Trong khoá luận tốt nghiệp này. chúng tôi sử dụng phương pháp ED đề tính toán các đại lượng đặc trưng của hệ khí boson siêu lạnh hai thành phân tại trạng thái cơ bản trong không gian một chiều. Hệ thông được đặt trong trường thể năng ngoài của mạng tinh thé quang học, thé năng này có dạng
ơ L 22
Le
22
cứ % _s :
với Vo là chiêu cao của giéng thé, p là so lượng giéng thê va LZ là bê rộng của mang tinh
the quang học (ở đây chúng tôi chọn L =40 và xe (-20;20)). Lưu ý dang biểu thức trên chi áp dụng cho trường hợp số lượng giếng thé là lẻ (p = 1, 3, 5, ...). Trong trường hợp số
lượng giếng thể là chin (p = 2, 4, 6, ...) thì biểu thức của mạng tinh thé quang học là
r,eot (ZPE) .xe(-4:4)
y L 2°2
ext +ằ bẩ -
ằXÂ 2'2
Hình dạng của trường thé năng được thé hiện như trong hình 3.1.
_()p=3 _
008 £
Vex 006)004+
Hình 3.1. Mang tinh thể quang học với (a) 3 giếng thé; (b) 2 giéng the.
15
Dé thuận tiện, các giá trị năng lượng trong tính toán so tỉ lỆ với &, = T- Một cách
mk
tương tự, các giá trị chiêu dài tỉ lệ với ⁄ và các giá trị cường độ tương tác tỉ lệ với
8u = Trong giới han của luận văn này, chúng tôi chi xét dén trường hợp moi thành
mL
phan của hệ chỉ gôm 2 boson với số lượng giéng thê được xét lan lượt là p = 2 và p = 3.
3.1. Hệ boson một thành phan trong mạng tinh thể quang học
Trước tiên, chúng tôi xét hệ chỉ gồm một thành phan đang nam trong mạng tinh thé quang học 2 và 3 giếng thế. Bằng phương pháp ED, chúng tôi tính toán năng lượng tại trạng thái cơ bản của hệ khí boson từ trạng thái không tương tác (g = 0) đến tương tác rất mạnh và biéu dién bằng đồ thị trong hình 3.2. Trong cả 2 hình 3.2a và 3.2b, khi cường độ nội tương tác tăng dan, năng lượng cúa hệ càng lớn và tiến đến tiệm cận giá trị năng lượng tại trạng thai TG (giá trị này thu được từ phương pháp giải tích và được biêu diễn bằng đường nét đứt mau đen như trong hình 3.2). Điều nay chứng tỏ phương pháp giải số ED và chương trình tính toán được sử dụng có độ tin cậy vì kết quả giải số thu được hoàn toàn phù hợp với lý thuyết: Khi tương tác của các hạt trong cùng một thành phần lớn vô cùng thì hệ sẽ ở trạng thái TG. Từ 46 thị, dé thấy kê từ giá trị g = | (trường hợp 2 giếng thế) và g = 2.5 (trường hợp 3 giếng thé) hệ thống tương tác rất mạnh và được xem gan đúng là trạng thái TG. Do đó dé dé dang trong việc tính toán, chúng tôi chọn g = 3 là giá trị của cường độ tương tác giữa các hạt trong cùng một thành phần mà tại đó trạng thái của hệ đã được xem 1a gan đúng của trạng thái TG trong tính toán giải số (mặc dù ở giới
han TG thì cường độ tương tác g — ) cho cả hai trường hợp 2 va 3 giếng thể.
Bên cạnh đó, đựa vào kết qua thu được từ giải số cho trường hợp g = 3, chúng tôi về đường phân bố mật độ xác suất tìm thay hạt trên miền không gian được xét (từ x; = —20 đến xy= +20) và so sánh với kết quả giải tích của TG như trên hình 3.3. Sự trùng nhau của các đường phân bố mật độ trong hình 3.3 cho thấy kết quả của hai phương pháp là giống nhau và góp phan khang định tính chính xác của chương trình tính toán.
l6
g g
Hình 3.2. Sự phụ thuộc năng lượng tại trạng thai cơ bản cua hệ 1 thành phần (hệ gồm 2 hat) trong mang tinh thể quang học (Vo = 0.1, L= 40) theo cường độ tương tác giữa các
hạt trong hệ.
(a) Trường hợp 2 giéng thế, (b) Trường hợp 3 giéng thé. Trong đó đường nét đứt màu den
là đường biểu thi giá trị năng lượng của hệ tại trạng thai TG.
(a)p=2 (b) p=3
v.02 =r
——Giải sớ
0015: —-1
® 001
&
0.005-
-20 -10 0 10 20 -20 10 0 10 200
F =
Hình 3.3. Đường phan bó mật độ xác suất tại giới han TG (Vs = 0.1, L = 40).
(a) Trường hợp 2 giống thể, (b) Trường hợp 3 giống the.
Trong đó đường nét liền màu xanh dương OL được vẽ theo tỉ lệ 0.1 ,„„, đường nét đứt màu đen biểu thị kết quả giải tích TG còn đường nét liền màu xanh lục biéu thị kết quả
giải số khi g = 3.
L7
3.2. Hệ boson hai thành phan trong mạng tinh thể quang học gồm 3 giếng thế
3.2.1. Trường hợp gi = 3, gs = Ú, gan = 0
Đầu tiên chúng tôi chọn giếng thé có độ cao Vo = 0.1 rồi thực hiện tính toán một số đại lượng đặc trưng cho hệ ít hat boson siêu lạnh như RSPDM, PDF và biểu dién trong
hình 3.4 bên dưới.
20
10
10
-20
-20
-20 -10 0D 1g 20
<BR
Hình 3.4. RSPDM và PDF (đã chuẩn hóa về 1) cho hệ 2 thành phần trong mạng tỉnh thể
quang học 3 giống thé có độ cao Vo= 0.1 cho trường hợp ga = 3. ge = 0, gas = 0.
18
Trong trường hợp này, đo không xảy ra tương tác giữa các thành phần nên hệ đang xét bao gồm hai thành phần độc lập nhau, trong đó thành phần B xảy ra ngưng tụ Bose —
Einstein và thành phan A dang ở trạng thái tương tac rất mạnh (tiệm cận trạng thái TG).
Vì độ cao của giếng thế V, không đủ lớn nên các hạt vẫn có khả năng xuyên ngầm giữa hai giếng thể. Đường chéo của RSPDM chính là đường phân bố mật độ (density distribution) cũng được thé hiện như trong hình 3.5c. Bây giờ chúng tôi khảo sát sự thay đổi của mật độ xác suất tìm thấy hạt theo độ cao của hồ thế như trong hình 3.5 với bốn giá trị tăng dan của Vo là 0.01, 0.05, 0.1 và 0.5. Ở hình 3.5a, dé thay rằng khi Vo = 0.01 thì mật độ xác xuất tìm thấy các boson trong hệ có giá trị cao nhất tại vị trí chính giữa và giảm dan về hai phía của mang tinh thé quang học do sự mạnh mẽ của hiệu ứng xuyên ngam lượng tử. Tuy nhiên, khi độ cao của giếng thé được tăng dần lên như trong hình 3.5b và 3.5c, hiệu ứng xuyên ngam trở nên suy yếu va các hạt dan trở nên tập trung tại day của các giếng thé với xác suất tim thay boson loại A cũng như loại B tại giếng thé chính giữa tăng dan. Cuối cùng, khi giếng thé có độ cao đủ lớn như trong hình 3.5d, sự xuyên ngâm hoan toản biến mat, tuy nhiên các hạt không hoan toản bị giam ham trong giếng thế, tức là vẫn tồn tại xác suất cho việc một hạt xuất hiện tại giếng thế này ở lần đo thứ nhất va xuất hiện tại giếng thé kia ở lần đo thứ hai (dựa vào giá trị của RSPDM của ca thành phan A và B). Hình 3.6 thé hiện các giá trị của RSPDM cũng như PDF tai Vp = 0.5,
việc so sánh với hình 3.5 cho thay sự biến mat của mật độ xác suất nối liền giữa các cực đại trong hình 3.6 tái khang định sự khử xuyên ngầm khi tăng chiều cao giếng thé. Các
hiện tượng vat lý xảy ra trong hình 3.6 sẽ được phân tích bèn dưới.
Ở thành phần B trong hình 3.6, vì các boson trong không tương tác với nhau nên các hạt có thé chồng lan lên nhau và ton tại ở cùng trạng thai, đây chính là nguyên nhân dan đến sự tồn tại của cực đại lớn nhất nằm tại chính giữa mạng tinh thé quang học ở cả RSPDM và PDF cho thành phan này, ở đó nếu bắt gặp một hạt tại giếng thé chính giữa thi ngay lần do tiếp theo sẽ có một xác suất rất lớn dé bắt gặp chính hạt nảy hoặc một hạt khác cũng tại giếng thé đó. Kết quả thu được về RSPDM con cho thấy xác suất dé bắt gặp
19
cùng một hạt tại hai giếng thé ké nhau ở 2 lần đo có giá trị lớn hơn trường hợp 2 giếng thể cách xa nhau. Đối với thành phan A, mặc dù đang ở trạng thái TG nhưng do số lượng boson của thành phần này là V.= 2 nên hệ số lap day Ax› không phải là số nguyên nên quá trình chuyền đôi từ pha siêu lỏng sang pha cách điện Mott bị cản trở làm cho mật độ hạt có sự phân bố lại và xuất hiện một phan phi định xứ, bằng chứng là vẫn có các đỉnh xác suất ngoài đường chéo chính của RSPDM ở cả hai thành phan. Vi dụ, nếu tại phép đo thứ nhất bắt gặp 1 boson loại A ở giếng thé chính giữa thì vào lần đo thứ hai, ngoài xác suất rất lớn bắt gặp chính hạt đó ở giếng thể ban đầu, ta vẫn thấy có một phần xác suất
.. # H .^ . ứ ok As ` ^ .. ` * ˆ es
cho việc hat đó xuât hiện tại các giêng thê ở ria bên trái va ria bên phải.
(a) Vạ=0.01 (b) V„=0.05
Hh
Hình 3.5. Sự thay đổi đường phan bó mật độ của hệ 2 thành phan theo độ cao của hồ thẻ cho trường hợp ga = 3, gs = 0, gas = 0. Trong đó đường cham gạch mau den biểu điển
hàm thé năng được vẽ theo tỉ lệ 0.5 ..
20
-20 -10 0 10 20 -20 -10 0 10 20
20 PDF AB
10
-20
-20 -10 0 10 20 1B
Hình 3.6. RSPDM và PDF (đã chuẩn hóa về 1) cho hệ 2 thành phan trong mạng tinh thể quang học 3 giếng thể có độ cao V¿= 0.5 cho trưởng hợp ga = 3, gs = Ô, gue = 0.
21
3.2.2. Trường hợp gi = 3, gz = Ú, g¿ứ = 3
Đầu tiên chúng tôi vẽ các đường phân bố mật độ của các thành phan tại một số trường hợp tăng dan về chiều cao của giếng thé và biéu diễn trong hình 3.7. Trong hình
trên, cho dù chiều cao thé vẫn còn rất thấp (¿ = 0.01) nhưng ta đã dé đàng nhận thay rằng
khi tương tác giữa các thành phan trở nên rất lớn thi boson loại B (không cỏ nội tương tác) định xứ ở giếng thể chính giữa còn boson loại A (có cường độ nội tương tác rất lớn) định xứ ở hai giếng thé ngoài cùng (độ cao các của đỉnh mật độ xác suất bằng nhau) nhằm
thoả mãn điều kiện vé cực tiéu năng lượng. Bên cạnh đó. khi độ cao giếng thế cảng tăng thì boson giữa các thành phần với nhau cũng như trong cùng một thành phần ngày càng
tách biệt nhau, hiện tượng tách pha diễn ra càng rõ nét.
(a) V_=0.01 (b) V„=0.05
° 0.15 9
0 — a
_ 20 10 0 10 2
®
X (d) V„=0.5
Q 0 9.3 0
20 410 OF 10 20
Hình 3.7. Sự thay đổi đường phan bố mật độ của hệ 2 thành phan theo độ cao của hồ thé
cho trường hợp ga = 3. ge =, gas = 3. Trong đó đường cham gach màu den biểu diễn ham thé năng được vẽ theo tỉ lệ 0.5 xE,....
22
RSPDM A RSPDM B
20
10
% 0
-10
-20
-10 0 10 20
x
POFB
0 -10 0 10 20
#ị
-20
10
-10
-20
“2
“sao ‹40 0 10 20
zB
Hình 3.8. RSPDM va PDF (đã chuẩn hóa về 1) cho hệ 2 thành phan trong mang tinh thể quang học 3 giéng thể có độ cao Vo= 0.5 cho trường hợp ga = 3, gs = 0. gas = 3.
Các kết qua của RSPDM va PDF cho từng thành phan tại độ cao giếng thé là V, =0.5 được biểu diễn như trong hình 3.8. Đối với thành phan A, việc xuất hiện các đỉnh
23
mật độ xác suất trên đường chéo chính của RSPDM cũng như sự biến mắt đường chéo chính của PFD cho thấy tai trạng thái tách pha, thành phan nay ở trạng thai TG một cách cục bộ (nghĩa là các boson thuộc thành phan A bị giam hãm hoàn toàn trong các giếng thé, khí bose trong mỗi giếng thé đều ở trạng thai TG). Trong khi đó, với việc chỉ xuất hiện 1 cực đại ở cả RSPDM va PDF của thành phần B cho thấy thành phan này đang ở trạng thai BEC, Nhằm phân tích chi tiết hơn hiện tượng tách pha, chúng tôi giữ cổ định gx
=3, gs = 0 và Vy = 0.5 rồi tiền hành tăng dan cường độ tương tác gus giữa hai thành phần và ghi nhận giá trị về số chiếm đóng tự nhiên cũng như phân bố mật độ xác suất của các
thành phan. Các sự thay đôi nói trên lần lượt được biéu diễn như trong hình 3.9 và hình
3.10.
(a) Thành phản A
20 0.08
0.06
53 O 0.04
0.02
-20 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
" (b) Thanh phan B Ban
0.12
& 0 0.08
0.04
-20 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
20 oleae 0.16
0.12
8 0.08
0.04 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
GAB
Hình 3.9. Sự thay đổi phan bố mật độ theo cường độ tương tác gas trong mang tinh thé quang học 3 giếng thé có độ cao Vo = 0.5 cho trường hợp ga = 3, ge = 0.
fa) Thanh phan A; (b) Thanh phan B; (c) Ca hai thành phan A va B.
24
0 0.02 004 006 0.08 0.1
(b) Thanh phan B
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
gạn
Hình 3.10. Sự thay đổi số chiếm đóng tự nhiên theo cường độ tương tác giữa các thành phan trong mạng tỉnh thé quang học 3 giéng thé có độ cao V¿= 0.5 với g4 = 3. gs = 0.
a) Thành phan A; (bh) Thanh phan B.
Khi tăng dan cường độ tương tác, hệ có sự chuyên đồi rất nhanh theo gus (trong khoảng #„„ =0 —>0.1) từ trạng thái 1 BEC và 1 TG sang trạng thái tách pha, một điều có thộ thay dộ dang trong hỡnh vẽ sự thay đụi của mật độ vào ứ¿z (bỡnh 3.9) cũng như trong đồ thị số chiếm đóng của cả 2 thành phần A, B (hình 3.10). Một cách cụ thé, trong hình
3.9, khi cỏc thành phần khơng tương tỏc với nhau (ứà = 0), vẫn cĩ một phan nhỏ xỏc suất tìm thấy các hạt loại A và loại B trong từng giếng thế. Tuy nhiên khi giữa các thành phần bat đầu xuất hiện tương tác đây (do gxs > 0). bức tranh phân bỗ xác suất có sự thay đôi rõ nét, Cụ thé, xác suất tìm thấy các hạt loại A tại giếng thé chính giữa giảm dan chứng tỏ
các hạt nay bị day về 2 giếng thé ngoài cùng của mạng tinh thê quang học va không còn
tôn tại trong giéng thé trung tâm mà thay vào đó là sự tập trung của các hạt loại B, điều nảy liên quan đến sự chuyên đôi pha từ trạng thái TG-BEC sang trạng thái tách pha (PS).
Sau quá trình chuyển pha, ta thấy từ sau khi gap = 0.5, hệ thống tiến vào giai đoạn ôn
25
định, hai thành phan A, B đang ở trạng thái tương tác rất mạnh và hau như không có sự thay đồi nao trong quá trình tăng dần cường độ tương tác sau đó.
Trong đô thị hình 3.10, số chiếm đóng tự nhiên của các boson trong thành phần B sau khi chuẩn hoỏ 2z/ẹz tại quỹ đạo đơn hạt thấp nhất xảy ra sự biến động khụng đỏng kẻ khi bat đầu xuất hiện tương tác giữa các thành phan biêu thị quá trình chuyên pha. Tuy nhiên ngay khi hệ thống ôn định, số chiếm đóng tự nhiên của thành phan nảy trở về giá trị ban đầu (bằng 1) chứng tỏ thành phan nay đang ở trạng thai BEC và ồn định ở trạng thai ấy khi tương tác giữa 2 thành phần trở nên rất lớn. Điều này có thể giải thích là do số
lượng giếng thé là lẻ (p = 3) và các boson nay được định xứ hoàn toàn trong giếng thể
chính giữa của mạng tinh thê quang học. Trong khi đó, số chiếm đóng tự nhiên của thành phan A sau khi chuẩn hoá A4/Ny tại quỹ đạo đơn hạt tự nhiên thứ nhất (j = 1) va thứ hai (/
= 2) có giá trị bằng nhau (và bang 0.5), số lượng quỹ đạo đơn hạt tự nhiên ma các hạt chiếm đóng đúng bằng số cực đại trên đường chéo chính của RSPDM của thành phần này.
3.3. Mạng tinh thé quang học gồm 2 giếng thế
Tương tự như mục 3.2, sau đây chúng tôi chỉ khảo sát các hiện tượng xảy ra khi xét
đến các trường hợp (g„ =3, By =0. 847 =0) và (g„ =3. #; =0. gy =3) cho trường hợp
mạng tinh thé quang học gồm 2 giếng thẻ.
3.3.1. Trường hợp gi = 3, gz = 0, g12 = 0
Trong trường hợp nay, hệ đang xét bao gồm thanh phan B xảy ra ngưng tu Bose —
Einstein, thành phần A đang ở trạng thái tương tác mạnh (tiệm cận trạng thái TG) và giữa các thành phần không có bất kỳ tương tác nào với nhau. Trước hết, chúng tôi khảo sát sự thay déi của đường phân bố mật độ xác suất tìm thay hạt trong mỗi thành phần cũng như cả hệ theo độ cao Vo của giếng thể như trong hình 3.11 với bốn giá trị tăng dan là 0.01, 0.05, 0.1 và 0.5. Dễ thay rằng khi độ cao giếng thế chưa đủ lớn như trong hình 3.1 La. hình dang đưởng phân bỗ mật độ của hai loại boson có sự khác nhau rõ nét. Cụ thẻ, các boson trong thành phân A đang tương tác rất mạnh với nhau, và vì đây là tương tác đây (do
26
g >0) nên chúng sẽ tập trung nhiều ở hai bên giếng thé, kết quả là dan đến sự hình thành hai đỉnh rõ nét của đường phân bỗ mật độ (các đỉnh này lần lượt ở trong vùng lõm của từng giếng thé), Trong khi đó, các boson thành phần B đang ở trạng thái BEC nên sự phân tách giữa các boson trong thành phan nay không đáng kẻ. bằng chứng là độ chênh lệch giữa giá trị mật độ xác suất tại đỉnh x = 0 và hai đáy ngoài cùng của bay thé năng rất nhỏ.
Khi độ cao của hồ thé được tăng dan như trong hình 3.11b và hình 3.11e, các đỉnh mật độ xác suất trở nên ngày một rõ nét va dịch chuyên dan vẻ phía trung tâm của từng giéng thé, kéo theo đó la sự suy yêu của hiệu ứng xuyên ngâm lượng tử giữa hai giếng thé. Ngoai ra, sự có mặt của tương tác day ở thành phan A đã thúc đây sự suy yếu của hiệu ứng xuyên ngầm lượng tử ở thành phần này mạnh mẽ hơn khi không có tương tác. Cuối cùng, khi độ
cao của giếng thé đạt đến một giá trị đủ lớn thì hiệu ứng xuyên hầm biến mất, các đường phân bố mật độ ở các thành phần hoàn toàn trùng lên nhau và các đỉnh phân bố năm ngay
tại vị trí chính giữa của từng hồ thé như trong hình 13.11d.
(a) Vạ=0.01 (b) Vạ=0.05
0.04; ý \ TAN imi
0.02) /
0 ` = ~- % r~ . “
— 2 40 0 10 2 20 -10 0 10 20
= (c) V,=0.1
0.15
^ ^
01 i $
-20 -10 0 10 20
+
Hình 3.11. Sự thay đổi đường phân bố mật độ của hệ 2 thành phan theo độ cao của ho thé cho trường hợp ga = 3, ge = 0, gan = 0. Trong đó đường cham gach màu đen biểu dién
hàm thé năng được vẽ theo tỉ lệ 0.5xV._,,.
27
Kết quả của việc tính toán một số đại lượng đặc trưng như RSPDM và PDF trong trường hợp giếng thé có độ cao Vo = 0.1 được biéu dién trong hình 3.12 bên dưới.
RSPDM A RSPDM B
20 20
10 10
-10 10
-20 -20
-20 -10 0 10 20 -20 -10 9 10 20 Lv ®
PDF A PDF B
20
PDF AB
10
tA °
~10
20
-20 -10 0 40 2
rp
Hình 3.12. RSPDM va PDF (đã chuẩn hóa về 1) cho hệ 2 thành phan trong mang tinh thé quang học 2 giống thể cú độ cao Vo= 0.1 cho trường hợp ga = 3. ga = ệ. gẩ = 0.
28