15 2 Idean cực đại và idean nguyên tố của một số vành thường gặp 19 2.1 Phân loại các idean của vành... Lý do chọn đề tàiNghiên cứu về idean cực đại và idean nguyên tố là một phần quan t
Khái niệm vành và miền nguyên
Vành của một tập hợp X là một cấu trúc toán học bao gồm hai phép toán, được ký hiệu là phép cộng (+) và phép nhân (×), thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
1) X cùng với phép cộng là một nhóm aben.
2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
3) Phép nhân phân phối với phép cộng với các phần tử tùy ý x, y, z∈ X ta có: x(y +z) =xy +xz, (y +z)x = yx+zx.
Phần tử trung lập trong phép cộng được ký hiệu là 0, được gọi là phần tử không Đối với mỗi phần tử x, phần tử đối xứng trong phép cộng được ký hiệu là -x, gọi là đối của x Nếu phép nhân là giao hoán, vành X được coi là giao hoán Ngoài ra, nếu phép nhân có phần tử trung lập, phần tử đó được gọi là phần tử đơn vị của X, thường được ký hiệu là e hoặc 1 để tránh nhầm lẫn.
Tập hợp Z của các số nguyên, kết hợp với phép cộng và phép nhân thông thường, tạo thành một vành giao hoán có đơn vị, được gọi là vành các số nguyên Tương tự, ta cũng có các vành cho số hữu tỉ, số thực và số phức, với các phép toán vẫn là phép cộng và phép nhân thông thường.
Tập hợp các ma trận vuông cấp n (với n > 1) có phần tử thực, kết hợp với phép cộng và phép nhân ma trận, tạo thành một vành có đơn vị Vành này không có tính giao hoán.
Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên n > 1 tạo thành một vành với phép cộng và phép nhân thông thường Vành này có tính giao hoán, nhưng không có đơn vị.
4) Tập hợp các ma trận vuông cấp n > 1 có dạng:
trong đó các a i là những số thực, cùng với phéo cộng và phép nhân ma trận là một vành Vành này không giao hoán, không có đơn vị.
Giả sử X là một nhóm giao hoán với phép toán cộng ký hiệu bằng dấu cộng (+) Tập hợp E các tự đồng cấu từ X đến X được trang bị hai phép toán kết hợp, trong đó có phép toán cộng (f, g) → f + g, với (f + g)(x) = f(x) + g(x) cho mọi x ∈ X Như vậy, E trở thành một nhóm cộng giao hoán, trong đó phần tử không là ánh xạ 0 xác định bởi 0(x) = 0 cho mọi x ∈ X, và phần tử đối của f là ánh xạ tương ứng.
Xác định bới (−f)(x) = −(f(x)) với mọi x ∈ X; đồng thời, phép toán nhân (f, g) 7→ fg cho thấy (g + h)f = gf + hf và f(g + h) = fg + fh Cụ thể, ((g + h)f)(x) = g(f(x)) + h(f(x)) = (gf + hf)(x) và (f(g + h))(x) = f(g(x) + h(x)) = fg(x) + fh(x) = (fg + fh)(x) Do đó, E cùng với hai phép toán trên tạo thành một vành, gọi là vành các tự đồng cấu của nhóm X Vành này có đơn vị là ánh xạ đồng nhất của X, nhưng không giao hoán nếu X có hơn 2 phần tử.
6) Giả sử X 1 , X 2 , , X n là những vành Thế thí tích đề-các
Tích của các tập hợp X1, X2, , Xn được định nghĩa là X1 × X2 × × Xn = {(x1, x2, , xn) | xi ∈ Xi; i = 1, 2, , n} Trong vành tích, phép cộng được biểu diễn là (xi) + (yi) = (xi + yi) và phép nhân là (xi)(yi) = (xiy i) Nếu các tập hợp Xi là giao hoán hoặc có đơn vị, thì vành tích cũng sẽ có tính chất giao hoán hoặc có đơn vị.
Ngoài việc là nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành còn sở hữu nhiều tính chất quan trọng khác được suy ra từ luật phân phối Định lý 1.1.2 khẳng định rằng, đối với mọi x, y, z thuộc vành X, các tính chất này luôn được đảm bảo.
Chứng minh (i) Theo luật phân phối ta cóxy = x((y−z)+z) = x(y−z)+xz.
Ta suy ra x(y −z) = xy −xz Đẳng thức thứ hai chứng minh cũng tương tự.
Theo các phép toán đã chỉ ra, ta có x(−y) = (0−y) = −xy = (−x)y Từ đó, suy ra rằng (−x)(−y) = xy Đặc biệt, với mọi số nguyên n > 0, ta có (−x) n = x n nếu n chẵn, và (−x) n = −x n nếu n lẻ.
Từ (ii) ta suy ra nếu vành X có đơn vị và nhiều hơn một phân tử thì e̸= 0.
Bây giờ ta xét một loại vành đặc biệt mà ta gọi là miền nguyên; các vành gặp ở chương trình phổ thông thường là những miền nguyên.
Trong vành các số nguyên, khái niệm ước và bội được định nghĩa như sau: Nếu X là một vành giao hoán, một phần tử a ∈ X được gọi là bội của phần tử b ∈ X, ký hiệu a b, nếu tồn tại phần tử c ∈ X sao cho a = bc Điều này cũng có nghĩa là b là ước của a.
Theo định lý 1.1.2 (ii), mọi phần tử x ∈ X được xem là ước của 0 Tuy nhiên, để tránh lạm dụng ngôn ngữ, người ta đưa ra định nghĩa mới Cụ thể, định nghĩa 1.1.4 quy định rằng mọi phần tử a ≠ 0 được gọi là ước của 0 nếu tồn tại b ≠ 0 sao cho ab = 0.
Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phần tử 0 và các ước của 0 không phải là chính quy Trong một vành không có ước của 0, mọi phần tử khác 0 đều là chính quy Cụ thể, quan hệ ab = 0 tương đương với a(b−c) = 0 Định nghĩa 1.1.5 cho biết miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị và không có ước của 0.
Ví dụ 1.1.2 Vành các số nguyên Z là một miền nguyên Tuy vậy, vành
Z × Z (1.1.1, ví dụ 6) không phải là miền nguyên vì chẳng hạng ta có
Vành con
Một vành A được coi là một vành con của một vành X nếu A là một bộ phận ổn định đối với các phép toán cộng và nhân trong X, tức là với mọi x, y ∈ A, thì x+y ∈ A và xy ∈ A Định lý cho thấy rằng nếu A là một bộ phận không rỗng của X, thì các điều kiện sau đây là tương đương: A là một vành con của X; với mọi x, y ∈ A, x+y ∈ A, xy ∈ A, và −x ∈ A; và với mọi x, y ∈ A, x−y ∈ A, xy ∈ A.
Chứng minh rằng A là một vành con, ta có x+y và xy thuộc A với mọi x, y ∈ A Hơn nữa, vì A là một vành, nó tạo thành một nhóm đối với phép cộng, do đó −x ∈ A với mọi x ∈ A.
Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X Các điều kiện sau đây là tương đương: a) A là một nhóm con của X. b) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A, x −1 ∈ A. c) Với mọi x, y ∈ A, xy −1 ∈ A.
Các phép toán cảm sinh trên A có tính chất kết hợp và phân phối, do đó, từ hệ quả (1), ta có thể kết luận rằng A là một vành con của X.
Ví dụ 1.2.1 1) Bộ phận 0 chỉ gồm phần tử không và bộ phận X là hai vành con của vành X.
Bộ phận mZ bao gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước, tạo thành một vành con của vành các số nguyên Z Theo Định lý 1.2.3, giao của bất kỳ họ các vành con của một vành X sẽ là một vành con của X.
Idean và Vành thương
Để xây dựng nhóm thương X/A từ một nhóm X và một nhóm con A, cần ấn định cho nhóm con A một tính chất gọi là chuẩn tắc Tương tự, trong lý thuyết vành, để tạo ra vành thương từ một vành X và một vành con A, ta cũng cần bổ sung cho vành con A một tính chất, biến nó thành một idean Qua đó, ta có thể xây dựng vành thương của vành X dựa trên idean A.
Idean trong toán học được định nghĩa là một vành con A của một vành X, thỏa mãn điều kiện xa ∈ A (ax ∈ A) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ X Một vành con A được coi là idean của X nếu nó vừa là idean trái vừa là idean phải của X.
Từ định nghĩa ta có định lý sau: Định lý 1.3.2 Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một idean của
X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
2) xa ∈ A và ax ∈ A với mọi a ∈ A và mọi x ∈ X.
Ví dụ 1.3.1 1) Bộ phận {0} và bộ phận X là hai idean của vành X.
2) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một idean của vành các số nguyên Z.
Giao của một họ bất kỳ các idean trong một vành X là một idean của X Nếu U là một bộ phận của vành X, thì U sẽ nằm trong ít nhất một idean của X Theo định lý về giao idean, giao A của tất cả các idean của X chứa U sẽ là một idean của X và gọi là idean sinh ra bởi U Nếu U = {a1, a2, , an}, thì A được gọi là idean sinh bởi các phần tử a1, a2, , an Idean sinh bởi một phần tử được gọi là idean chính.
I +J = {a+ b : a ∈ I, b ∈ J} thì I +J cũng là một idean và được gọi là tổng của hai idean I và J. Định lý 1.3.6 Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và a 1 , a 2 , , a n ∈
X Bộ phận A của X gồm các phần tử có dạng x1a1 +x2a2 + +xnan với x 1 , x 2 , , x n ∈ X là idean của X sinh ra bởi a 1 , a 2 , , a n
Chứng minh Giả xửa = x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n , b= y 1 a 1 +y 2 a 2 + +y n a n là hai phần tử tùy ý thuộc A và x là một phần tử tùy ý thuộc X Ta có: a−b= (x1a1 +x2a2 + +xnan)−(y1a1 +y2a2 + +ynan)
= (x 1 −y 1 )a 1 + + (x n −y n )a n ∈ A; xa = ax = x(x1a1 +x2a2 + +xnan) =xx1a1 + +xxnan ∈ A. Vậy A là một idean của X; A chứa các a i với i = 1,2, , n vì a i = 0a1 + + 1ai+ + 0a n , i = 1,2, , n.
Cuối cùng mọi idean chứa a 1 , a 2 , , a n thì cũng chứa x 1 a 1 , x 2 a 2 , , x n a n với x 1 , x 2 , , x n ∈ X và do đó chứa x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n Vậy A là giao của tất cả idean chứa {a 1 , a2, , an} tức là idean sinh bởi a1, a2, , an.
Từ định nghĩa ta cũng suy ra ngay. Định nghĩa 1.3.7 Cho I, J là idean trên vành giao hoán R Ta kí hiệu
IJ = nXa i b i : a i ∈ I, b i ∈ Jo thì IJ cũng là một idean và được gọi là tích của hai idean I và J
Cho a, b, c là các idean của vành A Ta có:
(ii) a∩b+ a∩ c ⊆a∩(b+c). Đẳng thức xảy ra khi b ⊆ a hoặc c ⊆a.
(iv)ab ⊆ a∩b Đẳng thức xảy ra khi a+b = (1). Định nghĩa 1.3.8 Cho I là một idean trên vành giao hoán R Đặt:
I là idean và gọi đó là căn của idean I Định nghĩa 1.3.10 Cho a, b là các idean của một vành A Ta đặt:
Ta có (a : b) là một idean của A, gọi là idean thương của a cho b Khi a = 0 ta kí hiệu Ann(b) và gọi là linh hoá tử của b thay cho (0 : b)
1.3.3 Vành thương Định lý 1.3.11 (Định lý nhóm thương) Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA, yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X/A×X/A đến X/A;
(ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi:
(xA, yA) 7→xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A.
Để chứng minh quy tắc ánh xạ, cần xác minh rằng nếu x1A = xA và y1A = yA thì x1y1A = xyA Nếu x −1 x1 ∈ A và y −1 y1 ∈ A, ta có (xy) −1 (x1y1) = y −1 x −1 x1y1 ∈ A Đặt x −1 x1 = a, từ giả thiết a ∈ A Xét tích y −1 x −1 x1y1 = y −1 ay1, ta có thể viết lại thành (y −1 ay)(y −1 y1) Vì y −1 ay ∈ A do A là chuẩn tắc và y −1 y1 ∈ A theo giả thiết, nên (y −1 ay)(y −1 y1) ∈ A Từ đó, ta kí hiệu hợp thành của xA và yA là xA.yA.
(ii) Để thử nghiệm tính chất kết hợp của phép toán hai ngôi trong X/A, ta hãy lấy ba phần tử tuỳ ý x, y, z của X Thế thì:
(xA.yA)zA = xyzA = xA.(yA.zA).
Phép toán hai ngôi được xác định là kết hợp Để kiểm tra sự tồn tại của đơn vị trái, chúng ta xem xét lớp tráieA = A, với e là phần tử trung lập Theo đó, ta có eA.xA = exA = xA.
Với mọi lớp trái xA∈ X/A Vậy eA= A là một đơn vị trái.
Cuối cùng với mọi xA ∈ X/A, ta có: x −1 A.xA = x −1 xA= eA.
Theo định lý nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương, tập hợp X/A cùng với phép toán hai ngôi được xác định trong X/A tạo thành một nhóm, trong đó eA là phần tử trung lập và x −1 A là nghịch đảo của xA Định lý 1.3.12 khẳng định rằng nếu X là một vành có đơn vị và A là một ideal của X, thì
X chứa đơn vị của X thì A = X.
Xét một ideal A trong vành X, A là một nhóm con của nhóm aben cộng của X, từ đó nhóm thương X/A được xác định theo định lý nhóm thương Các phần tử của X/A là các lớp khác nhau x + A của A trong X Để X/A trở thành một vành, ta cần trang bị cho nó một phép toán nhân Định lý 1.3.13 khẳng định rằng nếu A là một ideal của vành X, thì
(i) Lớp xy +A chỉ phụ thuộc vào các lớp x+A và y +A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử x, y từ các lớp đó.
(ii) X/A cùng với hai phép toán:
(x+ A, y+A) →xy +A. là một vành gọi là vành thương của X trên A.
Chứng minh (i) Giả sửx ′ +A = x+Avà y ′ +A = y+A Vậyx ′ −x = a ∈ A và y ′ −y = b ∈ A, hay x ′ = x+a và y ′ = y +b.
Do đó, x′y′ = (x + a)(y + b) = xy + ay + xb + ab Vì A là một ideal, nên từ a, b ∈ A suy ra ay, xb, ab ∈ A, do đó x′y′ + A = xy + A Chúng ta kí hiệu (x + A)(y + A) = xy + A Như vậy, ngoài phép cộng (x + A) + (y + A) = x + y + A trong X/A, ta còn có phép nhân xác định bởi (x + A)(y + A) = xy + A.
Phép nhân trong X/A thể hiện tính chất kết hợp của phép nhân trong X, đồng thời tuân theo luật phân phối Do đó, X/A được xác định là một vành Nếu X là vành giao hoán, thì X/A cũng sẽ có tính chất giao hoán Hơn nữa, nếu X có đơn vị 1, thì điều này cũng áp dụng cho X/A.
Ví dụ 1.3.2 Vành thương của Z trên idean nZ gọi là vành các số nguyên mod n Phép cộng và phép nhân trong Z/nZ xác định bởi:
Kí hiệu x+ Zn bằng x và lấy n = 4 ta có bảng cộng và nhân của Z/4Z như sau:
Đồng cấu vành
Đồng cấu vành là một ánh xạ từ vành X đến vành Y, thỏa mãn hai điều kiện: f(a+b) = f(a) + f(b) và f(ab) = f(a)f(b) cho mọi a, b thuộc X Nếu X và Y là một, thì đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu của X.
Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẵng cấu tương tự như đã định nghĩa trong nhóm.
Ví dụ 1.4.1 1) Giả sử A là một vành con của một vành X Đơn ánh chính tắc: i : A →X a 7→ a. là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.
2) Ánh xạ đồng nhất của một vành X là một đồng cấu, gọi là tự đẳng đồng cấu của X.
Giả sử A là một lý thuyết của vành X, ánh xạ h: X → X/A được định nghĩa bởi x 7→ x + A Ánh xạ này là một đồng cấu từ vành X đến vành thương X/A, đồng thời nó cũng là một toàn cấu, được gọi là toàn cấu chính tắc.
4) Giả sử X và Y là hai vành, ánh xạ:
Trong lý thuyết vành, một đồng cấu không được định nghĩa là ánh xạ X → Y mà ánh xạ phần tử không của Y Định lý 1.4.2 khẳng định rằng nếu X, Y, Z là các vành và f : X → Y, g : Y → Z là các đồng cấu, thì tích ánh xạ gf : X → Z cũng là một đồng cấu, và đặc biệt, tích của hai đẳng cấu sẽ tạo thành một đẳng cấu Định lý 1.4.3 chỉ ra rằng nếu f : X → Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, thì các tính chất của đồng cấu sẽ được bảo toàn.
(ii) f(−x) = −f(x) với mọi x ∈ X. Định lý 1.4.4 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, A là một vành con của X và B là một idean của Y Thế thì:
(i) f(A) là một vành con của Y,
(ii)f −1 (B) là một idean của X.
Hệ quả Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành
IMF là một vành con của Y, trong khi Kerf là một lý thuyết của X Định lý 1.4.5 nêu rằng nếu f: X → Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, thì có những đặc điểm quan trọng cần lưu ý.
(i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y.
Hàm f được coi là một đơn ánh nếu và chỉ nếu hạt nhân của f (Kerf) bằng 0 Theo định lý 1.4.6, nếu f là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, thì ánh xạ p từ X đến X/Kerf là một toàn cấu chính tắc, minh họa cho ví dụ 3 trong lý thuyết vành.
(i) Có một đồng cấu duy nhất: f :X/Kerf → Y sao cho biểu đồ là giao hoán.
(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf = f(X).
Hệ quả 1.4.7 Với mọi đồng cấu f : X →Y từ một vành X đến một vành
Idean cực đại và idean nguyên tố của một số vành thường gặp
Trong chương này, tôi sẽ phân loại các ideal, bao gồm ideal trên vành số nguyên Z và ideal trên vành đa thức Các khái niệm và tính chất được tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [5], [6], kèm theo đó là các ví dụ từ những bài tập mà tôi tự giải.
Phân loại các idean của vành
2.1.1 Idean cực đại Định nghĩa 2.1.1 Idean A của vành giao hoán R được gọi là idean cực đại nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
(ii) Giả sử tồn tại idean B của R mà A ⊊ B thì B = R
Ví dụ 2.1.1 Trong vành các số nguyên Z các idean cực đại đều có dạng pZ với p là số nguyên tố.
Nếu I là một tập con cực đại của Z với I ≠ 0 và I ⊊ Z, thì I có dạng I = pZ với p ∈ Z và p > 1 Chúng ta sẽ chứng minh rằng p là một số nguyên tố Giả sử p không phải là số nguyên tố, tức là p = p₁.p₂ với 1 < p₁, p₂ < p Khi đó, với mọi x ∈ pZ, ta có x = px₁ = p₁p₂x₁, dẫn đến x ∈ p₁Z, nhưng p₁Z lại không bằng Z.
Suy ra pZ ⊊ p 1 Z (trái với giả thiết pZ là idean cực đại).
Vậy p là số nguyên tố.
Nếu p là số nguyên tố nhưng pZ không phải là ideal cực đại, thì sẽ tồn tại ideal mZ của Z, với mZ khác Z, sao cho pZ nằm trong mZ, nghĩa là m là ước thực sự của p Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố Do đó, pZ phải là ideal cực đại.
Mệnh đề 2.1.2 Cho R là vành giao hoán có đơn vị I là idean cực đại của
R nếu và chỉ nếu R/I là trường.
Giả sử I là lý thuyết cực đại của vành giao hoán R Do R là vành giao hoán có đơn vị, nên thương vành R/I cũng là một vành giao hoán có đơn vị Vì I khác R, nên R/I có ít nhất hai phần tử là 0 + I và 1 + I Xét phần tử x + I thuộc R/I, với x + I khác I.
Khi đó x /∈ I Đặt B = ⟨x⟩ + I thì B là idean của R và B ⊋ I Do I là idean cực đại nên B = R Do đó 1 ∈ B, suy ra tồn tại x0 ∈ R, a ∈ I sao cho 1 =xx 0 + a.
Nếu x + I có nghịch đảo trong R/I là x₀ + I, thì R/I là một trường Ngược lại, nếu R/I là trường, thì nó có ít nhất hai phần tử là 0 + I và 1 + I, dẫn đến I khác R Nếu B là ideal của R thỏa mãn I ⊊ B, thì tồn tại x ∈ B \ I, từ đó suy ra x + I khác I.
Do R/I là trường nên tồn tại x 0 + I ∈ R/I sao cho:
Suy ra xx 0 +I = 1 +I hay xx 0 −1∈ I.
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng tồn tại một phần tử a ∈ I sao cho a = xx₀ − 1 Từ đó, suy ra rằng 1 = xx₀ − a ∈ B, vì B là một ideal của R và tập hợp {x, a} ⊂ B Do đó, ta có B = R, điều này cho thấy I là ideal cực đại của R Định lý 2.1.3 khẳng định rằng nếu R là vành giao hoán không tầm thường, thì R luôn có ít nhất một ideal cực đại.
Chứng minh Ta sử dụng bổ đề Zorn Gọi S là tập các idean ̸= ⟨1⟩ của R và trang bị quan hệ thứ tự bằng quan hệ bao hàm Ta có:
(ii) S được sắp thứ tự Thật vậy, gọi {a i } là một tập các phần tử của S (nghĩa là các idean ̸= ⟨1⟩) sắp thứ tự toàn phần Đặt a = S i∈S ai Điều kiện
S sắp thứ tự toàn phần đảm bảo a là một idean ̸= ⟨1⟩ của R Mặt khác a i ⊂ a, có nghĩa là a ∈ S và là một chặn trên của S.
Theo bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại Nhưng các phần tử cực đại của S, chính là các idean cực đại của R.
Hệ quả 2.1.4 Cho R là một vành giao hoán, I là idean thực sự của R Khi đó luôn tồn tại một idean cực đại M của R sao cho M ⊇ I
Chứng minh rằng DoI là một lý thuyết quan trọng, cho thấy vành thương R/I không phải là điều tầm thường Theo định lý 2.1.3, R/I tồn tại một lý thuyết cực đại, và lý thuyết cực đại này có dạng M/I, với M là một lý thuyết của R thỏa mãn điều kiện M ⊇ I.
Lại có (R/I)/(M/I) ∼= R/M Mà M/I là idean cực đại nên (R/I)/(M/I) là một trường Suy ra R/M cũng là một trường.
Vậy M là idean cực đại của R và M ⊇ I.
Hệ quả 2.1.5 Cho R là vành giao hoán và a ∈ R Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi idean cực đại M của R thì a /∈ M.
Giả sử rằng a là phần tử thuộc vành giao hoán R, với ⟨a⟩ = R Nếu a thuộc một lý thuyết cực đại M của R, thì điều này dẫn đến M = R, tạo ra mâu thuẫn với giả định rằng M là lý thuyết cực đại Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng a không thuộc M.
Ngược lại, nếu giả sử rằng ⟨a⟩ không thuộc M với mọi M là ideal cực đại của R, thì ⟨a⟩ sẽ trở thành ideal thực sự của R nếu không khả nghịch Theo hệ quả 2.1.4, tồn tại một ideal cực đại M của R chứa ⟨a⟩, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Nhận xét 2.1.6 Tập các phần tử khả nghịch của R là
Trong đó SpecmR là tập các idean cực đại của R. Định nghĩa 2.1.7 Một vành giao hoán R có đúng một idean cực đại được gọi là vành địa phương.
Nếu M là idean cực đại của vành địa phương R thì R/M là trường và được gọi là trường thương của R theo M.
Ví dụ 2.1.2 Nếu R là trường thì R là vành địa phương vì R có duy nhất idean cực đại là idean {0}.
Mệnh đề 2.1.8 Cho R là vành giao hoán Khi đó R là vành địa phương nếu và chỉ nếu tập các phần tử không khả nghịch của R là một idean của R.
Chứng minh Giả sử R là vành địa phương với một idean cực đại duy nhất
Theo hệ quả 2.1.5, M là tập hợp các phần tử không khả nghịch của R Nếu R = 0, thì tập các phần tử không khả nghịch của R sẽ là tập rỗng ∅, điều này không đúng Vì vậy, R phải có một lý thuyết cực đại, ví dụ như M.
Gọi I là tập hợp các phần tử không khả nghịch của R, với giả thiết rằng I là một ideal của R Vì 0 ∈ I, nên R không phải là vành tầm thường Theo định lý 2.1.3, R có ít nhất một ideal cực đại Hệ quả 2.1.5 chỉ ra rằng mọi phần tử của M không khả nghịch đều thuộc I, dẫn đến M ⊆ I ⊆ R.
Nếu M ̸= I thì I = R (vì M là idean cực đại của R) Điều này mâu thuẫn vì phẩn tử đơn vị của R không thuộc I do 1 là khả nghịch.
Vậy M = I Do đó R có ít nhất một idean cực đại và idean cực đại nào cũng bằng I, nghĩa là R có duy nhất một idean cực đại.
Vậy R là vành địa phương.
2.1.2 Idean nguyên tố Định nghĩa 2.1.9 Cho R là vành giao hoán Idean A của R được gọi là idean nguyên tố nếu thoả mãn: i) A ̸= R. ii) Nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ A thì
Ví dụ 2.1.3 Trong vành các số nguyên tố Z các idean nguyên tố đều có dạng nZ với n là số nguyên tố.
Nếu I là một yếu tố nguyên tố tùy ý của Z, với I khác 0 và I là tập con của Z, thì I có thể được biểu diễn dưới dạng I = nZ, trong đó n thuộc Z và n lớn hơn 1 Chúng ta sẽ chứng minh rằng n là một số nguyên tố Giả sử n không phải là số nguyên tố, điều này có nghĩa là n có thể được phân tích thành tích của hai số nguyên dương n1 và n2, với 1 < n1, n2 < n.
Do n = n 1 n 2 ∈ Z và nZ là idean của nguyên tố nên ta có:
Vì (1) và (2) mâu thuẫn nên điều giả sử là sai Vậy n là số nguyên tố
Ngược lại, giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chỉ ra nZ là idean nguyên tố. Thật vậy, với mọi xy ∈ nZ thì xy n.
Vậy nZ là idean nguyên tố.
Chú ý 2.1.10 + {0} là idean nguyên tố nhưng không là idean cực đại vì {0} ⊂ nZ với mọi n ∈ N ∗
+ R không là idean nguyên tố của R.
Khi R là miền nguyên, thì idean không của nó là một idean nguyên tố của R Định lý 2.1.11 khẳng định rằng một vành giao hoán có đơn vị R có idean nguyên tố I nếu và chỉ nếu thương vành R/I là miền nguyên.
Chứng minh NếuI là idean nguyên tố của R thì với mọi xy ∈ I ta có: x ∈ I hoặc y ∈ I.
Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R/I là vành giao hoán có đơn vị là
Với mọi x+I, y+ I ∈ R/I nếu (x+I)(y +I) =xy +I = I thì xy ∈ I Vì
I là idean nguyên tố nên x ∈ I hoặc y ∈ I.
Do đó R/I không có ước của không Vậy R/I là miền nguyên.
Ngược lại giả sử R/I là miền nguyên, I là idean của R Nếu có x, y ∈ R mà xy ∈ I thì xy +I = I Suy ra (x+I)(y +I) = I Do R/I là miền nguyên nên x+I = I hoặc y +I = I hay x ∈ I hoặc y ∈ I.
Vậy I là idean nguyên tố. Định lý 2.1.12 Cho I, J là hai idean của vành giao hoán R thoả mãn
J ⊇ I Khi đó J là idean nguyên tố của R nếu và chỉ nếu J/I là idean nguyên tố của vành thương R/I.
Chứng minh Theo đinh lý 2.1.11 ta có J là idean nguyên tố của R khi và chỉ khi R/J là miền nguyên Lại có (R/I)/(J/I) ∼= R/J
Mà R/J là miền nguyên (R/I)/(J/I) cũng là miền nguyên.
Vậy J/I là idean nguyên tố.
Chú ý 2.1.13 Cho R là vành giao hoán Mọi idean cực đại của R đều là idean nguyên tố Điều ngược lại không đúng.
Idean 0 của Z là một nguyên tố, nhưng 0 không phải là idean cực đại vì 0⊂ 2Z⊂ Z Trong một vành giao hoán R, phổ nguyên tố (hay còn gọi là phổ) của R được định nghĩa là tập hợp tất cả các idean nguyên tố của R, ký hiệu là Spec(R).
Mệnh đề 2.1.15 Cho R là miền nguyên và a, b ∈ R\{0} Khi đó ⟨a⟩ = ⟨b⟩ nếu và chỉ nếu a, b là hai phần tử liên kết, tức a = ub với u là phần tử khả nghịch của R.
Chứng minh Nếu ⟨a⟩ = ⟨b⟩ thì a ∈ ⟨b⟩, b ∈ ⟨a⟩, suy ra tồn tại u, v ∈ R sao cho a = ub và b = va Do đó a = uva.
Mà R là miền nguyên và a ̸= 0 nên uv = 1 hay u là phần tử khả nghịch. Ngược lại, nếu a = ub với u là phần tử khả nghịch của R thì a ∈ ⟨b⟩ Suy ra
Idean nguyên sơ được định nghĩa trong bối cảnh vành giao hoán R, với điều kiện Q là một idean của R Để Q được coi là idean nguyên sơ, cần thỏa mãn hai điều kiện: đầu tiên, Q phải khác R; thứ hai, nếu tích ab thuộc Q và a không thuộc Q, thì tồn tại một số nguyên dương n sao cho b^n thuộc Q.
Nhận xét 2.1.17 Mọi idean nguyên tố trên vành giao hoán R đều là idean nguyên sơ của R.
Ví dụ 2.1.5 Vành giao hoán Z có 4Z là idean nguyên sơ.
Ví dụ 2.1.6 4 2 Z là idean nguyên sơ nhưng 4Z không là idean cực đại.
Mệnh đề 2.1.18 Cho I là idean nguyên sơ trên vành giao hoán R thì √
(+)I là idean nguyên sơ nếu ∀a, b ∈ R , ab ∈ I và a /∈ I suy ra ∃b n ∈ I.
Do I là idean nguyên sơ nên ∃t > 0 : (b m ) t ∈ I.
Từ mệnh đề 2.1.18, định lý 2.1.11 và mệnh đề 2.1.2 ta kết luận được: Cho I là idean trên vành giao hoán: R
(i)I là idean nguyên tố ⇔ R/I là miền nguyên,
(ii)I là idean cực đại ⇔ R/I là trường,
(iii)I là idean nguyên sơ ⇒√
Mối liên hệ giữa idean cực đại, idean nguyên tố và idean nguyên sơ được thể hiện qua Định lý 2.1.19, trong đó khẳng định rằng một idean cực đại luôn là một idean nguyên tố, và ngược lại, một idean nguyên tố luôn là idean nguyên sơ.
Idean trên vành số nguyên Z
Trong vành các số nguyên Z:
(i) I là idean cực đại khi và chỉ khi I = pZ với p là số nguyên tố. (ii) I là idean nguyên tố khi I = pZ và I là idean 0.
(iii) I là idean nguyên sơ khi I = p n Z và I là idean 0 với p là số nguyên tố và n⩾ 1.
(iv) Các loại idean còn lại có dạng:nZvới ncó ít nhất hai ước nguyên tố.
Mệnh đề 2.2.1 Trong vành số nguyên Z, mỗi idean I cực đại khi và chỉ khi I = pZ với p là số nguyên tố.
Chứng minh (1)Giả sử I là một idean cực đại của vành Z ta chứng minh rằng I = pZ với p là số nguyên tố.
Thật vậy, trong vành Z ta luôn có I = pZ với p là số tự nhiên nào đó Nếu p= 0 thì I = 0I = 0Z = {0} và do đó I bị chứa trong idean thực sự 2Z của vành Z.
Như vậy, p > 1 Bây giờ ta giả sử ngược lại là p không nguyên tố hay p là hợp số nghĩa là p = kl,1< k, l < p Khi đó, ta có: pZ ⊂ kZ, kZ̸= Z, pZ ̸= Z.
Vì vậy, ideanI = pZ, trong đó p thuộc vào một idean thực sự kZ của vành Z, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng I là idean cực đại của vành Z.
(2) Giả sử I = pZ với p là số nguyên tố, ta sẽ chứng minh rằng I là một idean cực đại của vành Z.
Nếu I không phải là một ideal cực đại của vành Z, thì sẽ tồn tại một ideal thực sự J của vành Z sao cho J thực sự chứa I Trong vành Z, I luôn có dạng I = mZ với m là một số tự nhiên Vì I ⊂ J, nên pZ ⊂ mZ, tức là p ∈ mZ, nghĩa là m là ước của p Do p là số nguyên tố, nên m chỉ có thể là 1 hoặc p Nếu m = 1, thì I = mZ = Z, điều này mâu thuẫn với J là ideal thực sự của vành Z Nếu m = p, thì J = mZ = pZ = I, điều này cũng mâu thuẫn với việc J thực sự chứa I.
Như vậy, I = pZ với p là một số nguyên tố là một idean cực đại của vành số nguyên Z.
Idean trên vành đa thức
2.3.1 Vành đa thức một biến
Cho R là một vành và x là biến Ta gọi đa thức là một tổng có dạng: a0x 0 +a1x+ .+anx n n
X i=0 aixi. trong đó các a i , i = 0, , n là phần tử thuộc R Nếu a 0 = 1, a 1 = a n = 0 thì đa thức được kí hiệu là 1.
Các a i , i= 0,1, , n gọi là các hệ tử của đa thức Các a i x i gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt là a0x 0 = a0 gọi là hạng tử tự do.
X j=0 b j x j được xem là hai đa thức bằng nhau nếu m = n và a i = aj với i = j.
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau: n
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau: n
Với hai phép toán cộng và nhân đa thức, chúng ta có thể xác định tập hợp tất cả các đa thức tạo thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1, được ký hiệu là R[x] Vành này được gọi là vành đa thức một biến trên R Đối với một đa thức khác 0, bậc của nó được xác định qua biểu thức f(x) = a0x^0 + + a(n-1)x^(n-1) + anx^n.
Trong toán học, với a n ≠ 0 và n ≥ 0, hệ số a n được gọi là hệ số cao nhất của đa thức f(x) Bậc của một đa thức khác 0 được định nghĩa dựa trên hệ số cao nhất, trong khi bậc của đa thức 0 được quy ước là −∞ Định lý 2.3.3 khẳng định rằng nếu f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0, thì có những tính chất nhất định liên quan đến bậc của chúng.
(i) Nếu bậc của f(x) khác bậc của g(x), thì ta có: f(x) +g(x) ̸= 0 và bậc (f(x) +g(x)) = max (bậc f(x),bậc g(x))Nếu bậc f(x) = bậcg(x), và nếu thêm nữa f(x) +g(x) ̸= 0, thì ta có:bậc (f(x) +g(x)) ⩽ max ((bậc f(x),bậc g(x))
(ii) Nếu f(x)g(x) ̸= 0, thì ta có: bậc (f(x)g(x)) ⩽ bậc f(x)+ bậc g(x). Định lý 2.3.4 Nếu R là một miền nguyên f(x) và g(x) là hai đa thức khác
0 của vành R[x], thì f(x)g(x) ̸= 0 và bậc (f(x) + g(x)) = bậc f(x)+ bậc g(x).
Chứng minh Giả sử f(x), g(x) ∈ R[x] là hai đa thức khác 0: f(x) =a 0 + .+a m x n (a m ̸= 0) g(x) =b 0 + .+b n x n (b n ̸= 0)
Theo quy tắc nhân đa thức ta có: f(x)g(x) =a0b0 + + (a0bk+ +akb0)x k + .+ambnx n+m a m vàb n khác 0, nêna m b n ̸= 0(Rkhông có ước của không), do đóf(x)g(x) ̸0 và bậc (f(x) +g(x)) = m+ n= bậc f(x)+ bậc g(x).
Nếu R là miền nguyên, thì R[x] cũng là miền nguyên Theo định lý 2.3.6, trong thuật toán chia Euclid, cho K là một trường và g(x) là đa thức khác 0 của K[x], mọi đa thức f(x) thuộc K[x] có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = q(x)g(x) + r(x).
Trong đó q(x), r(x) ∈ K[x] và hoặc r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x) Hơn nữa q(x) và r(x) được xác định duy nhất.
2.3.2 Idean trên vành đa thức một biến K [x]
Xét K[x] với K là một trường.
Mệnh đề 2.3.7 Mọi idean của K[x] đều là idean chính (f(x)), với f(x) ∈K[x].
Chứng minh I là idean của K[x]
(+) I ̸= 0 : gọi f(x) ∈ I là đa thức khác không có bậc nhỏ nhất. Đặt J = (f) → J ⊂ I
Lấy g(x) ∈ I, theo thuật toán Euclid cóg(x) =q(x).f(x) +r(x), bậc r(x) < bậc f(x)
Mà bậc của r(x) phải nhỏ hơn bậc của f(x) hoặc r(x) = 0 và f có bậc nhỏ nhất trong I →r(x) = 0
Bổ đề 2.3.8 Cho f(x) là đa thức khác 0 trên vành đa thức K[x] (f) là idean nguyên tố khi và chỉ khi (f) là bất khả quy
Chứng minh (⇒) Giả sử (f) là idean nguyên tố.
Vì K[x] là miền nguyên và f(x) ̸= 0 nên ph−1 = 0
(deg(p.h) = 0 → deg(p) +deg(h) = 0 → deg(h) = 0, deg(p) = 0)
(⇐) Giả sử f là bất khả quy Để chứng minh (f) là idean nguyên tố
Ta xét g, h ∈ K[x] thoả g.h ∈ K[x], g /∈ (f) Ta chứng minh h ∈ (f)
Ta có giả sử: gh = f q, q ∈ K[x] và f không là ước q
Vì f là bất khả quy nên f là ước của h
Bổ đề 2.3.9 Cho đa thức f(x) ̸= 0 trên vành đa thức K[x] (f) là idean cực đại khi và chỉ khi f là bất khả quy.
Chứng minh (⇐) Giả sử f là bất khả quy và (f) ⊆ J ⊊ K[x]
Mà f là bất khả quy ⇒ g hoặc h là hằng (2)
(⇒) Giả sử (f) là idean cực đại thì (f) ̸= 0 → f ̸= 0
Mà (f) cực đại suy ra
Mà f ̸= 0 nên ph−1 = 0 ⇒ph = 1 ⇒h là hằng
Mệnh đề 2.3.10 Idean trên vành đa thức K[x] gồm:
(i) (f) là idean cực đại khi và chỉ khi f ̸= 0 và f là bất khả quy.
Tập các ideal nguyên tố bao gồm ideal 0 và các ideal cực đại Trong vành đa thức K[x], các ideal nguyên sơ bao gồm ideal 0 và ideal (f^n) với f là một đa thức bất khả quy.
(iv) Các dạng còn lại: (f) trong đó f có ít nhất hai ước bất khả quy khác nhau.
Trong vành R[x], đa thức bất khả quy là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai không có nghiệm thực Do đó, các ideal cực đại được sinh bởi những đa thức này Tập hợp các ideal nguyên tố bao gồm ideal 0 và các ideal cực đại.
2) Trong vành C[x], mọi đa thức bậc n đều có đủ n nghiệm nên đa thức bất khả quy trong C[x] là đa thức bậc nhất Vậy, tập các idean cực đại trong
C[x] là tập các idean sinh bởi một đa thức bậc nhất Tập các idean nguyên tố bao gồm idean 0 và tập các idean cực đại.
Bổ đề 2.3.12 khẳng định rằng trong vành đa thức C[x] trên trường số phức C, một đa thức f(x) khác đa thức 0 là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó có dạng f(x) = ax + b, với a khác 0.
Hệ quả 2.3.13 Giả sử idean I của vành C[x] Khi đó I là idean nguyên tố khi và chỉ khi I = 0 hoặc I = (ax+b) trong đó a ̸= 0.
Khoá luận nghiên cứu về Idean cực đại và idean nguyên tố trên một số vành thường gặp gồm những nội dung chính sau:
+ Phân loại các idean của vành
+ Idean trên vành số nguyên Z
+ Idean trên vành đa thức.
Do thời gian có hạn, khoá luận chỉ trình bày một số khái niệm và tính chất của các idean trên một số vành thường gặp Mặc dù đã cố gắng, nhưng do kiến thức và trình độ còn hạn chế, khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô để hoàn thiện hơn.
Một lân nữa tôi xin chân thành cảm ơn. Đà Nẵng, tháng 04 năm 2024, Sinh viên thực hiện