Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Xây dựng hàm tử mở rộng bằng phép giải nội xạ và mô tả số chiều của một số vành

...ư.ư ke k ướ ng «Bài luận văn này là nghiên cứu nhỏ đầu tiên của em trong quá trình học tập môn toán .Mục đích của bài viết này là xây dựng lại một số khái niệm cơ bản trong Dai Số Đồn

MO TA SO CHIEU CUA MOT SO VANH

Người hướng dan: Tiến si My Vinh Quang

Người thực hiện : Sinh viên Võ Duy Cương

ư.ư ke k ướ ng «

Bài luận văn này là nghiên cứu nhỏ đầu tiên của em

trong quá trình học tập môn toán Mục đích của bài

viết này là xây dựng lại một số khái niệm cơ bản

trong Dai Số Đồng Điều và các tính chất của chúng

thông qua phép giải nội xạ thay vì sử dụng phép giải

xạ ảnh Bài viết này được thực hiện dưới sự hướng

dẫn của thầy My Vinh Quang.

Em xin chân thành cảm ơn thdy My Vĩnh Quang đã

hướng dẫn em hoàn thành luận văn này trong thời

gian qua.

Em cũng xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyén đã

tận tình giảng day em trong quá trình bắt đâu tiếp

cận môn Đại Số Đông Điều.

Sinh viên Võ Duy Cương

Khoa Toán Khóa 1996.

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN |: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

L.A Médun xa ảnh và môđun nội xa - các điều kiện tương đương :

LA.1 Môdun xạ anh:

I.A.1.1.Định nghĩu-Tính chất

Médun X trên vành R gọi là môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi đồng cấu

f: X——>B và mọi toàn cấu g : A——>B, ton tại một đồng cấu

i Mọi môđun tự do trên R đều là môđun xạ ảnh

ii — Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun xạ ảnh trên R cũng là một

iii X đẳng cấu với hang tử trực tiếp của một môđun tự đo trên R.

Hé quả : Mọi médun X trên R déu có thể nhưng vào trong một dãy

khớp ngắn có dang 0———>A ——> ——>X ———>0 trong đó B là

môdun tạ ảnh.

iv, Với mọi toần cấu g:A——>B

đồng cấu

g- = Hom(i,g): Hom(X,A)———> Hom(X,B)

cũng là toàn cấu.(chính là định nghĩa của médun xa ảnh.)

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN |: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

v Với moi dãy khớp ngắn những môđun trên R

Médun Y trên R gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu

ƒ:A ——> Y và mọi đơn cấu g: A ——> B của những médun trên R,

ton tại một đồng cấu h: B ——» Y thỏa h„ g=f

Hêqud: Mọi médun Y trên R đều có thể nhúng vào trong một dãy khớp ngắn

có dạng 0——>Y ——> B ——> A —>(, trong đó B là médun

ề xa anh.

ii/ Moi hạng tử trực tiếp của | môđun nội xạ trên R lại là nội xạ

ii Mọi tích trực tiếp những môđun nội xa trên R lại là nội xạ.

1.A.2.2 Các diéu kiện tương đương:

⁄ Y lànội xạ.

ii/ Mọi dãy khớp ngắn

0 ——>Y —>U —Y ——> 0

của những môđun trên R đều chẻ ra

iii/ X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R.

iv Với mọi đưncấu g:A ——>B thì

g`= Hom (g j¡ ) : Hom (B,Y) ——> Hom(A,Y)

là một toàn cấu (Chính là định nghĩa của môđun nội xạ)

Íbểk hosing đến : TS Ấfy Tih đương 2

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

v/ Moi dãy khớp ngắn

Ủ—$AÀ-“S⁄s5—-*-š€Ẵ—n

những môđun trên R, dãy

với f =Hom (f,i) ; g° =Hom(g, i)

cũng là dãy khớp ngắn.

LA.2.3 Bổ đề Bair:

Q là médun nội xạ <> Mọi đồng cấu ƒ: | ——> Q với I là idean bất

ki của vành hệ từ R đều mở rộng được tới đồng cấu 7: R ——> Q

J““

1L

đồng cấu f: 1 ——> Q với I là Idean bất kì của R đều tôn tại

phân từ q © Q sao cho với mọi Act ,ta có : ƒ(4)= Aq.

LA.2.4 Môđdun nội xạ và môđun chia d

> Mọi môđun nội xa trên một miền nguyên R là một môđun chia được ,

ngược lại ,một môđun chia được trên một vành chính là môđun nội xạ

° Trên một mién nguyên R, mọi môđun thương của một môđun chia được

cũng là môđun chia được.

Trên một vành chính R, mọi môđun thương của một môđun nội xạ cũng là

môđun nội xạ (suy ra từ 2 mệnh để trên )

LB.1 Định nghĩa: ©

se Xét tập hợp Hom (A, B) tất cả các đồng cấu từ một môđun A trên R vào |

môđun B trên R.

Tập hợp này cùng với phép cộng hai đông cấu và phép nhân với một phan tử

khác 0 thuộc vành hệ tử R lập thành | môđun gọi là môđun của tất cả các

đồng cấu từ Á vào B.

Phần tử không của môđun vành là đồng cấu tầm thường 0.

e Giả sử f:A” —> A,g:B——>B`

là những đồng cấu tuỳ ý cho trước của những môđun trên R.

Trên các môđun Hom (A, B) và Hom (A’, B’), ta định nghĩa một ánh xạ

như sau:

Ngee heatng olde: TS My Vink Luang 3

tuy Va té ;sg1wV|! PHANH.CÁC KHALNIEM CƠ BAN

h: Hom (A, B) ——> Hom (A’, B’)

rõ rang h là đồng cấu môđun

Kí hiệu đồng cấu h này là Hom(f, g)

1.B.2 Tính chất của hàm tử Hom

xe

mt.

iv.

gt heating xin © TS My Vink Juang

Nếu M là một môđun tùy ý trên R và

Nếu M là một môđun tùy ý trên R và

U—>AÁ —E z;u afer

là một dãy khớp ngắn các đồng cấu môđun trên R

thì dãy

0———>Hom(M,A)—“- Hom(M,B) —Ê*~› Hom(M.C)

trongđó f.= Hom(iP ¡ g-= Hom(i,g)

Luat Vẫn Tới ¡vip PHAN L CÁC KHALNIEM CO BAN

trongđó f.= Hom(i,f)

g-= Hom(i,g)

i là tự đồng cấu đồng nhất của M

cũng vậy.

v Néuf:A' ——> Ala một toàn cấu và g :B ———> B' là một đơn cấu

thì Hom(f,g) : Hom(A.B)———> Hom (A',B`) là một đơn cấu.

I.C.DẦY KHOP:

1.C.1, Định nghĩa :

Ta gọi dãy khop là một day hiều hạn hoặc vô hạn

nhường đồng cẩu médun trên R sao cho ảnh của đẳng cấu vào trùng với hạt nhâncủa đồng cấu ra tại mọi médun khác hai đầu

là chẻ ra tại Y nếu và chỉ nếu A = Imf = kerg là hang tit trực tiếp của Y.

Dãy khớp ngắn (*) chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại Y

L.C.2.Tính chất:

i Day khớp ——>X ——>Y ——>Z ——› chẻ ra tại Y thì Y

đẳng cấu với tổng trực tiếp : Im(f) và Im(g)

Y = Im(f) ® Im(g)

ii Day khđpngắn O —> A—4> B—*t» C —>0

những đồng cấu của những môđun trên R là chẻ ra tương đương với

Luận Văn ‘Tot Nghiệp PHÁN 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

© Phức dưới các R môđun là một dãy các môđun và đồng cấu môđun có dang

(K): ——— Kas —Ôs:Ly lẽ — kỹ Kas——.:.

trong đó Ô„2„„¡= 0 (Im Ø„„¡ kerô„)

Ta viết một cách đơn giản:

(K): —— Kast — K,— — Kunst >

Đặt KH (K) = ker dc K„

B„ (K) =Im 0,4; CẤ„

Hạ (K) = Z, (K)/ B, (K)

H,(K) gọi là môđun đồng điều chiều thứ n của (K).

© Phức trên các R-môđun là | dãy các môđun và các đồng cấu môđun viết dưới

1.UẠ11 VY MU 0Ú (x6010|2 PHAN L CAC KHAI NIEM CƠ BAN

© Ta có thể biến đổi một phức dưới thành một phức trên ( hay ngược lại ) bằng

cách đặt

K',=K,

on = e -n tín cZ

© Đồng cấu dây chuyển : (Anh xạ đây chuyển-đồng cấu phức )

Cho 2 phức dưới K, L Ta gọi đông cấu dây chuyền f: K ——> L

e© Tương tự như thế, ta cũng xây dựng ánh xạ déng điều và môđun đồng diéu

cho đồng cấu day chuyển f: K ——> L, trong đó K, L là các phức trên.

LuậnVăn Lỏt Nghiệp PHAN |; CÁC KHAI NIEM CƠ BAN

Ta có định nghĩa như sau :

f và g gọi là đồng luân bởi đồng cấu s và kí hiệu s: f~g nếu có họ đồng cấu

s = (5,:K, ——> La)sao cho f-g=sd+ds : K,— >L,

(K) ——> Kati —— K, ——>K, -1

Khi đó , quan hệ đồng luân là quan hệ tương đương.

e Với K,L là 2 phức trên, ta cũng xây dựng khái niệm đồng luân tương tự như

LE Dãy kh dén eile và đối đôn : điễu của dãy khớp n xế» cắc hức

Cho dãy khớp ngắn (E): 0 —> Ñ-#“+(0—tx#—¬0

LE.3.Đồng cấu nối:

Ta xây dựng đồng cấu ô;

P Op > Hạ(M) ——> Hạ ¡ (K)

như sau :

Luan Vẫn bot ingiugp PHAN I: CAC KHAI NIEM CƠ BAN

Vme HẤ(M) , ôpg(m)= oon lựm)

khi đó ôy là 1 đồng cấu môđun.

Kết hợp 2 mệnh dé trên ,ta có định lý sau :

LE.4 Định lý về dãy đồng điều của dãy khớp ngắn các phức dưới:

Cho (E) là một dãy khớp ngắn các phức

03> KỞ24LỞ45m 30

Ta có dãy sau là khớp

a a, 2 a

sa > Hy (MLE HK) Ở > Hy (L) > Hạ(M)ỞÊỞ>HẤ_¡(K)ỞỞ

trong đó @, =ỷẤ() ; 2, = HẤ(Z) ; ôz là đồng cấu nối xác định như trên.

Khi K,L.M là các phức trên, ta cũng có các kết quả tương tự như trong LE.4

L.E.5.Dinh lý về day déi đông điều của dãy khớp ngắn các phức trên:

Với mọi dãy khớp ngắn các phức trên

(E): 0Ở-ỪỈ KỞ#ỞỪLỞỞỈM 30

thì day đối eons diéu cia ( (E) la khớp :

Fo" at) ỞỞ 1" t6)Ởệ +HẤ jsỢ (M)ỞỞỞ> a H"*Ì(gỞ#Ởy

trong đó a` = H"(z) ; 8`=H"(ử) ; đồ là đông cấu nối xác định như

lấy dãy đồng diéu va dãy đối đồng điều của (K') và (K) thì ta có

Ngee huting odin ý TS My Vinh Quang , 9

LuanVae lot Nghiệp PHAN | CÁC KHÁI NIEM CƠ BAN

của (E') và hiển nhiên nó là khớp Mệnh dé đã dược chứng minh xong

LF PHÉP GIẢI XA ANH:

LF1Đ ia:

Xót 1 médun X tùy ý trên R

¢ Ta gọi phép giải xạ ảnh của X là một dãy dưới khớp

Với mọi môđun X trên R, ta có các kết quả sau:

i Moi môđun X trên R đều có một phép giải xạ ảnh.

ii, Chotrước h :X=——+Y_ là 1 đồng cấu từ môđun X vào môđun Y.

khi đó tổn tại | đồng cấu dây chuyển

Mọi médun X trên R đều có một phép giải xạ ảnh và bất kì hai phép giải xạ ảnh

nào của cùng một médun X đều tương đương đồng luân.

Ngee’ heating dn TS.My Vinh đeơng 10

L.uậnVăn Tot Nghiệp PHAN I : CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

hao giờ cũng là khái.

lpex heating đến : TS My Vink đeưng I

LuậnVân Tôi Nghiệp PHAN I: PHÉP GIÁI NỘI XÃ

PHẦN II : PHÉP GIẢI NỘI XẠ

IILA ĐINH NGHĨA PHÉP GIẢI NOI XA

Cho trước một médun Y trên R

Ta gọi phép giải nội xa của Y là một dãy trên khdp

II.B.1 Mệnh đề về sự tôn tại phép giải nội xạ :

Moi médun trên R đều có phép giải nội xạ

Yo là môđun nào đó trên R

Tương tự như vậy, ta có các đãy khớp ngắn sau:

» lQ#s ÁuAbsg ddn : TS lly Vink Inang 12

Luận Văn Tốt Nghiệp: PHAN II : PHÉP GIẢI NỘI XA

Vì a là đơn cấu, B là toàn cấu;

Im 5, = Im Gay; = ker j3„., = ker(d„,z o Bari) = ker ỗ„„¡

Tai môđun Y day là khớp : Hiển nhiên ,

Vậy C là một phép giải nội xạ của X.

Bây giờ ta xét một đồng cấu médun bất kỳ

II.B.2 Mệnh dé về sự tôn tại đồng cấu dây chuyên :

Tôn tại một đồng cấu dây chuyển

Ft he: CQ——+Ð, /heJ

của day trên C vào day trên D

sao cho t,=h

Ching minh;

Đầu tiên ta dịnh nghĩa f_,=h ; Với mọi n < —1 thì C, =0 do đó f„= 0

Bây giờ ta xét trường hợp n = 0.

LuậnVân Tốt Nghuep PHAN IL: PHÉP GIÁI NÓI XA

Theo định nghĩa của môđun nội xa ,ta có :

Vì Dy là nội xạ và & : X ———> Cụ là đơn cấu nên tổn tại đồng cấu

môđun fy : Cọ ———> Dạ sao cho fy „ 6 =ỗ „ h

Ta sẽ dung họ các đông cấu f, bằng phương pháp qui nạp như sau :

Giả sử n > (va giả thiết f„ đã dựng được với mọi m < n~-l sao cho hình

chữ nhật sau là giao hoán :

LuậnVăn Tot Nghiệp PHAN IL: PHÉP GIẢI NỘI XA

Theo phép dựng quy nạp này , phép biến đổi dây chuyển f: C——>D đãdược xây dựng xong Vậy mệnh dé đã được chứng minh 0

HI.B.3.Mệnh đê về sự đông luân giữa hai đẳng cấu dây chuyền

Giả sử ta có 2 phép giải nội xạ C,D của 2 médun X, Y và 2 đồng

cấu đây chuyển

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN II : PHÉP GIẢI NỘI XA

Với mỗi n €Z ta phải tìm một đồng cấu

Xét déngcdu ja=f, — Bn — Ska

Khi đó mỗi hình vuông là giao hoán nên ta có các biến đổi sau :

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN IL: PHÉP GIẢI NỘI XA

Trong đó

® - ô,ô=0 suy ra dòng là khớp

© j,.8=0

Với cách chứng minh tương tự như chứng minh trong mệnh dé II.B.2 ta

suy ra tổn tại đổng cấu môđun — ky.) Cay ——> Dạ

sao cho

ky Ồ = jn= I, “ Êa ~ ôk,

=> f,-g = 5k, + ky d

Vậy với cach dựng qui nạp trên ta đã dựng được họ các đồng cấu k thỏa

mãn hệ thức : f, — g, = ồk„+ k„ạ,;ỗ Vậy ta có điều phải chứng minh |)

- lgeex ÁuAlsg dn > TS My Vink Quang 17

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN III : HAM TỬ MỞ RỘNG

PHAN I! : HAM TỬ MỞ RONG

ILA Một số bổ dé :

Trong phần này ta ký hiệu X và Y là hai môđun trên vành R

Chọn một phép giải nội xa (C) bất kì của mođun Y

(C}5.› na C SG —ổ š €„— “3š

Gọi i :X ———> X là tự đồng cấu đồng nhất của môdun X,

Xét dãy các đồng cấu môđun sau :

Hom (X,C): —2—» Hom(X,C,) —2—> Hom(X,C„)—Ê—>

Trong đó 5 = Hom(i,ỗ)

“Ta có

5,5 =Hom(i/ð) „ Hom(,5)= Hom(i,i,6,6)=0

=> Hom(X,C) là day nửa khớp.

Khi đó, Vn mođun đồng điều n chiéu của nó xác định H*{ Hom( X,C ) |

đồng luân với các đồng cấu dây chuyển đồng nhất của các dãy trên C,D.

(theo II,B.3,f„ø là đồng cấu dây chuyển của day trên (C) và đồng cấudây chuyển đồng nhất của dãy trên (C) phải tương đương đồng luân )

Khi đó Hom(i,f) và Hom(i,g) cùng là đồng cấu dây chuyển của dãy dưới

Hom(Y,C) và Hom(Y,D) và chúng cảm ứng ra các đồng cấu :

f : H"[ Hom(X.C) | ——> H"{ Hom(X.D) |

g : H"| Hom(X,D) | ——> H"{ Hom(X,C) |

- lgrds heting aẩm : TS My Vinh đương 18

LuậnVăn Tét Nghiệp PHAN II: HAM TU MỞ RONG

Ta lại có

Hom(i ,g )¿ Hom( if) = Hom( ¡ oi g „ })

Hom( ¡.£ )o Hom( ig ) = Hom( ¡ „¡, Í „ g )

Nên theo II.B.3 (về sự đồng luân giữa hai dây chuyén)hai đồng cấu dâychuyển này cũng đồng luân với phép biến đổi dây chuyển đồng nhất của

kéo theo dãy khớp

0 ——>Hom(X, C_¡)——>Hom(X, Cp) ——> Hom(X, C¡)

giả sử C,E là phép giải nội xạ cho trước của X,Z thì tấn tại phép giải

nội xạD của Y và hai phép biến đổi day chuyền

f£:C¬D g:DEF, (Vn>0)

sao cho với mọiH (———>€C, a, D, 2 E,—90_ là dãy

khớp ngắn chẻ ra

Hite Áehyy hn + TS My Vinh đương | “` Si eal 19

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN III : HAM TỬ MỞ RỘNG

Chung minh :

Xét biểu để sau :

0 0 0

Oo am —he Ý -Eš cH

Ta định nghĩa déng cấu Z,: Y ——> Co® Eonhu sau:

* Cọ là nội xạ nên tổn tại /: Y Cy để cho thea

w Với y eY: dat Ø,= (f(y),Øk(y)/e Cạ® Ep)

s* fo: Co +» CoB Eo fo(c)= (c.0)

go: CoB Eo + Eo Zolc.e)=e

Khi đó ta có

i 09 Co—2-9Cp @ Ey —Ÿ®—> Ep —> 0 là chẻ ra

ii Z là đơn cấu

iii Hai hình vuông đầu là giao hoán.

mà œ là đơn ánh =>x = 0 = y2- yị ==ÿY\ = Y¿

vậy nếu /(y¡)=/(y› => Yi=Y:

=> j là đơn ánh

Aan hating dim : TS ly Vink đương 20

LudnVan Tot Nghiệp PHAN I: HAM TU MG RONG

iii Hai hình vuông đầu là giao hoán

Hình vuông trái:

VxeXY: @h(x) = (£h(x), „k(h(x)))= (£h(x), 0)

f z(x)= f,(fh(x))= £, h(x),0= /, h(x)

Vyef:g Ø(y)=p.|(f(y),xk(y)J= z.k(y)

Bây giờ ta xét tiếp biểu đổ sau:

ta xây dựng đa theo phương pháp qui nạp như sau (n>0)

Giả sử ta đã dựng được D, J„ _¡, fy, g„ ta sẽ đựng Dass Ba finer và

Bos) như sau :

Với mọi x € D, = C, BE,

tổng trực tiếp của hai dãy khớp nên phải là day khớp )

Nya Á,aSsp dn: TS.My Vink đường 21

LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN III: HAM TU MỞ RỘNG

Vậy

® O-›Y-+Do-+» D,-› là một phép giải nội xạ

® f= [f,: Cạ->D,|là một phép biến đổi dây chuyền từ day trên C vào

Theo HLA.1 và IIH.A.2 thì H"[Hom(X, C)]=0 chỉ phụ thuộc vào n và các môđun

X.Y (không phụ thuộc vào phép giải) đồng thời là tim thường n<0 Do đó ta đưa

ra định nghĩa sau

111.B.1 Định nghĩa :

se Với mọi n EZ, H"[Hom(X, C)] gọi là tích mở rộng n chiêu

trên l của các modun X,Y và kí hiệu la

Ext’, (X,Y) hay Exf(X,Y).

> Khi n=l, ta kí hiệu là Ext(X,Y)

> Khi n=0, ta định nghĩa : Ext (X,Y) = Hom(X.Y)

¢ Bây giờ ta xét 2 đồng cấu cho trước bất kỳ :

Hom( kf) = { Hom (kf, ) : Hom( X,C„) ——> Hom( X',C,`))

là một phép biến đổi dây chuyền của day trên Hom (X,C) vào

day trên Hom (X', C`)

Hom (kf): Hom (X,C)——> Hom(X'`,C`)

Ngraw Ácaeg đẫm ¿ TS tly Vink 3Öeng 22

LudnVan Tot Nghuệp

Nên nó cam ứng ra một đông cấu :

PHAN III : HAM TỬ MỞ RONG

[Hom(kf)' J" : H"[Hom(X.C)]——xH" Hom[X',C'} tn>0

hay

[Hom (kf) J" : Ext" (X,Y)— Ext” (X',Y')

khi đó [Hom (kf) J" không phụ thuộc vào sự lựa chọn đồng cấu

dây chuyên ƒ:C —>C' (bởi vì theo nếu ta chọn một đông cấu dây chuyển ƒ 'khác thì Hom(k,f) và Hom(k, ƒ ') là tương đương đông luân ) nên xác

định với mọin và mọi đồng cấu h,k.

[Hom (k,f)`J" duoc ký hiệu là Ext"(k,h)

© Xét một phép giải nội xạ bất kì của médun Y

(C) : ` —>C,.; —fe-l_, 6, —S 5 Cost —— oes

i

gọi là phép giải nội xạ thu gọn của médun Y

Day này có tính chất là mọi médun trong đó đều là nội xạ, khớp

tại mọi médun C, với n > Ì, và không khớp tai Co

LudnVan Tôi Nghiệp PHAN IL: HAM TU MỞ RỘNG

Trong đó ð ¿ là tự déng cấu đồng nhất của mođun Y

=> Hom(X,C) là khớp Exứ(X,Y) <0 Vn €Z' ,Vmôđun X trên R.

Nếu Y có một phép giải nội xạ C sao cho C„ = 0 th>m

Thì ExU(X,Y) =0 bh>m Vmôđưn X trên R

Hơn nữa: Exf(X,Y)>Coker[Hom(¡ dy ;)]

= ker|(Hom (i.ỗ„)|/ 1,,(Hom (¡ỗ„ ,)

=Hom (X,€„)/ Im( Hom (i.ð„.¡))

=> Ext"(X.Y )x Coker [Hom (I,ỗ„.¡)|.

- ly Áudsg viêm > TY My Vink đương 24