Một số phương pháp nghiên cứu bao hàm thức trong không gian có thứ thự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Nguyễn Nguyên Trang MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC TRONG KHÔNG GIAN CĨ THỨ TỰ Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy Nguyễn Bích Huy Em xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Em xin chân thành tỏ lịng biết đến Q Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt q trình học tập thực Luận văn Cuối cùng, em xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để em an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù em nỗ lực khả thời gian có hạn nên Luận văn tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ phê bình để Luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2020 Nguyễn Nguyên Trang Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón thứ tự sinh nón 1.2 Ánh xạ đa trị Tính liên tục Chương Phương pháp sử dụng bậc tôpô 28 Chương Phương pháp sử dụng dãy lặp 38 Chương Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Bao đóng tập hợp A co A Bao lồi tập hợp A Chuẩn phần tử x không gian định chuẩn X x B (a; r ) Quả cầu mở tâm a , bán kính r B (a; r ) Quả cầu đóng tâm a , bán kính r L p (1 p < ∞) Không gian hàm khả tích cấp p C (K) Khơng gian hàm liên tục nón K i K(F, D) Bậc topo ánh xạ đa trị F D ứng với nón K f Ánh xạ - xấp xỉ ánh xạ đa trị F f : X → 2Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y r (L) Bán kính phổ ánh xạ L 〈u, v〉 {x ∈ X : u supp φ Giá hàm φ, supp φ = {x ∈ X : φ(x) = 0} x v} MỞ ĐẦU Từ năm 1930, nhà Toán học nhận thấy tầm quan trọng việc nghiên cứu ánh xạ đa trị Lý thuyết ánh xạ đa trị nghiên cứu mạnh mẽ từ năm 1950, xuất phát từ phát triển nội Toán học phát triển Khoa học, Kỹ thuật Kinh tế Cho đến nay, Lý thuyết ánh xạ đa trị phát triển hồn chỉnh tìm ứng dụng có giá trị Tốn học, Khoa học – Kỹ thuật, Xã hội, , ví dụ Lí thuyết phương trình vi phân, Lí thuyết điều khiển tối ưu, toán Kinh tế, Ở hướng khác, từ năm 1940, cơng trình nghiên cứu M.Krein, A.Rutman, hình thành Lí thuyết phương trình khơng gian với thứ tự sinh nón Lí thuyết mặt cho phép nghiên cứu sâu tính chất nghiệm phương trình (như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, ), mặt khác cho phép nghiên cứu phương trình khơng có tính liên tục, vốn thường gặp toán xuất phát Tự nhiên Xã hội Gần đây, nhà Toán học kết hợp hai lý thuyết nghiên cứu bao hàm thức dạng ∈ F (x) (1) khơng gian có thứ tự Hướng nghiên cứu hứa hẹn đưa tới kết Lí thuyết Ứng dụng có giá trị Để nghiên cứu tốn (1) tùy theo tính chất ánh xạ F (tính đơn điệu, liên tục, compact, ) mà ta chọn phương pháp thích hợp Một mặt, nhà Toán học sử dụng phương pháp chung nghiên cứu bao hàm thức khơng gian khơng có thứ tự với chỉnh sửa cần thiết để sử dụng quan hệ thứ tự Mặt khác, để nghiên cứu bao hàm thức mà phương pháp chung không áp dụng (như F khơng có tính chất liên tục, compact, ), nhà Toán học dựa vào tính chất ánh xạ có liên quan đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi, ) để đưa phương pháp đặc thù Để tìm kết để nghiên cứu tốn phát sinh ta cần tìm hiểu đầy đủ phương pháp nghiên cứu bao hàm thức dạng (1) khơng gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, phạm vi ứng dụng phương pháp Luận văn trình bày vài phương pháp để nghiên cứu bao hàm thức khơng gian có thứ tự Chương Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức phần trích từ giảng ([6]) PGS.TS Nguyễn Bích Huy 1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K, λK ⊂ K ∀λ iii) K ∩ (−K) = {θ} Nếu K nón thứ tự X sinh K định nghĩa bởi: x y ⇔ y −x ∈K Mỗi x ∈ K\{θ} gọi dương Khi đó, cặp (X, K) gọi khơng gian Banach có thứ tự Nhận thấy quan hệ " " quan hệ thứ tự Thật vậy, ta có: • Phản xạ ∀x ∈ X, ta có x − x = θ ∈ K ⇒ x x • Phản xứng Lấy x, y ∈ X thỏa x    x   y y y x Ta có:    y −x ∈K y ⇒ ⇒ ⇒ y−x ∈ K ∩(−K ) ⇒ y−x = θ ⇒ x = y     x − y ∈ K  y − x ∈ −K x    y −x ∈K • Bắc cầu ∀x, y, z ∈ X thỏa x y, y z , ta có:       x y y −x ∈K ⇒ ⇒ y −x + z −y ∈K ⇒ z −x ∈K ⇒ x     y z z − y ∈ K Như vậy, quan hệ thứ tự Mệnh đề Giả sử x y ⇒ x +z Nếu x n z thứ tự sinh nón Khi đó: y + z, λx λy với z ∈ X, với λ y n ∀n ∈ N∗ lim x n = x, lim y n = y x (x n )n dãy tăng, hội tụ x x n y x∀n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn ∃N > : θ Mệnh đề Giả sử " Nếu u Nếu x n x y⇒ x " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó, v đoạn 〈u, v〉 = {x ∈ X : u yn N y x v} bị chặn theo chuẩn z n ∀n ∈ N∗ , lim x n = lim z n = a lim y n = a 39 Do x x mà F ánh xạ (1) - tăng nên F (x ) nên ∃x ∈ F (x ): x Do x x x − x F (x ) Mà x ∈ F (x ) q x1 − x0 x nên với x ∈ F (x ), ∃x ∈ F (x ) : x x3 − x2 (1) x q x1 − x0 q x2 − x1 Lặp lại trình trên, ta tìm dãy (x n ) thỏa mãn x n ∈ F (x n−1 ) x n−1 x n , x n+1 − x n q x n − x n−1 q n x1 − x0 Khi ta có: x n+p − x n = x n+p − x n+p−1 + x n+p−1 − + x n+1 − x n x n+p − x n+p−1 + + x n+1 − x n (q n+p−1 + q n+p−2 + + q n ) x − x n+p−1 n+p−1 q = i i x1 − x0 = x1 − x0 q = x1 − x0 i =n i =n q n − q n+p 1−q Vậy (x n ) dãy Cauchy X Lại thêm X không gian Banach nên (x n ) hội tụ, nghĩa ∃x ∗ ∈ X : lim x n = x ∗ Do dãy (x n ) tăng nên x ∗ F (x n ) x n−1 (1) F (x∗) x n ∀n ∈ N Do ∀n ∈ N x ∗ nên F (x n−1 ) (1) F (x ∗ ) Với x n ∈ F (x n−1 ), ∃y n ∈ F (x ∗ ) : x n − y n q x n−1 − x ∗ Cho n −→ +∞, ta lim y n = x ∗ Do (y n )n ⊂ F (x ∗ ), F (x ∗ ) đóng lim y n = x ∗ nên x ∗ ∈ F (x ∗ ) Vậy F có điểm bất động x ∗ x ∗ x0 Định lý 3.0.2 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M ⊂ X tập đóng, F : M −→ 2M \{ } tốn tử đa trị thỏa mãn: 40 a) F (x) đóng với x ∈ X b) K nón chuẩn c) Tồn x ∈ X cho {x } (1) F (x ) d) Tồn tốn tử tuyến tính L : X −→ X có bán kính phổ r (L) < 1, L(K) ⊂ K thỏa mãn x y ∀u ∈ F (x), ∃v ∈ F (y) : v −u L(y − x) Khi đó, F có điểm bất động M Chứng minh Vì lim L n n = r (L) < nên ∃q ∈ (0, 1) cho L n Do c) nên ∃x ∈ F (x ) : x Từ giả thiết e), ta có x x2 x1 x nên với x ∈ F (x ), ∃x ∈ F (x ) thỏa x x1 Do x q n n đủ lớn x2 − x1 L(x − x ) x nên ∃x ∈ F (x ) thỏa: x x3 − x2 L(x − x ) Cứ tiếp tục vậy, ta dãy (x n ) dãy tăng thỏa: x n+1 − x n L(x n − x n−1 ) L (x n−1 − x n−2 ) L n (x − x ) Vì K nón chuẩn nên ∃N > cho: x n+1 − x n N Ln x1 − x0 N q n x1 − x0 Suy x n+p − x n x n+p − x n+p−1 + x n+p−1 − x n+p−2 + + x n+1 − x n n+p−1 q i = N x1 − x0 N x1 − x0 i =n q n − q n+p 1−q 41 Vậy (x n ) dãy Cauchy Mà X không gian Banach nên (x n ) hội tụ, nghĩa ∃x ∗ ∈ X : lim x n = x ∗ Do (x n )n dãy tăng nên x n Ta có x n−1 x ∗ ∀n ∈ N∗ x ∗ , điều kiện d) nên F (x n−1 ) F (x ∗ ), mà x n ∈ F (x n−1 ) nên ∃y n ∈ F (x ∗ ) thỏa ⇒ y n − xn N L y n − xn L(x ∗ − x n−1 ) x ∗ − x n−1 ⇒ lim y n = lim x n = x ∗ Lại có F (x ∗ ) đóng, (y n ) ⊂ F (x ∗ ), y n −→ x ∗ , suy x ∗ ∈ F (x ∗ ) Do F có điểm bất động x ∗ x ∗ x0 Chương Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy Các kiến thức trình bày tham khảo từ trang 91 đến trang 99 tài liệu ([5]) Mệnh đề (Nguyên lý Entropy) Cho (M , ) tập thứ tự hàm S : M −→ [−∞; +∞) thỏa: a) Mọi dãy tăng tập M có cận thuộc M (x n b) S đơn điệu tăng (a b ⇒ S(a) a ∈ M ) S(b)) bị chặn (∃N > : S(a) N , ∀a ∈ M ) Khi đó, tồn u ∈ M cho ∀v ∈ M , v u ⇒ S(u) = S(v) Chứng minh Coi S(M ) = {−∞} Lấy tùy ý u ∈ M mà S(u ) = −∞ xây dựng phần tử u u2 sau: Giả sử có u n , ta đặt Mn = {v ∈ M : v Nếu βn = S(u n ) u n giá trị cần tìm 42 u n }, βn = sup{S(v) : v ∈ M n } 43 Nếu βn > S(u n ), ta tìm u n+1 thỏa mãn:    u n+1 ∈ M n    S (u n+1 ) > βn − βn − S (u n ) Nếu trình vơ hạn ta có dãy tăng {u n } thỏa: 2S(u n+1 ) − S(u n ) > βn , ∀n ∈ N∗ Gọi u cận {u n } Với v u , ta có: v ∈ M n , ∀n ∈ N∗ ⇒ S(v) βn ⇒ S(v) lim S(u n ) (Giới hạn tồn S đơn điệu tăng bị chặn 2S(u n+1 ) − S(u n ) (giả thiết)) ⇒ S(v) S(u) hay S(v) = S(u) (Điều phải chứng minh) Định lý 4.0.1 Giả sử X khơng gian Banach thứ tự nón K, M ⊂ X tập đóng F : M −→ 2M \{ } ánh xạ (1)−tăng thỏa mãn: a) F (x) đóng ∀x ∈ M b) Tồn x ∈ X cho {x } (1) F (x ) c) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y y1 d) Nếu dãy (x n ), (y n ) dãy tăng cho y n ∈ F (x n ) dãy (y n ) hội tụ Khi đó, F có điểm bất động cực đại M 44 Chứng minh Đặt M0 = {x ∈ M : {x} (1) F (x)} Ta giả sử x y ∀y ∈ F (x) với x ∈ M (4.1) Ta định nghĩa toán tử G xác định M0 sau: G(x) = F (x) ∩ [x, +∞) Khi đó, x y ∀y ∈ G Mặt khác, ta có: G : M0 −→ 2M0 Thật ta có: ∀y ∈ G(x) x y ⇒ F (x) (1) F (y) Mà y ∈ F (x) ⇒ {y} (1) F (y) ⇒ y ∈ M0 Nhận xét: G thỏa tất điều kiện định lý Thật vậy, • Lấy x ∈ M Giả sử dãy (x n ) ⊂ G(x) x n −→ z Ta có: (x n ) ⊂ G(x) ⇒ (x n ) ⊂ F (x) Mà F (x) đóng nên z ∈ F (x) Mặt khác, x n x ∀n ∈ N∗ nên z x Suy z ∈ G(x) Nghĩa G(x) đóng • Theo giả thiết, ∃x ∈ X : {x } (1) F (x ) ⇒ ∃z ∈ F (x ) : x z0 ⇒ z ∈ F (x ) ∩ [x , +∞) = G(x ) ⇒ z ∈ G(x ) Nghĩa ∃x ∈ X : {x } (1) G(x ) • Lấy x ∈ M , ∀y , y ∈ G(x) ⇒ y , y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y y x ⇒ y ∈ G(x) Do vậy, ∃y ∈ G(x) : y y, y y • Lấy x ∈ M Lấy (x n ), (y n ) dãy tăng, thỏa x n Khi ta có y n ∈ F (x n ), y n > x y n , y n ∈ G(x n ) y1, y y nên 45 Theo giả thiết, (y n ) −→ z ∈ F (x) Khi z ∈ F (x n ), z > x ⇒ y n −→ z ∈ G(x) Ta kiểm tra F (M0 ) ⊂ M0 Thật vậy, lấy y ∈ F (M0 ) ∃x ∈ M0 : y ∈ F (x) Theo (4.1) x y ⇒ F (x) (1) F (y) ⇒ {y} (1) F (y) ⇒ y ∈ M0 Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta cần kiểm tra điều kiện sau: Điều kiện 1: Chứng minh dãy tăng (x n ) M0 có cận Lấy (x n ) dãy tăng M0 Vì F ánh xạ (1) - tăng nên lấy (y n ) dãy cho y n ∈ F (x n ) (y n ) tăng Theo điều kiện d ) (y n )n hội tụ, đặt y = lim y n Khi y n y ∀n ∈ N∗ (do (y n ) dãy tăng) Vì y n ∈ F (x n ) nên theo (∗), ta có x n xn y ⇒ F (x n ) (1) F (y) Khi đó, ∃z n ∈ F (y) : y n y n ∀n ∈ N∗ Do n ∈ N∗ zn Do điều kiện c), ta xem (z n )n dãy tăng Khi dãy (z n )n hội tụ e ∈ F (y) (do F (y) đóng) Do z n e ∀n ⇒ y n e⇒y Như vậy, ∃y ∈ M0 : x n e Mà e ∈ F (y) nên {y} (1) F (y) ⇒ y ∈ M0 y ∀n ∈ N∗ Vậy dãy tăng (x n )n có cận y ∈ M0 Điều kiện 2: Chứng minh tồn hàm đơn điệu tăng, bị chặn trên, xác định M0 46 Lấy x ∈ M0 , điều kiện c) nên ∃y, z ∈ M0 : x đa trị (1) - tăng nên F (y) y z ; F ánh xạ (1) F (z) Khi đó, ∀u ∈ F (y), ∃v ∈ F (z) : u v Đặt: M x = {(u, v) ∈ M ×M |u v ∃y, z ∈ M : u ∈ F (y), v ∈ F (z), x y z} Do (x, x) ∈ M x nên M x = Xét hàm: S : M −→ [0, +∞) x −→ S (x) = sup{ u − v |(u, v) ∈ M x } Nhận xét: S hàm giảm nên (−S) hàm tăng Như vậy, (−S) hàm đơn điệu tăng, bị chặn xác định M0 Áp dụng nguyên lý Entropy cho M0 hàm (−S) thì: ∃a ∈ M : ∀x ∈ M , x a ⇒ S(x) = S(a) Ta chứng minh S(a) = Giả sử ngược lại, giả sử ∃α > : S(a) > α Ta có sup{ u − v |(u, v) ∈ M a } > α ⇒ ∃x , x , y , y ∈ M :     a     x1 x2 y ∈ F (x ), y ∈ F (x )        y − y > α, y y (4.2) 47 Vì    a    a x2 x2 ,     y ∈ F (x )   x2 nên a y ∈ M0 y2 Do (4.2), ta S(y ) = S(a) > α Do S(y ) > α nên sup{ u − v |(u, v) ∈ M y } > α, ∃x , x , y , y ∈ M cho:     y2     x3 x4 y ∈ F (x ), y ∈ F (x )        y − y > α, y y Vì y ∈ F (x ) nên x y ∈ F (x ) nên x    a x2 Khi    x2 y x y3 ⇒ y2 ⇒a x3 y3 y ∈ M ⇒ S(y ) = S(a) > α y3 Một cách tương tự, ta có dãy (x n )n , (y n )n tăng cho y n ∈ F (x n ) thỏa y 2n−1 − y 2n > α (mâu thuẫn với d)) Vậy S(a) = Ta chứng minh b ∈ F (a) điểm bất động F M Do b ∈ F (a) nên a Khi đó, a b b Lấy c ∈ F (b) b c ⇒ (b, c) ∈ M a ⇒ b − c c S(a) = ⇒ b − c = ⇒ b = c Suy b ∈ F (b) Như vậy, b điểm bất động F M Ta chứng minh b điểm bất động lớn F M Thật vậy, x điểm bất động F M thỏa 48 x b Khi đóta có:      b x b x ⇒ ⇒a      b ∈ F (a)  a b ⇒ b−x b x ⇒ (b, x) ∈ M a S(a) = ⇒ b = x Vậy b điểm bất động lớn F M Hệ 4.0.2 Giả sử X khơng gian Banach thứ tự nón K, M = 〈u, v〉 ⊂ X F : M −→ 2M \{ } toán tử đa trị (1)−tăng thỏa mãn: a) F (x) đóng, ∀x ∈ M b) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y y1 c) K nón Khi đó, F có điểm bất động M Chứng minh Ta chứng minh điều kiện Định lý 4.0.1 thỏa Ta có M = 〈u, v〉 nên {u} (1) F (u) Lấy (x n ), (y n ) dãy tăng cho y n ∈ F (x n ) Ta có (y n ) bị chặn y n v ∀n ∈ N∗ Hơn nữa, K nón nên (y n ) hội tụ Như vậy, tất điều kiện Định lý 4.0.1 thỏa Do F có điểm bất động M Hệ 4.0.3 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M = 〈u, v〉 ⊂ X , F : M −→ 2M \{ } toán tử đa trị (1)−tăng thỏa mãn: 49 a) F (x) đóng, ∀x ∈ M b) ∀x ∈ M , ∀y ∈ F (x), ∃y ∈ F (x) : y y1 c) K nón chuẩn X khơng gian phản xạ Khi đó, F có điểm bất động M Chứng minh Do K nón chuẩn X khơng gian phản xạ nên K nón Khi đó, giả thiết Hệ 4.0.2 thỏa mãn Từ ta suy F có điểm bất động 50 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày được: Phương pháp sử dụng bậc topo Phương pháp sử dụng dãy lặp Phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy việc tìm hiểu bao hàm thức khơng gian có thứ tự Tùy vào lớp ánh xạ mà có phương pháp đặc thù để nghiên cứu, tìm hiểu Ví dụ phương pháp sử dụng bậc topo sử dụng để nghiên cứu tính chất tập nghiệm phương trình nghiên cứu cặp riêng dương ánh xạ đa trị, áp dụng ánh xạ F có tính compact nửa liên tục nửa liên tục dưới; phương pháp sử dụng dãy lặp sử dụng để nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị có điều kiện liên quan đến tính co; phương pháp sử dụng Nguyên lý Entropy dùng để nghiên cứu điểm bất động ánh xạ đa trị tăng mà không cần điều kiện liên tục Thông qua việc viết Luận văn này, thân hiểu kiến thức học Giải tích hàm, Giải tích thực, biết vận dụng chúng học tập vấn đề làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Hi vọng Luận văn phần hỗ trợ sinh viên Đại học học viên Cao học học giải tích Đa trị 51 HỌC VIÊN THỰC HIỆN Tài liệu tham khảo [1] J.Aubin-I.Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, J.Wiley and Sons, New-York, 1984 [2] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Spring-Verlag, Berlin, 1985 [3] L.Gasinskii, N.S.Papageorgiou, Nonlinear Analysis, Chapman and Hall/CRC, 2005 [4] N B Huy, N H Khanh, Fixed Point for multivalued increasing operators, J Math Anal Appl, 250(2000), 368-371 [5] Nguyen Bich Huy, Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinous alliptic equations, Nonlinear Analysis, 51(2002), 673-678 [6] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình mơn Giải tích phi tuyến 2, Thành phố Hồ Chí Minh, 2010 [7] N B Huy, T T Binh, V V Tri, The monotone monorant method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones, Fixed Point Theory, 19(2018), 275-286 52 53 [8] Phan Quốc Khánh, Giải tích đa trị (Giáo trình Cao học), ĐHQG Tp.HCM, 1999 [9] V V Prasolov, Elements of Combinational and Differential Topology (pp 93-99), American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, 2006 ... khơng gian có thứ tự, biết điểm mạnh, yếu, phạm vi ứng dụng phương pháp Luận văn trình bày vài phương pháp để nghiên cứu bao hàm thức không gian có thứ tự Chương Kiến thức chuẩn bị Các kiến thức. .. chung nghiên cứu bao hàm thức không gian thứ tự với chỉnh sửa cần thiết để sử dụng quan hệ thứ tự Mặt khác, để nghiên cứu bao hàm thức mà phương pháp chung không áp dụng (như F khơng có tính chất... chất ánh xạ có liên quan đến thứ tự (tính đơn điệu, tính lồi, ) để đưa phương pháp đặc thù Để tìm kết để nghiên cứu toán phát sinh ta cần tìm hiểu đầy đủ phương pháp nghiên cứu bao hàm thức dạng