thành các đoạn nhỏ có độ dài bằng nhau, lượng thuốc nhuộm chảy qua điểm đo trong khoảng thời gian đó sẽ được xấp xỉ tính toán.
Để xác định tổng lượng thuốc nhuộm, ta sử dụng công thức nồng độ nhân với thể tích, trong đó F là tỉ lệ của dòng chảy.
Tần số dòng máu được xác định bằng công thức dựa trên lượng thuốc nhuộm A đã biết, với tích phân có thể được tính gần đúng từ nồng độ.
Một liều thuốc nhuộm 5mg được tiêm vào tâm nhĩ phải, và nồng độ của chất này (mg/l) được đo tại động mạch chủ trong khoảng thời gian 1 giây Dựa trên các dữ liệu này, ta có thể tính toán tần số của dòng máu.
Cách giải: ta có A=5, , T Ở đây ta sẽ áp dụng quy tắc Simpson để tính xấp xỉ tích phân nồng độ:
Sử dụng công thức số 3 để tính tần số của dòng máu, ta có
Bài tập luyện thêm
Bài tập về tính diện tích và thể tích khối tròn xoay
1 Một nhà sản xuất tấm lợp tôn muốn sản xuất các tấm rộng 28 inch và dày 2 inch bằng cách xử lý phẳng tấm kim loại như hình vẽ tấm lợp có dạng sóng hình sin Chứng minh rằng đường cong có phương trình sin và tìm chiều rộng của một tấm kim loại phẳng cần thiết để làm bảng điều khiển 28 inch (Sử dụng máy tính của bạn để tính tích phân đúng đến bốn chữ số có nghĩa.)
Sóng hình sin có biên độ 1 và chu kỳ 14, vì nó trải qua hai chu kỳ trong khoảng cách
Chiều rộng w của tấm kim loại phẳng được xác định là chiều dài vòng cung của đường cong hình sin từ x = 0 đến x = 28 Để tính toán w, chúng ta sử dụng tích phân theo công thức độ dài.
Ta dung máy tính cầm tay sẽ tính được inches
2 (a) Thiết lập tích phân cho diện tích bề mặt thu được bằng cách xoay đường cong quanh (i) trục x và (ii) trục y
(b) Sử dụng khả năng tích phân số của máy tính để đánh giá diện tích bề mặt chính xác đến bốn chữ số thập phân.
Một nhóm kỹ sư đang thiết kế một đĩa vệ tinh parabol bằng cách xoay một đường cong quanh trục y Đĩa có đường kính 10 ft và độ sâu tối đa là 2 ft Cần xác định giá trị a và tính diện tích bề mặt của đĩa vệ tinh này.
Nếu parabol được xoay quanh trục y, diện tích bề mặt tạo ra là 2c ft và với ac^2 = 2 ft, ta có c = 5 và a = 25^2 Do đó, diện tích bề mặt tính được là 2c.
= kết quả xấp xỉ 90,01 ft 2
4 Tìm diện tích bề mặt thu được bằng cách xoay vòng tròn quanh Giải:
Nữa trên của hình xuyến được tạo bằng cách xoay đường cong quanh trục oy do đó
[ Vì số nguyên đầu tiên là lẻ còn số thứ 2 là số chẵn]
(a) Hình elip được xoay quanh trục x để tạo thành một bề mặt được gọi là ellip- soid, hoặc hình cầu prolate Tìm diện tích bề mặt của ellipsoid này
Nếu hình elip trong phần (a) được xoay quanh trục phụ (trục y), thì hình thu được sẽ là hình cầu phẳng Diện tích bề mặt của ellipsoid này cần được tính toán.
Diện tích của mặt cầu dẹt gấp đôi diện tích được tạo ra bằng cách xoay gốc phần tư thứ nhất quanh trục y
6 Sử dụng Quy tắc Simpson với để tính gần đúng diện tích của bề mặt thu được bằng cách xoay đường cong quanh trục x So sánh câu trả lời của bạn với giá trị của tích phân được tạo bởi máy tính của bạn
Kết quả trên tương đường 24,145807
Một quả dưa hấu có thiết diện hình elip với trục lớn 28cm và trục nhỏ 25cm Từ 1000cm³ dưa hấu, ta có thể chế biến được một cốc sinh tố giá 20.000đ Với thông tin trên, hãy tính số tiền thu được từ việc bán nước sinh tố từ quả dưa hấu này, giả sử bề dày vỏ dưa không đáng kể.
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ khi đó phương trình của Elip là
Phương trình nửa đường Elip nằm phía trên trục hoành là
Thể tích của quả dưa hấu là
Vậy từ quả dưa hấu có thể thu được số tiền là 20.000 × 9.1623.000đồng.
Bài tập về lực thủy tĩnh và tìm momen và trung điểm của vật
1 Một tấm thẳng đứng được nhúng chìm (hoặc ngập một phần) trong nước và có hình dạng như đã chỉ định Giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác dụng lên một mặt của tấm bằng tổng Riemann Sau đó biểu diễn lực dưới dạng tích phân và tính giá trị của nó.
Thiết lập một trục x dọc như được hiển thị Sau đó diện tích của dải chữ nhật thứ i là
[Bằng tam giác tương đồng nên ] Áp suất trên dải là , vì vậy lực thủy tĩnh trên dải là và là lực thủy tĩnh
2 Một máng chứa đầy chất lỏng có khối lượng riêng 840 Kết thúc của máng là các hình tam giác đều có cạnh dài 8 m và đỉnh ở phía dưới Tìm lực thủy tĩnh ở một đầu của cái máng.
Bằng hình tam giác tương tự diện tích của dải hình chữ nhật là và áp lực lên nó là
3 Các khối lượng được đặt tại các điểm dưới đây, tìm moment và trọng tâm của hệ
Vậy khối lượng trung bình là
4 Tìm tâm của vùng được giới hạn bởi các đường cong đã cho
5 Một tấm thẳng đứng được nhúng chìm (hoặc ngập một phần) trong nước và có hình dạng như đã chỉ định Giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác dụng lên một mặt của tấm bằng tổng Riemann Sau đó biểu diễn lực dưới dạng tích phân và tính giá trị của nó.
Thiết lập một trục x dọc như được hiển thị , khi đó diện tích của dải hình chữ nhật thứ i là
[Bằng tam giác tương đồng, nên ] Áp suất lên dải là , vì vậy lực thủy tỉnh trên tấm
6 Sử dụng quy tắc simpson để ước tính tâm của vùng được hiển thị
7 Tìm tâm của vùng được giới hạn bởi các đường cong và phác thảo khu vực và vẽ biểu đồ tâm để xem câu trả lời của bạn có hợp lý không.Giải:
8 Một hình chữ nhật có cạnh và được chia thành hai phần R1 và R2 bởi một cung parabol có đỉnh trùng với nhau góc và đi qua góc đối diện Tìm trọng tâm của cả hai R1 và R2.
parabol có phương trình: và đi qua điểm có tọa độ (a,b), từ đó ta có biểu thức
Vì R là diện tích của phần ab, R là phần diện tích của phần A =2 2
Tọa độ trọng tâm của R là 1
Tọa độ trọng tâm của R là2
Bài tập ứng dụng của tích phân trong sinh học và kinh tế
1 Hàm chi phí cận biên được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí Chi phí cận biên để sản xuất gallon nước cam là (đo bằng đô la mỗi gallon) Chi phí ban đầu cố định là Sử dụng Định lý Thay đổi ròng để tìm chi phí sản xuất 4000 gallon nước trái cây đầu tiên.
2 Một đường cầu được đưa ra bởi Tìm thặng dư tiêu dùng khi giá bán là
3 Hàm cung cho một loại hàng hóa là mối quan hệ giữa giá bán và số lượng hàng mà đơn vị sản xuất sẽ sản xuất ở mức giá đó Với giá cao hơn, nhà sản xuất sẽ sản xuất nhiều hàng hơn, vì thế là một hàm tăng của x Cho X là lượng hàng hóa hiện tại đã sản xuất được và cho là giá cả hiện tại Một vài nhà sản xuất sẵn sàng làm và bán hàng hóa với một mức giá thấp hơn và vì thế nhận được nhiều hơn mức giá tối thiểu của họ Khoảng dư ra được gọi là thặng dư sản xuất Lập luận tương tự, ta được một hàm tích phân cho thặng dư tiêu dùng (comsumer surplus):
Tính thặng dư sản xuất cho hàm cung khi giá bán đạt mức X có thể minh họa bằng cách vẽ đường cong cung ứng Thặng dư sản xuất được xác định thông qua diện tích giữa đường cung và mức giá X, cho thấy lợi ích kinh tế mà nhà sản xuất nhận được khi sản xuất và bán hàng hóa ở mức giá này.
4 Định luật thu nhập của Parteto nói rằng số người có thu nhập giữa x = a và x=b là trong đó A và k là đồng nghĩa với và Thu nhập trung bình của những người này là tính
5 Huyết áp cao là kết quả của sự co thắt động mạch.Để duy trì tốc độ dòng chảy (thông lượng) bình thường, tim phải bơm cứng hơn, do đó làm tăng huyết áp Sử dụng
Định luật Poiseuille chỉ ra rằng khi bán kính và áp lực trong động mạch đạt giá trị bình thường, và các giá trị bị hạn chế là R, thì thông lượng sẽ không đổi và được liên kết bởi một phương trình cụ thể.
Nếu vẫn không đổi, thì
Vậy huyết áp tăng hơn gấp ba lần
6 Sau khi tiêm 5,5 mg thuốc nhuộm, kết quả đo nồng độ thuốc nhuộm, tính bằng ,trong khoảng thời gian hai giây như được hiển thị trong bàn Sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính cung lượng tim.
Giải: chúng tôi sẽ ước tính cung lượng tim bằng cách sử dụng quy tắc simpson với
7 Đường cong nhu cầu Với đường cong cầu và đường cong cung
Để tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất, chúng ta cần phác thảo các đường cong cung cầu Thặng dư tiêu dùng được xác định là khu vực giữa đường cầu và giá thị trường, trong khi thặng dư của nhà sản xuất là khu vực giữa giá thị trường và đường cung Việc xác định những thặng dư này thông qua hình vẽ sẽ giúp hiểu rõ hơn về lợi ích kinh tế mà người tiêu dùng và nhà sản xuất nhận được.
8 Biểu đồ của hàm nồng độ c(t) được hiển thị sau khi tiêm thuốc nhuộm 7 mg vào tim.
Sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính cung lượng tim.