Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát tính chất dừng tại trạng thái cơ bản của hệ Boson siêu lạnh hai thành phần trong mạng tinh thể quang học

Sự ra đời của việc nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh được đặt nên móng từ thành công của Eric Cornell, Carl Wieman và các cộng sự tại đại học Colorado Boulder qua thí nghiệm ngưng tu Bos

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

sro LLJarcr

LE MINH KHANG

DE TAI

TRONG MANG TINH THE QUANG HOC

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

TP Ho Chi Minh, 05/2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

£#Í.Ìcqca

LÊ MINH KHANG

ĐÈ TÀI

TRONG MANG TINH THE QUANG HOC

Thuộc tô bộ môn: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÀN KHOA HỌC:PGS TS PHAM NGUYEN THÀNH VINH

TP Hồ Chi Minh, 05/2024

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn

PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2024

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm và những bai học quý báu từ Thay Cô,

gia đình và bạn bè Do đó, tôi xin gửi đến mọi người lời cảm ơn chân thành nhất thông

qua khóa luận này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trong khoa đã truyền đạt những bài học

bồ ích trong suốt 4 năm qua đề tôi hoàn thành tốt khóa luận này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Thầy PGS TS Phạm Nguyễn Thành

Vinh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến anh Trần Dương Anh Tài và các thành viên trongnhóm nghiên cứu AMO tại trường Dai học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh đãkhuyến khích và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận cũng như trong quá trình

học tập tại trường.

Tôi vô cùng biết ơn gia đình đã luôn tin tưởng, động viên và tạo điều kiện dé tôi

tập trung học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp tại trường Đại học Sư phạmThành phố Hỗ Chí Minh

Trân trọng.

Tp Hồ Chi Minh, tháng 05 năm 2024

Lê Minh Khang

MỤC LỤC

Trang

DANH MỤC KỶ HIỆU VÀ CHỮ VIET TẮT:ceceeeceoeeeeneeeeeeenirnienoenninnoee ii

ee KẾ các SE GE LÍGEEGGEGEGEGEEiSEEGGEBEGEGG00220380078073883186868000888 iiiDÀNH CU in CH! | | |e vi

0 ð ẽ {ẽ õ õ 7 Ïẽ 6 6 7õ 7 ẽa ẽ ốc ẽẽẽẽ na nã 1 CHUGNGII,TÔONG QUẦN Ga ga gaaggdooiaiiadioadaaadaaraiaaasaazaal 6

1.1 Hệ boson siêu lạnh hai thành phan 6 22 02121 1211211112211 zze 6

1.2 Một số đại lượng đặc trưng của hệ khí lượng tử siêu lạnh - 9

1231; Ma trần miẬtđồđGnIlQE:ccccccioosioieciiiatoieioootitaoiiistii200051122116111121153511861285518ã585ã6 9 b2 P080 th : 9

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP CHEO HOA MA TRAN CHÍNH XÁC 11

CHƯƠNG 3 KET QUA NGHIÊN CỨU .s ssscsssccssecessessssetsssessse 15

3.1 Hệ boson một thành phan trong mạng tinh thể quang hoe 163.2 Hệ boson hai thành phan trong mang tinh thể quang học gồm 3 giếng thé 18

3.2.1 — Trường hợp ga = 3, ge = 0, Ø44ø = Í co Ăn HH Y1 5e 18

3.2.2 Trưởng hop ga = 3, ge = 0, g⁄ø = 3 vrccsrccsscccssessressscsssnessnesssecssvesssessnecssosees 22

3.3 Mạng tinh thể quang hoc gồm 2 giếng thế 2¿- 2 52222222 26

3.3.1 Truong hợp ga = 3, ge = 0, £48 = Í c.ceỈHỈnHHỸỈ HH HỶ A06 llB 26

3.32 Trường hợp g4 = 3, ge = Ú, Ø4ø = 3 Ă HH HH Hà, 29

CHƯƠNG 4 KET LUẬN VÀ HƯỚNG PHAT TRIEN os‹<sscsscssc 37

TFÄTILTðUi THÁM KH Ô ga ggaỹỹỹai-aanaataidiioiibibitoititiogiiiii000000850000836 38

DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHU VIET TAT

Tiếng Anh Tieng Việt

Hiện tượng ngưng tụ

Bose — Einstein Bose-Einstein condensation

Phương pháp biêu dien Discrete Variable Representation

biên sô gián đoạn Exact Diagonalization Chéo hoa ma tran chinh xac

Gross-PItaevskH ODLRO The off-diagonal long-range order Thứ tự tam xa ngoài đường chéo

' +

-Pair distribution function Ham phan bo cap

Ma trận mật độ đơn hạt rút gon Ham phân bô cặp chéo nhau

Composite Fermionization Tông hợp fermion hoa

Fermion hoa hoan toan

Tach pha Quỹ dao tự nhiên

Bây quang từ

Full Fermionization Phase Separation

Time Independent Schrédinger Phuong trình Schrédinger không

Equation phụ thuộc thời gian

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 0.1 Điều khiển số lượng nguyên tử bên trong giống thể bang cách thay đổi hình

dang giéng thé một cách đoạn Nhiel ccccccccccsscccsecssvevsseceseesesvssssesveveseaesveaesvevsecarevcavers 3Hình 3.1 Mang tinh thé quang học với (a) 3 giếng thé; (b) 2 giểng thể - - 15Hình 3.2 Sự phu thuốc nắng lượng tại trạng thái cơ ban của hệ † thành phan thé gom 2

hat) trong mạng tinh thé quang học (Vp = 0.1, L = 40) theo cường độ tương tácgiữa các hạt trong hệ (a) Trường hợp 2 giống thé, (b) Trường hợp 3 giếng the.Trong đó đường nét đứt màu den là đường biểu thị giá trị năng lượng của hệ tại

JRHG HIẾN: sá2121:1121022122321212115521122123212131312251253135321232154318511513135639833121285312337138269125152335 17

Hình 3.3 Đường phân bố mật độ xác suất tại giới hạn TG (Ea = 0.1, L = 40) (a) Trường

hợp 2 giống thé, (b) Trường hợp 3 giếng thé Trong đó đường nét liền màu xanh

dương OL được vé theo tỉ lệ 0.1x„, đường nét đứt màu đen biểu thị kết quả giảitích TG còn đường nét liền màu xanh lục biếu thị kết quả giải số khi g = 3 17Hinh 3.4 RSPDM va PDF cho hé 2 thanh phan trong mang tinh thé quang hoc 3 giéng

thé có độ cao Ứạ = 0.1 cho trường hợp 24 3, gg = 0, Aw ceecesesessseeseesseessecseees 18

Hình 3.5 Sự thay đổi đường phản bó mat độ của hệ 2 thành phần theo độ cao của hồ thể

cho trường hợp ga = 3 ga = 0, gaz = 0 Trong đó đường cham gạch màu den biểu

điển hàm thé năng được vẽ theo tỉ lệ OS x Í/, „ -s+cccscccccccccrserrerrsecree 20

Hình 3.6 RSPDM và PDF cho hệ 2 thành phan trong mạng tinh thể quang học 3 giống

thé có độ cao Vo = 0.5 cho trường hợp ga = 3, ga = Ù, SAB = Ú cee c5 21

Hình 3.7 Sir thay đổi đường phân bồ mật độ của hệ 2 thành phần theo độ cao của hồ thé

cho trường hợp ga = 3, ge = 0, gaz = 3 Trong đó đường cham gach màu đen biểu

điển hàm thể năng được vẽ theo th lệ OS x Í v co eSĂSiSSKksissrskretsersessessessrse 22

on’

Hinh 3.8 RSPDM va PDF cho hé 2 thanh phan trong mang tinh thé quang hoc 3 giéng

thé có độ cao Vo = 0.5 cho trường hợp gu = 3, 2a 0, LAB = 3 23

iil

Hình 3.9 Sự thay đổi phân bỏ mật độ theo cường độ tương tác gag trong mạng tinh thể

quang học 3 giếng thể có độ cao Vo = 0.1 cho trường hợp ga = 3, gs =0 (a) Thành

phần A; (b) Thành phân B; (c) Cả hai thành phan A và B c.ce 24Hình 3.10 Sự thay đổi số chiếm đóng tự nhiên theo cường độ tương tác giữa các thành

phần trong mạng tinh thể quang học 3 giống thé có độ cao Vo = 0.5 với ga = 3, ga =

OD ii8st8i5105116315885108815815858108581681585378630851885873858788088887885308819868038380830886878838755108691858885525578 25

Hình 3.11 Sự thay đổi đường phan bố mật độ của hệ 2 thành phan theo độ cao của hỗ

thé cho trường hợp gu = 3, gs = 0, gag = 0 Trong đó đường cham gach màu den biểu diễn hàm thể năng được vẽ theo tỉ lệ OS x Í, „ ~«ecSceeeeeeereerrerrs 27

Hình 3.12 RSPDM và PDF cho hệ 2 thành phan trong mang tinh thé quang học 2 giếng

thé có độ cao Vo = 0.1 cho trường hợp gx= 3, gg = Ù, BAB = Ú à 28

Hình 3.13 Sự thay đổi phân bố mật độ theo độ cao giếng thé Vo trong mang tinh thé

quang học 2 giéng thé cho trường hop 24 = 3, gu = 0, gan = 3 (a) Thành phan A;

(b) Thành phan B; (c) Cả hai thành phan A và Bo vccccscccsscsssesssssesseessesssssesseervecseeveess 30Hình 3.14 Sự thay đổi đường phân bé mật độ của hệ 2 thành phan theo độ cao của hỗ

thé cho trưởng hợp ga = 3, gs = 9, gas = 3 Trong dé đường cham gạch màu denbiếu diễn hàm thé năng được vẽ theo tỉ lệ 0.5x TT T0 0 101/10/7700 0100101 T17 3]Hình 3.15 RSPDM và PDF cho hệ 2 thành phan trong mang tinh thể quang học 2 giếng

thé có độ cao Vo = 0.5 cho trường hợp g4 = 3, ge = Ô, FAB = 3 - c 33

Hình 3.16 Sự thay đổi phân bó mật độ theo cường độ tương tác gas trong mang tinh thé

quang học 2 giống thé có độ cao Ea = 0.1 cho trường hợp g4 = 3, gu =0 (a) Thànhphần A; (h) Thanh phan B; (c) Ca hai thành phần A và ee 34

Hình 3.17 Sự thay đổi số chiếm đóng tự nhiên theo cường độ tương tác giữa các thành

phan trong mạng tinh thể quang học 2 giếng thé có độ cao Vo = 0 với g4 = 3, ge

=0 (a) Thành phan A; (b) Thành phần B s55 ScSHiSrrrerrevee 3§

IV

Hình 3.18 Sự thay đổi số chiếm đóng tự nhiên theo cường độ tương tác giữa các thành

phần trong mang tinh thé quang học 2 giếng thé có độ cao Vo = 0.5 với gx = 3, ge

=0 (a) Thành phân Ay (b) Thành phan B -25c SSecSiEcsrrrrrrrrerrrres 36

Vv

DANH SÁCH BANG BIEU

Bảng 1.1 Các trường hop khả di về tương tác giữa các thành phan trong hệ và tương tác

giữa các hạt bên trong một thành phần .-.e-ccccccccccrecrteettrrttrrrrrrsrrrrrrrrrrecs 7

vì

MỞ ĐÀU

Hiện nay, kỹ thuật lượng tử (quantum engineering) và đặc biệt là tính toán lượng tử

(quantum computing) được xem là một trong những lĩnh vực nghiên cứu về vật lý hiện

đại rất được quan tâm nghiên cứu bởi những ứng dụng to lớn về mặt quân sự, kinh tế, học

máy (machine learning), trí tuệ nhân tao (artificial intelligence — AI), Lĩnh vực này gắn

bó chặt chẽ với các lĩnh vực nghiên cứu về quang tử (photonics field) cũng như có sự liên

quan đến vật lý các nguyên tử siêu lạnh (ultracold atoms) [1], ở đó các hạt của hệ đang xétđược làm lạnh bởi laser vả giam giữ trong trường thể năng tạo bởi điện trường, từ trường

hoặc mạng tinh thê quang học do sự giao thoa của các tia laser trong không gian.

Sự ra đời của việc nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh được đặt nên móng từ thành

công của Eric Cornell, Carl Wieman và các cộng sự tại đại học Colorado Boulder qua thí

nghiệm ngưng tu Bose — Einstein (Bose-Einstein Condensation - BEC) cho khí * Rb

loãng (khoảng 10 nguyên tr được giam giữ trong vùng không gian có thé tích bằng 10'!Š

m*) ở nhiệt độ 170nK vào năm 1995 [2] Khi đó, nhóm nghiên cứu của Cornell va

Wieman đã quan sát thấy một lượng lớn các nguyên tử ngưng tụ tại mức năng lượng cơ

bản — một hiện tượng đã được hai nha khoa học Bose va Einstein tiên đoán vào năm 1925.

Các quan sát thực nghiệm vẻ sự hình thành hiện tượng BEC cho nguyên tử kim loại kiểm

khác như Na [3], ”L¡ [4], 'H [5], “Rb [6] Cs [7] lần lượt được báo cáo không lâu sau

thí nghiệm của Cornell và Wieman Đây được xem như là một bước đột phá trong việc

kết nỗi các lĩnh vực quang lượng tử, vật lý nguyên tử va vật lý vật chất ngưng tụ [8] Tại

nhiệt độ siêu lạnh, các hiệu ứng lượng tử điển ra rõ nét hơn và do đó việc nghiên cứu các

hệ vật lý siêu lạnh trở nên quan trọng Ngoài hiện tượng ngưng tụ Bose — Einstein, một SỐhiệu ứng khác có thé ké đến như sự hình thành giọt lượng tử (quantum droplet), pha siêu

rắn, pha boson siêu lỏng, chuyên pha lượng tử, hiện tượng siêu lỏng Bardeen — Cooper

-Schrieffer (BCS) và sự giao thoa BEC — BCS [9].

Với sự phát triển của ngành khoa học thực nghiệm, các nhả khoa học hiện nay đã có

thê kiểm soát hiệu quả hình dạng của trường thế năng ngoài, nhờ đó mà cho phép tạo ra

một hệ thống với số lượng hat có thé được thay đổi từ hệ ít hạt cho đến hệ nhiêu hạt [10].

Trong đó, băng việc đưa một số lượng lớn các nguyên tử vào đáy của giếng thé năng rồisau đó làm biến đạng giếng thế này một cách đoạn nhiệt, các nguyên tử ở mức năng lượng

cao hoan toàn bị thoát ra khỏi hồ thé và từ đó ta thu được một hệ các nguyên tử ít hạt như

hình 0.1 Hệ siêu lạnh it hạt đóng vai tro quan trong trong việc hình thành một sự kết nối

từ hệ một hạt, hai hạt cho đến hệ nhiều hạt với sự xuất hiện của một số tính chất mới do

chính sự tương tac của các hạt trong hệ và thống kê lượng tử (quantum statistics) [11, 12].Một số ví dụ điền hình cho sự thành công trong việc tạo ra hệ boson siêu lạnh ít hạt có thé

kê đến như việc bay hai nguyên tử Ÿ Rb trung hoa cũng như việc bẫy hỗn hợp các nguyên

tử nhiều thành phan trong mạng tinh thê quang học lan lượt được nhắc đến trong côngtrình nghiên cứu [13] và [14] Đối với các fermion, thí nghiệm dau tiên thành công trong

việc bay các hạt trên được báo cáo bởi Henning Moritz vào năm 2005 với hỗn hợp *K hai

thành phan trong mang tỉnh thé quang học một chiều [15], sau đó là thí nghiệm bẫy 10

nguyên tử “Li trong bay quang học lưỡng cực vào năm 2011 bởi Serwane và các thí nghiệm khác [16, L7].

Bên cạnh đó, báo cáo cua Inouye vả cộng sự ở viện Công nghệ Massachusetts vàonăm 1998 vẻ các thí nghiệm dau tiên thành công trong việc điều khién cường độ tương tác

của các nguyên tử trong bẫy quang học bằng kỹ thuật cộng hưởng Feshbach (thay đôi từ

trường ngoài đê xảy ra hiện tượng cộng hưởng) [18] cùng với sự phát triên của các kỹ

thuật khác trong việc thay đôi cường độ tương tác giữa các hạt trong hệ [19 - 22] đóng vai

trò quan trọng và góp phan thúc day các nghiên cứu vẻ hệ nguyên tử siêu lạnh Chính vivậy mả các lý thuyết dự đoán trước đó đã có thé được kiếm chứng bằng thực nghiệm,điện hình như sự bình thành khí tương tác mạnh Tonk — Girardeau (TG) một chiều đượcthực hiện và công bố lần đầu tiên bởi Kinoshita và cộng sự vào năm 2004 [23] đã chứngmình tính đúng đắn cho dự đoán của Girardeau vào năm 1960 [24] Những phát triển vẻ

thực nghiệm nêu trên đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học cho

cả hệ boson một thành phan lẫn nhiều thành phan [10, 25, 26] Ngoại trừ một số trường

hợp đặc biệt trong hệ vật lý ít hạt siêu lạnh như bài toán Lieb — Liniger [27], bài toánTonks — Girardeau [28, 24] và hệ fermion hai thành phan có xét đến spin của Gaudin vaYang [29, 30] cho lời giải giải tích thì việc mô tả các hệ it hat bằng phương trìnhSchrödinger khó có thẻ cho ra được lời giải giải tích chính xác với số lượng hạt và cường

độ tương tác bat kỳ Chính vi vậy ma các phương pháp tính toán giải số được nghiên cứu

và phát triển trong thời gian qua Một số kỹ thuật tính toán giải số được áp dụng cho hệ ít

hạt siêu lạnh có thé kẻ đến như phương pháp chéo hoá ma trận chính xác (ED) [31, 32],

phương pháp tích Hartree phụ thuộc thời gian đa cấu hình (MCTDH) [33], lý thuyếtphiém ham mật độ (DFT) [34], lý thuyết trường (field — theoretical) [35] hoặc khuếch tán

lượng tử Monte Carlo (DMC) [36]

Hình 0.1 Điều khiển số lượng nguyên tử bên trong giống thể bằng cách thay đổi hình

dang giếng thé một cách đoạn nhiệt [37]

Hiện nay, bằng việc điều khiên các thông số của điện trường, từ trường hoặc sử

dụng kết hợp cá bay từ trường va quang học hay các chip nguyên tử (atom chip), các nhà

khoa học có thẻ tạo ra các hệ thong một chiều bằng cách giới hạn chuyền động của các

nguyên tử thành chuyển động trên một chiều nhất định (38, 39] Vì động năng lẫn thé

năng tương tác của các hạt trong hệ phụ thuộc vào số chiều không gian của chuyên động

(ví dụ như tương quan giữa các hat trong hệ 3 chiều bị giảm đi khi so sánh với hệ 1 và 2chiều) nên việc thay đổi số chiều của hệ thống dan đến sự xuất hiện của hàng loạt hiệntượng vật lý mới cho cả hệ nhiều hạt lẫn ít hạt [38] Điều này dẫn đến việc nghiên cứutính chất vật lý của hệ vật lý một chiều đóng vai trò vô cùng quan trọng Cho đến hiện tại,

tính chất dừng cũng như các qua trình động lực học diễn ra trong hệ boson siêu lạnh ít hạt

một thành phần một chiều (các hạt trong hệ cùng loại với nhau) đã được nghiên cứu khá

day đủ trong một số công trình khoa học, điển hình như [10, 38] Bên cạnh đó, hệ boson

siêu lạnh ít hạt hai thành phan một chiêu đã va đang là một vẫn đề được các nhà khoa học

về lý thuyết lẫn thực nghiệm quan tâm nghiên cứu Mặc dù các tính chất dừng của hệ íthạt một thành phan trong mạng tinh thé quang học đã được nghiên cứu nhưng đến nayvẫn chưa có một công trình khoa học nảo nghiên cứu các tính chất dừng của hệ ít hạt hai

thành phần trong đạng giếng thế nói trên mà chỉ xét đến trường hợp toàn bộ hệ thống

được giam ham trong giếng thế điều hoa như [10, 25, 26]

Với những đánh giá được nêu ở trên, chúng tôi thực hiện dé tai “KHAO SAT

TÍNH CHÁT DỪNG TẠI TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA HỆ BOSON SIÊU LẠNH

HAI THÀNH PHAN TRONG MẠNG TINH THE QUANG HỌC” với mục đích mởrộng việc nghiên cứu các tính chất dừng của hệ boson siêu lạnh ít hạt hai thành phần cho

mang tinh thé quang học một chiều Những kết quả thu được va chương trình tính toán số

được phát trién trong dé tai này là cơ sở quan trọng cho những nghiên cứu kẻ tiếp của

chúng tôi về các hệ khi lượng tử ít hạt ở nhiệt độ thấp.

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số tính chất dừng của hệ khí lượng tử íthạt hai thành phân trong mạng tính thé quang học một chiều ở nhiệt độ siêu lạnh Kết quảthu được trong một số trường hợp khác nhau về số lượng giếng thế và cường độ tương tác

sẽ được phân tích va so sánh nhằm chỉ ra một số tính chất dừng mới của hệ so với trường

hợp hệ chỉ có một thành phan Dé làm rõ mục tiêu nghiên cứu trên, bai báo cáo được trình bày với bon phan:

Chương 1 Tong quan Trong chương nay, chúng tôi đưa ra tông quan vé bosonsiêu lạnh hai thành phần và các tính chất dừng của hệ khí lượng tử ít hạt một chiều

Chương 2 Phương pháp tính toán Chúng tôi trình bày tang quan về phương pháp

tính toán va cách thức thực hiện.

Chương 3 Kết quả nghiên cứu Chúng tôi phân tích các tính chất đừng của hệ khí

lượng tử ít hạt hai thành phần có tương tác trong mạng tỉnh thê quang học với số lượng

giéng thé khác nhau.

Chương 4 Kết luận và hướng phát triển

CHUONG 1 TONG QUAN

1.1 Hệ boson siêu lạnh hai thành phan

Từ lâu, kỹ thuật làm lạnh và tính chất của hệ nguyên tử ở nhiệt độ thấp đã được

chú trọng nghiên cứu va phát trién về lý thuyết lan thực nghiệm bởi các tính chất lượng tửcủa hệ tại vùng nhiệt độ này diễn ra vô cùng rõ nét và có thé quan sát được bằng thực

nghiệm Vào những năm 1970, kỹ thuật làm lạnh được phát triển với sự kết hợp giữa việc

sử dụng laser với sự bay hơi làm cho những nguyên tử có năng lượng cao được thoát rakhỏi bẫy giam giữ và do đó hệ khí lượng tử được làm lạnh đến nhiệt độ cực thấp(<10 “K} [40] Điều nay dẫn đến sự kiện Cornell, Wieman và cộng sự lần đầu tiên phát

hiện ra hiện tượng ngưng tụ Bose — Einstein (Bose-Einstein Condensation — BEC) cho

khí nguyên tử *’Rb loãng vào năm 1995, tại đó một lượng lớn các nguyên tử ngưng tụ tại

mức năng lượng cơ bản giống như sự tiên đoán của hai nhà khoa học Bose và Einstein

trước đó 70 năm [2] Kê tir sau thành công trên, hàng loạt thí nghiệm vẻ hiện tượng BEC

đã được tiên hành với những nguyên tử khác [3-7], kéo theo đó là sự phát triên không

ngừng vẻ mặt thực nghiệm nhằm kiểm soát các thông số của hệ Hiện nay, băng việc thayđổi điện trường từ trường (có thê được dùng kết hợp với laser) các nhà khoa học đã cóthe thay đổi được không chỉ hình dang bay thé năng ngoài ma còn có thé thay đổi được số

lượng nguyên tử và cường độ tương tác giữa các nguyên tử, do đó có thê tạo ra được một

hệ thông ít (hoặc nhiều) hạt, một (hoặc nhiều) thành phần với cường độ tương tác bat kỳ

[40].

Đối với hệ boson hai thành phan, chi trong vòng một năm kê từ thí nghiệm BEC,

Myatt cùng nhóm nghiên cứu tại đại học Colorado vào năm 1996 đã công bố sự thànhcông trong việc tạo lập hệ ngưng tụ hai thành phần gồm các nguyên tử *’Rb, trong đó mỗi

thành phần ứng với mỗi trạng thái spin khác nhau Sự ngưng tụ nói trên được thiết lập

bằng phương pháp làm lạnh mới (là sự kết hợp của một bẫy quang từ (Magneto-Optic

Trap — MOT) và một bay từ trường đơn thuần) so với các phương pháp làm lạnh trước đó

cho thi nghiệm BEC [41] Sự thành công của thí nghiệm này đã đánh một dấu mốc quan

trọng trong việc tạo lập vả nghiên cứu hệ boson hai thành phan trong thực nghiệm Ngoài

hai trang thái siêu tinh tế của cùng một loại nguyên tố như các *’Rb với hai trạng thai spin

khác nhau như đã đề cập ở trên, các hệ boson hai thành phần có thể bao gồm các nguyên

tử của hai nguyên tổ khác nhau trong nhóm kim loại kiểm (ví dụ: Na?) và Rb*’) hoặc haiđồng vị của củng một nguyên tô (ví dụ: **Rb và *’Rb) [38] Cần phải hiểu rang đây không

chi đơn thuần là sự mở rộng một cách cơ học cho hệ một thanh phan mà nó còn chứa

đựng rất nhiều hiện tượng vật ly mới bởi hệ thống lúc này không chỉ có trường thé năng

ngoài, sự tương tác giữa các hạt trong cùng một thành phần mà còn xuất hiện thêm sự

tương tác giữa các thành phân với nhau

Trong khuôn khô của khoá luận tốt nghiệp nay, chúng tôi xét cho hệ khí boson hai

thành phan A và B Do đó sẽ rất thuận tiện nếu đưa ra ký hiệu ø để chỉ chung cho hai

loại boson này, ta có ơ € { A,B} Hamiltonian cho hệ boson hai thành phần có tương tác

nằm trong hồ thé năng V.,, (x) bất kỳ có dang

tac giữa hai hạt thuộc hai loại boson A và B khác nhau [10] Trong các thé tuong tac trén,

thành phần có dang 5 (x, — x) được gọi là thé delta va được dé xuất bởi Olshani vào nam

1998 [20] Rõ ràng Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào các hệ số tương tác #,.Ø,.g„; nên

tùy thuộc vào các giá trị của các hệ sé nay nhan duge ma hé thống ta xét đến sẽ ở các cơ

chế khác nhau Bảng 1.1 bên dưới biểu thị các trường hợp khả đĩ về các giá trị giới hạncủa các hệ số tương tác

Bảng 1.1 Các trường hợp khá di về tương tác giữa các thành phan trong hệ và tương tác

giữa các hạt bên trong một thành phân.

Trong bang 1.1, các trưởng hợp tit | đến 3 ứng với việc giữa các thanh phan không

có sự tương tác và chỉ đơn thuần là các trạng thái tương tác mạnh (TonksGiardeau

-TG), BEC của hệ 1 thành phan lồng ghép một cách cơ học với nhau Cụ thé, trường hợp 1ứng với hệ thông gồm 2 thành phần đang ở trạng thái BEC, trường hợp 2 gồm thành phần

A đang ở trạng thái TG còn thành phần B dang ở trạng thái BEC và ở trường hợp cuối

cùng là cả hai thành phần đều ở trạng thai TG Tuy nhiên, kẻ từ trường hợp 4 đến 6, cácthành phần có sự tương tác rất mạnh với nhau và dẫn đến nhiều hiện tượng mới rất quan

trọng như tông hợp femion hóa (Composite Fermionization — CF) ở trường hợp 4, tách

pha (Phase Separation - PS) ở trường hợp 5 và femion hoá hoàn toàn (Full

Fermionization — FF) ở trường hợp 6.

Vi các tinh chat dừng va động lực học của hệ boson hai thành phan trong bay điều

hòa đã được tính toán trong một số công trình như [25, 30, 36] nên trong khuôn khô của

khoả luận tốt nghiệp này, chúng tôi sẽ khảo sát tinh chất dừng của hệ boson hai thành

phan trong mang tinh thé quang học Bên cạnh đó, phương pháp chéo hóa ma trận chính

xác (Exact Diagonalization — ED) được chúng tôi sử dụng trong việc giải số dé tính toán

các đại lượng đặc trưng của hệ Lý do của việc sử dụng phương pháp nay là do sự đơn

giản trong việc thiết lập ma trận Hamiltonian, điều đó làm giảm đi các tính chất vật lýphức tap va van dé được đơn giản hoá thành một bai toán thuần tuý [42] Nội dung của

phương pháp ED sẽ được trình bày cụ thê trong chương 2.

1.2 Một số đại lượng đặc trưng của hệ khí lượng tử siêu lạnh

1.2.1 Ma trận mật độ đơn hạt

Ma trận mật độ don hạt rút gon (Reduced SingleParucle Density Matrix RSPDM) cho biết xác suất dé tìm thấy một hạt tại vị trí xf" tại phép đo thứ hai ngay sau

-khí tìm thấy hạt tại vị trí x” ở lần đo thứ nhất RSPDM của một hạt thuộc thành phần A

và B lần lượt được xác định bởi biêu thức [25]

Afvd v41) _— pp 4 A 8 8 (v4 va A 8 8 decd A 8 B

8 8B 8i\ ay „4 A 5 8 t A JA A 8 8 A JA „4 By 8

P: (x Xx )= N, | dx; widxy AX; dey Y (x; pXq say Ky 9X pena, Lx Xp geen Xy 9X ‘ey, )

trong đó {x/,xÿ, xị } và {(x”,x; xý } lan lượt là tập hợp các tọa độ của các hạt

thuộc thành phan A và B; Y 1a hàm sóng của cả hệ boson hai thành phan ta đang xét

Bang việc chéo hoa ma tran mật độ don hạt øðƒˆ với oe { A, Bi „ ta thu được bộ quỹ

đạo đơn hạt tự nhiên |ø”) (Natural Obital — NO) chính là các vector riêng của ma trận va

các trị riêng 4” tương ứng biéu diễn số chiếm đóng tự nhiên của các quỹ đạo tự nhiên

nảy trong một trạng thái nhất định của hệ nhiều hat |W), trong đó O< 27 <1 và

yA’ =N,, với N, là số hạt thuộc thành phan ø của hệ [43].

ỉ

’

Thanh phan đường chéo cia RSPDM cho biết các giá trị của ham phân bỗ mật độ

đơn hạt trong không gian

ø“(x“)= Nf dey dey, dx} dxy V(x p Xp se Ai «ad A 8 ñXu gXy sooty )

ø? (x°) = N,| dx; whe} dr} dey ¥ (x; pKa pacepXey.g% giay(Al il a ae

2 MN,

1.2.2 Hàm phân bố cặp

Xét hai nguyên tử thuộc cùng một thành phần, theo công trình [25] thì hàm phân

bố cặp (Pair Distribution Function — PDF) của từng thành phần lần lượt được xác định

bởi biéu thức

Đại lượng nay cho biết xác suất tim thay một hat tại vị trí x;' (hoặc xf) ở phép do

thứ hai ngay sau khi tìm thấy một hạt khác tại vị trí x (hoặc x’) ở phép đo thứ nhất,

Đối với hai nguyên tử thuộc hai thành phan khác nhau, hàm phân bé cặp chéo nhau

(Cross Two-Body Distribution Function - CTBDF) cho biết xác suất tim thay mot hatthuộc thành phan B tai vị trí x* ở phép đo thứ hai ngay sau khi tim thấy một hạt thuộc

thành phan A tại vị trí xế ở phép do thứ nhất hoặc ngược lại Theo công trình [25], biéuthức xác định CTBDF sé 1a

A 4 8 #

wíx: HN VẤN VN | :

L0

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN

CHÍNH XÁC

Chúng tôi sử dụng lượng tử hoá lần hai dé giải quyết bài toán hệ nhiều hạt nói trênbang cách đưa ra các toán tử huỷ va toán tử sinh trường boson không phụ thuộc thời gian

lần lượt là ử (x 3) và Vt V(x) Các toán tử nay có tác dụng huỷ hoặc sinh ra một hat boson

loại o tại vị trí x và thoả mãn các hệ thức [10]

[#„(+).#⁄.(x)]=ä„e(x-x),

Khai triển toán tử sinh huỷ trường boson thành tô hợp tuyến tinh của các trạng thái

đơn hạt lđ) (việc thiệt lập các trạng thái đơn hạt sẽ được trình bày bên dưới)

Bằng các sử dụng khai triển (3), Hamiltonian cho hệ nhiều hạt ở (1) trở thành

=> ba a’ a a, ; t= LW a), a, a i 4,4 uf uae a a’ a, 4544)» (3)

e Thành phần W5, và W4? ở số hạng dau tiên và thứ hai được gọi là tích phân hai

hạt [44]

Hạ, = |[9;,(x)6:,(:)VP” (xx,)6,, (x)6,,x,)hn, , @)

Wo = (Ie (x,)Ø;,,(x; HW (x1) boc (% )b,, (Jaya, (8)

Điều kiện cân thiết đề giải bài toán hệ boson nhiều hat bằng phương pháp chéo hoáchính xác ma trận Hamiltonian là phải thiết lập một không gian Fock cho hệ nhiều hạt

|F.) từ các trạng thái đơn hạt |@), ï = 1,2, Trước tiên chúng tôi xin trình bày cách tính

toán các trạng thái đơn hạt.

Hamiltonian của một hạt loại o trong hồ thé năng 1” (x) bat kỳ có dang

x+F„(x) (9)

với ham riêng và trị riêng được tính toán bằng cách giải phương trình Schrödinger không

phụ thuộc thời gian (Time Independent Schrédinger Equation — TISE) Trong tính toán

giải số, một trong những phương pháp hữu hiệu trong việc giải quyết bài toán TISE là

chéo hoá ma trận Hamiltonian ở phương trình (9) đã được xây dựng bằng phương pháp

biéu điển biến số rời rac (Discrete Variable Representation — DVR) [45] Thông thường,

bộ các hàm riêng từ việc tính toán trên được sử dụng làm bộ cơ sở đơn hạt |)

Không gian Fock cho hệ nhiều hat sau đó được xác định bởi phép nhân tensor [44]

|F.) =|; ne 4 nế )®|n neon Pai) (10)

trong đó 7 là số hạt chiếm đóng tai trang thai đơn hat thứ i Gọi tông số hat boson loại ø

của hệ là N, (vi du như nếu xét cho bài toán 2 + 2 thì N„ =2, tức là số lượng boson củamoi thành phan là 2 hạt hay số lượng boson loại A là 2 hạt và sé lượng boson loại B là 2hạt) dé thay Hamiltonian (5) bảo toàn số hạt của hệ nên tông số lượng hạt chiếm đóngtrên tat cả các trạng thái sẽ bằng tong số hat của hệ, hay [44]

12

yn? = N, (11)

;Ì

Tuy nhiên, do đặc trưng của tính toán số nên ta không thẻ lay cận trên của chuỗi(11) đến vô cùng được mà chi đừng lại ở một giá trị hữu hạn sao cho kết qua tính toán vẫnđảm bảo tính chính xác (sai số nằm ở mức độ chấp nhận được) điều này có nghĩa làchúng ta chỉ xét cho M,, trạng thái đầu tiên của đơn hạt Cần chú ý rằng cứ một cách sắpxép các hạt chiếm đóng trên các trạng thái thì lại ứng với một vector trong không gianFock nên số lượng vector của không gian Fock (đặt là D) phụ thuộc vào số lượng hạt N,

va số trang thái M,, của don hạt

Bay giờ, ta lay tat ca các vector trong không gian Fock lam bộ vector cơ sở Fock

rút gon trong không gian Hilbert (sở di gọi là cơ sở Fock rút gọn vì phải dap ứng số lượng

vector là hữu hạn mà không phải là vô cùng trong tính toán giải số) Tiếp theo, ta xây

dựng ma trận Hamiltonian với các phan tử của ma trận được xây dựng dựa trên co sởFock rút gọn và được xác định bởi [42]

H,.=(E

Từ phương trình hảm riêng, trị riêng

H|¥ ye) = Exe |Y se) ` (13)

ta chéo hoá ma trận Hamiltonian đề thu được ham riêng |W„„) va trị riêng Ey, của hệ

nhiều hạt Hàm riêng |*,„„) của hệ được viết đưới dạng tổ hợp tuyến tính các trạng thái

Fock kha di ứng với NV, hạt và Ä/„ trạng thái

dD

Yim) = 26

wel

F}, (14)

với |c,|ˆ là xác suất dé hệ ở trạng thái Fock thứ wv, D là số vector của cơ sở Fock rút gọnC,

trong không gian Hilbert, Vì các vector của cơ sở Fock độc lập tuyến tính nên số chiều

của không gian Hilbert cũng chính là D và được xác định bởi tô hợp sau [44]

13

n- TÏ ee I (N,+M,-1)! (15)

N act4.8} N, (M, - 1)! )

Dễ thấy D tăng nhanh theo NV, và M,, nên phải tốn rất nhiều dung lượng máy tính

đề kết quả tính toán được hội tụ Do đó, việc tính toán bị giới hạn ở cả SỐ lượng hạt boson

của hệ cũng như số lượng trạng thái kích thích nhằm đảm bảo dung lượng máy tính và độchính xác nhất định của kết quả thu được Trên thực tế, việc giới hạn SỐ lượng trạng tháikích thích không ảnh hưởng đáng kê đến kết quả thu được bởi ở nhiệt độ siêu lạnh thì cáchạt sẽ chỉ chiếm đóng ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích đầu tiên Kết quả

tính toán về số chiếm đóng tự nhiên được đề cập ở chương 3 của khoá luận này cho thấy

rd khang định trên.

Dé khắc phục khỏ khăn vé dung lượng tính toán đối với phương pháp ED kẻ trên,

một nghiên cứu của Tran Dương Anh Tài và cộng sự vào năm 2023 đã dé xuất một thuậttoán cải tiến cho phương pháp ED nói trên Thuật toán nay cho phép tính toán giải số

chính xác các trạng thái riêng với các giá trị bất kỳ của cường độ tương tác giữa các hạt

trong cùng một thành phần và giữa các thành phần với nhau cũng như cho phép số lượng

các hạt được xét đến lớn hơn nhưng số chiều của không gian Hilbert lại nhỏ hơn so với

phương pháp ED truyền thong [44] Trong thuật toán cải tiến, vì tính đôi xứng của hàm

sóng nhiều hạt boson qua phép hoán vị hai hat bat kỳ trong hệ nên chỉ có phân chan củacác trạng thái Fock mới đóng góp vao trang thái riêng của hệ nhiều hạt Chính vì vậy, số

chiều D của không gian Hilbert có thé được giám đi một cách rõ rệt và ta có thẻ tính toán

cho các trạng thái kích thích cao hơn Bên cạnh đó, nhóm tác giả còn áp dụng phương

pháp tiếp cận tương tác hiệu qua (effective interaction approach) dé tăng nhanh tốc độ hội

tụ về kết quả chính xác của hệ nhiều hạt trong không gian Hilbert rút gọn Đông thời việc

chỉ quan tâm đến các trạng thái Fock có năng lượng thấp hơn một giá trị đặc biệt Emox

được dé cập trong [44] cũng đóng vai trò quan trọng vì chỉ can tăng giá trị này lên thì cáctrạng thái riêng của hệ nhiều hạt có thê thu nhận được giá trị chính xác mà không cần phảităng kích thước D của không gian Hilbert thu được từ phương pháp rút gọn truyền thông

14

CHƯƠNG 3 KET QUÁ NGHIÊN CỨU

Trong khoá luận tốt nghiệp này chúng tôi sử dụng phương pháp ED đề tính toáncác đại lượng đặc trưng của hệ khí boson siêu lạnh hai thành phân tại trạng thái cơ bảntrong không gian một chiều Hệ thông được đặt trong trường thể năng ngoài của mạngtinh thé quang học, thé năng này có dạng

¬ L 22

Le22

cứ

% _s :

với Vo là chiêu cao của giéng thé, p là so lượng giéng thê va LZ là bê rộng của mang tinh

the quang học (ở đây chúng tôi chọn L =40 và xe (-20;20)) Lưu ý dang biểu thức trên

chi áp dụng cho trường hợp số lượng giếng thé là lẻ (p = 1, 3, 5, ) Trong trường hợp sốlượng giếng thể là chin (p = 2, 4, 6, ) thì biểu thức của mạng tinh thé quang học là

r,eot (ZPE) xe(-4:4)