Một số phương pháp xây dựng hàm tử TOR

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Khoái MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM TỬ TOR Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS : Trần Huyên TP.Hồ Chí Minh - 2005 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn cho bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, Lãnh đạo Phòng Khoa học – Công nghệ sau đại học, Lãnh đạo Khoa Toán – Tin học Trường tạo điều kiện cho khóa Cao học 13 nói chung Cao học Đại số 13 nói riêng hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán – Tin học hai trường Đại học Sư phạm Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh, quý thầy cô Khoa khác Trường tất cán giảng viên Phòng Khoa học – Công nghệ sau đại học tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập Xin chân thành cảm ơn tới Ban Lãnh đạo Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Dương tạo điều kiện tốt cho hoàn thành khóa học Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tiến só Trần Huyên, người đề tài trực tiếp hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn MỞ ĐẦU Các hàm tử xoắn – Torn bốn cột trụ đại số đồng điều, ngày tìm nhiều ứng dụng nhiều ngành toán học Để làm tiện lợi đa dạng cho ứng dụng, mục đích nghiên cứu hàm tử xoắn người ta tìm cách thể hiệân chúng nhiều dạng thức khác Luận văn nhằm trình bày số dạng thức thể khác hàm tử Tor Kết chia làm chương Chương : Nhắc lại số kiến thức lí thuyết modul, khái niệm tích tenxơ, modul đối ngẫu kiến thức nhập môn đại số đồng điều phức, biến đổi dây chuyền, bổ đề đại số đồng điều … Chương : Dựa khái niệm phức tự hữu hạn sinh biến đổi dây chuyền để xây dựng hàm tử Tor Đồng thời chương trình bày số tính chất hàm tử Torn cấu trúc có cho Torn Chương : Dựa phép giải xạ ảnh để xây dựng hàm tử Torn hàm tử dẫn xuất hàm tử tenxơ Đồng thời chứng minh tương đương hai phương pháp dựng Tor chương chương Chương : Trình bày thêm vài phương pháp xây dựng Tor Đó phương pháp lấy đồng điều tích tenxơ hai phép giải xạ ảnh Và phương pháp sử dụng tới ma trận Chứng minh tương đương phương pháp với Vì thời gian hạn chế kiến thức có hạn nên việc trình bày luận văn có thiếu sót, kính mong q thầy cô bạn lượng thứ dẫn thêm MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị …………………………………… .1 Chương 2: Xây dựng Tor nhờ phức tự hữu hạn sinh …… § 1: Xây dựng tập Tor nR (G,C)………………………………… § 2: Cấu trúc nhóm Abel cho Tor n (G,C)…………………… 14 § 3: Cấu truùc modul cho Tor n (G,C)………………………… 19 § 4: Các hàm tử Tor n ………………………………………… 25 § 5: Xây dựng Tor n nhờ phức xạ ảnh hữu hạn sinh 29 Chương 3: Xây dựng Tor nhờ phép giải xạ ảnh………………… .35 § 1: Tor tích Tenxơ……………………………………… 35 § 2: Xây dựng Tor nhờ phép giải xạ ảnh…………………… 43 Chương : Một số phương pháp khác xây dựng hàm tử Tor… 61 § 1: Tích Tenxơ hai phép giải xạ ảnh 61 § 2: Xây dựng Tor phương pháp ma trận ……… 68 Kết luận:………………………………………………………… 74 Tài liệu tham khảo: ……………………………………………………………………………………… .75 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để triển khai đề tài, phần kiến thức chuẩn bị có yêu cầu nhắc lại kiến thức có liên quan sử dụng chúng trình bày luận văn Đó số vấn đề tích tenxơ, hàm tử Hom, modul đối ngẫu, phức hợp đồng điều, phép giải xạ ảnh, Các chứng minh mệnh đề, định lý nêu đọc chúng tài liệu tham khảo phần “ tài liệu tham khảo” luận văn Do tính chất, yêu cầu luận văn nên kiến thức có liên quan nhiều mà không nhắc tới xem biết 1.1 Định nghóa tích tenxơ : Cho XR, RY modul phải, trái vành hệ tử R Tích tenxơ modul X Y nhóm abel mà ta ký hiệu X⊗RY, cho có ánh xạ song tuyến tính τ : X x Y → X ⊗RY mà ánh xạ song tuyến tính ϕ : X x Y → G (G nhóm Abel ) luôn tồn đồng cấu f : X⊗RY→ G thoả ϕ = f τ Ánh xạ song tuyến tính τ nói gọi ánh xạ tenxơ 1.2 Định lý: Nếu XR, RY modul phải, trái vành hệ tử R Khi tích tenxơ X⊗RY tồn xê xích đẳng cấu Về cấu trúc X ⊗ Y ta mô tả kó phần sau, so sánh ⊗ với Tor0 1.3 Định lý: Cho họ { Xi }i ∈I họ R -modul phải {Yj}j ∈J họ R – modul trái ta có đẳng cấu: ( ⊕ Xi ) ⊗ ( ⊕ Yj ) ≅ ⊕ ( X i ⊗ Y j ) i∈ I i∈ J ( i , j ) ∈ I xJ 1.4 Định lý : Cho X , Y , M modul vành giao hoán R, ta có đẳng cấu: a/ X⊗ Y ≅ Y ⊗ X b/ (X⊗Y) ⊗ M = X⊗ ( Y ⊗M ) 1.5 Mệnh đề: Nếu P1, P2 hai modul xạ ảnh vành giao hoán R tích tenxơ P1⊗ P2 modul xạ ảnh 1.6 Tích tenxơ hai đồng cấu Cho f : XR → X R' đồng cấu R modul phải, g: RY →RY’ đồng cấu R – modul trái Xét biểu đồ: XxY τ ⎯ ⎯→ X⊗Y h↓ ↓∃ ! θ = f ⊗ g τ' X’ ⊗ Y’ X’ x Y’ ⎯⎯→ τ, τ’ ánh xạ tenxơ, h: X x Y → X’ x Y’ xác định công thức h (x,y) = (f(x) , g(y) ) Ta coù τ’h : X x Y → X’⊗ Y’ ánh xạ song tuyến tính, tính phổ dụng ánh xạ tenxơ τ, tồn đồng cấu θ : X⊗ Y → X’⊗ Y’ thỏa điều kiện θ τ = τ’h Đồng cấu θ gọi tích tenxơ hai đồng cấu f g, ký hiệu : θ = f⊗g Ta có : ( f⊗g ) ( x⊗ y) = θτ ( x, y) = τ’h (x,y) = τ’ ( f(x), g (y) ) = f (x) ⊗g(y) 1.7 Tính chất tích ten xơ hai đồng cấu a/ Nếu 1X : XR → XR , y : RY→RY đồng cấu đồng nhất, : 1X⊗ 1Y = 1X⊗Y f f' b/ Nếu X ⎯⎯→ X’ ⎯⎯→ X’’ đồng cấu R-modul phải g g' Y ⎯⎯→ Y’ ⎯⎯→ Y’’ đồng cấu R-modul trái : (f’.f) ⊗( g’.g) = (f’⊗g’)(f⊗g) c/ Neáu f , f1, f2 : X→ X’ đồng cấu R–modul phải g, g1, g2 : Y →Y’ đồng cấu R-modul trái, đó: (f1 + f2 ) ⊗ g = f1 ⊗ g + f2 ⊗ g f ⊗ (g1+g2 ) = f ⊗ g1 + f⊗g2 1.8 Định lý: Cho f : X → X’ g : Y →Y’ toàn cấu R-modul phải R-modul trái Khi f ⊗ g : X⊗Y → X '⊗Y ' toàn cấu nhóm, hạt nhân ker f ⊗ g nhóm X⊗Y sinh phần tử x ⊗ y x∈ kerf, y ∈ kerg 1.9 Định lý: a/- Các hàm tử tenxơ (A⊗ - ) ( - ⊗ B ) hàm tử khớp phải Tức là: * Nếu cho A modul phải dãy khớp ngắn modul trái : → X’ ⎯⎯χ → δ X ⎯⎯→ X’’ → dãy sau khớp : ⊗χ ⊗δ ⎯ A⊗X ⎯1⎯→ ⎯ A⊗X’’ → A⊗X’ ⎯1⎯→ • Nếu B modul trái dãy khớp ngắn modul phải χ σ 0→X’ ⎯⎯→ X ⎯⎯→ X’’ → dãy sau khớp : ⊗1 ⊗1 ⎯ X⊗B ⎯σ⎯→ ⎯ X’’⊗B → X’⊗ B ⎯χ⎯→ b/- Các hàm tử tenxơ bảo toàn tính khớp – chẻ cho dãy khớp ngắn chẻ c/- Mệnh đề: a) Zn⊗Zn ≅ Zd , với d = ( m, n ) ước chung lớn m n b) Nếu Q nhóm cộng số hữu tỉ Q⊗Q ≅ Q 1.10 Liên hệ hàm tử Hom hàm tử tenxơ: Cho vành R, S với modul AR , RBS, CS tồn đẳng cấu tự nhiên Homs ( A⊗B, C ) ≅ Hom (A, HomS ( B, C )) 1.11 Modul đối ngẫu – Đồng cấu đối ngẫu: a/- Cho A R-modul trái, gọi A* = HomR( A,R), A* xác định phép toán sau: ƒ (f+g)(a) = f(a) + g(a) , ∀ f, g∈ A* , ∀ a ∈ A ƒ (fr)(a) = f(a).r , ∀ f∈ A* , ∀r ∈ R ; ∀ a ∈ A A* R-modul phải gọi modul đối ngẫu modul A Tương tự ta có đối ngẫu R-modul phải A R-modul trái A* b/- Đối ngẫu (hay liên hợp) R – đồng cấu modul α : A→A’ α* = Hom (α, 1) :A’* →A* c/- Mệnh đề: Nếu L modul xạ ảnh hữu hạn sinh : 1) L* modul xạ ảnh hữu hạn sinh 2) (L*)* = L** ≅ L 3) Nếu F modul tự hữu hạn sinh với sở { ei }i=1,n F* modul tự hữu hạn sinh với sở {ei }i=1,n đó: i e (ej ) = neáu i = j i ≠ j e/ Mệnh đề: Nếu f : X → Y đồng cấu R-modul phải tự hữu hạn sinh, {ei }i = 1,n sở X, {ε j } j =1,m sở Y, m f (ei)= ∑ ε j r ji , i = í, n Khi modul đối ngẫu ta có f* : Y* j =1 → X* cho f*(εj) = n ∑ε i =1 ji e i , j = 1, m Ta phát biểu tương tự cho R-modul trái 1.12 Phức hợp đồng điều Cho R – vành có đơn vị, phức hợp dây chuyền K modul họ {Kn, ∂n } gồm R-modul Kn R đồng cấu ∂n: Kn → Kn-1, cho theo tất số nguyên n, -∞