Trang 1 BỘ GIạO DỤC Vá ĐáO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm Thỏnh Phố Hồ Chợ Minh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Mừn: Đại Số Dờ tai: XằY DỰNG HáM TỬ MỞ RỘNG BẰNG PHẫP GIẢI NỘI XẠ & MO TA SO CHIEU CUA MO
Trang 1
BỘ GIạO DỤC Vá ĐáO TẠO
Trường Đại Học Sư Phạm Thỏnh Phố Hồ Chợ Minh
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Mừn: Đại Số Dờ tai: XằY DỰNG HáM TỬ MỞ RỘNG BẰNG PHẫP GIẢI NỘI XẠ &
MO TA SO CHIEU CUA MOT SO VANH
Người hướng dẫn: Tiến sĩ My Vinh Quang
Trang 2Bỏi luận văn nỏy lỏ nghiởn cứu nhỏ đầu tiởn của em
trong quõ trớnh học tập mừn toõn Mục đợch của bỏi
viết nỏy lỏ xóy dựng lại một số khõi niệm cơ bản
trong Đại Số Đồng Điều vỏ cõc tợnh chất của chỷng
thừng qua phờp giải nội xạ thay vớ sử dụng phờp giải xạ ảnh Bỏi viết nỏy được thực hiện dưới sự hướng
đẫn của thầy My Vinh Quang
Em xin chón thỏnh cảm ơn thầy My Vĩnh Quang đọ
hướng dẫn em hoỏn thỏnh luận văn nỏy trong thời gian qua
Em cũng xin chón thỏnh cảm ơn thầy Trần Huyởn đọ tận tớnh giảng dạy em trong quõ trớnh bắt đầu tiếp
cận mừn Đại Số Đồng Điều
Sinh viởn Vử Duy Cương
Trang 3NHẬN XẫT CỦA GIẢNG VIấN HƯỚNG DẪN
TTR RRR TTR THREE TERE Cee eee
ERE EERE REET HT eee eee
SERRE REE REE áAá :ˆ AA.á á ^ ạ ^^ ^
*“ *g v.v th *t #4896 0649096909690 969 961949 6496464964 699419690 6469696969696 eee ee
* * cv th #6 t9 46090 96 64 969496990990 963496990 96946969 69690 9494 OHH TRH eee eee eee eee ee
CREE EERE RO eee
SPREE RETRO
SERRE EEE ERE THe eee eee SEER EERE HTH eee HH eee
SORE HEHEHE HTH RRC
Trang 4NHAN XET CUA GIANG VIEN PHAN BIEN
TPR e
— TT eee ee eee eee
— ^^ — eee eee
-_—- ——————_———————————————-gồỗỖ AA ————————————————=————————————————_—_ TPR THRO OOOO Cee eee eee eee eee STEHT TC Oe ee eee ee eee eee SESH EEE EEE HEE HEHEHE EEE HEE EEE ESHEETS EH ESHER HEHEHE 22 SPREE EERE REE EERE ERR Hee ee ee STH THR HCC Re eR eee eee ee eee eee ee ee eee
SEER EEE EEE EEE EEE EEE EERE RHEE RH REE RRP!
Trang 5LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN I: CAC KHạI NIỆM CƠ BẢN
PHAN I: CAC KHạI NIấM CƠ BẢN
I.A Mừdun xạ ảnh vỏ mừdun nội xạ - cõc điều kiện tương đương : 1.A.1 Mờdun xa anh :
1.A.1.1.Dinh nghia-Tinh chat
Mừdun X trởn vỏnh R gọi lỏ mừđun xạ ảnh nếu vỏ chỉ nếu mọi đồng cấu
f: X——>B vỏ mọi toỏn cấu g : A——>B, từn tại một đẳng cấu h: X——>A thỏa mọn g „h =ƒ X h , >B Tợnh chất :
i Moi mờdun tw do trờn R đều lỏ mừđun xạ ảnh
ii — Mọi hạng tử trực tiếp của một mừđun xạ ảnh trởn R cũng lỏ một
mừđun xa ảnh
li - Mọi tổng trực tiếp của những mừđun xa ảnh trởn R cũng lỏ một mừđun xạ ảnh
I.A.1.2.Cõc điều kiện tương đương :
Với mừđun tỳy ý X trởn R vỏ tự đồng cấu đồng nhất của nụ i:X ——> X thớ cõc điều kiện sau lỏ tương đương : i, X lỏ mừđun xạ ảnh ii, Moi dọy khớp ngắn những mừđun trởn R cụ dạng : 0 U—V—›X—=ềỀ A E +0 đều chẻ ra
iii — X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mừđun tự do trởn R
Hệ quả : Mọi mừđun X trởn R dờu cụ thể nhưng vỏo trong một dọy khớp ngắn cụ dạng 0 >A >B Í>X —— 0 trong dờ B la mừđun vạ ảnh IV, Với mọi toỏn cấu 8:A ——>B đồng cấu
g-= Hom(i,g): Hom(X,A) > Hom(X,B)
cũng lỏ toỏn cấu.(chợnh lỏ định nghĩa của mừđun xạ ảnh.)
Trang 6
Luận Văn Tốt Nghiệp PHẦN I : CạC KHạI NIỆM CƠ BẢN
V Với mọi dọy khớp ngắn những mừđun trởn R 0—xA= 2 +B-#vC——o dọy 0——>Hom(X,A)—“—›Hom(X,B)—Ÿ*—›Hom(X,C)——>0 trong đụ f.= Hom(i,f) ; g-= Hom(i,g) cũng lỏ dọy khớp ngắn I.A.1.3 Bổ đề: Mọi mừđun con M của é mừđun tự do T trởn 1 vỏnh chợnh A đều lỏ moddun tu do LA.2 Mừdun nội xa: L.A.2.1.Định nghĩa - cỷc tợnh chất :
Mừõđun Y trởn R gọi lỏ nội xạ nếu vỏ chỉ nếu với mọi đồng cấu
f:A ——> VY vỏ mọi đơn cấu ự: A ——> B của những mừđun trởn R,
từn tại một đừng cấu h: B ——> Y thỏa h„ g=ƒ O——)Í A.—i—Í.B ' | „⁄ Y Cỷc tợnh chất: i/ Moi mờdun trởn R đều đẳng cấu với một mừđun con của mừđun nội xạ trởn R
Hờqud: Moi mờdun Y trờn R dờu cờ thờ nhỷng vỏo trong một dọy khớp ngắn cụ dạng 0 >Y >B >A >0 , trong dờ B la mờdun
xạ ảnh
ii/ — Mọi hạng tử trực tiếp của l mừđun nội xạ trởn R lại lỏ nội xạ
iii/ - Mọi tợch trực tiếp những mừđun nội xạ trởn R lại lỏ nội xạ 1.A.2.2 Cac điều kiện tương đương:
⁄/ Y lỏnội xạ
ii/ Mọi dọy khớp ngắn
0 ——Y —>U —>V —>0 của những mừđun trởn R đều chẻ ra
iii/ X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một mừđun nội xạ trởn R
iv Với mọi đơn cấu g:AA ——>B thớ
: ` = Hom (g ,i ): Hom (B,Y) ——Í Hom(A,Y)
lỏ một toỏn cấu (Chợnh lỏ định nghĩa của mừđun nội xạ)
> ly ạo dểÍ : TS.My Vinh Juang 2
Trang 7LuậnVăn Tốt Nghiệp PHẦN I : CạC KHạI NIỆM CƠ BẢN
v/ Mọi dọy khớp ngắn
O.—3.A.—_438 —E5đ —30
những mừđun trởn R, dọy
0> Hom(C, Y)—Ÿ—> Hom(B, Y)—”“—› Hom(A, Y) -> 0 với f'=Hom (fi) ; g`= Hom(, â)
cũng lỏ dọy khớp ngắn
LA.2.3 Bổ đề Bair:
LA ội xạ
Q lỏ mừđun nội xạ > Mọi đồng cấu ƒ: 1 ——Í Q vdi 1 la idean bat kớ của vỏnh hệ từ R đều mở rộng được tới đồng cấu 7: R ——> Q
f
0— é > Q
đồng cdu f: 1 —+ Q với ủ lỏ Idean bất kớ của R đều từn tại
phần từ q e Q sao cho với mọi Ae! ,ta cụ : ƒ(4)= ằ4
.2.4 Mờdun nời xa va mờdun chia duoc
Định lý :
Mọi mừđun nội xạ trởn một miền nguyởn R lỏ một mừđun chia được , ngược lại ,một mừđun chia được trởn một vỏnh chợnh lỏ mừđun nội xạ Trởn một miễn nguyởn R, mọi mừđun thương của một mừđun chia được
cũng lỏ mừđun chia được
Trởn một vỏnh chợnh R, mọi mừđun thương của một mừđun nội xạ cũng lỏ mừđun nội xạ (suy ra từ 2 mệnh để trởn )
LB Hỏm tử Hom LB.1 Định nghĩa:
Xờt tập hợp Hom (A, B) tất cả cõc đồng cấu từ một mừđun A trởn R vỏo l mừđun B trởn R
Tập hợp nỏy cỳng với phờp cộng hai đồng cấu vỏ phờp nhón với một phần tử
khõc 0 thuộc vỏnh hệ tử R lập thỏnh ! mừđun gọi lỏ mừđun của tất cả cõc
đồng cấu từ ạ vỏo B
Phần tử khừng của mừđun vỏnh lỏ đồng cấu tầm thường 0
Giả sử f:A” — A, g:B —— B’
lỏ những đồng cấu tuỳ ý cho trước của những mừđun trởn R
Trởn cõc mừđun Hom (A, B) vỏ Hom (A”, B”), ta định nghĩa một õnh xạ như sau:
_
Trang 8tua VĂN kớ csk1004! VIAN 1 CAC KHALNIEM CO BAN
h: Hom (A, B) ——> Hom (A’, B`) YpeHom (A, B): h(p) = go Mof rử rỏng h lỏ đồng cấu mừđun
Kợ hiệu đồng cấu h nỏy lỏ Hom(f, g)
1.B.2 Tinh chat của hỏm tử Hom
i Nờu M lỏ một mừđun tỳy ý trởn R vỏ A ——> B —Ÿ—› C —— 0 lỏ một dọy khớp ngắn cõc đồng cấu mừđun trởn R thớ dọy 0——>Hom(C,M)—#—› Hom(B,M)——>Hom(A,M) trongđụ f* = Hom(fâ), g* = Hom(g,i) â lỏ tự đồng cấu đồng nhất của M cũng lỏ một dọy khớp ii Nếu M lỏ một mừđun tỳy ý trởn R vỏ 0——+A ——> B —ấŸ—› € ——> 0 lỏ một đọy khớp ngắn chẻ ra thớ dọy 0Í Hom(C,M) —ê—> Hom(B,M) —2—> Hom(A,M) —90 trong đụ g* = Hom(g,i) f* = Hom(f,i) â lỏ tự đồng cấu đồng nhất của M cũng vậy iii Nếu M lỏ một mừđun tỳy ý trởn R vỏ () >A f, B—šŠ›C lỏ một dọy khớp ngắn cõc đồng cấu mừđun trởn R thớ dọy
(0——>Hom(M, Ags Hom(M,B)——> Hom(M,C)
Trang 9Lan Vận Lot ivpiicgp PHAN LL CAC KHALIL NIEM CO BAN
trong d6 f = Hom(i,f) g-= Hom(i,g)
â lỏ tự đồng cấu đồng nhất của M
cũng vậy
v Nếu[: A' —— A lỏ một toỏn cấu vỏ g :B ———> B' lỏ một đơn cấu
thớ Hom(f.g) : Hom(A,B)——> Hom(A',B`') lỏ một đơn cấu
I.C.DAY KHOP:
1.C.1 Dinh nghia :
Ta goi day khỷp lỏ một dọy hữu hạn hoặc vừ hạn
ae oe Xa yy KE 7
nhường đồng cẩu mờdun trờn R sao cho ảnh của đừng cấu vỏo trỳng với hạt nhón
của đồng cẩu ra tại mọi mừđụn khõc hai đầu Một dọy khỷi cụ dạng : ữ—š X⁄_—f-*:?š_—_ 6 gọi lỏ một dọy khớp ngắn Day khdp: sai ee ae BS es a 5
lỏ chẻ ra tại Y nếu vỏ chỉ nếu A = Imƒ = kerg lỏ hạng tử trực tiếp của Y
Dọy khớp ngắn (*) chộ ra nếu vỏ chỉ nếu nụ chẻ ra tại Y LC.2.Tợnh chất:
i Dọy khớp ——>X ——>Y ——>Z ——> chẻ ratại Y thớ Y
đẳng cấu với tổng trực tiếp : Im(f) vỏ Im(g)
Y = Im(f) Ẽ Im(g)
ii Day khờpngin O —> A—45 B —tÍ C —>0
Trang 10LuậnVăn 'tốt Nghiệp PHạN 1: CạC KHạI NIỆM CƠ BẢN I.C.3.Bổ đề (bổ đề 4 hớnh vuừng) Nếu trong biểu đồ sau những đừng cấu mừđun trởn R A‘, Bp —ê5c—4 D 1.411 á'-⁄ 3B —E CỔ -SÒ D0 Hai dúng lỏ khớp, ba hớnh vuừng lỏ giao hoõn , œ lỏ một toỏn cấu vỏ y lỏ một đơn cấu thớ ta cụ : Im (2) = 8ˆ” LIm(?) ] Ker(?) = gẻKer(2)] Do đụ, nếu ylỏ một toỏn cấu thớ ựcũng thế ; nếu ựlỏ một đơn cấu thớ y cũng thế I.D PHỨC LD.1 Phức dưới - Phức trởn
Ẽ Phức dưới cõc R mừđun lỏ một dọy cõc mừđun vỏ đồng cấu mừđun cụ dạng
(K): .——— Kags — 1L › Ky Sey Kywi-— trong d6 0,,0,,4;= 0 (Im ì„„â C ker, )
Ta viết một cõch đơn giản:
(` ::——>f( =ŠẴSsR.= +, ——:
Dat K,(K)=ker dc K,, B, (K) =Im 0,4; CK,
H,, (K) = Z, (K)/ B, (K)
H,(K) gọi lỏ mừđun đồng điều chiều thứ n của (K)
Trang 11ALVA POR pgp , WiHAN ư CAC KHAIL NIEM CO BAN Ẫ Ta cụ thể biến đổi một phức dưới thỏnh một phức trởn ( hay ngược lại ) bằng cõch đặt K'_, = K, O, =0_, "nee
e Dờng cờu dóy chuyển : (Anh xạ dóy chuyển-đồng cấu phức )
Cho 2 phức dưới K, L Ta gọi đồng cấu dóy chuyển f: K ——> L lỏ họ f={[fÒ:Ka —> Lạè ở ỡ (K) "— Kis) > KR, —>K;ạ_â——> [nan f., lỷa | 0 a đc — lo >Lạ szv—Òu:
sao cho mỗi hớnh vuừng đều giao hoan : fo=0f:K, > L„x
Trong hớnh vuừng giao hoõn thớ f„ chuyển Z„ (K) vỏo Z„ (L) vỏ chuyển
B, (K) vao B, (L )
= f, cam ting ra mờt dờng cau
H; () : Hạ (K) ——> H,(L)
gọi lỏ õnh xạ đồng điều cc H+ ch xc)
sẼ Tương tự như thế, ta cũng xóy dựng õnh xạ đồng điều vỏ mừđun đừng điều
Trang 12LuậnVăn lụt Nghiệp PHAN |; CAC KHAI NIEM CO BAN
Ta cụ định nghĩa như sau :
f vỏ g gọi lỏ đồng luón bởi đồng cấu s vỏ kợ hiệu s: f~g nếu cụ họ đồng cấu s =(s,:K, ——> La ) sao cho f— gual K, —> L, (K) ——> Kass a Ky gee â———> ‹ ZA (L) .——— Lan >L)_â——>?
Khi đụ , quan hệ đồng luón lỏ quan hệ tương đương
se Với K,L lỏ 2 phức trởn, ta cũng xóy dựng khõi niệm đồng luón tương tự như sau : f vỏ g lỏ đồng luón bởi đồng cấu s vỏ kợ hiệu s: f ~ g nếu cụ một họ những đồng cấu s = { s„: Kạ ——> L„â} thỏa f-g=sd+ds : K,— Ll, > K} Vỏi —Ậ a's t —>Ln+|
LE Dọy khớ na cón vú đối “ón : điễu của dọy khớp ngắn cõc phức Cho dọy khớp ngắn (E): 0 —> K—257—~F—Íp-50 với K, L, M lỏ cõc phức dưới Khi đụ, ta cụ kết quả sau: H (fa) = Hy (By, (@) ~ i : = H,(K)—2— H,(L) 2H, (M) với z =H,(a) ; ` =H„(ì) la khờp tai H, (L) Vn € Z
LE.3.Đồng cấu nối:
Trang 13LuunVăn bot iwgtugp PHAN 1: CAC KHAI NIEM CO BAN VmeH„(M) , ừp(m)= Z8 (m) khi đụ ừy lỏ ! đồng cấu mừđun H„(K)—#—ÍH„(L—8—>H„(M) Or = anas' 0 Zz H, \(K)—2— H, \(L) 2-H, \(M) Kết hợp 2 mệnh để trởn ,ta cụ định lý sau :
I.E.4 Dinh ly về dọy đồng điởu của dọy khớp ngắn cõc phức dưới:
Cho (E) lỏ một dọy khớp ngắn cõc phức 03 K—2+p—“ 0 Ta cụ dọy sau lỏ khớp a a, A a en, ca Es ay — 9 — H,(M)—=> H,,_,(K) —>
trong d6 a, =H, (a); /đ, =H„() ; ừg lỏ đồng cấu nối xõc định như trởn
Khi K,LM lỏ cõc phức trởn, ta cũng cụ cõc kết quả tương tự như trong ủ.E.4
LE.5.Định lý về đọy đấi đừng điởu của dọy khớp ngắn cỷc phức trởn:
Với mọi dọy khớp ngắn cõc phức trởn
(E): 0-ÍK—Ẽ# ›L—Ẽ# yM ->0 thớ dọy đối “na điều của ( (E) la khớp :
E ~
8' yu" a ———> 1" (ee “i Bye (Mỳ—ấ—>H"*è(gyạ—5#—›
Trang 14LuanVan bot Ngtnep MIAN 1 CạC KHạI NIỆM CƠ BẢN
"(K)=H,(K') H*(ð)= H„(ấ)
Ấp dụng cõc biến đổi như thế cho cõc phức trởn trong dọy khớp ngắn cõc phức (E) Ta goi (E`) lỏ dọy khớp ngắn cõc phức dưới thu được sau khi biến đổi
(%ũ —>K'~“ šU-_-ê# twM-—šð
Với cõch đặt như trởn thớ đọy đối đồng điều của (l:) biến thỏnh dọy đồng điều
của (E`) vỏ hiển nhiởn nụ lỏ khớp Mờnh dờ đọ được chứng minh xong
LF PHEP GIAI XA ANH:
L.F.1 Dinh nghia :
Xờt è mừđun X tỳy ý trởn R
đ Ta goi phờp giải xạ ảnh của X lỏ một dọy dưới khớp ` 2 Ạ (C)::.:——> Cx+â——>C„———>C„~-â——> thỏa mọn 3 điều kiện sau : >€ê,.3 > C,=0 me<-l Í C,, la mờdun xa dnh trờn R Vn 20 Ẽ Một cõch đơn giản, phờp giải vạ ảnh của X lỏ è dọy dưới khớp cụ dạng: fC)‡ ‹‹—G.—“—ŒG —: —Ẵƒ{-*zx—o sao cho Wn 20, C,, la mbdun xạ ảnh L.F.2.Cõc tợnh chất của phờp giỏi xụ ảnh:
Với mọi mừđun X trởn R, ta cụ cõc kết quả sau:
i Mọi mừđun X trởn R đều cụ một phờp giải xạ ảnh
ii, Chotrước h :X———+Y_ lỏ I đồng cấu từ mừđun X vỏo mừđun Y khi đụ tổn tại ! đồng cấu dóy chuyển f={f,: C,——>D,} với C vỏ D lỏ 2 phờp giải xạ ảnh của 2 mừđun X vỏ Y sao cho f_,=h iii — Hai đồng cấu dóy chuyền bất kớ f={f,:C, > D,,n €Z) E= ẻ Ea: Ca ——> Dạ,n e2) thỏa mọn điểu kiện: f ,=g ,=h lỏ tương đương đồng luón Tụm tắt những điều trởn, ta cụ: Định lợ:
Moi mờdun X trởn R đều cụ một phờp giải xạ ảnh vỏ bất kớ hai phờp giải xạ ảnh nỏo của cỏng một mừđụn X đều tương đương đồng luón
Trang 16
LudnVan Từi Nghiep PHAN IL: PHẫP GIẢI NỘI XẠ
PHẦN II : PHẫP GIẢI NỘI XẠ
IIA ĐỊNH NGHĨA PHẫP GIẢI NỘI XẠA
Cho trước một mừđun Y trởn R
Ta gọi phờp giải nội xạ của Ÿ lỏ một dọy trởn khớp Tỏ, — Chị os GC, #5 6.3}; —_-* Trong do: Câ=Ỳ Cạ =0 tn<-l C„ nội xạ trởn R 1>0, Một cõch đơn giản hơn, ta gọi phờp giải nội xạ của X lỏ một dọy trởn khớp cõc mừđun trởn R cụ dạng: ổ a ở ` ở ở (C): 9 >Y > Cy Pe ——> C72 C7" trong d6 C, lỏ mừđun nội xạ với mọi n > 0 HI.B CạC MỆNH ĐỀ :
II.B.1 Mệnh đề về sự từn tại phờp giải nội xạ :
Mọi mừ đun trởn R đều cụ phờp giải nội xạ Chimg minh: Xờt một mừđun Y bất kỳ Ta cụ sự tổn tại dọy khớp ngắn (theo tợnh chất của mừđun nội xạ l.A.2.1.) 0 —> Y — Bạ — Yo — 0 Trong đụ: Bạ mừđun nội xạ
Yo la mờdun nỏo đụ trởn R
Trang 17LudnVan Tốt Nghiệp: IHằN II : PHẫP GIẢI NỘI XA Ta xờt một dọy (Œ rc: >( xy Z0 > Bạ ũ yB, PP soi mớ ——> B, ss giếng Trong đụ : dy : B,, — Bass xõc định bởi : On = Gnesi o Bn Khi đụ ta cụ (C) lỏ dọy khớp Thật vậy : Vn > ĩ : Im ð„= ém (0a, ự B,)
Vớ œ lỏ đơn cấu , ũ lỏ toỏn cấu:
Im 6, = Im œạ„â = ker J|„„â = ker(da,: s Basi) = Ker Sys) Tai mừđun Y dọy lỏ khớp : Hiển nhiởn
Vậy C lỏ một phờp giải nội xạ của X
Bóy giờ ta vờt một đồng cấu mừđun bất kỳ h:X— Y của mờdun X vao mờdun Y.Gid sit ta c6 (C) va (D) la hai phờp giải nội xạ của hai mờdun X va Y : (C): — Ca; —ấ › C: Ft Ci —> (D): ——>D,„-; —`-L › D, “ăn —> Khi đụ ta cờ mờnh dờ sau :
IIB.2 Mệnh đề về sự từn tại đừng cấu dóy chuyởn :
Từn tại một đồng cấu dóy chuyền
fel fr: Cy —> D, /neZ}
của dọy trởn C vỏo dọy trởn D
sao cho tị=h
Ching minh;
Trang 18LuinVan Tot Nghep PHAN IL: PHEP GIAI NOL XA
Theo định nghĩa của mừđun nội xạ ,ta cụ :
Vớ Dạ lỏ nội xạ vỏ ọ : X ———> Cụ lỏ đơn cấu nởn tổn tại đồng cấu
mừđun ợsy : Cạ ———> Dạ sao cho ẻcÒ „ ữ =ð „ h
Ta sẽ dựng họ cõc đồng cấu f,„ bằng phương phõp qui nạp như sau :
Giả sử n > ĩ vỏ giả thiết f„ đọ dựng được với mọi m < n—1 sao cho hớnh
chữ nhật suu lỏ giao hoõn : Cz: — yp - h Dạ â ————> Da Xờt biểu đồ + Cos —C -~\ —+ › ca {aS Dy-2 ——— D,- Ƒ— D; Ta cụ ðf,_;ỗ = ồừf, ; = 0 Vậy ta cụ biểu đồ sau đóy: C.— + ƒổ—È 5G ư.fnâ =1 D, Trong đụ: e dúng lỏ khớp Ẽ ễoẻcâoế = Yod=0
=> ker y >Imờ,_>= ker 6,_;
Trang 19LudnVan Tot Nghiờp PHAN II : PHEP GIAI NOI XA
ww
go —*_5 “n Y kerd ê ;c P
Theo phờp dựng quy nạp nỏy , phờp biến đổi dóy chuyển f: C——>D đọ dược xóy dựng xong Vậy mệnh đề đọ được chứng minh []
11.B.3.Mờnh dờ về sự đừng luón giữa hai đừng cấu dóy chuyền
Giả sử ta cụ 2 phờp giải nội xạ C,D của 2 mừđun X, Y vỏ 2 đẳng
Trang 21LuậnVăn Tốt Nghiệp PHẦN II : PHẫP GIẢI NỘI XA
Trong đụ
Ẽ - ừ,ừ=0 suy ra dúng lỏ khớp
Ẫ = jn O=0
Vời cach chifng minh tuong ty nhu chitng minh trong mờnh dờ II.B.2 ta
suy ra tồn tại đổng cấu mừđun kạÒ;: CạÒÒi ——> Dạ
sao cho
ka„â Ồ = Jn= ẻna ~ ấn ~ dk, —> ẻn— En = ik, + Kasey O
Vậy với cõch dựng qui nạp trởn ta đọ dựng được họ cõc đồng cấu k thỏa
mọn hệ thức : f,— g„ = ỗ k„+ k„,;Òỗ Vậy ta cụ điều phải chứng minh '
Trang 22
LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN Il; HAM TỬ MỞ RỘNG PHẨN II: HáM TU MO RONG
LII.A Một số bổ dờ :
Trong phần nỏy ta ký hiệu X vỏ Y lỏ hai mừđun trởn vỏnh R
Chọn một phờp giải nội xa (C) bất kớ của mođun Y
tli f6:— St ——š õc — —š.v,
Gọi â :X ——> X lỏ tự đồng cấu đồng nhất của mừđun X Xờt dọy cõc đồng cấu mừđun sau :
Hom(X,C): để Hom (X, C,) oO Hom(X.C,,,) —2—>
Trong đụ ð` = Hom(i ð)
Ta cụ
5,8 =Hom(ið) „ Hom(lLỗ)= Homợ( â „â,ừ„ử)=0
ae Hom(X,C) lỏ dọy nửa khớp
Khi đụ, n mođun đồng điều n chiều của nụ xõc dinh H"{ Hom( X ,C) ] LIILA.1 Bổ đề : Với mọi phờp giải nội xạ khõc (D): D„,——ấ—› D, — =>Í i, — 4 was của mừđun X, ta cụ H" [Hom(X,C)] = H"[HomX,D)] vn €2 Chifng minh : Vớ C vỏ D lỏ 2 phờp giải nội xạ của cỳng modun Y nởn tổn tại 2 đồng cấu dóy chuyển f,g f=[ f„:Cạ ——> D, | neZ g =( g„: Dạ ——>CÒ | n eZ} sao cho
fseg=lf4 „ga, :Dạ——>D,è neZ|
Bof={ Bao f; : Coe OY nờ€Z |
đồng luón với cõc đồng cấu dóy chuyền đồng nhất của cõc dọy trởn C,D (theo II.B.3,f„g lỏ đồng cấu dóy chuyển của dọy trởn (C) vỏ đồng cấu dóy chuyền đồng nhất của dọy trởn (C) phải tương đương đồng luón )
Khi đụ Hom(i,Ð vỏ Hom(i,g) cỳng lỏ đồng cấu dóy chuyền của dọy dưới Hom(Y,C) vỏ Hom(Y,D) vỏ chỷng cảm ứng ra cõc đồng cấu :
f: H[ Hom(X.C) | ——> H"[ Hom(X,D) |
g :HỊ Hom(X,D) | ——> H'[ Hom(X,C) |
Trang 23LuónVăn Tụt Nghiệp PHAN Ill: HAM TU MG RONG Ta lại cụ
Hom(I ,g )Ò Hom( 1ƒ ) = Hom( â „1 g „ ấ})
Hom( â,f )ạ Hom( i,g ) = Hom( â „â, ấ Ò g )
Nởn theo II.B.3 (về sự đồng luón giữa hai dóy chuyền)hai đồng cấu dóy chuyển nỏy cũng đồng luón với phờp biến đổi dóy chuyền đồng nhất của Hom(X,C) va Hom(X,D) =>ẻˆ,„ự' vỏ g`„ lỏ những tự đẳng cấu đồng nhat cha modun H"|Hom(X,C)] vỏ H°|Hom (X,D)] =Í f vỏ g` lỏ cõc đẳng cấu —= H"[ Hom(X,C) |~ H"{ Hom(X,D) | , Vn €Z III.A.2 Bổ đở : H"[Hom (X,C)] =0 tợn < 0 Chứng mớnh: Ta xờt một phờp giải nội xạ của mừđun Y : (C): ——>Ũ —— Y ——>Cạ —› C\ —> Ẽ Với n<—l thớ Cạ= 0 = Hom (Y,C,)=0 => H,|Hom (Y ,C)]=0 Ẽ Vớin=-lvỏn=0thớ dọy khớp 0 ——>C `; > Co > C,
kờo theo dọy khớp
0 ——> Hom(X, C_,;) —— Hom(X, Cy) ——> Hom(X, C,) (theo I.B.2.3) Suy ra : H™'| Hom(X, C)] =0 H” [ Hom(X, C) J=0 Vậy bổ đẻ đọ được chứnh minh III.A.3 Bổ đề: Với mọi dọy khớp ngắn cho trước 0—+x—-* syv_-#ẩ sz———0
giả sử C,E lỏ phờp giải nội xạ cho trước của X,Z thớ từn tại phờp giải
Trang 24LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN Il: HAM TU MG RONG Chứng mớnh | Xờt biểu đồ sau : 0 0 0 |, 1, 4 0 ,X —!Ở; Y —!Ở;ỵ Z7 _, 0 a J ok TY —_— Co—?—›CạẼ E, —22-Í Eo —9 | 1 | () + C—# ›C,ẼD, —ấLyD, ———_i , J |
Ta định nghĩa đồng cấu 4 ,: Y ——> CoẼ Ep nhu sau:
Cọ lỏ nội xạ nởn tổn tại ê: Y -ÍCạ để cho thea % Với y ẬY: đặt ê,= (f(y), Ak(yW/e CoẼ Ep)
** ẻo: Cạ —> CqạẪẼ Eo fo(c)= (c,0)
“ go: CoB Ey Ep Zo(c,e)=e
Khi đụ ta cụ
â 0—>Cp—>šCạ Ẽ Eg —ấ9— > Eạ —> 0 lỏ chẻ ra
ii, lỏ đơn cấu
ii Hai hớnh vuừng đầu lỏ giao hoõn Thật vậy : â Hiển nhiởn ii Gid sf ta c6 yy yp 6 Y sao cho đ(yi)= (vỏ) >| f(wỊ)= f(y2) sả -y)=90 (1) #()=##O@Ò) — |[k@Ò—w)=0 €@) mỏ y lỏ đơn õnh = k(y;- yâ) =Ũ = y;- y†ker k= Im h =3x€X :h(X)=yz- y; <5 a(x)= fh(x)=0
mỏ œ lỏ đơn õnh =x = ĩ = yz- yâ =Ũ=Y\ = YÒ vậy nếu /(yq)=/(y›) => YI=ỵ:
=> j lỏ đơn õnh
Trang 25
LuậnVăn Toi Nghiệp PHAN Il: HAM TU MO RONG tớ Hai hớnh vuừng đầu lỏ giao hoõn Wxe XY: đh(x) = (êh(x), xk(h(x)))= ( êh(x), 0) f.z(x)=f,(êh(x))= ê,h(x)0= 4, Ax) Hớnh vuừng phải
WyeY:g (y)=g.|l(/(y),zrk(y)|f z.k(y) Bóy giờ ta xờt tiếp biểu đồ sau: a 0) —ÍC,.;——> C,, | PE, —>E,,.; —>0 Ỷ Vv 0——> C ts C,Ẽ E, —“Í E, —— 0 | fh, h V VW | ey ees Le | ee , to Ả
ta xdy dung f, theo phudng phap qui nap nhv sau (n20)
Giả sử ta đọ dựng được D,, Є _â, f„, g„ ,ta sẽ dung Dy.) By, frey vA EaÒâ như sau ;
Với mọi x € D„= C„ẼE, x=(c,c)e D, = C, OE, ta dat BAX) = ( œ„(€), ⁄„(€) )E Cast DB Ens = Dass frei(c)= (c,0) Envi(c,e) =e Với cõch định nghĩa đụ ta cụ : s* D„ lỏ cõc mođun nội xạ(tổng trực tiếp hai mođun nội xa) + 0—>Ca->D„->E„—>0 lỏ dọy khớp ngắn chẻ ra Vn s* cõc hớnh vuừng lỏ giao hoõn
8 ———> Dạ i——>DÒ———>D„Òâ———> lỏ khớp (coi D như lỏ tổng trực tiếp của hai đọy khớp nởn phải lỏ đọy khớp )
Trang 26
LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN Ill: HAM TỬ MỞ RỘNG
Vậy
Ẽ O-›Y-Í›Dạ-Í D„ạ-> lỏ một phờp giải nội xạ
Ẽ f= {f„:C„->D„|lỏ một phờp biến đổi dóy chuyển từ dọy trởn C vỏo dọy trởn D Ẽ ê= [g„: Da->E„} lỏ một phờp biến đổi dóy chuyền từ dọy trởn D vỏo dọy trởn E Ẽ 0-›C„->D„->E„-+0 chẻ ra Vậy bổ để đọ được chứng minh LII.H Cõc định nghĩa vỏ cỷc tợnh chất :
Theo IH.A.I vỏ HI.A.2 thi H"[Hom(X, C)]=0 chỉ phụ thuộc vỏo n vỏ cõc mừđun X,Y (khừng phụ thuộc vỏo phờp giải) đồng thời lỏ tầm thường Vn<0 Do đụ ta đưa ra định nghĩa sau
LILLHB.1 Định nghĩa :
s Với mọi n EZ, H"[Hom(X, C)] gọi lỏ tợch mở rộng n chiởu trởn R của cõc modđun X,Y vỏ kợ hiệu lỏ
Ext(X,Y ) hay Ext"(X,Y) > Khi n=l, ta kợ hiệu lỏ Ext(X,Y)
> Khi n=0, ta định nghĩa : Ext “(X,Y) = Hom(X,Y)
s Bóy giờ ta xờt 2 đừng cấu cho trước bất kỳ : h :Y —›Ỳ'
k : X'’——Í X
Chọn (C),(C') lỏ 2 phờp gidi ndi xa ctia Y va Y’ thi ton tai phờp
biến đổi dóy chuyởn
fal fsC— > đ, | wexz)
sao cho fp =the
Khi do:
Hom( kf) = { Hom (kf, ): Hom( X,C,,) —> Hom( X,œ* lỏ một phờp biến đổi dóy chuyởn của dọy trởn Hom (X,C) vỏo
dọy trởn Hom (X', C`)
Hom (k,f): Hom (X,C)——>Hom(X`,C`)
Trang 27
LuónVăn Tốt Nghiệp PHAN Il: HAM TU MG RONG
Nởn nụ cảm ting ra một đồng cấu :
[Hom(kf) ]" : H"[Hom(X,C)] —> H" Hom[X',C’] tn>0
hay
[Hom (kf) ]" : Ex"(X,Y)——>Ext" (X',Y')
khi đụ [Hom (k,f)`]" khừng phụ thuộc vỏo sự lua chọn đồng cấu
dóy chuyển ƒ:C —› C`
(bởi vớ theo nếu ta chọn một đồng cấu dóy chuyởn ƒ 'khõc thớ
Hom(k,f) vỏ Hom(k, ƒ `) lỏ tương đương đồng luón ) nởn xõc
định với mọin vỏ mọi đồng cấu h,k
[Hom (kf) ]" duoc ky hiờu la Ext"(k,h) Ta cụ đồng cấu mừđun : Exf(k,h) : Ex(X,Y)——>Exf(X',Y') Ta dat: Ext'(k,h) = Ext(k,h) Ext'(k,h) = Hom(k,h) ẬXờt một phờp giải nội xạ bất kớ của mừđun Y (C): ——>€ạằ; T1 y Cy On > Cyy3 —— ta định nghĩa một dọy = xõc định như sau: cỏ nếu + # —l "|0 - nếu „=-l T- l nếu n >0 "l0 nếu n<0
gọi lỏ phờp giải nội xạ thu gọn của mừđun Y
Day nay cờ tinh chat la moi mờdun trong đụ đều lỏ nội xạ, khụp tai moi mờdun C,, voin 21, va khờng khớp tại Cụ
Trang 28
Luận Văn Tốt Nghiệp PHAN Il: HAM TU MO RONG LII.B.2 Cõc tợnh chất hỏm tử mở rộng : LIILB.2.1 Mệnh đề : Nởu Y lỏ nội xạ thớ Ext"(X,Y) =0 th ẪZ* , tVmừdưn X trởn R Ching minh: Thật vậy với Y lỏ nội xạ thớ ta cụ một phờp giải nội xạ như sau: (C):0—— Y — +; >0
Trong đụ 5_, la tu dờng cau đồng nhất của mođun Y
=> Hom(X,C) lỏ khớp— Exứ(X,Y) =0 Vn €Zˆ ,Vmừđun X trởn R IILH.2.2 Mệnh đề : Nếu X lỏ xa ảnh thớ Exf(X,Y)=0 tn Ẫ Z* , tợnừđun X trởn R Chứng mớnh: Giõ sử (C) lỏ một phờp giải nội xạ của mừđun Y (C): ——>O ——>Y ——>Cạ— Câ;——> Vớ X lỏ xạ ảnh nởn theo I.A.1.2.(cõc điều kiện tương đương), Hom(X,C) cũng lỏ dọy khớp =0——Í›Hom(X,Y) —Hom-)_, Hom(X,Cy) Homi) _, —> Hom(X, Câ) —› cũng lỏ dọy khớp => H”| Hom(X,C)| =0 = Exử(X,Y)=0 Vn € Z LII.B.2.3 Mệnh đề:
Nếu Y cụ một phờp giải nội xạ C sao cho C,=0 Vft>m
Trang 29LuanVan Tot Nghiep PILAN HL: HAM TU MO RONG Khi đụ với phờp giải nội xạ thu gọn của mừđun Y, ta cụ cõc mệnh đề sau : LII.R.2.4 Mệnh đề : Cho X,Y lỏ hai mừđun tỏy ý trởn R vỏ C lỏ 1 phờp giải nội xạ thu gọn của Y Ta cụ: H" [Hom( X,C)] = Ext" (X.Y) Chimy minh : e n> : hiển nhiởn * n=( :ta phải chứng minh HẦ[Hom( X,C)]> Hom(X,Y) Ta cụ dọy khớp 0 —> Y —25 G—25C,
kờo theo đọy khớp
0 ——=+>› Hom(X,Y)——› Hom(X,Cạ)——> Hom (X,.Câ)
H” [Hom(X, C )|= ker [Hom (i, ð,)| / Im Hom(i, ổ,)
= ker [Hom (â, ổ,)| = ker [Hom (i, d,)| => Im |Homt( â, ð ;)|
= Hom (X,Y)
(do Hom (I, ử_â) lỏ đơn cấu)
III.C HAI DẳY KHỚP ĐỐI ĐễNG ĐIỀU CUA HAM TU EXT :
Bóy giờ ta xờt một mừđun tỏy ý cho trước Y trởn R vỏ một dọy khớp ngắn cõc mừđun trởn R 0—Í u-44,v—8s w—>30 uỏ xờt một phờp giải nội xạ thu gọn của mừđun Y : 7 ở 3 ổ 7< 0 ——> Cụ —— CỊ—— C;— Khi đụ tợn €N C„ lỏ mừđun nội xạ nởn theo LA.2.3., ta cụ dọy khớp ngắn sau :
() ——> Hom(W,C,, y—Hom(g.ta) Ò Hom(V,C, ) Hom(U,C, )——>0
dọy khớp ngắn nỏy lỏ dọy khớp ngắn của cõc phức trởn Hom(W,C),
Trang 30LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN HI: HAM TU MG RONG Xđờ1 dọy khớp sau : .——ÍH"[Hom(w, Ẫ)] 2" > H"|Hom(V, Ẫ)| ——> H"[Hom(U, C)] —-> —°_5H"|Hom(W, C)]—> trong đụ
ọ* tỏ ƒ* xõc định bởi dong cdu day chuyờn Hom(g,i) va Hom (f,i) va ờla
đừng cấu nổi
Khi đụ , dựa vỏo mệnh đề III.B.2.4.ta cụ định lý sau:
LII.C.1 Định lý:
Với mọi mừđụn Y định trởn R vỏ một dọy khớp ngắn
0 => => V => W -›Í(0)
nhiing modun trờn X, ta cụ dọy khớp sau :
vee Exf(W,Y)—ấ“ 9v xpr(v,y) EU),
Exf(U,Y)—“=+ Ew'(WY)——: Ew°'†VY)—.:::
day nay bắt đầu với Hom( fi) 0——> Hom(W, yạ Jom(gu)_, Hom(V,.X)————~—> Hom(U,X)—2-> —Í Ext(W,Y)—> Tiếp theo , dựa vỏo bổ để III.A.3 ta cụ định lý sau : HII.C.2 Định lý: Với mọi mođun X trởn R vỏ một dọy khớp ngắn bất kỳ 0——> U —Ÿ yV —E_,W ——> 0
những modun trởn R ta cụ dọy khớp
Trang 31LudnVan bot Nghiep PHAN LE: HAM TƯ MG RONG
Chiuing minh:
Ap dụng bổ đề ta cụ dọy khớp ngắn cõc phờp giải nội xa thu gon (C),(D),(E) của cõc mođun X,Y,Z 0 0) 0 Ỷ | Ỷ ĩ——> Cụ ——>› Dạ ———> Eạ ———> ỉ Ỷ b y 0——>C) —› D, ——› Eị ——›0 , vy 4 () >C, > D,——> En ———y 0 Ỷ è 1 Trong đụ cõc dúng : 0———> Cạ——> Daạ——>E„——> 0 lỏ chẻ ra V n €Z
=> Ta cụ dọy khớp ngắn sau với mọi n >0 :
Q——Í Hom(X,C,) ——> Hom(X,D,) ———Í Hom(X,E,) ——> 0
=> ta cụ dọy khớp ngắn cõc phức trởn
0~͛Hom(X,C) - Hom(X, D ) ->*Hom(X,E) > 9
Lại xờt đọy khớp đối đồng điều của dọy khớp ngắn cõc phức trởn, ta
cơ dọy khớp sau :
——> H' Hom(X.U)——> H"Hom[X,V] =
——+H"|Hom(X,W)] —2> H™"[Hom(X,U)] —
hay lỏ :
——> ExU(X.U—ấ# 9, ExU(tX,V)—>
_— Ew"(g) yExt(X,W)—2—› ExU"!tX.U)——>
Hiển nhiởn dọy nỏy bất đầu với:
0->Hom(X.U)— 9m0), Hom(X,V) Hom(i,z)
——yHom(X.W)—Ÿ—› Ext(X,U)——>
Trang 32
LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN Ill: HAM TU MG RONG
III.D MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HAI DAY KHOP DOI DONG DIEU CUA HAM TU EXT : III.D.1.Mệnh đề : Với những mừđun X,Y tay ý cho trước vỏ một đọy bất kỳ : () >xY- † yJ—Š ,B——Í0(+) sao cho J la nội vạ Ta cụ: Ext'(X,Y)~ Ext" '(X,B) bn 21 Ext(X, ơ)~ Coker[ Hom(i,2)] Ching minh:
Ta xờt dọy khớp đối đồng điều của dọy khớp ngắn (*)
0——›Hom(X,Y)— °"0:) ý Hom(X,J ) Hom(i,g)
Hom(X,B)—2-> ExI(X,Y)—— Trong đụ ta xờt từng đoạn ngắn sau với n > 2 :
Evhl(XJ)—PX””(8) ý pyp!(X,p)_— E"—G/2,
—>Exf(X,Y) -°Ẽ-y Exr(X,J) ->
Vớ P lỏ mừđun nội xạ nởn theo III.B.2.Il ta cụ Ex"(XJ)=0 th c7 nởn ta được dọy khớp sau : n-le; 0———>Ext°!(X,B)_— #” WJ/) y Ext(X,Y) ——>0 Hay Ext'(X,Y)+ Ext "!(X,B) vn>2 Ta lại cụ : Với n = | : Ext(X,P) =< 0 Ta được dọy khớp sau : 0——>Hom(X,Y)—""0.) y Hom(X,P)— P68), ——>Hom(X,A)—°-x Ext(X,Y)——>0 => ừ lỏ một toỏn cấu = - Hom(X, 4) x- Hom(.V, 4) -
Ext(X,Y) = Ys he Hom(i, g) Coker [Hom{(i,g)]
Vậy mệnh đề được chứng minh
Trang 33
LudnVan tot Nghiep PHAN HL: HAM TU MO RONG
LIH.D.1' Mệnh đề tương tự :
Với những mừđun X,Y tay ý cho trước vỏ một dọy bất kỳ :
0—>A—Ÿ yP—ấ yX——Í0/*)
sao cho P lỏ xạ ảnh Ta cụ:
Ext"(X,Y)~Ext™ (AY) wn 21
Ext(X,Y)= Coker[ Hom(f.L)è
(mệnh đở nỏy dễ dỏng chưng mớnh với những sự sỏa đổi hiển nhiởn từ phờp chứng minh trong mờnh dờ I11.D.1) IH.D.2.Hệ quả : Với mọi mừđun X, Y bất kớ trởn một vỏnh chợnh R ta cụ : Ext (X,Y)=0 th 22 Hơn nữa ta cụ : Ext(X,Y)=Coker[ Hom(â,g)] Trong đụ ƒ lỏ đồng cấu mừdun trong dọy khớp ngắn I—syol, puts 650 với P lỏ mừdun nội xa Chiing minh: Xờt dọy khớp ngắn ề—vŸ-CvP-tvẵ—vð
trong đụ P lỏ mừđun nội xạ
Vớ R lỏ vỏnh chợnh nởn theo l.A.2.4 (mừđun nội xa vỏ mừđun chia được)
P lỏ mừđun chia được Khi đụ , A đẳng cấu với mừđun thương của mừđun P chia được nởn cũng lỏ mừđun chia được.Cũng vớ R lỏ vỏnh chợnh giao
Trang 34LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN tl: HAM TU MỞ RỘNG Chiing minh: Đóy lỏ trường hợp đặc biệt của định lý HI.C:2 trong đụ, Ex(X,U)=0 do R lỏ vỏnh chợnh theo II.D.2 LII.D.4.Mệnh đề : Với những dọy khớp ngắn tỳy ý 0——>A ——> P ——› X —> (0) tt!) 0 Í> Y xi -ẩ.vsũ >O (2)
của những mừđun trởn R trong đụ ,P lỏ mừdun xạ ảnh ,J la mờdun noi xa ,ta CO:
Ext "(X,Y)=Ext "°(A,B) tn >2
Ex(X,Y)=Coker [Hom(a,f)]
Chưng minh :
Theo cõc kết quả trong cõc mệnh đề III.D.1 vỏ IH.D.I” ; từ hai day khờp (1) vỏ (2)ta cụ cõc kết quả sau :
Với mọi n > 2 :
Exf(X,Y)~ Ext" '(X,B) Extf' °(A,B)
Với n=2 ta cụ :
Exf(X,Y)~ Ext(A,Y) + Coker(Hom(i,s, 9)
trong d6 i, 1a ty dang cấu đồng nhất của mừđun A mỏ :
Coker[Hom(i,/)]= BoE Homie:
Ta cũng cụ :
Tai sẽ chứng mớnh:
Im| Hom(ix,/)| = Im| Hom(œx/ì)| (*)
That vay via: A ——> P [A mot don cấu nởn ta cụ thể xờt đồng cấu
miừđun œ' ` : ima ——Í A va coi đóy lỏ một đẳng cấu
Ta cụ :
Hom( âA.B)=Hom(G - è, œ , „1 )=Hom(dœ,ỵ), Hom(œ' !i;)
Vớơ'! vỏ â; lỏ cõc đẳng cấu nờn Hom(a | ,i,) lỏ đẳng cấu Từ đụ ta cụ (*)
Trang 35IuậnVăn Tot Nghiệp PHAN IV : SO CHIEU
PHAN IV : SO CHIEU
IV.A.ĐINH NGHĨA Vá CạC TẻNH CHẤT : IV.A.1.Dinh nghĩa
ẬGọi m lỏ số nguyởn khừng nhỏ hơn —l Một mừđun Y trởn R gọi lỏ cụ
số chiều nội xạ trởn R <m nếu vỏ chỉ nếu tổn tại phờp giải nội xạ (C)
thỏa C,=0 vn>m
(C)- 0= ŸY ÈCg—=Ct C„.;—>Cm„—0
s_ Nếu khừng tần tại m như thế thớ X cụ số chiởu nội xạ lỏ œ
s_ Nếu tốn tại: trong những giõ trị m đụ, giõ trị nỏo nhỏ nhất gọi lỏ số
chiều nội xạ của mừđưn Y vỏ ký hiệu lỏ dim*{Y)
s Ta gọi số chiều nội xạ toỏn thể của vỏnh R lỏ số nguyởn (hoặc s)
Dim*(R)=sup(din*(Y) è Y e4 )
Ẽ Gọim lỏ số nguyởn khừng nhỏ hơn —l Một mừõun X trởn R gọi lỏ cụ số chiều xạ ảnh trởn R <m nếu vỏ chỉ nếu tần tại phờp giải xạ ảnh
(C) thỏa
Cạ =0 vn>m
(C): 0-C,, 2 Cy-) .C;4+Co9 X30
e Nờu khờng ton tai m như thế thớ X cụ số chiều nội xạ lỏ e
e Nờu ton tai: trong những giõ trị m đụ, giõ trị nỏo nhỏ nhất gọi lỏ số
chiởu xạ ảnh của mừđun X vỏ ký hiệu lỏ dim (X)
s Ta gọi số chiều xạ ảnh toỏn thể của vỏnh R lỏ số nguyởn (hoặc œ )
Dim(R)=sup(dim(X) (X e1 )
LV.A.2.Cõc định lý về số chiởu của một mừđun :
Giả sử me z, m>0,Y lỏ mừđun tỳy ý trởn R, â lỏ tự đồng cấu đồng
nhất của X thớ 4 phõt biểu sau lỏ tờơng đương:
da Y cụ số chiều nội xạ < m
b._Ext"°!(X,Y)=0 Vmừdun X trởn R
c Ham ut đ” : Atp —— /tợạ xõc định bởi
o"(X)= Ext" (X,Y), e'(= Ext™(f) vV Je Ate lỏ hỏm tử phản biến khớp phải
d Với mọi dọy khớp 0—y Y -> Cạ -> C„_â > 4-0 — những mừđun
trởn R với C, lỏ nội xạ với mọi â thi A la mờdun ndi xa
Trang 36
PHAN IV : SO CHIEU LuậnVăn Tốt Nghiệp Chứng mớnh: a =b/ Từ a ta cụ phờp giải nội xạ 0 — V_—Ÿ>; Gg Say Ss C j-S ser = 90 — Hom(X,C,)=0 Vn>m => Ext'(X,Y)= H"[Hom(X,C)J=0 VWn>m => với n= m+l thớ ; ExU"!(Y,X)x H"Ẽ![Hom(Y,C)|= 0 b= c/
lấy dọy khớp ngắn tỳy ý:
() >U {yy Soy >0
Ta cụ dọy khớp sau theo dinh ly HLC.L.:
eo, Ext(W,Y)—#—› Ext'(V.Y)—2—> Ext"(U,Y)—2-> —2 yExt'(w,y) —8° ›Ext*!(V,Y)——> Vớ Ext"(X,Y) = 0 ơ mờdun Y trởn R vỏ v n>m nởn đọy trởn kết thỷc bởi c =——> ExU(W,Y)———>Extˆ(V,Y)———>Ext”(U,Y)——>0 Vậy ự* lỏ hỏm tử phản biến vỏ hỏm tử nỏy khớp phải c= d/ Gọi (C) : 0——xY f > Co Đặt y : >C| `, SvGv=E-xi— D„ = ImÐạ â = kerd, <C, Xờt cõc dọy khớp ngắn: | 0 -+ Y ~—+ Cạ => Dạy -+ 0 0—-D, > C, ~ D; — 0 () ÍD, Í~ C, ~ Day, o 0 0 ->D„_â—> C„ â;— >A >0
Với dọy khớp cuối , theo III.C.2 ta cụ được dọy khớp sau:
Trang 37LuậnVăn Tốt Nghiệp PHAN IV : SO CHIEU Tương tự như thể với cõc day khớp cún lại, ta cũng cụ cõc dọy khớp sau: 5 Ext(X.C„ â)=0 ->Ext(X, D„ ;)——L—>Ext(X D„ ;) -> 0=Exf(X,C„ Ò) rv? Ẫ ** Ẫ Ẫ OF ổ 0——> EvtẼ f(X, Dụ)———=k—> Extf"(X,Y)——>0 = cõc đồng cấu nối ở; Vi > 1 phải lỏ cõc đẳng cấu Ta xờt ở =đ„ âổn ; Ởi ễ) thớ ỗ lỏ một toỏn cấu
Vậy ta được dọy khớp
Hom(X C„ â)—-Í Hom(X, A)-Í Ext(X, D„ ;) -Í Exr”(X.Y)—Í0
Ta xờt một đơn cấu h: X' ——› X
Khi đụ ta cụ:
œ : Hom(X, C„ ,;)——> Hom(X'"', C„ ;)
lỏ toỏn õnh (vớ C„_â lỏ mừđun nội xạ va theo LA.2.3)
Hơn nữa ũ` : Exf"(X,.Y) —>x Ew(X',Y) một lỏ toỏn õnh
Thật vóy, theo giả thiết ự”:A4g———> 4y với oe = Ext™ (X,Y) ờ"(f)= Ext" (fi) lỏ một hỏm tử phản biến khớp phải nởn nếu ta cụ dọy khớp h 0 > X’ ->X thớ ta cụ Ext"(X,Y) —*—ÍExt"(X',Y)——> 0 trong đụ h =Ext™(h,i) cũng lỏ dọy khớp = h# lỏ toỏn õnh Vậy ta cụ thể xờt biểu đồ: Hom(X, C„,) —> Hom(X, A) ——>Exf"(X.Y)——>0 |” :toỏn õnh | mm *:toỏn õnh Hom(X', C„ â)——>Hom(X', A)———>Ext”(X'.Y)———>0 Với ự, ì toỏn õnh thớ theo /.C.3 Z cũng toỏn õnh
Trang 38I.uónVăn Tốt Nghiệp PHẦN IV : SỐ CHIẾU
Nghĩa lỏ:
Với mọi đơn cấu h:X`'-+X, với mọi đồng cấu k: X'->A, tổn tại đồng
cấu k': X-+>A sao cho k = ì(k')= Hom(h.â)(k') = k',h Vậy ta cụ 0—xx'—-#sx = A lỏ mừđun nội xạ (đpcm) k /k` (tam giõc giao hoõn ) A d= a/ Ta cụ A lỏ nội xạ “* Ta cụ phờp giải nội xạ: 0—> X >Cạ ÈC| C„_â => 4= 0 Hay 0—> X —> Cọ —y C„ => CạÒ — Trong đụ Cz A (1a ndi xa) nếu i=m 0 nờu i2m Theo định nghĩa X cụ số chiều nội xạ <m IV.A.2.2Hệ luận :
X lỏ mừđun tỳy ý trởn R
Cõc phõt biểu sau lỏ tương đương : a) — Y lỏ nội xạ
b) Ext(X,Y)= 0 với mọi mừđun X trởn R
c) — Y cụ số chiều nội xạ <0
Chứng mớnh :
a=> b/ Lỏ trường hợp riởng của III.B.2.l b=+ c/ lỏ hệ quả của IV.2.1
Trang 39LuậnVón lụt Nghiệp PHAN IV : SO CHIEU [V.A.2.3.Mờnh dờ : Với một dọy khớp ngắn tỳy ý 0—›Y—-f ›0Q—#›ÍA —+0 cõc mừdun trởn R trong đụ X khừng lỏ nội vạ vỏ Q lỏ nột xa Thớ dim*(ơ)= dim*(A) + 1 Ching minh:
That vay ta co:
Y khừng lỏ nội xạ = A đẳng cấu với mừđun thương Q/Y nởn A khõc 0
dim A 20
oe Yy>0
Với Q lỏ mừđun nội xa thi Ext" (X,Q)= 0 (theo IILB.2.L )ơn21
Do đụ trong dọy đối đồng điều của dọy khớp ngắn cõc phức trởn ta cụ thể rỷt ra dọy khớp sau : 0——>ExtX, A)—°—› Ext*'(X.Y)———>Í0 vazlI => ở lỏ đẳng cấu => theo IV,2 thớ ta sẽ cụ điều phải chứng minh Nghĩa lỏ: dim* (Y)= dim*(A)+ 1 IV.A.2.4.Mệnh đề: Với mọi số nguyởn n >—l vỏ một day khớp ngắn bất kỳ 0 >U ÍV >W ——>0 nờu dim*(U)< n va dim*(W) <n thớ dim*{V )< n Cluing minh:
That vay, ta cờ day khờp sau ơ mờdun X trờn R (theo 1H,C.2, ) : — Ext"!X.U) ——> Ext*!(X.V) —> Ext°!(X,W) ——>
Mỏ U, W lỏ nội xạ nởn theo III.B.2,l ta cụ
e Ex/"!XU)=0 se Ex/"!(X.W)=0
= Ex°!(X,V)=0 =dim*(V)< nO
IV.A.2.4' Hệ quủ của IV.A.2.4 :
Nếu cụ dọy khớp ngdn 0+U +V+W-0 va nờu U,W la cdc mờdun nội xạ thớ V cũng lỏ mừđun nội xạ
Chứng mớnh:
Đóy lỏ trường hợp riởng của mệnh đề trởn khi n=0
(dựa theo hệ luận IV.A.3 về số chiều của mừđun nội xạ )
Trang 40LuậnVăn Tốt Nghiệp PHẦN IV : SỐ CHIEU
LV.A.3.Định lý về số chiều nội xạ toỏn thể của một vỏnh :
Với mọi số nguyởn tỏy ý m >0, cõc phõt biểu sau lỏ tương đương :
i Dim*(R) < m
il dim*(X) <m voi mot mờdun X trờn R
il, Ext "*!(X,Y) = 0 với mọi cdp mờdun X,Y trờn R Chitng minh:
I€>ii / Suy ra từ định nghĩa của Dim*(R)
i > iii / 1a hệ qua cia TV.A,2, | |
Ta cũng cụ cõc phõt biểu hoỏn toỏn tương tư (với những sư sửa đổi hiển
nhiởn qua phờp đối ngẫu)đối với số chiều xa ảnh của mừt mừđun X vỏ số
chiều xa ảnh toỏn thể của vỏnh R Nụi riởng , ta cụ:
IV.A.3’ Dinh ly vờ sờ chiờu xa anh toan thể :
Với mọi số nguyởn tay ơ m >0, cdc phat biờu sau la tuong đương : i, Dim(R) < m
li dim(X) <m voi moi mờdun X trờn R
iii, Ext "°!(X,Y) = 0 với mọi cặp mừđun X,Y trởn R
Từ định lý về số chiều toỏn thể của vỏnh hệ tử R, ta thấy rằng số chiều toỏn thể của
vỏnh R khừng phụ thuộc vỏo việc ta xờt số chiều nội xạ hay xạ ảnh của cõc mừđun