Khóa luận tốt nghiệp Ngữ văn: Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

Mô hình toán học của các quá trình trên là những bài toán biên có chứa phương trình Schrodinger, một phương trình cơ bản đặc trưng cho trạng thai của một hệ lượng tử bất kì các hạt cơ bả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HỖ CHÍ MINH

TRAN THỊ LUA

UNG DUNG CHUGNG TRINH TINH TOAN

DE GIAI NHUNG BAI TOAN BIEN

CHO HE PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG

BAC HAI

Bồ môn: Toán lý

MSSV: 41.01.102.059

KHÓA LUẬN TOT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DAN: TS LUGNG LB HAI

Thanh phố Hồ Chí Minh - 2019

thiện em đã nhận được rat nhiều sự giúp đỡ từ quý thay cô, bạn bè và gia

đình Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

Dầu tiên là thay Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng

dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận Thay luôn đồng hành giúp đỡ,

động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu Ngoài ra, em còn

nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mẽ nghiên cứu

khoa học.

Thứ hai, các thầy cô trong khoa Vật Lý đã giảng dạy truyền cho em

những kiến thức chuyên môn nền tang, ki năng, phương pháp để em có thểvững bước vào nghề trong tương lai

Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em

trong thời gian qua.

Một lan nữa em xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 30 tháng 04 nam 2019

Tran Thi Lua

PHAN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay những hệ lượng tử ít chiều trong các trường ngoại luc như điện

trường hoặc từ trường được nghiên cứu và khảo sát một cách manh mẽ trong

các quá trình như quang ion hóa, tái hợp các nguyên tit và phan tử, chuyển

dịch bức xạ của các trang thái Rydberg của nguyên tử trong các bẫy quang

từ [1-3], khuếch tán lượng tử trên bể mat của các phân tử [4] hay truyền

ánh sáng trong các ống quang dẫn rời rac không đều [5], [6] Mô hình toán

học của các quá trình trên là những bài toán biên có chứa phương trình

Schrodinger, một phương trình cơ bản đặc trưng cho trạng thai của một hệ

lượng tử bất kì (các hạt cơ bản như electron, proton, hạt nhân, nguyên tử,

phân tử v.v ) hoặc hệ phương trình đạo hàm riêng bac hai dạng Elip trong

miền võ hạn với những hàm thế năng khác nhau.

Đã có một số công trình khoa học đưa ra những chương trình dựa trên các

sơ đồ tính toán bằng phương pháp số và giải tích khác nhau dé giải những m6

hình toán học trên với mục đích tìm ra hàm sóng và năng lượng riêng của hệ

lượng tử Các chương trình này được viết trên các chương trình phan mềmtính toán như Mathcad, Mathematica Tuy nhiên số lượng các công trìnhnhư vậy còn khá ít và kết quả của những công trình chỉ đưa ra những chươngtrình tính toán một cách sơ bộ, rời rạc và chỉ áp dụng cho một vài phương

pháp đơn giản với nhiều lí do như sự hạn chế tốc độ vận hành của mỗi phan

mềm, mã code chưa được chuẩn, hoặc sư hạn chế về mặt tính toán số học

hay vẽ đồ thị v.v Vì vậy việc xây dựng và áp dụng những chương trình dua

trên những phương pháp mới để khảo sát những m6 hình lượng tử phức tạp

là một nhiệm vụ cần thiết và quan trọng đối với những người nghiên cứu

khoa hoc, đặc biệt là trong lĩnh vực khoa học tự nhiên va kĩ thuật.

Trong khóa luận này chúng tôi sử dụng chương trình có tên gọi "KANTBP 4M — A program for solving boundary problems of the self-adjointsystem of ordinary second order differential equations " {7} Day làchương trình được biên soạn trên phan mém Maple (Maplesoft) bởi các cộngtác viên khoa học ở Viện Liên hiệp Hạt nhân Dubna, Thành phố Dubna

Liên Bang Nga Chương trình có chứa hơn 1000 mã code và thuật toán phức

hợp được thể hiện qua các sơ dé tính toán dựa trên phương pháp phan tử

hữu han [8] với đa thức nội suy Hermite [9] để khảo sát các mé hình toán

Khóa luận trình bày lại vấn tắt cách chương trình giải các bài toán bằng

phương pháp phần tử hữu hạn và nội dung bài toán trị riêng, bài toán tán

xạ Từ đó, vận dụng giải các bài toán cụ thể tương ứng.

3 Cau trúc khóa luận

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M

Chương này gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M,bài toán trị riêng và bài toán tan xạ, phương pháp phan tử hữu hạn, đa thức

nội suy Hermite.

Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M

Vân dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát các bài toán trị riêng

và bài toán tán xạ cho phương trình hoặc hệ phương trình vi phan.

Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán

Sư hình thành phương pháp phan tử hữu han của bài

Da thức nội suy

Hermile -Sư hình thành bài toán trị riêng đại số

So đồ tính toán của bài toán tán xa nhiều kénh

1

|

Ứng dung của chương trình KANTBP4M_

3 Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương

trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều

và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòaDCH picid cac co (0 bá ko anata

Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương

trình với hàm thế không đổi liên tục từng phan

Bài toán 3: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh cho

hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng

¡0 aca Geen c cố r.ố r r r rr r aa

Bài toán 4: Nghiệm của bài toán tan xạ nhiều kẽnh mõ

tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với

22

22

31

1 Cơ sở ly thuyết của chương trình KANTBP

+ fa) 1 2 fal )Q(2) + Fea as * Fa(2 ) dz 7 EI) ®(: )=0 (11)

Với fe(z) > 0 và ƒfa(z) > 0 là những hàm liên tục hoặc liên tục từng

phan mang giá trị dương, I là ma trân đơn vị, V(z) là ma trận đối xứng,

Vij(z) = Vji(z) và Q(z) là ma trận phản xứng, Q;;{z) = —Qji(z) của thé

hiện dung có kích thước N x N Các phan tử của các ma trận nay là những

hệ số liên tục hoặc liên tục từng phần mang giá trị thực hoặc phức thuộc

không gian Sobolev 73= !(Q), với điều kiện tồn tại các nghiệm bat thường

thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất: Dirichlet (loại I) hoặc Neumann

(loại II) hoặc loại III tại các điểm biên trong khoảng z € [£”®,z gu “| với giá

trị được cho sẵn của các phan tử thuộc ma trận thực hoặc phức R(2z') có

ama

Nghiệm ®(z) € H3*!(Q) của các bài toán biên (1.1)-(1.4) được rút gọn

theo phép tính toán số học các điểm đừng của phiém hàm bậc hai đối xứng

bằng cách sử dung phương pháp phan tử hữu hạn.

( Be) Q(na(e

+ 8° (Qe)

— Ƒ?(z)E®*(z)®(z)|dz (1.6)

¬-Với G(z) = ®(z) — Q(z) là ma trân đỗi xứng có kích thước N x N, dẫu *

là hoán vị 7 hoặc liên hợp Hermite *, tức là chuyển vị với liên hợp phức phụ

thuộc vào loại bài toán can giải

1.2 Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán

Xét 2 dạng bài toán biên cơ bản:

Bài toán tán xạ nhiều kênh

Trên trục z € (=%, +00) với giá trị năng lượng không đổi E = RE,

nghiệm cần tim ở dang ma trận ®(z) = {®Í)(z)}Ÿ;, BO(z) = (OM'(2), ,

OW (z)}f, ®%(z) © W3(Q.) (chi số dưới v lấy giá trị + hoặc + và có nghĩa là

hướng ban đầu của sóng tới là từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái hình

1.1) của bài toán biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường

„min „mã =]

bac hai trong khoảng z € Íz"" z được tính bằng code của chương trình

[13,14] Các nghiệm ở dang ma tran này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần

nhất loại III (1.4) tại các điểm biên trong khoảng z € [z”!®, z4] với tiệm

cin có dạng "sóng tdi + sóng truyền qua" trong các kênh mở i= 1, , Nis

X'z)R,|X')T, XO (2) XO(R,

z<0 z>0 z<0 z>0

inh 1.1: So đồ biểu dién nghiệm của bài toán tán xa uới tiệm cân có dang

"sóng tdi + sóng phan xa va sóng truyền qua" trong các kênh mỏ.

Trong đó TT, va R, là ma tran chữ nhật và ma trận vuông chưa biết của

biên độ truyền qua và phan xa tương ứng, dé thành lập ma tran tán xạ 8 có

Déi với bài toán tán xạ nhiễu kênh trên bán trục z € [z" +) hoặc

z € (-%,z"**] nghiệm ở dang ma trận cẩn tìm ®(z) của bài toán biên

đành cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) được tính trong

khoảng z € [2TM",zTM®), Các nghiệm của ma trân này phải thỏa mãn diéu kiên biên thuần nhất loại III (1.4) tại điểm biên zTM* hoặc zTM" của khoảng

đang xét, với tiệm cận của loại "sóng tới + sóng truyền qua" trong các kênh

z4 để thành lập ma trận tán xa S = Ry hoặc S = R là ma trận đối xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trì thực.

Trong nghiệm của bài toán tán xa nhiều kênh các kênh đóng cũng được

xét Trong trường hợp này điều kiện tiệm cận (1.7),(1.9) có dạng:

Giả sử các số hạng chính của các nghiệm tiêm cận xz) của bài toán

biên tại z < z** và (hoặc) z > z"** có dang như sau:

trong các kênh mở Wˆ < # thì nghiệm dao động:

Các hệ thức này trở nên đúng đắn nếu các hệ số của phương trình đối với

z < z“ và (hoặc) z > z"** thỏa mãn điều kiện dưới đây:

Tal )_ falz')a *ủ + ø(1), = min,max, V,(z) = V2 + o(1), Vii(z) = ø(1),

t= o0(1),i# J (1.14)

N &

BE: RE, < REQ < < #WEay và bộ hàm riêng tương ứng ®{z) =

{®"(z)_¡, ®"4z) = (Ol (z), , OL (z))? thuộc không gian ?#‡ déi

với hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) Các hàm riêng này

phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất: loại I và (hoặc) loại IT hay loại II

((1.2)-(1.4)) tại các điểm biên thuộc khoảng z € [zmm, zmax|,

Trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực, nghiệm phải thỏa mãn

điều kiện chuẩn hóa và trực giao:

ex

< SA > = | Sfa(z(BO(z))t BO (2) dz = Ômm! (1.15)

min

va phiém ham bac hai déi xứng (1.5) tương ứng được sử dung, trong đó dau *

là liên hợp Hermite Ï can thiết cho tính rời rac của bài toán khi dùng phương

pháp phản tử hữu hạn.

Trong trường hợp, hàm thế năng có giá trị phức, nghiệm phải thỏa mãn

điều kiện chuẩn hóa và trực giao:

max

=

<OTM Pl" > = falz)(B (2) BOM(z)dz = ôm (116)

zmm

và phiém ham bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng được sử dụng trong đó * là

T cần cho tính rời rac của bài toán khi ding phương pháp phan tử

chuyển vị

hữu han.

Để giải bài toán giới hạn trên trục hoặc nửa truc số, bài toán ban dau được

xắp xi bằng bài toán biên (1.1)-(1.4) trên khoảng giới han z € [2TM", 2TM°*]

với các điểu kiện biên loại III (1.4) với ma trận R(z*) đã cho phụ thuộc vào

trị riêng # chưa biết và một bộ trị riêng, hàm riêng xấp xi được tính toán.

Nếu ma trận ®(zf) phụ thuộc vào trị riêng chưa biết khi đó R(z', E) được

xác định bằng khai triển tiệm cận đã biết của nghiệm can tìm Trong trường

hợp đó, để tính trị riêng và hàm riêng xap xi trong chương trình thì sơ đồ

lặp của Newton được triển khai để tính toán Sự xấp xỉ thích hợp ban đầu

được chon từ nghiệm đã tính trước đó với điều kiện biên phụ thuộc vào E.

1.3 Su hình thành phương pháp phan tử hữu han của

bài toán đại số

Các sơ dé tính toán có độ chính xác cao để giải bài toán biên (1.1)-(1.4)

có thể được suy ra từ phiém hàm biến phân (1.5)- (1.6) dựa trên phương

pháp phan tử hữu hạn Ý tưởng chung của phương pháp này là trong không

gian một chiều khoảng l2, Ai được chia thành nhiều phan nhỏ mà mỗi

phan được xem như là các phan tử Kích thước của các phan tử này có thé

được xác định thông qua các tính chat vật lý của hệ lượng tử đang khảo sắt,

và đáng điệu cũng như tính chất trơn của nghiệm hàm can tìm cùng với đạohàm.

Khoảng A = [zmin, max] chứa một bộ phần tử A; = [zƑ, = z1

tức là A = UR_,A; Vì vay, chúng ta thu được một mang lưới:

Q/2œ) lam | "= em "= ae a "= aes 4È hy j = 1, ane 1,

„max — min „| hạ = oh (1.17)

trong đó, 2" = 2M 7 = 2, ,n là các điểm mắt và các bước hy =

max — 21" là độ dai của các phần tử Â,.

Chương trình còn có khả năng xác định một mạng lưới giả đồng nhất, mà

hy = hạ = = hại, Anti = Ange = = Antena, Ratrnstl = Anitn242 =

wee = đal+n2+n3 tức là khoảng A = [ze 202) dau tiên được chia nhỏ

thành nmesh khoảng phụ (trong trường hợp tổng quát độ dai không bằngnhau), mỗi khoảng phụ đó lại được chia thành ngrid{r0) = n,9 khoảng con

có cùng độ dai.

1.4 Da thức nội suy Hermite

Trong mỗi phan tử A; chúng ta định nghĩa mạng lưới con cách déu

h;(zÌ[_mi

Q224Z).min

Q; a,

max) — ƒ~ — ~min „ _— 7 — ~ — ~mMAX\ yA Aid 4

z**] = {Zq~yp = Z7 hZ0~—1)p+rf = 1, ;Ð — Ì,Zp = Zj } với điểm nút

2p S 2j-1)p+r được xác định bởi công thức:

các điểm nút z,,r = 0, ,p của mạng lưới (1.18) Đối với mỗi điểm nút

zp giá trị của hàm ÿŸ(z) và đao ham của nó đến bậc (wP'** — 1) tức là

&=0, ,46TM* — 1, trong đó «TM* được hiểu như là bội số của điểm nút z,, được xác định bằng biểu thức |9]:

Từ phương trình (1.19) và (1.25), ta thu được các hệ số khai triển can tìm

a**“ của đa thức nội suy Hermite (1.23):

0 Ki < K,

ac = ey = kK, (1.26)

Chú ý rằng tắt cả các bac của đa thức nội suy Hermite ¿#(z) không phụ

thuộc vào và bằng p’ = 33a}! — 1, Dưới đây, ta chỉ xét đa thức nội suy

Hermite với các điểm nút có cùng bội số KP = Kp = 0, ,p Trongtrường hợp này bậc của đa thức bằng p’ = &"*š(p + 1) — 1 Đối với đa thức

này ta sẽ đưa vào một kí hiệu để thay thế như sau:

Ngher+s(2, 270927095) =//(2) T=0, ,p K=0, , g "8X — ]

(1.27)

Đa thức nội suy Hermite này hình thành một cơ sở thuộc không gian các

đa thức có bậc p! = £"“X(p + 1) — 1 trong phan tử z € [z?"",z?**] và có đạo

hàm liên tục đến bậc «TM** — 1 tại các điểm biên 2" và z"*“* của phan tử

„min „max

zez"",zm

Da thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Hermite với bội số của nút

«mex = 2 (và đạo ham bậc nhất theo z) được biểu dién qua hình (1.1)-(1.4).

Hình vẽ cho thay giá trị của đa thức nội suy Hermite V„=»¡ „(Z, gpm 2px)

va Ny (2, 29, z7ÿŸ) (tại r = p và r = 0) và đạo ham của nó đến bậc „?2* — ]

trùng nhau tại điểm z apex = z1 (7Ì Diều này cho phép ta xây dựng một cơ

sở các đa thức ome phần có Hạ hàm liên tục tới bậc &”** — 1 trong bộ bat

kì A =U? i= 4 = [zPh", zm) của phan tử A; = [zPh,z zmax = z1:

Hình 1.2: Các da thức nội suy Lagrange có bậc p' = p = 1,2,3,4,5, mt2* =

1, nút z„ của da thức nội suy Lagrange được biểu diễn “a đường thẳng

đúng.

(bên trái) va dao hàm bậc một (bên phar) tar 2; Ƒ

Hình 1.5: Da thức nội suy Hermite uới bột số của nút KTM’* = 2,p = 3, p' =7

(bên trái) va đạo ham bậc một (bên phar) tại 21TMTM = 0, 2 = 6.

1.5 Sự hình thành bài toán trị riêng đại số

Chúng ta xem xét sự biểu dién rời rac của nghiệm ®(z) trong bài toán

(1.1)-(1.4) đã được rút gon bằng phương pháp phan tử hữu hạn từ phiém

hàm biến phân (1.5), (1.6) trên mạng lưới phan tử hữu hạn:

Q7 ts [2 ymin ymax) = [zo = „mm a = 1 Rp 1, Zap = max) ` (1.28)

với điểm mắt z¡ = z¡p = zJ"* = zJ của mạng lưới Ql) zmin ym4X] được

xác định bởi phương trình (1.17) và điểm nút z, = Ÿt-I)pea ?=Ũ, P

của mạng lưới con Q01 2n, 2n, j = 1, ,n, đã xác định bởi phương

trình (1.18) Nghiệm ®“(z) = ®(<) được tim ở đang khai triển theo các hàm

cơ sé trên cơ sở của ham địa phương \?(z) tại mỗi điểm nút z = % của

mạng lưới 2 hy(e (2, 2 z"^*Ì trong khoảng z € A = [zTM®, „max|.

d*#*{z)

$"(z) = > cm N&(z ®*(z¡) = BP ø«, = OF nui.

p=0 x=

(1.29)

với L = (pr + 1)xTM** là số lượng hàm cơ sở W#(z) và các hệ số cần tìm bi

(là những ma trận cột có kích thước N x 1) mà khi p = is?*X + « là giá

trị của đạo hàm bậc & của hàm số #'“( z) tại mỗi điểm nút z¡ của mạng lưới

VY, (|2, z"2*], bao gồm sis trị của chính hàm ®"(z) khi « = 0.

Các ham cơ sở N3(z) = Nj „(z) là những đa thức từng phan có bậc

p’, đạo hàm của nó theo bạc & với nút z¡ bằng 1 và đạo hàm của nó theo bậc

«' z# œ tai nút đó bằng 0 trong khi đó giá trị của hàm N32(z) với tat cả đạo

hàm của nó theo bậc (&'"*— 1) bằng 0 tại tat cả các nút z¡ „ z¡ khác của mạng

đj° N tt, max 4 gg?

dz"

> eet > ra

Dé những nút z¡ của mạng lưới (1.28) không trùng với những điểm mắt

zi“ của mạng lưới (1.17) tức là tail # 7p, j = 1 n — 1, đa thức N#(z) tai

it = ((j — l)p + r)w"*% + & có dang

lưới tức là =ômô„e, =0, ,np,&K=0, ,K”%* — 1,

Nà z,zmin „max , z€ A;:

những ham da thức từng phan như vậy và dao ham của nó theo bậc «TM* — 1

thì liên tục trong toàn bộ khoảng A.

Để những điểm nút x của mạng lưới (1.28) trùng với một trong những điểm mắt z”"* của mạng lưới (1.17), phụ thuộc vào hai phần tử A; và Ajaisg = 1 n — 1, tức là để | = jp thì dao hàm của đa thức theo bậc «

bằng 1 tại nút 2 có dang

Nemoxpen(Z, 27,29%), z€ A;;

0, z£A;UA;¿¡.

Nói cách khác, nó được xây dung bằng liên kết giữa đa thức M„„=;„z,

yaaa zi) đã xác đình trong phan tử A; với đa thức N, 2; 21 zy) đã

xác đình trong phan tử Ä;.¡ Hàm đa thức từng phan cơ sở này W!(z) =

IN cua: +„(Z) cũng liên tục với tat ca đạo hàm của nó theo bậc «TM** — 1 trong

Với A= A? + AU) + V+M”® — MTM* và B lần lượt là ma trận cứng

đối xứng có kích thước LN x LN và ma trận khối có kích thước NL x NL

Các ma trận M' và MTM? với kích thước NL x NL có duy nhất một ma

trận khác 0 với kích thước N x tương ứng là: My, nar = fA(2 29) Ry, vy (2)

Nếu hệ số của phương trình (1.32) được cho theo dạng bảng, khi đó ta sử

dung phan tử ma trận \{,¡,(z!°", zTM*) dudi day từ (1.33):

trong đó Wi 1a (5,zn^*) được xác định bang cách lấy tích phan các da

thức nội suy Hermite

- =F H py 7 ¥

We „ (2m, 2B) = / _ fB(S)Nh (z, 2, 2S) Nụ, (z, 2A, 2S) Nj, (z

min maxy J~„

¡27 02 az

Biểu thức thu được sẽ chính xác đối với ham thé năng có bac nhỏ hơn 7ø.

Thường sự khai triển này dẫn đến trị riêng và hàm riêng số học với độ chính

xác của bậc p’ + 1 Nếu tích phân không tính được với dang giải tích, khi

đó phép lap Gauss [9] với các nút ø' + 1 được áp dung và giúp ước tinh lý

p r (/„ -min „maxdN}, (2, z Lăng ¡

F bb = =À` Wy Faz) Ni, (z, Zÿ min 7m On (Z9) }

ii webb =À_ ta faz) Ni h (2g, an 2TM*)V (z4)N 14 (2y, KT, Ze) =

q=0

f

BY lidà = » §v, uy1Uy ƒB(2„)u (29; | z9) Nu (2s, a, zj*)

q=0

VỚI zy = (p' — g)zTMTM + g2TM* va wa, g = 0, là nút Gauss và trong số của đa

thức trực giao có bậc p’ + 1 thuộc phan tử z € (xh, zmax),

Lưu ý, sử dung tọa độ địa phương + € [—=1, 1| liên quan đến tọa độ tuyệt

dz

đối z tại z = 2TM"" + h;(1 + n)/2, an = h;/2, ta thường sử dung dang khai

triển của hàm số cùng với đạo hàm bậc nhất:

dụng chu trình trong gói lệnh đại số tuyến tính của Maple Với ma trận có

kích thước lớn ~ 100 + 1000000 thì sử dụng phương pháp lặp, được thực hiện trên ngôn ngữ Fortran trong gói chương trình SSPACE, có hiệu quả chonhững bài toán tri riêng với dai ma trận đối xứng có kích thước lớn

Theo đánh giá lý thuyết đối với chuẩn H® có sự = biệt giữa nghiệm

chính xác ®„(z) € #3 và nghiệm số học ®“ (z) ¢ H*”” có bậc [§, 11]

[EX — Em| < eh? |b" (z) — ®m(2)|lu < coh? 4, (1.34)

với h = maX<;<„ hy là bước lớn nhất của mạng lưới

1.6 So đồ tính toán của bài toán tán xạ nhiều kênh

Chúng ta xét nghiệm của bài toán đại số ở dang ma trận ®? = ((x()^, ,

(1)

G’o" = (A? - EB’)®" = Me" (1.35)

thu được bằng sự cách điểm hóa của phương pháp phan tử hữu hạn với đô

chính xác bậc cao của phiếm hàm (1.5), (1.6) tương ứng với bài toán biên

(1.1) (1.4), xap xỉ hóa bài toán tan xa nhiều kênh tại với giá tri năng lượng

E không đổi Ma tran A? = A® + AM + V và M = MTM* — MTM® có kích

thước NL x NL được xác định ở (1.33) Ma tran M'?®Ề và M””* được tao

thành do sự xấp xi của điều kiện biên loại III tại biên bên trái và biên bênphải của khoảng z € [z!", zTM**]

db" (=)

Phan tử của ma trận M = {Myy, ad ¡ bang 0 ngoại trừ khi ca hai chi số

r=(h-l)N +, = (b-1)N +12 thuộc khoảng 1, , Ý hoặc khoảng(L— “"^*N)+1, (L — xTM*N) + N, với N là số phương trình (1.1) và

L là số hàm eo sở N8(z) trong khai triển của nghiệm can tim (1.29) thuộc khoảng z € A = [zmm, max],

Bài toán (1.35) được viết lại dưới dang sau:

N x N được xác định bằng phép xap xi phan tử hữu han và được xem như

đã biết Sự tồn tại của ma trận con 0 được liên kết với dai cau trúc của ma

tran GP từ (1.37) Ma tran Gyin và Guay có kích thước N x N, và ®„, ®,

có kích thước N x 1, nên được liên kết với khai triển tiệm cân và sẽ được xét

ở phía dưới, ma trận ®;¿ có kích thước (L — 2N) x 1 được suy ra thông qua

ma trận con ®, và ®, từ nghiệm của ma trận.

Chúng ta viết lai bài toán (1.37) với dang tường minh

Gi, Pa + Gi, ®, = —Giin Bo;

Tuy nhiên, nó yêu cầu phép nghịch đảo của ma trận kích thước lớn Để tránh

điều đó, ta xét bài toán phụ

ñ vậy bai toán dai số (1.37) với ma trận có kích thước L x L được đưa

về hai bài toán đại số với ma tran có kích thước N x N

bie ®, + bit 2 = =-Giin®s

(1.43)

với VỆ, được xác định thông qua nghiệm F,,, va Fj của bài toán (1.40)

Yt, = G?, —~G? Fay b = —GP Fee:

tới truyền từ phải sang trái một cách riêng biệt Ma trận XỈ (z) (z) xz z)

có kích thước 1 x W# và ma trận X{*)(z), XÍS“}(z) có kích thước 1 x Ể biểu

diễn nghiệm tiệm cận cơ sở tại biên bên trái và bên phải của một khoảng,

mô tả sự chuyển động của sóng theo hướng mũi tên Ma trận x (z ) có kích

thước 1 x (N — N#) và XỈ? (z} có kích thước 1 x (N — W#} là nghiệm rút

gọn cơ sở tiệm cận tại biên bên trái và bên phải trong một khoảng Các phan

tử của các ma trận này thuộc ma trận cột có kích thước N x 1.

Tiếp theo, ma trận của biên độ phản xa R_, và Ry là ma trân vuông có

kích thước NY x NE và NF x W#, trong khi đó ma trận của biên độ truyền qua T., và T, là ma trận chữ nhật có kích thước N¥ x NE và NE x NB

Các ma trận con RẺ,, T’,, RƑ và TỆ là ma tran chữ nhật có kích thước lan

lượt là (N - N#) x NE, (N - NB) x NE, (N — NB) x NR(N - NE) x NA

Khi đó thành phan của ham sóng có dang:

trong đó, X) (2) = Xz) XÍ){z) = Xz) - nghiệm tiệm cận ở dang

ma trận của bài toán biên tại z < zTM" và z > zTM* được xác định bởi các hệ

thức (1.12)-(1.13).

Đối với về phải của hệ phương trình (1.13) ta có:

Thay các dang thức (1.47) và (1.48) vào Phương trình (1.43), ta thu được

hệ phương trình không thuần nhất đối với R- 7) Re tT Dah pr :

tot £ hil hh Cơ tự tứ

OR trệt “') và hệ này có nghiệm duy nhất.

Khi giải bài toán trên nửa trục số với điền kiện biên loại II hoặc loại II

tại điểm biên 2TM" hoặc z"^* trên nửa trục số, thay vì R và T thì các ma

trận ®„ hoặc ®, sẽ là các biến số độc lập còn đối với điều kiện biên loại Ithì ®„ = 0 hoặc ®, = 0, trong trường hợp này phương trình tương ứng sékhông được xét đến

2 Ứng dụng của chương trình KANTBP 4M

2.1 Bai toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với

phương trình Schrodinger cho dao động tử điều

hòa một chiều và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa d - chiều

Khi thay ƒs(z) = fa(z) = z“'!,MN = 1,Q(z) = 0,V(z) = W(z) = 2? vào

phương trình ban dau (1.1) ta thu được phương trình Schrodinger cho daođộng tử điều hòa ở — chiều ở trạng thai liên kết :

Code của chương trình KANTBP 4M để giải bài toán trị riêng với phương

trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa d = 1 chiều có dang như sau:

restart;read "kantbp4m.mwt"; 1 psubint:=3; kappamax : =2; 2

plots [1ogp1otv] ([abs (abs (eigf | |ii)=abs (osefun1(i1)))] 14

,Z=zmin .zmax,title=cat("1d osc: test by comparison with 15

", convert (ii,string),"-th exact w.f."));print(%); 16

plots [logplot] ((abs(-diff(eigf||ii,z,z) 17

+z^2*eigf | |1i-Re (eigv | |ii)*eigf|1ii)] 18

,Z=zmin .zmax,title=cat("1d osc: test by substitution of 19

",convert(ii,string),"-th solution to ODE"));print(%); 20

od: 21

Giải thích các dòng lệnh tương ứng:

Dong 1 — 2: Khdi động chu trình và chọn các tham số ban dau cho mạng

lưới phan tử hữu han

Dòng 3: Thể năng hiệu dung của đao động tử diéu hòa.

Dong 4: Chọn khoảng lay tích phân và chia nó thành 16 khoảng bằng

nhau.

Dòng 5: Tính toán 6 hàm riêng dau tiên và trị riêng tương ứng của dao động

tử điều hòa d = 1 chiều, sau đó kết quả thu được lưu vào file "1dosc.dat".

Dong 8: Doc file "ldosc.dat" chứa hàm riêng và trị riêng tương ứng được

tính toán bằng chương trình KATNBP 4M của các trạng thái thứ 1, 6

Dong 9 — 11: Công thức truy hồi biéu diễn ham riêng giải tích ứng với các

trạng thái thứ l1, 6 của dao động tử điều hòa d = 1 chiều

Dong 12—14: Vẽ đỗ thị biểu dién sai số ¢,,(z) với e„(z}) = |b" (z) ~ ®22s# (z)| :

z€ |zmM, „m4x] r„ = 1,2, ,numberf khi so sánh hàm riêng được tính toán

bằng chương trình và hàm riêng giải tích