Không gian con paracompact của không gian giả compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Hồ Kim Trâm G - KHÔNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA KHÔNG GIAN GIẢ COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Hồ Kim Trâm G - KHÔNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA KHÔNG GIAN GIẢ COMPACT Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Trọng Hòa Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chưa công bố hình thức Nếu phát có gian lận tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2016 Học viên thực Dương Hồ Kim Trâm LỜI CÁM ƠN Luận văn hình thành hướng dẫn tận tình thầy: Ts Nguyễn Trọng Hịa, thầy tạo điều kiện tốt để giúp học tập hồn thành tốt luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Ngồi ra, tơi xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ giảng dạy cao học khóa 25 Thầy Cơ tổ Hình Học, Khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm TPHCM Tơi xin kính mong q Thầy Cơ hội đồng chấm luận văn nhận xét đóng góp để tơi hồn chỉnh luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn nhóm hợp tác, chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn Học viên thực Dương Hồ Kim Trâm MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức liên quan không gian tôpô 1.2 Ánh xạ hoàn chỉnh 1.3 Không gian Lindelof 1.4 Không gian Cech  đầy đủ 1.5 Không gian Paracompact 10 1.6 Cech  Stone compact hóa 12 1.7 Không gian compact yếu 13 1.8 Không gian giả compact 14 1.9 Không gian Mal’cev giả compact 15 1.10 Giới thiệu tập G 16 Chương G - KHÔNG GIAN CON PARACOMPACT CỦA KHÔNG GIAN GIẢ COMPACT 17 2.1 Giới thiệu 17 2.2 Dãy bị chặn tập không gian 19 2.3 Tế bào G - không gian A(II) – không gian 24 2.4 G - phép nhúng không gian paracompact 27 2.5 p – phép nhúng không gian paracompact 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Cơ sở khoa học thực tiễn đề tài Nghiên cứu tính chất khơng gian metric hóa khơng gian compact tốn quan tâm nhà toán học Đặc biệt tính chất giả compact Như biết, khơng gian giả compact đưa nghiên cứu E Hewitt sau quan tâm nhiều tác giả khác R Engelking, M Henriksen, M Hrusak, N Noble… Một không gian X giả compact qui đầy đủ hàm liên tục X bị chặn Theo N Noble, khơng gian qui đầy đủ nhúng vào khơng gian giả compact khơng gian đóng nhúng tập dạng G không gian giả compact Trong luận văn tiếp tục nghiên cứu không gian G không gian giả compact Các nghiên cứu I Glicksberg, Iu M Smirnov J Kerstan khẳng định không gian X giả compact họ hữu hạn địa phương tập mở khác rỗng X hữu hạn Tính chất cơng cụ hiệu việc xem xét lớp không gian bị chặn không gian Một tập L không gian X gọi bị chăn cho họ hữu hạn địa phương  tập mở X tập U   : U  L   hữu hạn Một tập L không gian X Tychonoff bị chặn hàm liên tục X bị chặn L Một khơng gian X qui gọi compact yếu X tập bị chặn X Do khơng gian qui đầy đủ giả compact compact yếu Mỗi không gian compact đếm giả compact không gian giả compact compact yếu Mục đích đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu không gian mà cho phép thực phép nhúng đặc biệt không gian giả compact Nội dung luận văn sử dụng tài liệu báo: “ On paracompact G - subspaces of  pseudocompact spaces” tác giả Mitrofan M Choban Tồn không gian giả compact Y không gian không gian đóng mà khơng k - khơng gian Không gian không không gian giả compact hay không gian Mal’cev giả compact Môt paracompact G - tập đóng khơng gian giả compact với điều kiện G - không gian vài không gian giả compact Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Chương 1: Kiến thức chuẩn bi Chương 2: G - không gian paracompact không gian giả compact Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức liên quan không gian tôpô 1.1.1 Bản số Định nghĩa 1.1.1.1 Hai tập X Y gọi số (hay lực lượng tập hợp) có song ánh từ X vào Y , kí hiệu X  Y Quan hệ số quan hệ tương đương lớp tập hợp Tập hợp X gọi có số (hay lực lượng) nhỏ tập Y có đơn ánh từ X vào Y , kí hiệu X  Y  X  Y  X Y  Y  X  Định lí 1.1.1.2 Hệ 1.1.1.3 Quan hệ "  " quan hệ thứ tự - Tập X gọi đếm X có số với , phần tử X đánh thứ tự X   x1, x2 ,  - Tập gọi dãy hữu hạn có phần tử lớn nhất, tập hợp có số với tập hữu hạn gọi hữu hạn Ngược lại gọi tập vơ hạn - Tập vơ hạn không đếm gọi tập không đếm được, tập khơng phải khơng đếm gọi đếm được, tập trống hay hữu hạn hay đếm Định lí 1.1.1.4 - Hợp đếm tập đếm đếm Nghĩa là: Nếu An đếm với n - Nếu A, B đếm A  B đếm  n 1 An đếm Q tập đếm được, tập  a, b  ; không đếm - Nếu X tập vơ hạn có số nhỏ tập đếm X tập đếm 1.1.2 Không gian tôpô Cho X tập hợp khác rỗng T họ tập X thỏa mãn tiên đề sau: i) , X T ii) U ,V T  U  V T (giao hữu hạn tập thuộc T thuộc T ) iii) V T ,  I  I V T (hợp tập thuộc T thuộc T ) Khi T gọi tôpô X ( X ,T ) không gian tôpô Mỗi phần tử T gọi tập T - mở hay đơn giản tập mở 1.1.3 Các tiên đề tách 1.1.3.1 Tiên đề T0 Cho  X ,T  không gian tôpô Tôpô T không gian tôpô  X ,T  gọi T0 với cặp điểm phân biệt x, y X , tồn T - lân cận hai điểm không chứa điểm lại Một T0 gọi Kolmogorov Hai điểm thỏa tính chất tồn T - lân cận hai điểm không chứa điểm lại gọi hai điểm phân biệt tôpô 1.1.3.2 Tiên đề T1 Định nghĩa 1.1.3.2.1 Không gian tôpô  X ,T  gọi T1 -không gian cặp điểm phân biệt x, y X tồn T -lân cận điểm khơng chứa điểm cịn lại, nghĩa tồn T -lân cận x không chứa y tồn lân cận y không chứa x khơng gian T1 đơi cịn gọi không gian Frechet Hai điểm không gian tôpô gọi tách biệt tồn T -lân cận điểm khơng chứa điểm cịn lại Với định nghĩa T1 - không gian không gian tôpô mà cặp điểm tách biệt Định nghĩa 1.1.3.2.2 Không gian tôpô  X ,T  gọi T0 - không gian cặp điểm phân biệt tôpô X tách biệt.không gian cịn có tên khơng gian đối xứng Với định ngĩa T1 - khơng gian ta có nhận xét T1 - khơng gian T0 - không gian Nhưng T0 - không gian nói chung khơng T1 - khơng gian Định lý 1.1.3.2.3 Cho  X ,T  không gian tơpơ Khi đó, mệnh đề sau tương đương: i) X T1 - không gian ii) Với điểm x thuộc X , tập  x T - đóng iii) Với điểm x thuộc X , giao T - lân cận lọc x  x 1.1.3.3 Tiên đề T2 Cho  X ,T  không gian tôpô ( X ,T ) gọi T2 cặp điểm phân biệt x, y thuộc X , tồn T -lân cận tương ứng Vx  Vy   Một không gian T2 thường gọi không gian Hausdorff 1.1.3.3 Tiên đề T 2 Cho ( X , T ) không gian tôpô 25 Cố định m – dãy   n  M n : n   Thì  m – dãy, Un : n   Lấy   n  rn (n )  An : n    dãy bị chặn W n : n  dãy bị chặn tập mở Y Ta đặt: H (  )  W n :n  Tập H (  ) compact có tế bào đếm Bởi H ( )  X , H ( ) không gian Lindelof Y Theo định lí 2.1, tập H (  ) compact Khi đó, với tập mở W Y mà chứa H (  ) tồn n cho Wn  W Do X A(k) – khơng gian Giả thiết không gian Y fan – đầy đủ dãy   có tính chất (Đk4) Thì dãy  q có tính chất (Đk4) Vì vậy, X fan – đầy đủ sàng – đầy đủ Vậy, ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.2 Cho X G - không gian paracompact khơng gian qui đầy đủ Y  Y khơng gian hai ngơi Thì X không gian Cech  đầy đủ Lindelof Hơn nữa, X G - tập không gian  Y Chứng minh Bởi  Y không gian compact hai ngôi, Y không gian giả compact Do Y khơng fan – đầy đủ [7,8] Lấy H n : n  dãy tập mở khác rỗng Y Y \ H n H n1 tạo thành cặp tập có chức riêng biệt Y với n Do H n : n  II – dãy tập mở khác rỗng Y Ở tồn dãy  fn : Y  [0,1]: n   hàm liên tục  Y cho Y \ H n  f n1 (1) H n1  f n1 (0) với n Ta đặt H  F  f 1 n (0) : n   Bằng cách xây dựng, H  F H H n : n   tập có 26 tập đóng Y Bởi Y giả compact, clY H  F Khơng gian F G - tập đóng khơng gian hai ngơi khơng gian hai ngơi Do tế bào khơng gian H đếm Bởi H khơng gian trù mật không gian F , tế bào H đếm Theo định lí 3.1, X khơng gian Cech  đầy đủ paracompact Bởi X G - tập không gian clY X , tồn dãy On : n   tập mở On  Y : n   Lấy L  Y cho On : n   Thì thiết b  Y \ Y b  L \ clY X Do đó, K  X O n   clY X : n  X  L X  L  Y Giả O n \ clY X : n   G  - tập  Y b  K  Y \ Y , mâu thuẫn với giả compact Y Vì vậy, X  L G - tập  Y Lấy D  0,1 nhóm rời rạc m trọng số khơng gian  Y Thì tồn ánh xạ liên tục g : Dm   Y lên không gian compact hai ngơi  Y A.V Arhangel’skill nói kể từ sau số Souslin G - tập nhóm tơpơ compact đếm Vì vậy, G - tập nhóm tơpơ compact khơng gian lindelof Do tế bào G - tập không gian D m đếm , đặc biệt, tế bào không gian g 1 ( X ) đếm Bởi X khơng gian paracompact tế bào, X không gian Lindelof Như ta chứng minh xong Một không gian X gọi không gian Mal’cev tồn ánh xạ liên tục  : X  X cho  ( x, x, y)   ( y, x, x)  y với x, y  X Nếu X khơng gian Mal’cev giả compact,  X khơng gian Mal’cev Bất kì khơng gian Mal’cev compact không gian Dugundji và, đặc biệt, khơng gian hai ngơi Vì vậy, ta có hệ 2.3.3 sau: 27 Hệ 2.3.3 Cho X G - không gian paracompact không gian Mal’cev giả compact Y Thì Y khơng gian Cech  đầy đủ Lindelof Hơn nữa, X G - tập không gian  Y Bất kì nhóm tơpơ khơng gian Mal’cev Vì theo định lí 2.4.6, giả thiêt hệ 2.3.2  Y không gian nhị nguyên giả thiết hệ 2.3.3 Y không Mal’cev cần thiết 2.4 G  - phép nhúng không gian paracompact Cho Y không gian X Ta nói khơng gian Y  - compact ( compact dãy ) X với tập L hữu hạn Y tồn tập hữu hạn M  L cho tập cl X M compact ( compact metric hóa ) Một khơng gian X gọi giả  - compact ( giả compact dãy ) không gian Y trù mật X  - compact ( compact dãy ) X Bất kì khơng gian giả  - compact compact yếu Đặc biệt, khơng gian giả  - compact qui đầy đủ giả compact Cho họ không gian giả - compact  X  :   A X    X  :   A Thì: - Khơng gian X compact yếu - Nếu tập A đếm được, khơng gian X giả  - compact Hơn nữa, X không gian giả  - compact Y khơng gian compact yếu, khơng gian X  Y compact yếu Bổ đề 2.4.1 Cho X G - không gian không gian Z g : X  Y ánh xạ liên tục không gian X vào không gian Y Giả thiết g ( X ) G không gian không gian Y g ( X ) không gian với G - đường chéo Thì Gr ( g )  ( x, g ( x)) : x  X  G - không gian không gian Z  Y Chứng minh 28 Bởi X  g ( X ) G - không gian không gian Z  Y , ta giá thiết X  Z g ( X )  Y Tồn dãy phủ mở n : n  gian Y cho n ( y) : n     y với Với điểm x  X n X Wn  U n x  Vn x : x  X  Thì Wn : n cho gian X  Y Gr ( g )  không y Y , ta cố định tập mở Vn x n tập mở x U n x, g ( x) Vn x Un x  g (U n x)  Vn x Ta đặt  dãy tập mở không Wn : n   Bổ đề 2.4.2 Cho X không gian không gian Z, g : X  Y ánh xạ liên tục không gian X vào không gian Y tập g ( X ) đóng khơng gian Y Giả thiết với cặp điểm y  g ( X ) z  Z \ g 1 ( y) tồn tập mở V Y cho y V z  Z \ clZ g 1 (V ) Thì Gr ( g ) khơng gian đóng khơng gian Z  Y Chứng minh Bởi g ( X ) khơng gian đóng khơng gian Y , ta giả thiết g ( X )  Y Cố định điểm (a, b)  Z Y \ Gr (g ) Thì a  g 1 (b) tồn tập mở V Y cho b V a U  Z \ clZ g 1 (V ) Thì W  U  V tập mở Z  Y , (a, b) W W  Gr ( g )   Như ta chứng minh xong Theo hai kết tiếp theo, điều kiện Y khơng gian đóng lindelof cần thiết điều kiện định lí 2.2.1 hệ 2.2.5 Định lí 2.4.3 Với khơng gian paracompact X , khẳng định sau tương đương: X không gian paracompact Cech  đầy đủ X p – không gian G - khơng gian đóng khơng gian giả  compact qui đầy đủ 29 X p – không gian G - không gian không gian fan – đầy đủ X BD – khơng gian G - không gian không gian fan – đầy đủ Định lí 2.4.4 Cho Y khơng gian metric hóa đầy đủ, dim Y = 0,  số vô hạn,  0   w(U )  w(Y )   với không gian mở khác rỗng U Y Thì Y khơng gian khơng gian đóng khơng gian giả compact dãy X lực lượng  Nếu   20 , X khơng gian Moore tách Trong q trình chứng minh định lí 2.4.3 2.4.4 kéo theo sang định lí 2.4.3 rõ ràng kéo theo sang sang từ hệ 2.2.3 định lí 2.2.2 Lấy Dm không gian rời rạc lực lượng m Dn không gian rời rạc lực lượng  với n Khi B(m)  Dm không gian Baire lực lượng m [7] Trong điều kiện định lí 2.4.4, khơng gian Y B( ) đồng phôi Giả thiết Y  B( ) Ta đặt C ( )  Dn : n   Định nghĩa họ max  As : s  M  tập đếm hữu hạn tập C ( ) với tính chất sau: - M  m - M  C ( )   - Nếu s  S , As  Dn với vài n , As  Dn tập hữu hạn với n - Giao As  Ar tập hữu hạn với hai phần tử s, r  M Việc xây dựng họ dãy với lực lượng vơ hạn    0 ví dụ Mrowka cho   0 Thực sự, không gian Baire 30 B( )  Dn : n   có lực lượng  , ngược lại Do đó, tồn ánh xạ g : C ( )  B( ) cho tập g (C ( )) trù mật B( ) ảnh hai phần tử riêng biệt riêng biệt Với điểm s  B( ) cố định dãy As  b(n, s)  C ( ) : n   cho lim g (b(n, s))  s Ta giả thiết n B( )  M họ  As : s  M  max tương ứng với tính chất nói đến Rõ ràng, M   0   Cho As  b(n, s) : n  n  U n s  s  b(i, s) : i  n với s  M Trên Z ( )  C( )  M , ta xem xét tôpô thông thường với sở mở B  x : x  C ( )  U n s : s  M , n   Họ B chứa sở đầy đủ thứ tự đếm [3] Khái niệm sở thự tự đếm được giới thiệu trước Bằng cách xây dựng, tập Z n  clZ ( ) Dn không gian mở mở không gian Z ( ) Lấy M   M \ Zn : n   Rõ ràng, M    Ta giả thiết D  M  Bằng cách xây dựng, D không gian đóng rời rạc khơng gian compact địa phương giả – dãy – compact Hàm f : Z ( )  I , với f 1 (0)  M   D f 1 (n1 )  Z n với n , liên tục Do đó, M   D tập không không gian Z ( ) Bây , ta đặt X ( )  Z( ) Thì X ( ) khơng gian giả – dãy – compact qui đầy đủ với sở đầy đủ thứ tự đếm B( )  D tập khơng khơng gian X ( ) Bởi Y  B( )  X ( ) , ta xem xét Y tập khơng khơng gian X (m) Vì vậy, định lí 2.4.4 chứng minh Ta tiếp tục chứng minh định lí 2.4.3 31 Lấy L( )  I   Z ( ) F  clL ( ) (0  D ) Đặt S ( ) khơng gian chứa tập đóng đồng tới điểm không gian L( ) Lấy  : L( )  S ( ) phép chiếu tự nhiên Ta đặt K ( )   ( I  Z ( )) Thì khơng gian H ( )   ( I  ( D )) đồng phôi tới không gian J ( )  Giả thiết J  H( ) Bằng cách xây dựng, J tập không không gian giả – dãy – compact qui đầy đủ K ( ) Bất kì khơng gian metric hóa đầy đủ lực lượng   nhúng đóng J Vì kéo theo sang chứng minh với không gian metric hóa Lấy X khơng gian paracompact Cech  đầy đủ f : X  X1 ánh xạ hồn chỉnh lên khơng gian metric hóa đầy đủ lực lượng  m Khi đó, theo bổ đề 4.2, X  Gr ( g ) khơng gian đóng  X  K ( ) Sự kéo theo sang chứng minh Như vậy, ta chứng minh xong định lí 2.4.3 2.4.4 Nếu X khơng gian non - compact metric tách biệt, thì, theo hệ 2.3.2, khơng gian X khơng cho phép phép chiếu vào không gian giả compact tập tập đóng Vì vậy, định lí 2.4.4 khơng với số  Hệ 2.4.5 Cho không gian Lindelof Y , khẳng định sau tương đương: Y không gian Cech  đầy đủ Y G - khơng gian đóng khơng gian giả compact X Y G - không gian không gian giả compact X Tồn không gian X dãy bị chặn U n : n không gian Y cho Y  Chú ý: U n : n    tập mở 32 Sự khẳng định định lí 4.3 4.4 chứng minh khơng gian chiều Tổng qt, chứng minh với khơng gian paracompact Cech  đầy đủ G - khơng gian đóng khơng gian compact yếu Định lí 2.4.6 Cho  số khơng đếm Thì tồn khơng gian Y giả  - compact qui đầy đủ Y khơng gian X có tính chất sau: X tập tập đóng khơng gian Y Đặc biệt, X G - tập đóng khơng gian Y X có điểm lập b  X Không gian X paracompact Đặc biệt, không gian Y không p - không gian không Cech  đầy đủ Nếu L  X L   , tập L đóng X Y Đặc biệt, tập đếm X đóng Y Không gian Z  Y \ b compact địa phương giả  - compact Không gian Y \ X  - compact ind Y = Chứng minh Cố định số vô hạn   0 không gian E rời rạc lực lượng  Trong E ta cố định dãy En : n  E En : n    tập rời rạc đôi lực lượng  /sao cho Lấy  E Stone - Cech compact hóa khơng gian E Z n  cl E En với n Tồn họ  A :   M  tập đếm hữu hạn E với tính chất sau: - Nếu  ,   M    tập A  En hữu hạn - A  En tập điểm tập rỗng với n  ,   M - Nếu A tập hữu hạn khơng gian E, tập A  En hữu hạn với vài n , tập A  En hữu hạn với vài   M 33 Với cách xây dựng họ dãy số  chứng minh định lí 2.4.3 2.4.4 Bởi    0  0 , ta có   M   Ta xem xét không gian Z ( )  M   Zn : n   với tôpô sau đây: - Mỗi Z n không gian compact mở đóng khơng gian Z ( ) - Họ điểm   M Z ( ) có dạng    A \ F  , với F tập hữu hạn Bằng cách xây dựng, Z ( ) không gian không chiều compact địa phương  trù mật không gian Z ( ) có sở đếm điểm   M Cũng cách xây dựng, Z ( ) không gian giả  - compact M, E không gian rời rạc Z ( ) Tồn ánh xạ liên tục g :  E   Z ( ) cho g ( x)  x với x  E Bằng cách xây dựng: - Nếu Yn  cl E En , g 1 (Z n )  cl E En  Yn hạn chế g | Yn đồng phôi Yn lên Z n với n - g 1 (  )  cl E A \ A tập đóng mở tập compact hiệu R   E \ E Bây giờ, ta đặt P  cl E M Lấy L  M tập số L   Ta đặt L( E )  A  :   L cL  E \ L( E ) Thì L( E )   , cL   cl Z ( ) L  cl Z ( )cL   Do tập K  P  cl Z ( )cL : L  M , L    khác rỗng đóng  Z ( ) Bằng cách xây dựng, K  P \ cl  Z ( ) L : L  M , L  Cố định b  K Bằng cách xây dựng, b  cl Z ( ) M \ M Lấy X ( )  M  b Y ( )  Z  X  Z  b không gian không gian  Z ( ) 34 Không gian Y ( ) khơng gian X ( ) có tính chất sau: Tính chất 1: Khơng gian Y ( ) giả  - compact Z ( )  Y ( ) \ b không gian giả  - compact địa phương Bằng cách xây dựng, không gian Z ( ) giả  - compact Bởi khơng gian Z ( ) trù mật Y ( ) , không gian Y ( ) giả  - compact Tính chất 2: Tập Y ( ) \ X ( ) không gian  - compact, X ( ) tập tập đóng G - tập đóng khơng gian Y ( ) Bằng cách xây dựng, ta có Y ( ) \ X ( )  Zn : n   Tính chất 3: Khơng gian X ( ) có điểm cô lập b  X , di truyền tính paracompact tập X ( ) lực lượng   Đặc biệt, không gian X ( ) không p – không gian không Cech  đầy đủ Lấy H  X ( ) H   Tập H đóng X ( ) b  H Nếu b  H , b  K \ cl Z ( ) H tập H đóng Z ( ) Do X ( ), Z ( ),Y ( ) không gian với tính chất phải Như ta chứng minh xong Chú ý: Lấy X G - không gian paracompact hồn chỉnh vài khơng gian giả compact vài A(II) - không gian Y Thì X đếm thứ tập compact khơng gian X có tính đặc trưng đếm Y Đặc biệt, X không gian dạng đếm Chú ý: Lấy X G - không gian không gian Y fan – đầy đủ Thì X có tính chất Baire Định lí 2.4.7: Lấy X  U n : n   , với U n : n  dãy tập mở không gian Y Bởi X khơng gian paracompact, tồn dãy họ   V n  :   M n : n   có chức tập đóng không gian Y cho: 35 - W  V  X tập tập đóng khơng gian X   M n n - X V  :   M n  cl V Y  :   M n   U n với n -  n  W :   M n  phủ hữu hạn địa phương không gian X với n Cố định họ  f  : Y 0,1 :   M n , n   hàm liên tục không gian Y với: - Y \ V  f 1 (0) với   -  f  ( x) :   M   n n M n : n   với tất x  X n  Thì d ( x, y)   f  ( x)  f  ( y) :   M n , n   giả compact liên tục X Tồn không gian metric  X1 , d1  ánh xạ liên tục g : X X1 cho d ( x, y)  d1  g ( x), g ( y)  với tất x, y  X Bằng cách xây dựng, không gian metric  X , d1  đầy đủ By virtue định lí 4.3, X G - khơng gian đóng vài giả  - compact khơng gian Y1 Thì Z  Y  Y1 không gian giả compact Ta lấy x  X với điểm  x, g ( x)   Z Trong trường hợp này, by virtue bổ đề 2.4.1, X  Gr ( g ) G - không gian không gian Z Lấy a Y , b  X (a, b)  Gr ( g )  Z Tồn c  X cho g (c)  b Nếu a  X b Y1 \ X1 tồn tập mở U Z cho (a, b) U U  X   Giả sử a  X Cố định n dựng, tồn   cho U V n : c V  , tập U cho a U n Bằng cách xây x  X : d (c, x)     V n : c V  Nếu mở Y , tập g (U  X ) mở X 36 a  H  Y \ clYU Do đó, theo bổ đề 4.2, X  Gr ( g ) G - không gian không gian giả compact Z Chú ý: Lấy X G - không gian paracompact không gian compact yếu Y Thì X G - khơng gian không gian compact yếu Z Chứng minh điều tương tự chứng minh 4.7 Vấn đề 2.4.8 Lấy X G - không gian paracompact khơng gian compact yếu Y Liệu có phải X G - không gian không gian giả compact Z ? 2.5 p – phép nhúng không gian paracompact Bổ đề 2.5.1 Lấy X không gian p – phép nhúng không gian Y  Y khơng gian compact nhị ngun Thì số Souslin c( X ) không gian X đếm clY X G - tập Y Chứng minh Cố định điểm x  X Thì tồn II – dãy U n x : n không gian  Y cho x  H ( x)  Vn  U n  Y : n  U n : n    II – dãy không gian Y  tập mở F ( x)  H ( x)  Y  X Do x  F ( x)  Vn : n   Bởi khơng gian Y giả compact, tập F ( x) trù mật H ( x) Do c Y ( x)   c  H ( x)  0 Từ tồn tập A đếm X cho tập H  H ( x) : x  A trù mật H ( x) : x  X  clY H tập  Y Vì vậy, tập G - F ( x) : x  A trù mật không gian X clY X G - tập Y Rõ ràng, c( X )  0 Định lí 2.5.2 Cho X BD - không gian p-phép nhúng A(II)-không gian Thì X A(k ) - khơng gian Hơn nữa, X khơng gian paracompact, X p - khơng gian 37 Định lí 2.5.3 Cho X không gian paracompact p-phép nhúng không gian Y  Y khơng gian nhị ngun Thì X p-không gian Lindelof Hơn nữa, X p - phép nhúng không gian  Y Hệ 2.5.4 Cho X không gian paracompact p - phép nhúng không gian giả compact Mal’cev Y Thì X p - khơng gian Hơn nữa, X p - phép nhúng không gian  Y Gần A.V.Arhangel’skill đưa vấn đề sau: Vấn đề 2.5.5 Cho X không gian paracompact p - phép nhúng không gian giả compact Y Liệu X có phải khơng gian đóng p - phép nhúng không gian giả compact? 38 KẾT LUẬN Các khơng gian metric hóa không gian compact lớp không gian quan trọng thường quan tâm nghiên cứu không gian tơpơ Một tính chất quan tâm nhiều năm gần tính chất giả compact Trọng tâm luận văn tìm hiểu khơng gian mà thực phép nhúng đặc biệt không gian giả compact Từ hệ 2.3.2, ta có khơng gian paracompact Cech  đầy đủ với điều kiện G - tập khơng gian Y compact hóa Stone – Cech khơng gian tốn tử Ở đây, tồn không gian giả compact Y khơng gian paracompact khơng gian đóng mà khơng k – khơng gian Khơng gian khơng tồn nhóm giả compact Mal’cev giả compact Một không gian paracompact G - không gian vài không gian giả compact Do điều kiện nghiên cứu luận văn ngắn nên chưa sâu vào vấn đề liên quan xung quanh không gian giả compact Hy vọng thời gian tới tơi có nhiều thời gian tìm hiểu kĩ khơng gian giả compact Trong q trình hồn thiện luận văn, Ts Nguyễn Trọng Hòa người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi nhiều Tôi xin chân thành cảm ơn Về mặt kiến thức cịn hạn chế nên cịn thiếu sót q trình hồn thành luận văn, mong q thầy bạn góp ý để tơi hồn thiện tốt 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.V Arhangel’skii, M.M Choban, Completeness type properties of semitopological groups, and the theorems of Montgomery and Ellis, Topol Proc 37 (2011) 33-66 A.V Arhangel’skii, M.M Choban, Some generalizations of the concept of a p – space, Topol Appl 158 (2011) 1381-1389 A.V Arhangel’skii, M.M Choban, Spaces with sharp bases and with other special bases of countable order, Topol Appl 159 (2012) 1578-1590 A.V Arhangel’skii, M.M Choban, P.S Kenderov, Topological games and continuity of group operations, Topol Appl 157 (2010) 2542-2552 A.V Arhangel’skii, M.G Tkachenko, Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press, Amsterdam – Paris, 2008 Mitrofan M Choban, On paracompact G  - subspaces of pseudocompact spaces, Topol Appl 179 (2015) 62-73 R Engelking, General Topology, PWN, Warszawa, 1977 R Engelking, A Pelczynski, Remarks on dyadic spaces, Collect, Math 11 (1963) 55-63 M Henriksen, M.C Rayburn, On nearly pseudocompact spaces, Topol Appl 11 (1980) 161-172 10 N Noble, Countable compact and pseudocompact products, Czechoslov Math J 19 (1969) 390-397 11 A Okuyama, On metrizablity of M - spaces, Proc Jpn Acad 40 (1964) 176179 ... Tồn không gian giả compact Y khơng gian khơng gian đóng mà khơng k - khơng gian Khơng gian không không gian giả compact hay không gian Mal’cev giả compact Môt paracompact G - tập đóng khơng gian. .. Y không gian paracompact khơng gian đóng mà khơng k – khơng gian Khơng gian khơng tồn nhóm giả compact Mal’cev giả compact Một không gian paracompact G - không gian vài không gian giả compact. .. X không gian giả  - compact Y không gian compact yếu, khơng gian X  Y compact yếu Bổ đề 2.4.1 Cho X G - không gian không gian Z g : X  Y ánh xạ liên tục không gian X vào không gian Y Giả