Vì 1= cos0 + isinO, từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc n Phép đặt tương ứng với mỗi diém Z cho duy nhất một điểm Z’ trong mặt phẳng Gauss tạo thành một phép biển hì
Trang 1KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP
SỬ DỤNG SO PHỨC DE NGHIÊN CUU
CÁC PHÉP BIEN DOI MOBIUS
GVHD : Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
SVTH : — Võ Thanh Hai
Thành phố Hé Chi Minh - 2012
Trang 2TL IIRGIOHUE S -2 - 2122.2222:221.60 23222220022200602253142302933193)20339325092321595903ì9535136022350223i53307 1CHƯƠNG 1: MỘT SO LÝ THUYET CO BẢN 2222522 2222222 2 22zctvzcrrrcee 2
I TONG QUAN VE SO PHỨC - 2 21 21 211021122117211011101110112012 TH tt ru 2
1 Biéu diễn số phức trên mặt phăng tọa độ - -¿- 2+ 5x Sxxc2xccvvvcrvvcee 2
Be, Tọa 00i110nBDDL s2 02026022106010006.5560021022052002210055is0721083i06 0520 2
3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 2-2-2z+c2+zccvzzzcrrzrrrrsrecce 2
4 Vector va SỐ phỨc -22-22-22222222222112211272112211721112111211211721177127110 212-111 21c 2
5 Các phép toán số phức - 222222 21221122112 2117 2117211 11 11211021112110210111011 2e 3
6 Căn bậc n của đơn VỊ - SH HS HH 1T 1n TT KT TT ĐK HE nh 5
II NHỮNG PHÉP BIEN HÌNH CƠ BẢN ccc-ccc.ecrerrreerrrecce 5
mẻ hố -.‹ŒAñÄäKL 5
2 Phép tịnh theme ccc ccccccssesssesssesssecssecssecseesseesseesseessessseesseessesssesssessseesneesnensneesseesneees 6
3 PRED QUAYS ssssssssssssassssssssasssasssassoasesaavsassesasseasasssasacssasnscsasasssnaasoaiseasensaveassusansoasassseacs 6
Gs PRED VOM ctiaiiiiiisiiiiiiiaiii435156113311351555181611135118315855588188ã511631588588818853888588555555158818855 88558 6
A theres Gerth biek A0 0 oaascrccsscsctsecrnessteanensaencnrearrameerinsmrnnrseenenccaniariias 7
6: V1 Seema ORNL oss czec ccs ceszccescxnencesasecaancasazessszccenecsstcessucasgensccucascnsstussausnsanssszocarecons 7Ð: (PRED DEBIGRIHÔG:¿::isiioiiieiiisiiiiibiiiiiiiii11t1111121113113339133133333653352155358835582535338523383258 §
§ Điểm vô tận trong mặt phăng auss§ - ¿52 22222222122212211221222 112211721722 22xee §
91T1/6lhe0in:coipRNeniBIERIHIHEI 5 sc esczeaczeczvexszcsansscenscusccasecssccnssessssasesssoassecsnessensszessseeats 8
10 Phép đối hợp 2-2 2S 2EE12EE1221112111 21112111 1111111211 H1 1 HH T11 100020011011 cty 10
TTL TÌ SO KEP ooo ceo cecccccccesscesscssvessvcssvessvcssecsssesseesseessesssesseesssessesssessseessusssesssesscensveeses 10
1 ĐịnhingHĩa và giải HN: csesicccsscscicasscsacsasssessscazses sesasssastsosseeasvessacesseassensesassevezseaizes 10
Chuong 2; NHỮỪNG PHÉP BIEN DOI TRÒN -.: vss 2202222212222522 55222 15
I NHUNG TINH CHAT CHUNG CUA PHÉP BIEN DOI TRON 5252 15
Trang 3J,/PTRLHHTBianissnniiniistiiiiiai101101441112113311161113113821158118513ã5803333885563ã08ã33858588381585135382588885983 15
2 Xác định một phép f8 TP la 163.Tính bat biến của tỉ số KEP oo ccc eccsecssesssesssesseesseesseessesseeeseesssessesssessscesseesseceseeeses 18
co MOE HOM nổ n4 19
5, Sự bảo toàn góc °'”2* tt 01 ttrtirrirdrdrirrtirrrrrrirrirrnitiririe 19
6 Tidhitial phen Biểnđổi(WỒÊt.susnosneoenieniintooinisitbstttidtoiit0E010300830100383683104108000683003 20
7 Nleoane trom aa NNN PHAN so: so: co: sụn: s0224020020102011340)303)21902015121192)112)98203821992)383208820552 21
Sos PPM (TEHTBI 2.252:132521325523423223233 1216 123183194393182391433352133451821202012216394313463833132831931421321213333422 21
II PHÉP DONG DẠNG 2-22-2222 22252351234121122111221122122212221212121212112 21122112 1e 21
1 )NHBñGlô: :c:::ci:cniccccinisctiiiissiinsti311221014111031504816515853885815583886135388856353138258835558555858885 21
2 Các tính chất - 6s 2 2221221102510 11 2110 1112112 TH g1 0111002102210 1 1e 223; ainda plitn Gone CNBR: saiitss652:630101215510870003001321093109520)810993313310420105133601830005301921082 23
2 Các điểm bất biển 2202221222 2 12111211121117111011101100210021002 11g11 cuc 29
3 Phân tích một phép biến đôi tròn khác phép đồng đạng s 5c 555552 32ASEM TAS IMAL si::232152112130235320516516343152)1921453)2361513393533935)8123)8215145:15253411531555313213024:31451551512 32
IV PHÉP DOL HOP MOBIUS 2¿ 2 ££2S££2S£ES£2E2E222EEE2EE222E222222222e222ecrvec 33
I Một số vấn đẻ cơ DAN oc cceccsecseecsesseessessscsscsseseessessvessvessesetesessessssssvessveevatesetsnceseceeeseeees 36
1 Ứng dụng phép quay quanh một điểm 22-52 2222222222232 S321 2xx 2xx 36
Trang 42 Điều kiện trực giao, thang hàng và đông viên - s5 5c size 37
3 Tam giác đồng [DBL16:0160010000000001000100311006141234423159638040389)9366086442483848983840332805234873980408E2 39
li sàn ố ố ố ẽ ẽ ẽ.ẽẻ (G.%£ŒÄg+ŒÂäL.HBẰHBHBăH, 40
Š Tích thực của hai sé ĐHỨE: -::::ii:ctiit20E22112112251123119113931121883158561360543832338553338535358355628585 43
IL Todin tong Wop mẽ ẽ.ẽ A4dHAWẸƠ 44
Tài liệu¡tiami KHAO ¡::scnssiiiiaiiiiitiiiiiiii11112311141113511231033013318355158383ã5338313ã53153138291531858358ã51583 70
Trang 5GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Lời mỡ đầu
Số phức xuất hiện từ đầu thé ki XIX do nhu cau phát trién của Toán học về giải
các phương trình đại số Từ khi ra đời, số phức đã thúc day Toán học tiền lên mạnh mẽ
và giải quyết được nhiều van dé của khoa học, ki thuật Hình học xuất hiện trong cả
Toán học và Vật lí, thậm chí ca trong kinh tế cơ ban Nhiều van đề cúa Hình học đượcđơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìn dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số phức vào nghiên cứu Toán học nói chung và Hình học nói riêng đã được tiễn hành từ
lâu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng
Trong đẻ tài của mình em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong hình
học Ở chương 1 là một số vấn đề lí thuyết cơ bản của số phức thường được sử đụngtrong việc giải toán hình học.
Chương 2, tập trung trình bày các phép biến đôi tròn như : phép biến đôi
Mobius, nhóm các phép đồng dang, phép biến đổi tròn không đồng dạng phép đôi hợp Mobius.
Trong chương 3, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức như phép quay,tích thực của các số phức, vào việc giải các bài toán hình học phăng.
Trang |
Trang 6GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
CHƯƠNG 1: MOT SO LÝ THUYET CƠ BAN
I TONG QUAN VE SO PHUC
1 Biéu dién số phức trên mặt phẳng tọa độ.
Xét số phức z = # + iy (z,€ R).
Trong mặt phăng cho hai trục tọa độ Ox, Oy vudng góc nhau Điểm Z(z./} được
gọi là điểm biểu điễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z
Ngược lại, với mỗi điểm thực Z,(z,.,) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất một
số phức z, = x, + iy,, z, được gọi là toa độ phức của điểm Z,.
Mặt phẳng ma trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức đượcgọi là mặt phăng Gauss, mat phăng Cauchy, hoặc là mặt phăng biên phức.
Hệ quả.
1° Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực Trục Oy là quỹ tích ảnh của các
số do Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của
mặt phăng Gauss.
2° Số —z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua góc tọa độ O
2 Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z = 2 + ty luôn xác định và được kí hiệu z = #— iự đọc la“
z ngang” Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Or.
3 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
Cho một số phức z = x + iy, ta có thé viết z ở dang lượng giác
z = r{(cosf + ?sin 0),
trong đó r = yz" + y’ €{0,se) được gọi là mođun của z và 9 € Í0,2)là số đo của
—
góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z.
* Sử dụng công thức Euler cos8 + isin@ = e”
Số phức z = x + iy có thê được viết như sau z = re" được gọi là dạng ma của z
Trang 7GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
môđun bằng nhau và ta có thé nói rằng argument của số phức cũng chính là argument
Gia str Z{+.).Ta tìm tọa độ của Z dựa
vào phương trình (2) Bang cách lay đại số trên trục Ox, sau đó trên trục Oy, ta có được hai
được biểu thị bởi hiệu số hình học
của những vector tong Ứng.
Trang 8GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
Nêu các so phức z,, 2, được biêu thị bởi các
vectơ OZ,, OZ, thi tich
~
cn “\~9
được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ Vectơ
OZ, theo cach như sau:
1° Quay veetơ OZ, quanh O một góc bằng với
argument của vecto’ OZ,
aiid arg(z) = 0, +0, và mođun của z là rr, = OZ,.0Z, .
Ta lay điểm U trên trục Ox có hoành độ +1, Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là
đỉnh thứ ba trong tam giác OZ,Z đồng dạng với tam giác OUZ, với
(0z,02)=0,+0, 22 =_—“^—,
OZ, OU =1 5.4 Phép chia.
Nếu các số phức z,, z, được biểu thị bởi các vectơ 0Z, i OZ thì tỉ số z — em
: = z
được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo ra từ vec tơ OZ, như sau:
1° Quay OZ, quanh O một góc bằng
Trang 9GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Sử dụng mục 5.3, dựng điểm Z là ảnh hình học của z và z = ¬ẹ/t Sh
T1
Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ,Z đồng dang với tam giác OZU.
Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.
6 Căn bậc n của đơn vị ;
6.1 Dinh nghĩa can bậc n của sô phức.
Xét số nguyên đương n > 2 và một số phức z„ # 0 Phương trình
Z"-z¿=0 (1) được dùng định nghĩa căn bậc n của sd phức z, Ta gọi nghiệm Z của phương trình
(1) là một căn bậc n của z,.
Định lí Đặt z„ = r(cos0 + isin 0) là một số phức với r > 0 và 0 € [0.2n).
Căn bậc n của z,„ gồm 1ì nghiệm phân biệt được cho bởi công thức
'Ẳ.= t(cosŠ SUẾ L1, + fdas ast k= 0,1, ,ra — 1.
n n
6.2 Can bậc n của đơn vị.
Một nghiệm của phương trình Z" = 1 = 0 gọi là một căn bậc của don vị.
Vì 1= cos0 + isinO, từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc n
Phép đặt tương ứng với mỗi diém Z cho duy nhất một điểm Z’ trong mặt phẳng
Gauss tạo thành một phép biển hình trong mặt phăng và được kí hiệu là ‹›
Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó
1° với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z;
2°, mỗi điểm Z” là sự tương ứng của một điểm Z.
Như vậy phép biến hình w là mor - mộ; điểm Z' là tương ứng của điểm Z.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z' với điểm Z được gọi là phép biến hình ngược của
w, kí hiệu wm’.
Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm
Z tùy ý trong mặt phăng và tọa độ phức z” của điểm Z” tương ứng với Z
Trang Š
Trang 10GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
2 Phép tịnh tiễn.
Dat A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phang và đặt a và
z là các tọa độ phức của chúng.
Điểm Z’ ma Z2 = OA được gọi là anh của Z trong phép tinh tién theo vecto OA.
Khi đó, phương trình của phép tịnh tiến là
z =z+.a
= Hnh? x
3 Phép quay ;
Goi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là ø, và ;
đặt œ là một số thực cho trước, đương, bằng 0, hoặc rs
âm Phép quay quanh A một góc có giá trị đại số a,
mỗi điểm Z trong mặt phẳng cho ta một điểm Z7
Các vectơ Az’, AZ biểu thị các số phức
z'—a, z-a, khi đó Az! thu được tử AZ bang phép
Một điểm A cho trước của tọa độ phức a
và một số thực & + 0, âm hoặc dương Nếu ta đặt
một trục tùy ý trên đường thăng chứa điểm A và
Y
Trang 6
Trang 11GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
một diém Z bat kì, lay điểm Z” bat kì trên trục sao cho ta có hệ thức
AZ'_
AZthì Z” gọi là anh của Z qua phép vị tự tâm A rỉ số È
Khi đỏ phương trình của phép vị tự là
z” = k¿ + a(1 = È)
Chú ý Giá trị 1, — 1 của & cho ta phép đồng nhất và phép đôi xứng tâm A
5 Hệ thức giữa ba điểm.
Ba diém cho trước A, B, C voi các toa độ phức
lan lượt là a, b, e nếu AB, AC là giá trị đại số của
các đoạn trên trực a,, a, được đặt mot cách tày ý trên
Trên một đường thang cho trước lấy hai điểm A,B , gọi điểm Z' là điểm đối xứng
với điểm Z qua đường thang này trong mặt
phăng tọa độ Gọi d,, d, là các trục được đặt một
cách tùy ý trên đường thing 4Z và BZ, và đặt
d và di là các trục đối xứng với đ,, đ, qua
đường thăng AB Ta có phương trình của phép
doi xứng có dang
hoặc
Trang 7
Trang 12GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
§ Điểm vô tan trong mặt phẳng Gauss.
Mặt phẳng Gauss (được gắn với hệ toa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận
tương ứng với z bằng vô cực.
Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bô sung cho mặt phang Gauss
một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M
9 Tích của các phép biến hình
Xét phép biến hình w, biến điểm Z thành điểm Z,, ta viết Z, = w,[Z] và phép
biến hình w, biến điểm Z, thành một điểm Z, ta viết Z, = «,(Z,]
Khi đó, ta có Z, = w, {w,[Z]} hay ta có thé viết Z, = w,w,[Z] (I)
Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z, được gọi là
tích các phép biến hình GÓI, được thực hiện theo thứ tự này,
Phương trình (11) và Z, = w(Z)cho phép ta quy ước w = w,u,
Trong kí hiệu tích o,.2,, thừa số thứ hai w, được thực hiện đâu tiên trong phép biển
đổi.
Thí dụ:
1" Tích của hai phép tịnh tiến.
Trang 8
Trang 13GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh
thành Z, là:
z,=z+a, +a,
Điều này chứng tỏ rằng tích w,2, là một phép tịnh tiến của vecto OA, + OA,
2" Tích của hai phép quay
Goi a,, @, lan lượt là tọa độ phức của các tâm A, và A, của phép quay góc có giá
trị đại số œ„, @,
Nếu phép quay w, biển điểm Z thành
Z, và phép quay w, biến điểm Z, thành điểm
+ Nếu các phép quay w,, œ, có cùng tâm nghĩa là A = A, = A hay a, = a, = a (a
là tọa độ phức của A) thì (14) biểu dién một phép quay tâm A, góc quay là a + &,.
+ Nếu các phép quay khác tâm:
* Nếu e“*”*' =1 hay a, +0, = 2k (k € Z) thì (14) biểu diễn một phép tịnh tiền.
# Nếu a, +a, z 2kw (k € Z) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A(a), góc quay
1 1 _ fo, fa, | _ ia,
là a, + ö,, trong đó a = 20-2 tate")
2
1 _ củ D1)
Trang 9
Trang 14GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
10 Phép đối hợp.
Một phép biến hình w được gọi là phép đối hợp nếu qua w điểm Z biến thành
điểm Z' và điểm Z' cũng biến thành Z.
Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa là
Do đó, một phép biển hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó
Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp
II TISO KEP
1 Dinh nghia va giai thich.
Ti số kép (A.R.) của bốn điểm phân biệt Z,, Z, Z,, Z, trong mặt phẳng Gauss, theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua tọa độ
Neu ta chọn các trục @,,, 4,,, @,,, @,, sao cho <<: =£ dương, khi đó ti so này
là môđun của tỉ so kép và một argument là (4,,.4,,) =
(a,,,@,,)-Trang 10
Trang 15GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy
(2,2,7,2,) " (22422) = (—— k:—— bọc! i a
2 ZL,
2 Cac tinh chat.
Tính chất cơ bản của ti số kép của bốn số thực hoặc bốn số phức cho phép ta chứngminh các tính chất sau đây của tỉ số kép cho bốn điểm trong mặt phăng Gauss
1° Một tỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nêu ta thay đôi hai điểm
và cùng lúc ta thay đổi hai điểm kia; ta nhận được giá trị nghịch đảo nếu thay đổi hai
điểm đầu hoặc hai điểm cuỗi; ta nhận được phan bù đỗi với đơn vị nếu ta thay đổi hai
điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng
2” Với 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá trị và
3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia
một hệ thức trình bày tỉ số kép như là một hàm số của hiệu số giữa một tọa độ phức
với một trong số ba tọa độ khác
3 Trường hợp có một điểm ở vô tận
Ta kí hiệu cho cả điểm ở vô tận trong mặt phăng Gauss và tọa độ phức của nó.
Trang 11
Trang 16GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
Hệ quả Với moi số phức z, tỉ số kép được xác định bởi điểm Z, điểm U trên trục
Ox có hoanh độ băng I, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta
(ZUO) = (Z10%) = z.
4 Tỉ số kép thực.
Dé tỉ số kép của bốn điểm Z,, Z, Z, Z, trong mặt phăng phức là thực điều kiện
can va đủ là những điêm này phải cùng thuộc một đường thăng hoặc cùng thuộc một
đường tròn Khi đó tỉ số kép này được xét cũng tương tự như tỉ số kép được xét trong
hình học sơ cấp.
IV DUONG THANG VA DUONG TRÒN
1 Đường thang
1.1 Điểm chia đoạn thắng.
Nếu #4 2s 2 lân lượt là tọa độ phức của các điểm Z,, 2, và Z Khi đá Z chia
đoạn thăng Z2, với tí số là k = ==È
Trang 17GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
2° Phuong trinh tham số của đường thang di qua hai diém Z(2,), Z,(2,) là:
1.4 Điều kiện trực giao, thang hàng.
Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt ă (2z,), i € {1, 2 3 4.
Trang 18GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
Tinh chat 2 Các đường thăng M,M, và M,M, trực giao khi va chi khi
2° một đường tròn trong tất cá các trường hợp còn lại.
Ngược lại, bat kì đường thẳng nào và bất kì đường tròn thực nào cũng có thé
được biểu diễn bởi một phương trình có dang (3).
Trang 14
Trang 19GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Chương 2: NHỮNG PHÉP BIEN DOI TRON
I NHUNG TINH CHAT CHUNG CUA PHEP BIEN DOI TRON
chúng ta thấy rằng, nếu cho z'một giá trị tùy ý, để phương trình cho một và chỉ một
giá trị của z (không bao gồm s), khi đó điều kiện cần và đủ là các phương trình
thì mỗi giá trị của z có tương ứng một và chi một giá trị của z”.
Do đó, nếu bất phương trình (2) xảy ra, phương trình (1) kết hợp với mỗi điểm thực Z của @- phăng có một và chỉ một điểm Z` của @’ - phang được thêm vao, và ngược lại Phép biển doi I — 1 của mặt phẳng Gauss vào chính nó được gọi là phép biển đổi tròn của mat phăng phức Nó cũng được gọi là một phép biển đổi Mobius gọi theo tên của
nhà hình học người Đức, người đã khám pha ra nó vào năm 1853.
Giải theo z`, bang cách dat
-Ö =a, —Š=bÙ, a=c, y=d, phuong trinh (1) cua phép biến đôi trở thành
Trang 20GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh
Hai
2 Xác định một phép biến đối tròn.
Dinh lí Một phép biến đổi tròn được xác định nếu biết ba điểm phân biệt, tùy ¥ mà ta
kí hiệu là Z¡, Z›, Z; và ba điểm phân biệt, tùy ý tương ứng với chúng là 2y Zs
điều này trái với giả thiết (4)
Các số o,3.^;,Š được xác định bằng một thừa số chung tùy ý phép biến đổi tròn là
duy nhất, và phương trình của nó là
ze’ zg z' ]
zz, 2 2 I F đ
2,2, % 2 1 )
2,2, z, z, ]
Trang 21GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
thu được bằng cách kết hop các phương trình (1) và (5) thỏa mãn điều kiện là các giá
trị o„3,^,Š không đồng thời băng không
Trong chứng minh trên, giả sử rằng tất cả các điểm đều thuộc phần hữu hạn của mặt
phăng Ta xét ba trường hợp còn lại.
1° Một điểm duy nhất, giả sử là Z;, ở vô tận Trước hết, phương trình đầu tiên của (5) được thay bởi
Ta thay răng phương trình nay có thé nhận được từ (7) bang cách chia các phần tử của
đồng 2 cho Z¡ và cho z, — oo.
2° Một điểm của mỗi bộ ba ở vô tận, và hai điểm này không tương ứng, giả sử là Z¡,
Z+` Hai phương trình dau của (5) được thay the bằng (8) và
Trang 17
Trang 22GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
3° Hai điểm tương ứng, gọi là Z,, Z\`, trùng với điểm tại vô tận Các phương trình
điều kiện (5) được viết lại là
3.Tinh bat bién của ti số kép
Định lí Ti số kép cúa bồn điểm bat kì Z;, Zz, Z3, Z„ bằng với ti số kép của bon điểm tương ứng với nó là Z, F 2 2» 2, qua pháp biển đổi tròn bat kì của mặt phẳng phức.
Bây giờ giả sử 5 bằng vô cực, tức là Zz ở vô tận Điều này có được nếu, khi a z 0 ta
được z, = ~ =, hoặc, khi œ = 0, ta được z, = 00 Vì
=-(002,2,2,) = (2,2, 3700 00) =
2 —%
Trang 1§
Trang 23GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Bằng cách biểu diễn như (10), ta được
Phép biến đôi được gọi là tròn vì tính chất sau.
Mỗi đường cong của tập hợp chứa các đường thing và đường tròn của mặt phẳng
thì biển thành một đường cong cũng thuộc tập đó.
Thật vay, gọi / là đường thăng hay đường tròn bat ki, Z¡, Z2, Z4 là ba điểm cô định và
Z là điểm di động trên / , và Z4", Z¿`, Zs’, Z’ là các điêm tương ứng với chúng qua
phép biến đổi tròn bat kì của mặt phang phức
Ti số kép (Z,Z,Z4Z) là số thực; điều này cũng đúng cho (Z,'Z;`Z4`Z`), và điểm Z' do
đó biéu diễn đường thăng hay đường tròn I’ qua các điểm Z¡`, Zz`, Z4`
Š Sự bảo toàn góc.
Định lí Nếu hai đường cong 1, |; cat nhau tại điểm Z, toa độ phức của nó khác -d/c
, tạo mot góc có giá trị đại số là Ø thì ảnh I’, I ¿` của Hó qua phép biến đổi tròn có
phương trình (3) cắt nhau tại Z', tương ứng với Z, tạo một góc Ø0 +kz ke Z.
Ta nói rằng phép biến di tròn bảo toàn góc (sai khác km) cả về độ lớn và dau, hayphép biến đôi tròn là một phép biến đổi bảo giác thuận
vécto OT là vectơ biêu dién bởi rủ và ta có thê định hướng
tiếp tuyến đương theo chiều của vectơ này
Phương trình cua!’ là
gt — af(t) +5
“ f(t) +d
Trang 19
Trang 24GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
và tiếp tuyến tại điểm Z` tương ứng với Z, với giả sử rằng cÑt) + d + 0, thi song song
„: véctơ OT”là vecto biểu diễn bởi
va, cho các đường cong í;, /;' bởi một phép đối xứng thích hợp kí hiệu,
(Ox, OT’) = + (Ox,0T)
Từ các mối quan hệ này ta thu quan hệ can tim (sai khác &2z) được bằng cách trừ về
theo về,
—
Nếu chiều đương của tiếp tuyến với i tại Z` ngược với chiều của véctơ OT , thì góc
của nó với véctơ @7'"là 6 + (2k + 1), định lý được chứng minh.
6 Tích hai phép biến đối tròn "
Định lí Tích hai phép biển doi tròn là một phép biến đổi tròn.
Tích œ = w,w, của các phép biến đổi tròn này là phép biến đổi cho phép chúng ta
chuyên từ Z sang Z¿ Kết qua là phương trình của nó có được bằng cách khử z, tỪ
(12) và (13) và là
(%y/+% — œ8,)zz, + (œ6, — 8,B,)z + 9,7, — %,Š,)z, + 7,6, — B,ô, = 0 (14)
Đây là một phương trình song tuyến tính của z z,.Vì
Trang 20
Trang 25GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh
Hải
(œ^+„ — œ,,)(*Š, = 8,5, ) = (4,8, = 8,8) (a7, = 0,8) = (Gỗ, = 8,4, )(a,6, = 8,7) = 0
nên w là một phép biên đôi tròn.
7 Nhóm tròn của mặt phẳng.
Một tập các phép biến hình tạo thành một nhóm nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:
1° tích hai phép biển hình bat kì của tập hợp là một phép biển hình của tập hợp đó
2° biển đổi ngược của mỗi phép biến hình của tập thì thuộc tập đó
Tập hợp các phép biến đồi tròn
„._ azt+b
cz + d
có hai tính chất đó theo mục 6 và bởi việc thay a bằng —d và d bằng —a thì
phương trình (15) thành phép biến hình ngược tương ứng Ta gọi nhóm này là nhóm
Một phép biến đổi tròn khác phép đồng nhất có nhiều nhất hai điểm bat biến.
Thật vậy có một phép biến đôi tròn duy nhất có ba điểm bat biến là phép biến đôi
đồng nhất
Đề thuận lợi ta kí hiệu mặt phẳng Gauss bởi @ hay @’ , theo đó ta xét tập các điểm
Z hoặc ảnh Zˆcủa chúng tương ứng qua một phép biến đôi tròn
Điểm giới han L của @ - phẳng của một phép biến đôi tròn WF là điểm mà điềm
tương ứng L’ của nó ở vô tận của @’- phang Điểm giới hạn M' của @’ - phang thì
tương ứng với điểm M = L} tại vô tận trong @ - phẳng Các diém L, M’ cũng là các
điểm tương ứng của điểm tại vô tận trong các phép đời và RK
Il PHÉP DONG DANG
Trang 26GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
2 Các tính chat.
1° Điểm ở vô tận của mặt phẳng Gauss là điểm bắt biến của mỗi phép dong dang Hai điểm giới hạn tring với diém tai vô tan.
Thật vậy, néu z bằng vô cực, phương trình (2) cho thay z' cũng bằng VÔ cực.
2° Ảnh của đường thăng là đường thẳng, ảnh của đường tròn là đường tròn.
Đường cong với phương trình
(ap + br)s — (ag + bs)r = a(ps — gr) = 0.
3° Mỗi hình (F) biển thành một hình đồng dang thuận (F’), do đó phép đồng dang còn
Thật vậy, tích của hai phép đồng dạng (là một phép biển đổi tròn) cũng có điểm tại
vô tận là một điểm bat biến, là một phép đồng dang; điều này có được từ phương
Trang 22
Trang 27GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
trình (14), vì néu a, =a, =0,ta duoc oy, = «8, = 0 Hơn nữa, khi thay a bằng
-dvad _bằng ~a thì phương trình (2) thành phép biến hình ngược tương ứng, là một
bằng đơn vị, tích (giao hoán) một phép vị tự và một phép quay cùng có tâm tại gốc
nếu : là ảo với môđun khác đơn vị Biêu diễn thứ hai là một phép tịnh tiễn hay phép
biến đôi đồng nhất
3 Tâm của phép đồng dang
Dinh li Mot phép đồng dang khác phép đồng nhất và phép tịnh tiền có một điểm bat
biến Q thuộc phần hữu hạn của mặt phang và gọt là tâm của phép dong dang; mot
phép đồng dang nhu vay hoặc là một phép quay, một phép vị tự có tâm tại Q, hoặc làtích giao hoán của một phép quay và một phép vị tự cùng có tâm tại Q.
Một phép tịnh tiễn chỉ có một điểm tại vô tận là điểm bat biển
Trang 28GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
va phuong trinh (2) tré thanh
Hai cặp điểm đó, và điểm ở vô tận của mặt phang Gauss xem như điểm bat biến.
xác định một phép biến đổi tròn (2 3°) Nếu cho các điểm Z¡ Z: va cho các điểm
đồng nhất với chúng Z¡`, Zạ` có z;, zz và z;', 22’ là các tọa độ phức, phương trình của phép đồng dạng là
Trang 29GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Thật vay, đó là điều kiện cần và đủ dé hai tam giác Z;Z¿Z: Z¿Za:Z¡ dong dangthuận.
là một phép tịnh tiền hay một phép quay Như vậy biến hình ngược của Z, = Đz +,
là z, = 24 , đây lai là một phép tịnh tiến hoặc một phép quay Nó nói lên rằng,
P,P,
các phép tịnh tiền và phép quay tao thành một nhóm
Ta gọi nhóm này là nhóm các phép dời hình bởi những lí do sau Nếu một hình (F)
được dời chỗ một cách tùy ý trong mặt phẳng chứa nó, cuối cùng chiếm giữ một vị trí
(F' ) thì (F') bằng với (F) Diều đó nói lên răng (F’ ) tương ứng với (F) qua một phép
đồng dạng thuận ti số đông dạng là 1 Phép đồng dạng này có một phương trình ở
dạng
Trang 25
Trang 30GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
z'=pz+q |pEl
và là một phép tịnh tiền hay một phép quay, được xem như phép đời hình, mang (F)trùng với (F’).
Các hệ quả.
1° Moi phép biến đổi của nhóm này bao toàn độ lớn và chiều của moi goc, cũng
nh bao toan độ dai của môi đoạn thăng.
2° Các phép quay không tạo thành một nhóm, chỉ các phép quay cùng tâm mới tạo
thành một nhóm.
That vậy, phương trình (4) biểu điễn phép quay nếu
và (5) biéu diễn phép tịnh tiến nêu
biêu diễn một phép tịnh tiền néu p =1, và một phép vị tự nêu p là thực nhưng khác 0
và 1 Nếu mỗi phương trình (4) biểu điển một phép tịnh tiền hay một phép vị tự, thì ta
có phương trình (5) Hơn nữa, biển đôi ngược của một phép tịnh tiền hay một phép vị
tự là một phép tịnh tiến hay một phép vị tự khác Các phép tịnh tiến hay vị tự vì thé
tạo thành một nhóm.
Các hệ quả.
1° Mỗi phép biến đổi của nhóm này bảo toàn độ lớn va chiều của mỗi góc, cũng như
hướng của moi đoạn thẳng và thay đổi độ dài của mỗi đoạn thẳng với một tỉ số không
Giả sử tâm của phép vị tự đầu tiên, với phương trình (4), là đặt tại gốc; thì q, = 0
Nếu q; # 0, (5) biểu diễn một phép tịnh tiền nếu p¡p› = 1, một phép vị tự nếu p:p› # 1; khi q2 = 0, (5) biểu diễn một phép vị tự hoặc một phép đồng nhất, Nếu (4) và (5) biểu điển các phép vị tự, tọa độ phức các tâm của chúng với q;=0 và q;z0 là
Trang 31GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
§ Đồng dạng hoán vị
Định nghĩa Hai phép động dạng gọi là hoán vị nếu chúng là hai phép tịnh tiến hoặc
néu chúng có cùng tam.
Nếu ta đôi chỏ các phép đồng dang @;, (; bởi các hệ số p¡ q; và po, q; của các
phương trình (4), thì các phe trình đó được ; thy thể bởi
va phương trình của tích e@¡@; là
z = P,P,z + Pid, +4 (6)
Ta sẽ có ©.) =O) @> néu vé phải của (5) và (6) bằng nhau, tức là nếu
q(1— p,) = 4 — p,) (7)
Khi p; = 1, vig, là một phép tịnh tiễn, nên điều kiện cân là P: = 1 hoặc q¡ = 9, tức là
> là một phép tịnh tiễn hoặc @, là một phép đồng nhất Trường hợp cudi khẳng định
rằng phép đồng nhất thì hoán vị được với mọi phép đồng dạng, đó là điều hiền nhiên.
Khi p; và p; khác 1, phương trình (7) biểu điển là
Trang 32GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
Ill PHÉP BIEN DOI TRÒN KHÔNG DONG DANG
1 Các điểm giới han.
Phép biến đỗi tròn với phương trình
Định lý 2 Điều kiện can và đủ để một đường thăng hoặc một đường tròn (C) trong
w-phẳng biến thành một đường thẳng (C') của w'- w-phẳng đó là (C) chứa điểm giới hạn
L của w.
Chứng minh.
* Nếu (C’) là một đường thăng thì phải chứa điểm L’ tại vô tận trong w’, và theo đó
(€) chứa L
* Nếu (C) chứa L thì biến thành (C`) chứa L và do đó nó là một đường thang.
Hệ quả Chim các đường thăng có định L là chùm duy nhất biển thành chùm các
đường thăng, mà chùm này có đính là M’.
Định lý 3 Các chim đường thăng mà đỉnh của chúng tương ứng tại các điểm giớihạn L, M' thì băng nhau và ngược hướng, và nêu Z, Z°là hai diém tương ứng bat ki, thì tích
Trang 33GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
thiết lập cho thay hai chùm nay bằng nhau và ngược hướng
Chú ý Góc giữa hai trục giao nhau tại điểm giới hạn L được bảo toàn về độ lớn
nhưng chiêu thì không.
2 Các điểm bất biến.
Định lý 1 Nếu một pháp biến đổi tròn trong mặt phẳng phức khác phép đồng dạng,
nó có hai điển bat biến E và F thuộc phan hữu hạn của mặt phẳng và trung điểm của
Trang 29
Trang 34GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
đoạn thăng EF trùng với trung điểm của đoạn thăng xác định bởi các điểm giới hạn L
thu được bằng cách cho z' = z trong (1), do đó
e= ¬ —d+la—a) + be] ƒ =2-la—đ—[a— ay + Abc}.
Trong trường hợp của phép đồng dạng có phương trình (1) với e = 0 va a #đ, điểm
E là tâm của phép đồng dạng và điểm F thì ở vô tận, và ta có
=
Trang 35GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
b
(e>ozz!) = (zz'eao) = Z- = —a — EL „mm ds (6)
zee azt+b b az(d - &) - ab a
d d-a
Một phép tịnh tiền là một phép đồng dang parabolic.
Chú ý Một phép biến đối tròn parabolic (đồng dạng hoặc không) thì có A= 1
Dinh lý 3 Goi E và F là hai điểm có định và 2 là một số phức khác 0 cho trước Nếuvới mỗi điểm Z ta kết hợp với điểm Z’ sao cho (EFZZ’) = A, thì tương ứng nay là một
pháp biến đổi Mobius có E và F là các điểm bat biến.
(1-d)’ef - (Ae - ƒ)ƒ-e) = Me- ƒ! =0,
nén phép bien đổi là một phép biến đổi tròn Phương trình cho bởi các tọa độ phức của
các điểm bắt biến là
(1-){z? -(e+ ƒ)z+eƒ]=0 (8)
và là một phép đồng nhất nếu A = 1, trong trường hợp này (7) có phương trình z = z
của phép biến đôi đồng nhất Nếu 2 ¥ 1, các nghiệm của (8) là e và f, vì the E val Fila
các điểm bat bién của phép dời hình.
2” Nếu F ở vô tận, ta có
(esozz') = (zz!eoo) = À,
z—e=}(z`—e),
z—dz'+e(X—-1)=0,
và phương trình của một phép đông dang với điểm bat biến E nếu AI, và phép biến
đổi đồng nhất nếu A = 1 Kết qua này có thẻ thu được từ (7) bằng cách cho ƒ tiễn ra vô
cùng.
Định lý 4 Néu một phép biến đối tròn khác phép dong dạng, phương trình của nó có
thể được viết dưới dang
(z—e)( — f) + (z— f)Œ — e) = (z~ z')(m`—Ì), (9)
e, f là tọa độ phức cua các điểm bắt biến E, F, phân biệt hoặc không, và |, m' là tọa
độ phức của các điềm giới hạn L, M’.
Chứng minh.
Phương trình (1) có thé được viết dưới dang
ỠỖỄỶễỪọọềồềòọoềòễờỒễỄễỄễỄỒỖỄẶỄễễễễềễễễễễễễỄễềềềềềềềềềềòềềễềễềẽễẽễẽễẼễẼễỄẼỄễỄẼỄẼỄẼỗằẽẰỒŠẰ
Trang 31
Trang 36GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai
3 Phân tích một phép biến đồi tròn khác phép đồng dạng.
Dinh lí Néu một phép biển đổi tròn khác phép dong dang, nó là một tích của các
Trang 37GVHD: Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải
được gọi là bat biến của phép biển đổi tròn Phép biến đôi tròn, giả sử rằng khác phép
đồng nhất, là parabolic nêu À = 1: hyperbolic nếu 2 là số thực khác 0 và 1; elliptic
nếu 2 là số ảo với môđun đơn vị: loxedromic nêu 2 là số ảo với môđun khác đơn vị.
Các trường hợp này lần lượt tương ứng với phép đông dang là: tịnh tiền, vị tự quay
và tích của một phép quay và một phép vị tự đông tâm.
IV PHÉP ĐÓI HỢP MOBIUS
ta thay rằng một phương trình của phép doi hợp có sự đối xứng giữa z và 2’.
Chú ý Nếu Z' là điểm tương ứng của Z, thì Z cũng là điểm tương ứng với Z' Ta nói
rang Z và Z’ cắp tương ứng hoặc liên hợp qua phép đôi hợp.