Khóa luận tốt nghiệp Toán học: Sử dụng số phức để nghiên cứu một số tính chất trong tam giác

Phương trinh của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z củađiêm Z tùy ý trong mặt phang và tọa độ phức z” của điểm Z' tương ứng với Z.. Dat A là một điểm cho trước và Z là

BO GIÁO DỤC VA ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Mục lục

80/002 1 CHƯƠNG 1| : MOT SO LÝ THUYET CƠ BAN 0 sseessssssssssseesssseeecesneeeesnesessnecessnneeeen 2

IW\9)/€19)0/.9A4:8902:00922 2

1 Biéu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ - - 2-2 + x+E+£E+EEeEEerkerxerkerrees 2

2 Toa dO lid Hop oo 2

3 Dang lượng giác va dang mũ của số Phi .cccceccessessessessessessessessessessesseesessesseeseeses 2

4 Vectơ và sỐ phỨC -¿- 2 2 k+SE9EE9EEEEEEEE9EEEEEEE1EE15111171711111111111 11111111 xe 3

5 Các phép toán $6 phứỨc - 2-2 k+Sx+SE+EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEkerkerver 3

bi + 3 z0 3 b3 30): g5 4

b z2 Ả 5

6 Can bac n CUA GON 0 -:::1 5

6.1 Dinh nghĩa căn bậc n của $6 phức - ¿+ x+E+£E£EE+EEeEEeEEerkerxerkerrers 5 6.2 Căn bậc n của GON VỊ . 221161162311 111 119311111 83111193 1K và 6

II NHỮNG PHÉP BIEN HÌNH CƠ BẢN - -¿-5552c222xvtttxrtrtrtrrrrrrrrtrrrrrrrred 8

1 Phép biến Wink .ccceccccccccsessessessessessessessecsessessessessessessessessessessessessessessessesseeseeseesess 8

2 Phép tịnh tin cscceccsccssssssessesssssessessesssssessessesssssessessessessessessessessessessessessessesseeseeseeses 8

3 PREP QUAY eee 9

4 PHEp Vi tu eee cece eeccecceseeseceseeeceseeseceseeseeeaecseceaecaecaecaeceaesseceseeseceaecseceseeaeeeseeeeeeaseats 9

5 Hệ thức giữa ba điỀm - ¿52 tk E219 1112111111171 11 11c 10

6 Đối xỨng tC coeceeceecessessessessessessecscsessessessessecsessessessessessessessessessessessessesseesesseeseesess 10

7 Phép nghịch đảO cọ Tre 11

8 Điểm vô tận trong mặt phăng Gauss - 2-2 + £E+EE+EEeEEeEEerxerxerxerxee 11

9 Tích của các phép biến hình - ¿- 2-2 + E+SE£EE£EE£EE£EEEEEEEEEEEEEEeEErrkerkerkerkeee 12

10 Phép đối hợp ¿- ¿+ k+x‡EE2E127121111171121121112111111121111.11 1111.111 ree 13

TIL TL SO KEP 1 ((OÓƠE 14

1 Dinh nghia va giai thich 00.0 4 14

2 DUONG trOM oo .dÂ-: ÔỎ 20

2.1 Phương trình tổng quat c.cceccecccscsssesessessessessessessessessessessessessessessesseesessesseeseess 20 2.2 Phương trình tham SỐ 2- 2-22 E+SE+SE9EE£EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEErkerkerkrree 21

CHƯƠNG 2 : SỬ DUNG SO PHỨC DE NGHIÊN CUU MOT SO TÍNH CHAT

Iÿ0:49)/62V0.9/0607.001015 23

1 Tích thực của hai $6 phỨc ¿+ ©St+E£+E£EE£EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEErrkrrkerkerkrree 23

2 Tich 00n iu 9/10 000 SN - 24

3 Tâm tỉ cự và một số điểm đặc biệt trong một tam g1ácC - «+ +s + e+ss«2 27

4 9 điểm của đường tròn EuÏer -¿- 2¿5222x+2Ex+2EEt2Ex2EEEEEEEEEEerEkerkrerkrerkree 29

5 Các khoảng cach đặc biệt trong tam B1áC - - «+ + tt k**kEsvEserseereeserske 31

5.1 Các bất biến cơ bản của tam giác ¿- 2© +k+Sk‡EE£EEEEEEEEEEEEEkerkerkerkeree 32

5.2 9 vá 100901 33 5.3 Khoảng cách OÌN - - Gv H HnHHnH HHH H Hg 34 5.4 Khoảng cách OH G1 TH ng ng 35

6 Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phang của tam giác - . - 36

0M on áo 5 36

6.2 Khoảng cách giữa hai điểm theo các tọa độ tỷ cự -¿c-sccscccesrea 37

7 Diện tích của một tam giác theo tọa dO tỷ CỰ - - cScs+t se rrkg 38

8 ©.1árìi83r1viáìiv2 200018 4 41

8.1 Đường thang Simpson và tam giác thủy túc -s¿z+-s+zx+zsze 4I 8.2 Điều kiện cần và đủ về tính trực gaO - - + s+xecxeckeEEeEEeEkerkerkerkerkeree 45 CHƯƠNG 3: UNG DUNG SO PHUC GIẢI MOT SO BÀI TOÁN HINH HOC 47

1 Dang 1: Sử dung tích thực và tích phức dé chứng minh tính vuông góc, thăng hàng Và SONY SOIØ - - G2 G 1v TH tr 47

2 Dạng 2 : Các bài toán liên quan đến đường tròn 9 điểm Euler - - 51

3 Dạng 3: Chứng minh các tam g1ác tTỰC 1aO + «+ + ket 54

4 Dang 4: Một số bài toán tổng hợp -:¿ 2-5 +E2+EE£EE2EEEEEEEEEEEEEEEEkrrkrrrreeg 57

40800970) 5 69 TÀI LIEU THAM KHẢO - - ¿St E+E9EEEE‡EEEEEEEEEEESEEEEEEEEEEESEEEEEESEEEESEEEEEESEEEETErrkrrsrr 70

LỜI MỞ ĐẦU

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về giải

những phương trình đại số Ké từ khi ra đời, số phức đã có rất nhiều ứng dụng trong

các lĩnh vực khác nhau của Toán học Một trong những ứng dụng quan trọng là dùng

số phức như một công cụ đề đưa ra cách giải một số dạng toán trong tam giác ngắn

gon và đơn giản hơn cách giải thông thường Tuy nhiên, việc nắm vững các khái niệm, tính chất liên quan và việc sử dụng số phức dé giải các bài toán là một van đề khó đòi hỏi chúng ta phải tìm tdi và biết vận dụng kiến thức da dang của số phức trong toán

học.

Vì vậy, em đã chọn dé tài ‘“SU DUNG SO PHỨC DE NGHIÊN CỨU MỘT

SO TINH CHAT TRONG TAM GIÁC'”' trong bài khóa luận tốt nghiệp của mình.

Bài khóa luận nhằm mục đích bổ sung các kiến thức cơ bản về số phức, sử dụng số

phức như là một công cụ dé tìm hiểu các tính chat và giải các dang toán trong tam

giác.

Nội dung của bài khóa luận gồm ba chương : Chương I : Giới thiệu một số lý thuyết cơ bản về số phức.

Chương II : Sử dụng số phức đề nghiên cứu một số tính chất trong tam giác.

Chương III : Sử dụng các lý thuyết trong chương II giải một số dạng toán trong tam

giác.

Do hạn chế về thời gian và kiến thức nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Em rất mong nhận được ý kiến nhận xét, đóng góp quý báu của

Quý thầy cô và các bạn.

Em đặc biệt cảm ơn thay LÊ NGÔ HỮU LẠC THIEN đã dành nhiều thời gian

và công sức dé đọc, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn

thành bài khóa luận này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn QUÝ THAY CÔ và BAN CHỦ NHIỆM KHOA TOÁN đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học

tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em thực hiện bài khóa luận này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012.

Sinh viên thực hiện

Trần Huỳnh Anh

CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1° Truc Ox là quỹ tích ảnh cua các số thực Truc Oy là quỹ tích anh của các

số ảo Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của mặt phẳng Gauss.

2° Số -z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.

2 Tọa độ liên hợp.

Số phức liên hợp với z = x + iy luôn xác định và được kí hiệu z = x — iy đọc

là “z ngang” Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Óz.

3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.

Cho một số phức z = x + iy, ta có thé viết z ở dạng lượng giác

z = r(cos0 + isin@),

trong đó z = 2° +” €[0,00) được gọi là modun của z và 0 € [0,2n) là số đo của

—

góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều đương được gọi là argument của z.

Cho z = 0, môđun và argument của z được xác định duy nhất.

Xét z = r(cos0 + /sin0) và đặt £ = 0 + k2n, k€ Z.

Khi đó

z = r[cos(f — k2m) + isin(t — k2m)| = r(cost + 2sin £),

nghĩa là số phức bat kì z được biéu diễn dưới dang

z=r(cost+isint), trong đó r >0, tER.

Đặt Argz = {t :Ð +2kn,k€ Z} được gọi là argument mở rộng của số phức z,

Do đó, hai số phức Z,;Z„ = 0 có biểu diễn dạng lượng giác

z, =,(cosứ, +isint,); z¿ = 7,(cost, + isint,)

bằng nhau khi và chỉ khi ảngn au 1 Va Ch1 1 t, —t, =9kn,k €7.

* Sử dụng công thức Euler cos@ + isin@ =e”, số phức z ==z + có thé được viết như sau z = re” được gọi là dang mai của z.

Khi z0, ta chọn z = 0 và 0 tùy ý.

Ta có: z = re”,

4 Vectơ và số phức.

Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vecto OZ Khi đó ta nói rang

số phức z được biểu diễn bởi vecto này Số phức và vectơ có médun bằng nhau và ta

có thê nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ.

có anh Z được xác định boi phương trình hình

on are hoc OZ = OZ, + OZ, + + OZ, (2).

` a ẢNG :

" i › oT Giả sử Z (z y) Ta tìm toa độ của Z dựa

Vag ` : A - _ vào phương trình (2) Băng cách lay dai số trên

i wy v trục Ox, sau đó trên trục Oy, ta có được hai

⁄ /

Tacó z=2z,+(-z,)=2,+2).

*Ä / Aso lên

Điêm Z⁄ đôi xứng với Z, qua O.

Từ mục 5.1, ta có OZ = OZ, + OZ! = OZ, —OZ, (3).

Nếu các số phức Z¡; 2, được biểu thị bởi

các vecto OZ,, OZ, thì tích

2Z—= 215,

—

được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơ

—

OZ, theo cách như sau:

1° Quay vecto OZ, quanh O một góc bằng với

——

argument của vectŒ OZ,

2° Nhân vecto vừa thu được với modun của

Khi đó arg(z) = 0, +0, và mođun của z là r¡, = OZ,.0Z,

Ta lay điểm U trên trục Ox có hoành độ +1 Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh

thứ ba trong tam giác OZ,Z đồng dạng với tam giác OUZ, với

OZ OZ,

Or,0Z) =0,+0,, 22 =,

(On OD) = 8+ 8s OF = OT ai

5.4 Phép chia.

Nêu các sô phức z,, z, được biéu thị bởi các vecto OZ,, OZ, thì tỈ số z= +

2,

— —_—y

được biểu thị bởi vecto OZ được tạo ra từ vec to OZ, theo cách như sau:

I’ Quay OZ, quanh O một góc bang voi — arg(OZ,).

2° Chia vecto vira thu duoc cho

—

modun của vecto OZ,

Su dung muc 5.3, dung điểm Z là anh hình

+ ` T ¡(06-0

học của z và z= -Lef®%),

%

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ,Z

đồng dạng với tam giác OZU

Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.

6 Căn bậc n của đơn vị.

6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức.

Xét số nguyên đương n > 2 và một số phức z, 0 Phương trình

Z" —z, =0 (1)

được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z,- Ta gọi nghiệm Z của phương trình

(1) là một căn bậc của z,.

Định lí Đi z, = r(cos0 + isin®) là mét số phức với r > 0 và 8 € [0,2n).

Căn bậc n cua z, gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức

2, = r(cos” + 2kin + isin’ + 2hny k=0,1 ,n—-1.

n n

Ching minh.

Biểu diễn số phức Z dạng lượng giác, tức là Z = p(cos + isiny).

Theo định nghĩa, ta có Z” = z, = p"(cosmp + isin m@) = r(cos® + isin 9)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

,= Vr(cose, +isiny,), k€Z.

ya

Lưu ý rằng 0 < Py <@,< <0, , < 2n, do đó »,, ke {0,1, n —1} là các

argument Ta có ø nghiệm phân biệt của z, là Z),2Z,, ,2,

¡-Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Xét số nguyên k bat ki, và đặt r € {0, Len 1} la phan du cua k chia cho n Khi

Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Biêu diễn hình học của các căn bậc n của sô phức z„ + 0 là các đỉnh của một

n giác đêu nội tiêp đường tròn có tâm tại gôc tọa độ và bán kính tr

Dé chứng minh điều nay, ta kí hiệu các diém M,, M,, ,M, , với các toa độ

6.2 Căn bậc n của đơn vị.

Một nghiệm của phương trình Z” — 1 = 0 gọi là một căn bậc n cua đơn vị.

Vì 1=cos0+isin0, từ công thức tìm căn bậc ø của số phức, ta suy ra căn bậc n

Kí hiệu U, = {1,e,£?, ,e""Ì} Mỗi phân tử của U, là lũy thừa của c.

Biêu diễn hình học của căn bậc n của đơn vị là các đỉnh của một đa giác đềuvới n cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị với gốc O và bán kính 1

Ta xét một vài giá trị đặc biệt của 0.

i Với a = 2, căn bậc hai của 1 là (nghiệm của phương trình Z? =1 = 0 ) —1 và 1.

ii Với mn = 3, căn bậc 3 của đơn vị (nghiệm của phương trình ZỶ — 1 = 0) được

Ta biểu diễn tam giác đều nội tiếp đường ưòn C(O; 1)nhu hình dưới đây

lii Với n = 1 căn bậc 4 của đơn vi là

Tức là U, = {t b ?} = ụ & —L — i} Biểu điển hình học của chúng là hình

vuông nội tiếp đường tròn C(0;1)

Il NHUNG PHÉP BIEN HÌNH CƠ BẢN

1 Phép biến hình

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z7 trong mat

phang Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phăng và được kí hiệu là w.

Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó:

1" với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z”;

2" mỗi điểm Z7 là sự tương ứng của một điểm Z.

Như vậy phép biến hình w là mới - một; điểm Z' là ảnh của điểm Z

Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z’ cho ta điểm Z được gọi là phép biến hình

nguge của ©, kí hiệu œ ` và Z” được gọi là ảnh ngược của Z.

Phương trinh của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z củađiêm Z tùy ý trong mặt phang và tọa độ phức z” của điểm Z' tương ứng với Z.

2 Phép tịnh tiền.

Dat A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phang và dat a

vàz là các tọa độ phức của chúng.

Điểm Z” mà 2! = OA được gọi là ảnh của Z trong phép tịnh tiền theo vectơ OA.

Khi đó, ta có OZ! = OZ + 0A.

Phương trình của phép tịnh tiến là

,

Khi œa€ 8, a =0, phép tịnh tiền trên song

song với trục Ox Nếu a = 0, phép tịnh tiến quy về

phép biến hình đồng nhất với phương trình 2’ = z biến mỗi điềm trong mặt phăng

thành chính nó.

3 Phép quaỵ \

Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức ,

là a, và œ là một số thực cho trước, dương, bằng 0,

hoặc âm Phép quay quanh A một góc có giá trị đại i Sứ

số œ biến mỗi điểm Z trong mặt phăng thành điểm ea

Các vecto AZ’, AZ biểu thị các số phức

z'—a, z—ạ Khi đó AZ’ thu được từ AZ bằng =§

phép quay, ta có

zZ—=a=(z—a)ệ

Khi đó, phương trình của phép quay góc œ quanh điểm có tọa độ phức a là

z' = zeTM +ă1— e*)|

Hệ quả Khi ta quay một góc = 7% (hoặc «& = —®) quanh A, ta có phép doi

xứng tam A, khi do

€” =cost + ?sin 7t = —Ì,

Phương trình của nó là z“ = —z + 2ạ

4 Phép vị tự.

Một điểm A cho trước có tọa độ phức a

và một số thực & = 0.Ta đặt một trục tùy ý trênđường thăng chứa điểm A và một diém Z bất kì.

5 Hệ thức giữa ba điểm.

Ba điểm cho trước A, B, C vớt các tọa độ phúc

lan lượt là a, b e Nếu A B, AC là giá trị đại số của

các đoạn trên trục a, a, được dat một cách tùy ¥ trên đường thăng AB, AC thì

Trên một đường thăng cho trước lay hai điểm A, B Gọi điểm Z' là diém đối

xứng với điểm Z qua đường thăng AB Gọi 4, d, là các trục được đặt một cách tùy ý

trên đường thăng AZ và BZ d” và di lần lượt là các trục đối xứng với đ., đ, qua

đường thăng AB Ta có

Nếu ta chia phương trình (2) cho phương trình (4), về theo về, kết hợp với (3).

ta có được phương trình của phép đối xứng có dạng

hoặc

hoặc (6)

Chú ý Nếu đường thing AB trùng Gye Oz thi a, b€ R, suy ra

a=a, b = b Khi đó, phương trình (6) trở thành 2’ = z.

7 Phép nghịch đảo.

Gọi p là phương tích của phép nghịch đảo cực

M có tọa độ phức m; d là một trục được đặt một cách y Ề

tùy ý trên đường thing chứa điểm M và một điềm Z

nảo đó trong mặt phăng.

Z7 là nghịch đảo của Z qua phép nghịch đảo có

phương tích p cực M nếu ÄfZ.ÄMZ“= p (7)

Ta có =

z—-m= MZ (8) wee 2’ —m = MZ'etrs (9)

Thay mỗi số trong p phương | trình (8) bằng dạng liên hợp của nó ta được:

—m = MZe 12) (10)

Ta nhân hương trình (9) với phương trình (10) về theo về và kết hợp (7) ta nhận

được phương trinh của phép nghịch đảo cực M phương tích p là

8 Diém vô tan trong mat phẳng Gauss.

Ma phang Gauss (được gan với hệ toa độ phức) chí chứa mot điểm tại vô tận

tương tng với z bằng vô cực.

Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bố sung cho mặt phing Gauss một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực 4.

9 Tích của các phép biến hình

Xét phép biến hình w, biển điểm Z thành điểm Z,, ta viết Z, = +; ÍZ] và phépbiển hình w, biến điểm Z, thành một điểm Z, ta viết Z, = «,(Z,].

Khi đó, ta có Z, = w, {œ,(Z)} hay ta có thé viết Z, = w,w,[Z] (ID

Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z, được gọi là tích

các phép biến hình W,, Wy được thực hiện theo thứ tự này

Phương trình (11) và Z, = w(Z)cho phép ta quy ước w = w,w,

-Trong kí hiệu tích ws, thưa số thứ hai w, được thực hiện dau tiên trong phép biến

đổi.

Thí dụ:

1" Tích của hai phép tịnh tiến Gọi a, a,

là các số phức được biéu thi bởi các vectơ

OA, OA, Xét hai phép tịnh tiến w, theo

Vectơ ÓA, va w, theo Vectơ OA, :

Nếu điểm Z biến thành Z, qua w, và

Z, biên thành điểm Z, qua w,, tức là

thì phương trình của phép biến hình w,w, cho phép biến đôi trực tiếp từ điểm Z

thành Z, là:

LÃ =z+a +@,.

+

Điều này chứng tỏ rằng tích w,w, là một phép tịnh tiễn của vectơ OA, + ÓA,

Điều này cũng được suy ra bởi vì ta có

2", Tích của hai phép quay

Gọi @,, a, lan lượt là tọa độ phức của các tâm 4 và A, của phép quay góc cógiá trị đại số œ„„ œ„.

Nếu phép quay w, biến điểm Z thành Z,

và phép quay w, biển điểm Z, thành điểm Z,,

Hie 14 z, = z6 SN + a,(1—eTM JeTM +a,(1—eTM) (14).

+ Trường hop 1: Các phép quay w,, w, có cùng tâm nghĩa là 4 = A, = A hay1 >

a, = a, = @ (a là tọa độ phức của 4) thi (14) biểu dién một phép quay tâm A, góc

quay là a, + a,.

+ Trưởng hợp 2: Các phép quay w,, w, khác tâm.

Nếu eS =1 hay a +a, = 2&a (E € Z) thì (14) biểu diễn một phép tịnh tiền.

Nếu œ +a, z 2k (k € Z) thì (14) biéu diễn một phép quay tâm Á(a) góc

1— faa ier +a(l— ae

quay là œ, + a,, trong đó a = ae.

—e`! a

10 Phép đối hợp.

Một phép biến hình w được gọi là phép đôi hợp nêu qua œ điểm Z biến thành

điểm Z' và điểm Z' cũng biến thành Z

Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa là

Phép đôi xứng tâm, doi xứng trục phép nghịch đảo là các phép đối hợp.

Il TI SO KEP

1 Dinh nghĩa và giải thích.

Ti số kép (A.R.) của bốn điểm phân biệt Z,, Z, Z,, Z, trong mặt phẳng

Gauss, theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua

các tọa độ phức z,, 2,, z,, 2, được kí hiệu

(Z4Z,Z,Z,) hoặc (z,z

i233

Ta đặt các trục tùy ¥ a 137 ta Gyr đụ,

trên các đường thang 2124: 4,4,, 2424 2,2 a2

có thể phân biệt hoặc trùng nhau Giả sử

mođun của tỉ so kép và một argument là (ø, a,.) — (4 4, ,}.

Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy

đảo néu thay đôi vị trí hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với

đơn vị néu ta thay đôi vị trí hai điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng

2° Với 4 điểm ta có thé có tạo thành 24 tỉ so kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá

trị và 3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia.

3 Trường hợp có mật điểm ở vô tận.

Ta kí hiệu oo cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức

Do đó, dé xây dựng ti số kép cho các điểm ở vô cực không phải ở vị trí thứ tu ta sẽ

mang điểm đó thay vào vị trí này Vì vậy,

+

(2,002,2,) = (2,2,2,00) = 2—1.

Ÿ\ T5)

Hệ quả Với mỗi số phức z tỉ số kép được xác định bởi điểm Z, điểm U

trên trục Ox có hoành độ bằng 1, góc O, và một điểm ở vô tận cho ta

(ZUOce) = (71000) = z.

4 Tỉ số kép thực

Dé ti số kép của bốn điểm Z,, Z,, Z,, Z, trong mặt phẳng phức là thực điều

kiện cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thăng hoặc cùng thuộc

một đường tròn Khi đó tỉ số kép nay cũng được xét tương tự như ti số kép được xét

Suy ra Z, thuộc đường thăng Z Z,

4,,, a,, sao cho chúng trùng nhau Khi đó phương trình (1)

Trường hợp 2: Các điểm Z,, Z,, 4, không thang hang

Các điểm cùng xác định trên đường tròn +4.

Các điểm Z,, Z, có thé thuộc hoặc không thuộc một

cung chung xác định bởi các điểm Z,,4,.

Nếu điềm M là điểm chính giữa của cung không chứa Z, thì các đường thăng

MZ,, MZ, là đường phân giác trong của các góc (a,,3,,), (@,,,4,,) Va giao với

đường thắng Z,Z, tại Z/, Z/.

Trong cả hai trường hợp (Hình 16 và hình 17) ta đêu có

ZZ, 52 22, 2⁄2

Và phương trình (1) trở thành(Z,Z,Z,Z,) = (Z,Z,Z/Z').

Ta kết luận rằng tỷ số kép là thực bằng với ti số kép xác định bởi bốn điểm

Z,, Z,, Z,, Z, của đường tròn + trong hình học sơ cấp.

Ngược lại nêu các điểm Z,, 2: 2 2, thăng hàng hoặc cùng nằm trên cùng mộtđường tròn thì ta có phương trình (2) và từ phương trình (1) suy ra tỉ số kép

(Z/⁄2,Z.,Z,Hà thực.

IV ĐƯỜNG THÁNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1 Đường thắng.

1.1 Điểm chia đoạn thẳng.

Nếu 2n 2, 2 lan lượt là tọa độ phức của các điểm 2, Z, và Z Khi đó Z

chia đoạn thăng ZZ, theo tỉ số là k = mà.

° ZZ.

Tacé z =————+ (1)

1+k

Trong hình học giải tích, ta biết rằng nếu (,,y,), (+,.,), (z,) lần lượt là tọa độ của

2 2%› Z trong hệ tọa độ Descartes thì

Kêt quả nay cũng suy ra từ phương trình vectơ OZ = “TC

Hệ quả Với È = | ta có tọa độ phức trung điểm của đoạn thăng Z,Z, là

pa att

Nếu Z là điểm bất kì của đường thăng thì

Nhưng vì AZ = tOB với † là biến số thực ứng

với điểm Z nên OZ = OA+tOB.

Suy ra z = a+bt, đây chính là phương trình (2).

Kết quả này cũng có thé suy ta từ phương trình tham số của đường thăng

z=a + bt

y=a,+ b,t

trong đó (a,,a,), (b,,b,) là các tọa độ Descartes của hai điểm A, B.

Hé qua:

1° Môi đường thang thực chứa điểm vô tận của mặt phẳng Gauss.

2", Phương trình tham số của đường thắng đi qua hai điểm Z (z,) Z,{z,) là:

Thật vậy, đường thăng chứa điềm có tọa độ phức 2, +e và nó thỏa mãn phương trình

(4).

1.4 Điều kiện trực giao, thẳng hàng.

Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt Af (z ), ¡ € {1, 2, 3, 4}.

trong đó b © B, toa độ phức của tâm là ( ~a ) và binh phương ban kính là (aa —b).

Trong hệ trục tọa độ Descartes, mỗi đường tròn có phương trình dang

a’ +? +2oœ++20y+^+ =0, a, 8, YER.

Tọa độ của tâm là (—a, — 3} và bình phương bán kính là a? + (3° —~ Nếu

a +8? —+ > 0 ta có đường tròn thực và nếu a? + 8” —^¡ < 0 thì ta có đường tròn

ảo.

Trong mặt phang phức, phương trình của đường tròn là

zz + + z)— iB(z— z)+^ =0

®zz+(œ œ~i8)z + (œ + 8)? +^=0

Nếu ta đặt œ — 18 = a, œ +i = a, + = b (2) thì ta được dạng phương trình (1)

Từ các phương trình (2) ta tìm được tọa độ phức của tâm vả bình phương bán kính là

z= “1 + =, phương trình nay cũng biêu diễn một đường thang.

Ec Khi ed = 0 Xét các giá trị f, 1, 0, oo của tham số ¢ tương ứng với việc tim

qui tích các điểm Z(z) 2, = or by Z(z, = Lay £7 = =),

Z_ nằm trên một đường thăng hoặc một đường tròn

Ngược lại, mỗi đường thang và đường tròn thực bat kì đều có thé được biểu

diễn bởi một phương trình có dang (3).

Thật vậy, nếu bốn điềm Z{¿) P (p), Q() Rị[r) trong dé có một điểm tùy ý

và ba điểm cô định nằm trên một đường tròn hoặc đường thang thì ta có (IH.4)

(zpar) =:eHf.2 =tez=T-=4t=sw=7) (5).

CHƯƠNG 2 : SỬ DỤNG SO PHỨC DE NGHIÊN CỨU MOT SO TÍNH CHAT

TRONG TAM GIÁC

2 a.b = b.a; (tích này có tinh chat giao hoán)

3, a (b + cÌ = ab + ac ( tích này có tích chất phân phổi phép nhân đổi với

Cho A (a), B(b), Cc (c}, DỊa) là 4 điểm phân biệt.

Những mệnh để sau trơng đương với nhau :

ABLCD #OM LON

<> mn = (b—a).(d — e) = 0 (theo tính chat 5 của tích thực).

Định lý 3.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm trùng với góc toa độ của mặt

phẳng phức Nếu a, b, © là các toa độ phức của các định A, B, C thì trực tâm H

CC): (z — e).(a — b) = 0.

Ta sẽ chứng minh điềm có toa độ phức là kh = a +- ở + e thuộc ba đường cao

Thật vậy, ta có {a — a).(b — cÌ =0©bÙbÙbù-cc=0© of = ef.

Dieu này đúng vi bf = lef = R’ Suyra HE AA’.

Tương tự H € BB’ và H ECC’.

Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét:

Nếu các số a, b, c, 0, h là các toa độ phức của các đỉnh tam giác ABC, tâm

O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trực tâm H của tam giác ABC thì

h=a+b+c-2o.

That vậy, lấy điểm A’ sao cho AA! là đường kính của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Khi đó, tứ giác HBA'C là hình bình hành.

Nếu HA'N BƠ = M thì

=a+b+c—9o.

2 Tích phức của hai số phức

Tích có hướng của hai vecto là khái niệm cơ bản trong đại số vecto, với nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học và khoa học, ở phần này ta điều chỉnh tích này cho phù hợp với các số phức, người đọc sẽ thấy rằng việc biểu diễn này có những thuận lợiriêng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến điện tích hoặc tính thăng hàng

Đặt a và b là hai số phức.

Định nghĩa

Số phức axb = Xs - ab) được gọi là tích phức của hai số phức a và b.

Chú ý: axb +axb = = (wb ~ ab) + slab =0) =.

2 axb=—bxa (tích phức không có tính chất giao hoán)

3 ax(b+c)=axb+axe (tích phức có tính chất phân phối đối với phép

cộng).

4 o(axb) = (¿a)xb = ax(ob), Ve € R,

5 Nếu A(a) và B(b) là các điểm phân biệt khác điểm góc, thì axb = 0Ú khi và

chỉ khi O, A, B thang hang.

Nhận xét

Nhớ lại rằng “một tam giác được định hướng nếu các định của nó được sắp xếp

theo một qui ước đặc biệt Tam giác có hướng dương nếu các định của nó có hướng

ngược chiều kim đồng hỗ Ngược lại ta nói rằng tam giác có hướng âm”

a Cho Ala) và B(b) là các điểm phân biệt trong mặt phẳng phức khác điểm gốc.Tích phức của hai số a và b có biểu diễn hình học như sau:

2i.S5/OAB) nếu tam giác ÓA định hướng dương.

—2i,S[0A B) nếu tam giác OAB định hướng âm.

axb=

Thật vậy, néu tam giác OAB có hướng dương thì

9i.S[OAB| = iOA.OB.sin(AOB) = i a] siN(arg *) = = i|a|.|o) In(® 2 !

)

= Map e—4 = 5 (ab ab) =axb.

Trong trường hợp tam giác OAB có hướng âm suy ra tam giác OBA có hướng

đương, do đó

3¡S|OBA| = bxa = =axb = =9i5|0ABI.

b Giả sử rằng A(a), B(b), C(c) là ba điểm trong mặt phẳng phức.

Tích phức cho phép chúng ta thu được công thức hữu ích để tính điện tích tam giác

giác ABC va A'B!O đồng dạng với cùng hướng (đồng dang thuận) Nếu tam giác

ABC có hướng đương thì

5[ABC] = s|oA' 8= = ((a ~¢)x(b—0)) = = (a =a)xb=(a=e)xe)

1 1

=a x(a—c}—bx(a—c))= 2z(cxa-c xc—bxat+bxe)

2i 3¡

= ¬ xb+bxe+exa), thỏa điều cần chứng minh.

Trường hợp còn lại ta làm tương tự.

a A 1

e Giá trị đại số diện tích của tam giác ABC la S[ABC] = : b p1

lễ = |

Thật vậy, ta thực hiện tương tự như nhận xét b ta có

$[ABC] = $[04'B = -—|(a—e)x(ð— e)]= =|=[(a —e)(6—e)—(a—e)(ð—

Xét các điểm A’, B', Ở' trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

sao cho AA', BB', CC! giao nhau tại Q và đặt:

Gọi Q là điểm có toa độ phức ¿ =

giao nhau tại @.

Điểm A, Q, A’ thing hàng + (q@— a) x(a'— a) = 0

điều này đúng theo định nghĩa của tích phức

Tương tự điểm @ thuộc BB’ và CC’ Chứng minh hoàn thành.

Một số điểm đặc biệt trong tam giác

1) Nếu Q=G là trọng tâm tam giác ABC thì rn =n = p = 1 Khi đó ta có toa

độ phức của G là

_ a+*b+c

3

2) Gia sử độ dài của các cạnh của tam giác ABC là:

BC =o, CA=f, AB=^.

Nếu Q = I tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, khi đó ta sử dụng kếtquả đã biết liên quan đến đường phân giác của góc thì suy ra

m=a, 1 =3, p=~% Do đó toạ độ phức của J là

œ#-++3b-+^ce — 1 1

i= = —/aa+Bb+-ye] trong đỏ s=—a+8 +4).: œ+Ö +^ mi vel ẽ 1 B +3]

3) Nếu Q = !í là trực tâm của tam giác ABC thì ta có

“g

~

BA’ tan€ CB! tan A AC! tan B

Suy ra m = tan A, n = tan B, p = tan C, và toạ độ phức của diém H duoc

cho bởi:

_ (tan Aja + (tan Byb + (tan Ce

tan A4) + tan Ð+tanC ˆ

“ụ

4) Điểm Nagel N là giao của các đường thing AA', BB', CC' trong đó

A’, B', C' lan lượt là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp trong các

góc A, góc B, góc C với các cạnh BC, CA, AB Khi đó

4 9 điểm của đường tròn Euler.

Cho tam giác ABC , chọn tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCtrùng với gốc tọa độ của mặt phẳng phức và gọi a, b, e lần lượt là các tọa độ phức

của các định A, B, Œ Ta có tọa độ phức của trực tâm H là z„ = a +b +e (định lí

[((s = aja +(s =8} + (s = ye]

3 mục 1).

Ta kí hiệu trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là A, 7, C,, chân đườngvuông góc hạ từ A, BL C xuống các cạnh BC, CA, AB làn lượt là 4', B', C' và A", B", C" lan lượt là trung điểm của các đoạn AH, BH, CH.

Rõ ràng các điểm A, B, Ơ,, A", B", C" có tọa độ phức lần lượt là

trong đó R là ban kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng tích phức và tích thực ta có thê viết lại phương trình của các đường

thing BC và XP như sau:

BC : (z—b)x(c — b) = XP:(z—z).(c—b) =

Toa độ phức p của P thỏa mãn cả hai phương trình; do đó ta có

=5J+ z-Œ- b)| = alee +6 + | (điều cin ching mình)

Từ định lí 1 ở trên suy ra các tọa độ phức của A’, B,C! lần lượt là

vả suy ra điều can chứng minh.

Š Các khoảng cách đặc biệt trong tam giác.

Dé rút gọn các công thức, ta sẽ sử dụng kí hiệu được gọi là “tông vòng tròn".

Tức là, Ð ` ƒ(z,.z, z, ) là tổng của các số hạng theo thứ tự vòng tròn.

cục

Thí dụ: V2.2 )=S(@,.4_7,) + ƒ(4,;z,;z,) +

(T,#,y2,)-5.1 Các bat biến cơ bản của tam giác.

Xét tam giác ABC với các cạnh a, 3, ^;, nửa chu vi là

s= 2a +3 +¬\), r, R lân lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam

giác ABC Các số s r, R được gọi là các bất biến co bản của tam giác ABC

Định lí 1 Các cạnh a, 3, > là nghiệm của phương trình bậc 3

Tương ty ta cũng chứng minh được 3, + là nghiệm của phương trình (3).

Từ định lí trên, bằng cách sử dụng các hệ thức giữa các nghiệm và các hệ số, ta suy ra

a+8 +4 =2s, a8 +BY +40 =5? +r? +4ffr, aby = 4sRr.

Hệ qua 2 Trong một tam giác bat ki, các công thức sau đúng:

Dé chứng minh đồng nhất thức thứ hai ta có thê viết

ao +8 +^” =(a +8 + li +8? ++? —a8 =3 —^a)+3ef^

= 29(2s? — 2r? — 8Rr — 8? — r? — 4Rr) + 12sRr = 2s(s? — 3r? — 6Rr).

5.2 Khoảng cách OI.

Giả sử tâm O đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC trùng với gốc tọa độcủa mặt phang phức và gọi a, 5, ¢ lần lượt là các tọa độ phức của các đỉnh A, B, C

Bồ đề Các tích thực a.b, be ©.œ được cho bởi

ab= Rˆ-2, be=R?-# ca=Rˆ-Ề_,

Các công thức sau thực hiện tương tự.

Định lí 4 (Euler) Công thức sau đúng: