Khoá luận tốt nghiệp Vật lý: Nhóm Lie và những ứng dụng trong cơ học lượng tử

Nếu chỉ sử dụng kí hiệu trừu tượng Dirac để biểu diễn spin thi không thể hiểu chính xác được hiện tượng đó vì một số tính chất nhất định của spin không hiện rõ trong khi xét vật quay tro

Nhóm Lie va Những Ung Dung

Trong Cơ Hoc Lượng Tử

Giáo viên hướng din: PTS _ PGS Nguyễn Khắc Nhap

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Bich Phương Lớp: Lý 4B

Niên Khóa :1999- 2003

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

w 31243

Lời cám ơn

CBN

Để hoàn thành bài luận văn này, em xin chân thành cám ơn thầy

Nguyễn Khắc Nhạp, phó tiến sĩ - phó giáo sư khoa vật lý trường ĐHSP

TPHCM, người đã giúp đỡ và trang bị cho em những tri thức qui báu,

hướng dẫn và chỉ dạy hết sức tận tình

Bên cạnh đó em cũng gởi lời cám ơn đến thẩy Đoàn Hồng Hà ,

giảng day ở trường Marie Cuirie giúp đỡ em rất nhiều trong lúc hoàn

thành luận văn

Xin cám ơn khoa vật lý - thư viện trường ĐHSP TPHCM đã quan

tâm tạo điểu kiện cho em về mọi mặt.

TPHCM, ngày 30 tháng 4 năm 2003

THU-VIEN

Trưởng Col-Ho£c Su phom

v8 ~0-c si i9~

Cơ lượng tử là cơ sở cho tất cả các qui luật cơ bản của vật ly và

hóa học Đây chính là môn khoa học tổng quát và được sử dụng cho tất

cả các lĩnh vực vật lý cơ bản cũng như nghiên cứu trong các ngành ki

thuật ở những năm gắn đây,

Trong cơ lượng tử , vectơ trạng thái và khái niệm Dirac là ngôn ngữ

toán học thông dụng và cổ điển sử dụng dau tiên Sau đó lý thuyết lượng

tử phát triển, khái niệm spineur ra đời để giới thiệu vectơ trạng thái trongbiểu diễn spineur Nếu chỉ sử dụng kí hiệu trừu tượng Dirac để biểu diễn

spin thi không thể hiểu chính xác được hiện tượng đó vì một số tính chất

nhất định của spin không hiện rõ trong khi xét vật quay trong không gian 3

Tính bất biến và đối xứng là những khái niệm quan trọng trong cơ

lượng tử cũng như trong lý thuyết nhóm Những qui luật cơ bản của thuyếtlượng tử và công cụ toán học này có mối liên hệ chặt chẽ với nhau và do

đó càng khẳng định lý thuyết nhóm chính là công cụ đơn giản nhất , chính

xác nhất và được dùng để giải quyết phan lớn các vấn dé quan trọng của

lương tử Những kết quả của phép tính toán này rất giống so với thực

nghiệm

Trong bài luận văn này, em đã tìm hiểu một phẩn của lý thuyết

nhóm đó là lý thuyết nhóm Lie Vì lý thuyết nhóm đặc biệt là nhóm Lie là

khái niệm khó và không được giảng dạy ở trường ĐHSP, nên em chỉ xét

một vài nhóm cổ điển nhất như nhóm SO(3) , SU(2) được biểu diễn dướidạng ma trận cho phần trình bày được đơn giản dễ hiểu nhất và những ứng

dụng cụ thể trong vật lý hạt nhân.

Việc ứng dụng lý thuyết nhóm trong nhiều ngành của vật lý như vật

lý chất rắn, quang phổ học, tinh thể học „ đã thể hiện tính ưu việt của nó.

Và đặc biệt trong vấn để sâu sa và quan tâm nhất hiện nay trong cơ lượng

tử là thế giới các hạt cơ bản, lý thuyết nhóm xuất hiện như công cụ duy

nhất để tim hiểu và có thể đưa ra các tiên đoán lý thuyết bất ngờ Do vậy,

em hy vọng rằng sinh viên chúng em sẽ có cơ hội tiếp xúc với môn học lý

thú này trong những năm tới

NHẬN XÉT CUA GIÁO VIÊN

Khái niệm về nhóm

Nhóm G là tập hợp các phần tử trong đó có thiết lập một

qui tắc kết hợp hai phan tử bất kỳ trong các phan tử của nhóm và tuân

theo 4 điều kiện sau:

¢ Tích của 2 phẩn tử bất kỳ, a và b, của nhóm phải là một phan

*Định lí nghĩ ch đảo của một tích: nghich đảo của một tích

hai hay nhiều phần tử sẽ bằng tích nghịch đảo của các phần tử

hiệu nhóm:G,H Nếu nhóm G chứa một số phần tử n hữu hạn thì được gọi

là nhóm hữu hạn và gọi là cấp của nhóm

Tính chất của nhóm

1 Nhóm Abel

Thông thường, tích của các phẩn tử trong một nhóm không giao

hoán với nhau

ab # ba

Nếu tất cả các phần tử trong nhóm có thể giao hoán với nhau thì

nhóm này gọi là nhóm Abel

ab=ba vớia,be G

2 Nhóm chu trình

Là trường hợp đặc biệt của nhóm Abel.Nhóm chu trình

bậc n là một nhóm mà tất cả các phan tử của nó có thể nhận được bằng

cách lắn lượt nâng lũy thừa một phần tử

a,a2,a3 a% =e

Trong đó a là phan tử bất ky của nhóm

3 Nhóm con

Giả sử ta có một nhóm G.Nếu trong nhóm này ta có

thể tách ra được một tập hợp các phần tử của G hình thành nên một nhóm

nhỏ hơn thì tập hợp con này gọi là nhóm con.

Ta thấy phan tử đơn vị e là một nhóm bậc | và nó

thuộc về tắt cả các nhóm con của một nhóm Từ đó, ta có thể nói | phần tử

của một nhóm có thể thuộc về nhiều nhóm con khác nhau

4 Nhóm đẳng cấu

Cho 2 nhóm con G và H có cùng bậc Nếu có một sự tương ứng

(ánh xạ) giữa các phần tử nhóm và các phần tử nhóm

5 Nhóm đồng cấu

Nếu một phan tử nẦÄo đó thuộc nhóm G có sự tương ứng

một đối một với một phần tử của nhóm H thì ta nói nhóm G và H là đẳng

cấu với nhau

G ———y ÏH

8) ———————— h,=Í(g,)

Các nhóm đẳng cấu với nhau được xem là như nhau,cácđịnh lí đại số cho các nhóm đẳng cấu với nhau là như nhau

Trong bài luận văn này, ta chỉ xét đến nhóm Lie và những

ứng dụng của nó vào trong lĩnh vực khá lý thú của vật lý: hạt cơ bản Để đisâu vào nội dung chính của bài luận văn này, chúng ta tìm hiểu khái niệm

về nhóm Lie

Nhóm Lie:

Một nhóm G = {g} vô hạn được gọi là nhóm liên tục( nhóm

topo) nếu khi g và g' biến thiên liên tục thì tích ge’ và g” cũng biến thiên

liên tục.

Nhóm liên tục có số tham số hữu hạn được gọi là nhóm Lie; số tốithiểu các tham độc lập cần thiết để đặc trưng cho các phần tử nhóm đượcgọi là tham số cốt yếu.

Mọi nhóm Lie déu đẳng cấu với một nhóm các phép biến đổi

C¡= Cj (By, Age Ags Pụ, bạ„) và dj=dj\(ay, a, ,a,) thì

GI ys) gas

nội của không gian Euclide đều là nhóm compact.

Từ đây ta có 2 định lí quan trọng sau:

1_ Đối với nhóm Lie compact ta có thể chứng minh được rằng:

e Mỗi biểu diễn của nhóm Lie compact đều

tương tương với | biểu diễn unita nào đó

e Tất cả các biểu diễn unita là biểu diễn khả

qui.

e Tất cả các biểu diễn bất khả qui déu là hữu

hạn chiều.

2_ Đối với nhóm không compact ta cũng chứng minh:

e Tất cả các biểu diễn liên tục của nhóm nửa đơn là biểu diễn khả qui.

e Tất cả các biểu diễn unita déu là hữu hạn chiều.

Xét nhóm Lie G =Íg} với g =g(œ œ„) Ta định nghĩa các toán

Xét 2 tập con M, N các vectơ trong L và ký hiệu [Af, V]- tập các

vectơ dạng [X,Y] Xe M, YeN.Nếu M, N - không gian con tuyến tính của

L thì:

[M, + M;,]c [M,.M]+M;, N]

[M.N]< [X.M]

[r.{M X]]c [M.|x.+]]+[x¿ w J]

Không gian con N ¢ L được gọi là đại số con nếu [N.N]oN và

ideal nếu [L,N]oN Đại số Lie được gọi là đơn nếu như nó không có

ideal nào khác với chính nó, và nửa đơn nếu nó không có ideal giao hoán nào kể cả chính nó.

Từ các tiên dé 2 và 3 ta thấy:

3 Cạ= cụ, : hằng số cấu trúc

Đại số Lie L' của nhóm Lie con G'c G là đại số con L` CL, còn

đại số N của nhóm con bất biến H, G sẽ là ideal của L.

Đại số Lie của một tích trực tiếp (nửa trực tiếp ) cửa 2 nhóm Lie là

tổ ng trúc tiếp (nủa trực tiếp om a2 daiso Lic tud ng ung Diéu ng dỏc lại

cũng đúng.

Nói cách khác da ¡ số Lie cưa nhóm Lie hoản toản dliéc xác để nhbởi

nhóm Lie ẩó.Tuy nhiên ngưở e lại đẹ ¡ số Lie chỉ xác đý nh nhóm Lie sai khác

mộ tphép đề ngc@ud iaphwé ng, tức có nhiệt nhóm Lie cùng nhân Ì da iso Lie

làm đại sô Lie e da mình, và các nhóm này để ng câu đ ¡ a phư2 ng với nhau

“CHƯƠNG 1: NHÓM QUAY VÀ TÍNH

CHAT CUA NHÓM QUAY

1.1:Nhóm quay và tính chất của nhóm quay

Ta gọi hàm sóng ban đầu „(r,)khi thực hiện một phép quay

thành hàm sóng t„.(z,£) và vị trí vectơ thay đổi r —> r` được viết:

r=Rr (1.1

Chúng ta sẽ làm sáng tỏ phương trình này bằng cách xét ba vectơ

cơ sở vuông gốc e, quay đến cơ sở e; theo qui ước lấy tổng của Einstein, ta

có thể viết

€`,= Rie,

4 T rotation vecteur

€: 7 rVCCICUr

Cc;

Hình 1.1: phép quay của vectơ r đối với r` Vectd r` được biểu dién trong cơ sở

không quay là {e,)

Ma trận 3 x 3 là số thực vì vectd cơ sở là thực.Ta sẽ định nghĩa sự

chuyển dịch nghịch đảo của phương trình (1.1) theo công thức sau

e,= U¿€`, (1.3)

Xét tích vô hướng ey

c`),ey = Rụe,ey = Ry a = Ra (1.4)

và tích vô hướng e ey

eve’, = Uje’se'y = Uyôy = Un (1.5)

Vậy các ma trận Ry, Ủ¿ là cosin chỉ phương

Sa =O) Oy = U/aUaas€`a Cn = UUs San

= UinUim

= R„R„‹ (1.8)

Các cột của ma trận nấy cũng vuông góc với nhau

Như vậy r` có thành phan trong {e`,] giống như r trong{c',}

Phép biến đổi nghịch đảo(1.9) cho phép ta có thể tính đựợc 1 cách

gián tiếp ma trận vuông R,

Ma tran mà cột và hàng vuông góc với nhau khi

RyRy =S5y _ RyRy, = dy (1,12)

Vì định thức của tích ma trận bằng tích định thức của từng ma trận

det(R,,R’,,) = det(R,, det(R’ ,,) = det ô,;

nên (det( R,)) = 1 suyradet(Ry)=+1 (1.13)

vì vậy phép quay có thể phân chia thành 2 tập con ứng với 2 giá trị det(R,)

=+l với det(R,)= 1 là phép quay thudn túy và det(R,) = -1 có các

phan tử là tích của phép quay và là phép nghịch đảo không gian Tập hợp

các phép quay là một nhómvì nó thỏa các tính chất của một nhóm

+Tích của các ma trận có tính kết hợp

+Ma trận R, chứa ma trận đơn vị

+Mỗi ma trận Ry có phần tử nghịch đảo tương ứng:

(R'),= Ry

Nhóm quay không là nhóm Abelian vì với hai phép quay bất kỳ

theo hai phương pháp khác nhau sẽ không giao hoán với nhau

RR) z RY RY

1.2: Vi tử của nhóm quay

Ta xét những tinh chất tổng quát đặc trưng cho nhóm Lie.Khi

xét tinh chất của một nhóm ta chỉ sự biến đổi vi tử của nhóm cũng nói lên hau

TY phương trình (1.19) ta nhân được

yal = wR ne) = w„(r =ô$ xr.t)

Trong đó £ =rx ð là toán tử moment xung lượng.Nhóm quay

có 3 thông số $„„ Oy, 6, -Do vậy để xác định toán tử quay vi cấp:

Trước tiên ta sẽ xác định trường hợp quay trên trục ox

° Goi toán tử quay Ở g(ệ „) và quay một góc A> thì phép quay vi tử

là ,(A¿,) = 1-26, «i.

Ta có phép quay toàn phan là

U,, + Ae,.9, »o,) = U, (49, W,@,.9,.9,)

=

và vì £ là toán tử hermit nên

O30) =esg| xẻ -Ƒ =m exif to)

=> U;'@) =Ủ;@) (1.26)

£,0,(6,.0,.0,) (1⁄22)

=-51,040 9,.0.) (1.23)

Ba toán tử /,„,/y./, gọi là toán tử quay vi cấp ,Ba toán tử này

không giao hoán với nhau nên nhóm quay không phải là nhóm Abclian

1.3 :Không gian đẳng hướng

Không gian đẳng hướng thể hiện qui luật đối xứng của

tự nhiên khi thực hiện phép quay trong không gian Thật vậy, ta thấy:

¡h oy „.(r,f) OW, (r,f)

ct œ=Ủ,(b)¡h =U,(6)Ay, (rt)

ih = Ay, (r.t) (1.28)ov (rt)

Ct

Vậy ta thấy khi thực hiện một phép quay trong không gian thì

phương trình Schodinger bất biến Tổng quát với vectơ quay bất kỳ

Ủ,(@)U;'(è) =H (1.29)

0,@›.2]=o (1.30)

với ộ bất kỳ

l.Ø|-o (1.31)

Phương trình (1.31) cho ta thấy trong cơ học lượng tử moment

xung lượng được bảo toàn trong không gian đẳng hướng

tương tự như toán tử 1 hat:

Giáo viên hướng dẫn: Ngủ)

Chương II BIỂU DIỄN NHÓM SO(3)

VÀ SU(2)

Bài toán biểu điễn nhóm SO(3) là bài toán biểu điển điển hình của

nhóm liên tục Nhu đã nói phan trước để tìm hệ thống các biểu diễn khả qui một

cách trực tiếp rất khó khăn nên ta đùng khái niệm vi tử của nhóm

2.1 Nhóm SO(3):

2.1.1 Dinh nghia

Xét tập hợp tất cả các phép quay trong không gian ba chiéu

Euclid quanh một điểm cố định nào đó và những phép quay này có thể

xem là thực hiện quanh tất cả các trục di qua điểm cố định đó Tập hợp

tất cả các phép quay này làm thành một nhóm (vì thỏa mãn 4 tính chất của

nhóm ) Nhóm thu được gọi là nhóm quay trong không gian ba chiéu.Ki

hiệu SO(3)

Nhóm SO(3) là một nhóm không giao hoán, liên tục và là nhóm Lie compact

2.1.2 Biểu diễn bất kha qui của của nhóm quay SO(3)

Vì moment xung lượng được bảo toàn trong thế xuyên tâm vì

vậy nó dùng được sắp xếp các trạng thái của các hạt trong vật lí hạt nhân

Mối quan hệ giao hoán của toán tử moment xung lượng là

biểu điễn đại số Lie của nhóm SO(3)

Trong vật lí cổ điển , moment xung lượng được định nghĩa:

một hệ thì quan hệ giao hoán (2.3) được viết

Từ đây ta thấy rằng toán tử moment xung lượng phụ thuộc vào

hệ giao hoán khác nhau cũng như tác động lên không gian khác nhau

Tổng quát ta có định nghĩa:

“Một vectơ toán tử J mà mỗi thành phan thỏa man

mối quan hệ giao hoán D 9, ]=, thì được gọi là moment toán tử xung

lượng "

Ba toán tỬ J, J, J, tạo thành | cơ sở đại số Lie gọi là đại số

Lie SO(3)

Ta xét toán tử bình phương xung lượng J’, vi J? có thể giao

hoán với tất cả các thành phan [J,7?]=0 với

J`=J})+J)+J) (24)

Điều này có nghĩa là | thành phan của toán tử moment xung

lượng và toán tử bình phương J? có thể đo đồng thời vì chúng có chung

đơn giản và thuận tiện hơn nhiều khi ta dùng J, J, J, Ta có các giao

Vì J? giao hoán với các thành phan các toán tử moment xung lượng

nên ta có thể tìm tập hợp các hàm riêng chung của một toán tử nào đấy

“Trong trường hợp này ta tìm hàm riêng của J,

Ta có:

J IU es IM OY (2.10) Giá trị riêng của J? là j(j+1) là dương với j được chọn là j

Muốn nhận được quang phổ của các toán tử bằng phương pháp

“av >0

/+L)— m(m +1) = ( j~ m7 +m+ 1) >0

7+ ])~ m(m = Ù) = (j + m)(/ = m +1) >0 (2.14)

V6i =-/sms / (2.15) Khi m=+/ thì

Tác dụng liên tiếp J, lên hàm lên hàm ự „

„s22 pes SW es Se SOW ses

ta sẽ nhận được giá trị riêng tương ứng của J |

với p là số nguyên đương và giá trị lớn nhất của m+p phải bằng j Ta có

với giá trị cực đại của m.Từ (2.13) và (2.16) ta có : Jay =ự,„ =0

Vì vậy ta được

TI yee =F? - FMF, +b ge = LU +1) - m2 (me ey „.

vì „ là trạng thái không tim thường phương trình có thể nếu : m* = j

Tương tự , ta ta cũng tác dụng liên tiếp J lên hàm ự „

Với q là số nguyên dương và giá trị nhỏ nhất m-q phải bằng -j

Từ đây ta có thể suy ra p+q=2j suy ra /=4.Ta có các giá trị của

lượng tử số j :

J=0,113244

Đây là kết quả rất quan trọng vì từ đây ta có thể suy ra rằng trong

cơ học lượng tử chỉ tổn tại | hệ với moment xung lượng là số nguyên

j=0,1,2 hoặc hàm bán nguyên

Số lượng tử m tương ứng là

m=0+‡,+1+3,+2+4

Như vậy giá trị riêng của toán tử moment xung lượng J? là

jG+1) và với mỗi giá trị j cố định sẽ có (2j+1) giá trị meta J ,

Giả thiết mỗi hàm riêng đều được chuẩn hóa về đơn vị Khi đó ta

có thể viết

IM pe “42V.

từ (2.13) ta sé tim thấy số a, : la, =[/(ÿ +1)— mim + 1)]

Chon a„ là số thực dương Với cách chọn như vậy ta 4p dụng cho

J và/J và nhận được 2j+1 hàm riêng trực giao với nhau ( vì biểu diễn

Wn Wp npet eee pm oreo y

Thỏa mãn phương trình riêng :

J⁄Ww„~=/U*IM„~ Tự = m\Ụ „ (2.17)

Đồng nhất các phương trình ,nó thỏa mãn

Jy = VHT mim + TM ,„ (2.18a)

D4 =JÚ+1)= mm =D ns (2.18b)

với IN, =Jy, ,=0

Như vậy bằng cách tác dụng liên tiếp J,,J_ lên „ ta thu được 1 day

các vectơ riêng và suy ra rằng toán tử J, có trị riêng lớn nhất là j , nhỏ

nhất là (-j) và số vectd riêng là 2j+l

Tổng quát đối với toán tử quay U,($)ta cũng thu được (2j+l) vectdriêng và chúng tuyến tinh với nhau Nhu vậy , không gian (2j+1) chiềudude cấu thành bởi các hàm riêng „ và không đổi dưới tác dụng củatoán tử moment xung lượng Ta gọi đó là không gian con bất biến hermit

Hị Không gian Hy là không gian biểu diễn bất khả qui của nhóm quay

SO(3).

2.1.2 Biểu diễn ma trận

Từ j,,j ta dể dàng biểu dién ma trận của các toán tử moment xung

lượng J, J, 27, Ta chọn vectơ cơ sở „ là những phan tử nằm trên đường

dưới đường chéo chính : j,Í'` là ma trận đối xứng và thực ,J," | là phản

Các ma trận này biểu dién D” của nhóm SO(3) trong không gian ba

chiểu , Với giá trị j bất kỳ thì ta có ma trận }

~~ 0 0

j)= 0 -j+*+l « 20

0 0 /Biểu diễn 1 phép quay với góc y quanh trục oz,theo công thức (1.25)

iy = Bis uw

Ữ,œ)=eư| n1:

Vì ma trận J,”' là ma trận chéo nên sau khi viết exp(i y J," ') dưới

la có :

J= J+J,

Tổng hai toán tử này cũng thỏa mối quan hệ giao hoán với riêng

từng toán tử

Xét Ms, Yim: toán tử Sh + Jyva đc Js Ta có

Ji Sm, = EM Sm va SW, = Mim

Trong một số bài toán nhiều vật thể Ví dụ : bài toán hai electron thì

moment xung lượng của từng electron được mô tả bởi hàm sóng

ụ, (1) vay (2) Hàm tổng của hệ là tổng của hai moment xung

lượng j “Tương tự như vậy ta sẽ có hàm riêng của moment xung lượng

toàn phan J? và „là ụ „ (1.2) Nếu như không có sự liên hệ giữa hai

hệ thi moment xung lượng J,,/, và J sẽ cố định và hàm sóng tổng hợp

sẽ phân chia ra thành hai hàm (1) và (2) và được viết :

w=ựy, *Xự,

Nếu có sự liên hệ giữa hai hệ thì hàm sóng tổng hợp sẽ phụ thuộc

tuyến tính vào tích của hai hàm sóng ,„ Xv),

Ta viet: ự „(12)= 3'(0,/, |m,mymk Shy hes (2.23)

;

Vectd vuông góc y _ và „ „ thành một cơ sở mới „ trong cùng một

không gian con.Tich không gian này không thay đổi nhưng có thể phânchia thành nhiều không gian con bất biến Nói một cách tổng quát biểudiễn nhóm quay ta có thể biểu diễn qua tích các biểu diễn bất khả qui

Ta thấy rằng hệ số Clesch_Gordan sẽ triệt tiêu nếu m # m,+m;

nghĩa là lấy tổng hai lần sẽ rút về lấy tổng một lin nghĩa là m; được xác

định

mạ= m - mụ

Phương trình (2.23) sẽ trở thành

Vm = LUA Am mM sa jn (2.25)

Sự bảo toàn moment xung lượng dyde biểu diễn qua hệ thức m;+m;= m

Bây giờ ta phải tính những giá trị có thể của số lượng tử j

Ta có:

J?w„=j0*+l) ự „

vì J thổa tính chất giao hoán ta có -]< m < 7

Từ các phương trình sóng chứa tọa độ của 2 hat, ta có:

x {Eu js s'|m, m`=m', m' pw ,,1-«,

=ỗ ,Ö„v.=

| Li dadlon, ~ my)’ dain, m=, MW ye Bags mont

hoặc ö „ = {Sim —mymy Ci, Jos’, -mm|

Phương trình này diễn tả tính vuông góc của các hàng của hệ số

Clesch_Gordan Vì hệ số Clesch_Gordan là số thực nên ta có thể bỏ dấu

(*) trong công thức trên

Từ m= m;+m;, ta có giá trị của m là cực đại :

Pạmx= Ji tie Giá tri m,,, chi xuất hiện | lần trong (2.25) nếu m;=j;, mz = j; cũng

có nghĩa là giá trị riêng lớn nhất j„„„ phải là

Jmx = Ji + Ja

Nếu giá trị lớn nhất của m là m„„„ — l với mạ =j;, mạ = jp — 1 hoặc

mị =j¡ ~l, mạ = jy Lúc này 2 trạng thái ứng với m;, m; là :

}= it, ji*j> I ji ~ al

Các giá trị này cũng xuất hiện 1 lần và được gọi là qui tắc tam giác.

fi

(a) (b)

Hình 2.1: a) j dat giá trị cực đại và bằng tổng của j, va jp

b) j được tính theo qui tắc cộng vectơ

c) j nhỏ nhất khi j, va jp ngược chiều nhau Bây giờ ta có thể tính số trạng thái y „ (1,2) như sau:

Š2/+0=(/,+0(2/,+Ð

/“J2*öÍ

Số trạng thái này bằng với số trạng thái cơ sở ụ,„ X ự „

Từ đó ta sẽ suy ra số vectơ cơ sở là(2j¡ +1)(2j2+1) vectơ trong đó các

giá trị riêng m sẽ suy biến trừ trường hợp j;.jz=0.

Tóm lại, bài toán phân tích không gian thành tích các không gian

con tương ứng với những biểu diễn bất khả qui của nhóm

Số vecté của không gian con là tổ hợp tuyến tính clay X vw)

với hệ số Clesch_Gordan Việc tính hệ số này là bài toán khó Ta chỉ sẽ

xét một số trường hợp đơn giản mà thôi.

2.2 Nhóm SU(2)Nhóm SU(2) có 3 tham số (6,,6,,6,)=¢ Mỗi phan tử Ue SU(2) có

thể viết dưới dạng ( theo phép biểu diễn ma trận của nhóm quay )

Các vi tử của nhóm SU(2) là §, = © thỏa hệ thức giao hoán như SO(3)

2[ 5,8, J=ie,5, (2.26)

= —(in, —n, )sin— lăn: Tan =.

Ta viết lại ma tran này dưới dang U = Lý z2)

Ta thấy các thành phan của ma trận biểu diễn SU(2) là những số

phức còn ma trận SO(3) là số thực

Định thức của ma trận U:

Det U=aa + bb"

$ % $ với sncos Tên, sa và b=-(in, +n, jean suy ra det U=1

Định thức det 0È.) =1 chứng tổ U là ma trận unita.Ma trận này biểu

diễn cho nhóm SU(2)

Có một số cách biển diễn SU(2)

*Biểu diễn cơ bản :

D(U)=U unita2x2, với vi tử là: Ÿ, =,

tính chất unita của ma trận U, vi tử của biểu diễn này tìm như sau:

Gọi E; là không gian biểu diễn cơ bản có vectơ cơ sở trực chuẩn

{e*, a=l,2) Vectơ bất kỳ @ =@,e°sẽ biến đời theo qui luật ộ „ =U,,9, 9, gọi là spineur hiệp biến hạng 1.Tương tư, trong không gian Ey = (e,} thực hiện biểu diễn phản bộ, ta cũng cơ ọ =@“e„ với @* là spineur phản biến

hang 1 ,biến đổi theo qui luật ọ ® =U}„e?®

Trong bài luận này ta chỉ dùng đến biểu diễn cơ bản mà thôi

2.3 Mối quan hệ giữa SO(3)và SU(2) 2.3.1 Biểu diễn lưỡng trị của SO(3)

Ma trận biểu điển của SO(3) là J°(0,0, ¿,) ứng với phép quay một

góc ¿, quanh trục z.

Với > =0 thì ta được ma trận đơn vị

È = k2ïi ta cũng có phép quay đơn vị tuy nhiên ma trận J°0,0, k27)=lchỉ khi j nguyên còn khi j bán nguyên ta lại có J“'0,0, k2ï1)= +7

Vậy khi bán nguyên mỗi phần tử của nhóm quay SO(3) đều tương

ứng với hai ma trận +./“? nên gọi là biểu diễn lưỡng trị

Ta có thể chứng minh được rằng một phép quay U, của nhóm

SO(3) sẽ tương ứng với hai sự biến đổi của nhóm SU(2): U và -Ú 'Thật

x'+ yŸ Z=1.

ứng với ba tọa độ thực ta có cách biểu diễn bằng số phức và è.Ta cũng

CÓ: 9 @ +6 ¿ˆ`=l.Ta có mối liên hệ giữa hai tọa độ

x=oð +o 0

y=i(o >"-9 6)

Z= 99-06

Vay M(x,y,z) được miêu tả xÌ+ yŸ z’=(@ @ˆ+ê @ `) = I

Khi có sự dịch chuyển từ M(x,y,z) đến điểm M'(x',y',z`) là ta thực

hiện phép quay quanh một trục đi qua tâm O của mặt cầu và vuông góc

với mặt phẳng tạo bởi những điểm O,M,M'.

Để miêu tả vị trí M' ta cũng có 2 cách diễn tả:

*Số thực: x',y`,z

*Số phức: ọ ` ¿` với ọ '= ao +bé

$'=-bl@+a'$

Vì sự dịch chuyển U là unita nên ta có : p* @ "+6" 6" =!

Vậy ta cũng có : x"*+ y"¥ zo’ @'+¿" 6" P=! (2.29)

Nếu ta thay đổi dấu của a và b thành -a và =b thì ta nhận được sự

dịch chuyển ngược lại là -U Như vậy từ (2.29) ta thấy rằng x'`.y`,2`

không thay đổi trong khí ', ¿` đổi dấu.Điềểu này chứng tỏ rằng mộtphép quay Up của nhóm SO(3) tương ứng với hai sự biến đổi của nhóm

SO(2): U và -U, Như vậy, nhóm SO(3)và SU(2) là hai nhóm đồng cấu

với nhau.

2.3.2 Hiểu diễ khôn

SU(2) sé tương đương vơi biểu diễn trong không gian ba chiều của nhómSO(3).Để chứng minh hai biểu dién này tương đương thì ta phải chứngminh biểu diễn ma trận của 2 nhóm là như nhau.Để cho công việc tính

toán thuận tiện và đơn giản ta tính ví tử ma trận của hai nhóm.

Từ công thức (2.28) ta tính vi tử ma trận SU(2) tương ứng voi phép

quay quanh trục ox (n,=1, n,=n,=0),ta có:

Nhân hệ số ¡ ta sẽ nhận được ma tran J, của nhóm SO(3).Tương

tự ta cũng nhận dude vi tử ma trận A,,A, của nhóm SU(2) tương đương

với /,',J,'3' của nhóm SO(3).

Như vậy , để bài toán đơn giản hơn ta có thể thay phép biểu diễn

ba chiều của nhóm quay SO(3) thành phép biểu điển trong không gian hai

chiều của nhóm SU(2)

Tóm lại , nhóm SO(3) và SU(2) là 2 nhóm dai số Lie đẳng cấu Thật

vậy, ta biết 2 toán tử biểu diễn SO(3) và SU(2) lần lượt là

ow

w Sich | uc

J có thể giao hoán với tất cả các toán tử nhóm Ở,(@) Ta gọi J’

là toán tử bất biến của nhóm hay toán tử Casimir,

Ta quan tâm đến toán tử J? vì (2j+1) các vectơ riêng có thể biểu

diễn chính xác tính chất suy biến của nhóm quay.Tính chất này đặc trưng cho nhóm Lie nửa đơn qua thuyết Racah

Thuyết Racah được phát biểu như sau: "Đối với nhóm Lie nửa

đơn, tổn tại 1 tập | toán tử Casimir mà hàm Ê,Í?,,Ý,„./ } với (2 =1,2 1) của toán tử Z,c6 thể giao hoán với tất cả toán tử của nhóm

và giao hoán giữa chúng với nhau

Í€ ẻ ]=ø

Giá trị riêng C, chỉ đặc trưng cho tính đa bội của nhóm

3.2 Thảo luận về khái niêm nhóm bội:

Chúng ta bắt đầu với khái niệm không gian con bất biến của

không gian Hilbert toà

“Hh

n phẩn, vi dụ ta xét cấc toán tử của nhóm đối

Tốt L |

~

dụng của một số toán tử nhóm lên các trạng thái của cùng | tập hợp thi

tập hợp các trạng thái này được xây dựng lại bởi chính các trạng thái ấy

Hay nói cách khác, phần tử ma trận của tóan tử nhóm giữa các trạng thái

của không gian con bất biến và trạng thái bên ngoài là triệt tiêu Nhóm

bội là không gian con bất biến bất khả qui của nhóm

Để hiểu rõ hơn ta xây dựng công thức toán học cho khái niệm

này.

Tất cả các vectd w„(z)=Ú(aMwạ được xây dựng bởi sự tác dụngcủa toán tử Ở(œ)tác dụng lên trạng thái chuẩn ban ddu yo Tác dụng

liên tiếp toán tử UB) sẻ làm biến đổi vects ự „) vì Ở(B)Ú(œ) = Uy)

Vect cấu bị biến đổi và nó không tạo thành | vectơ không gian(vì mỗi

yếu tố đều chuẩn hóa về đơn vị ) nhưng tất cả sự liên kết tuyến tính của

„(r) — với nhau sẽ tạo thành 1 vectơ không gian bất biến Chính những

vectơ „(r) sẽ hình thành nên nhóm bội

[>

Hình 3.1:Trang thái (z)có thể được biểu diễn như mot vectơ

trong quả cấu có bán kính là 1 ( trạng thái chuẩn hóa )

Khái niệm nhómb ixu tphát trong lĩnh vực quang phổ hạt nhân

ngoài thì ta có dãi vạch trong quang phd( ví dụ hiệu ứng Zeeman)

I=3⁄2

Hình 3.2 : Các đường đa tuyến được nhận bởi sự tách vạch của các trạng

thái đa tuyến Sự tách vạch của đa tuyến chỉ rằng tính đối xứng dưới không

có giá trị chính xác Ta có thể nói rằng : tính đối xứng bị phá vỡ , nói khác

đi có thể không nhận thấy đa tuyến.

Trong lý thuyết nhóm, tập hợp các trạng thái suy biến gọi là nhóm bội.

Các nhóm bội sẽ phụ thuộc vào nhóm đối xứng do đó trong vật lý hạt nhân

ta có thể phân chia cụ thể :

© Yoo là đơn tuyến nếu xét đối với nhóm quay trong không

gian Hilbert

e Hạt A là nhóm đơn tuyến isospin

e Neutron và proton (n,p) tạo thành nhóm nhị tuyến isospin

e Các hat pion k + eK tao thành tam tuyến isospin

Các nhóm bội được xác định bởi cấu trúc nhóm nên không có | phươngpháp chung để tìm các nhóm bội cho I nhóm liên tục bất kỳ Do đó để giải

quyết tốt bài toán ta phải xác định được cấu trúc của nhóm ấy

3.3: Bất biến trong nhóm đối xứng:

Xét tóan tử Ufa) của nhóm đối xứng Sự bất biến của hệ dưới tác dụng

e Trang thái tổng quát: '()=(œM(r) (3.2)phải có cùng phươngưình Schodinger với cùng toán tử /

Vì vậy sự bất biến của hệ dưới tác dụng của nhóm U(a) dude hiểu là

A giao hoán với tất cả toán tử nhóm Ở(œ)và vì vậy cũng giao hoán với tất

cả toán tử Z, của nhóm vì Ủ(œ) = exp(~iœ,Ï,)

Gọi \Wạ là hàm riêng của tóan tử #

=> Hy, = EN (3.8)

kết hợp với (3.7) ta có

Ú(œ)lhụ„ =U@Ey, , HUay,=EUe@w, (3.9)

“28% s Œg po ese me

<4 ,

bội ấy Nói rõ hơn có | nhóm bội toán tử C, phải có 1 tập hợp các giá trị

riêng chung C¡, C¿, C, Định lí Racah bảo đảm rằng mỗi nhóm bội duy

nhất | tập hợp các giá trị riêng €¡, Cạ, ,.C¡.

Vậy ta phát biểu : “Mỗi nhóm nửa đơn Lie chỉ được đặc trưng bởi các giá

trị niéng €¡, Co, C¡ của | toán tử Casimir é & eau Cc).

3.4 : Xây dựng toán tử Halmiton từ toán tử Casimir :

Mỗi toán tử 4 giao hoán với tất cả các toán tử của nhóm Lie là hàm

theo toán tử Casimir C,

A= AC,) (3.10)

Toán tử Casimir la tập hợp lớn nhất các toán tử giao hoán với toán tử

nhóm O(a) Đặc biệt, nếu ta xét toán tử A ma thỏa |Ã,/,Ì= 0 thì ta có hàm:

4=At)

bởi vì phép toán Ay, = AU(aWo = Ú(a)4ws không dẫn đến nhóm bội wo,

mà ta có / và 4 giao hoán với nhau và chúng có cùng trạng thái riêng

„nên tự „ cũng là trạng thái riêng của A và có cùng giá trị riêng a:

Ay, =U(ajay, = ay,

Vi vậy ta có Aw, ow, và được nối trong đa tuyến w, Vì vậy, tất cả các

vectơ trong đa tuyến này có thể nối kết từ „ bởi phép quay U(a)thich hợp ,

A phải là một tổ hợp của toán tử / của phép quay Rõ ràng từ (3.65) 4 là

đường chéo cho mỗi trạng thái „ của đa tuyến mà chứa y, Vì vậy, 4 thể hiện tất cả tiêu chuẩn của toán tử bất biến và thể hiện là một tổ hợp của

trong trường xuyên tâm sẽ giao hoán với toán tử của nhóm quay U,(6) Vì

vậy, / phải có cấu trúc:

HH =Tứ` + p`)+ fir pw +

=Tựứ`,p`)1+ f(r`.p`)È +

trong đó Z? là toán tử bất biến của nhóm quay Số hạng T tỉ lệ với toán tử 1:

toán tử đơn vị.

© Toán tử Halmiton mà bất biến trong phép biến đổi tinh

tiến phải chứa toán tử Casimir của nhóm tịnh tiến p=(p,,p,,p,) nên phải

có dạng:

A =at+Pp pry p'+

trong đó : œ,,y là hằng số

1 là toán tử đơn vị của nhóm tinh tiến

e© Toán tử Halmiton là bất biến trong nhóm isospin có cấu

trúc chứa toán tử 1 và tỉ lệ với t,t,

Hs f(r)i+Gree ft,

3.5: Ý nghĩa vật lý của nhóm đối xứng:

Trong phẩn này ta chỉ xét trường hợp nửa đơn của nhóm Lie với n toán

tử và | toán tử bất biến (1 < n), và ta có thể chon tất cả là toán tử hermit

Có ba ý nghĩa chính ta có thể nhắc đến:

1).Hé có 21 số lượng tử Một nửa số lượng tử | của toán tửi,(i=1,2.n) của nhóm đối xứng thì giao hoán với nhau.Còn | nửa số lượng

tử còn lại của toán tử Casimir sẻ sắp xếp các vạch bội.Các trạng thái (trừ

trạng thái đơn bội) được đặc trưng bởi các giao hoán tử IĐể đơn giản,

chúng ta chỉ xét sự đối xứng đơn giản S, đó là đối xứng cau That rõ ràng,hệ

có tính chất đối xứng khi mà toán tử Hamilton giao hoán với mọi toán tử

Ủ(œ)của nhóm đối xứng

Ta có phương trình SchÖdingcr miêu tả trạng thái ban đấu của hệ có

dạng :

Ôw(r,f)

oe

ih = Ay (r,t) (3.11)

Toán tử đối xứng O(a) không phụ thuộc vào thời gian nên phương trình

SchGdinger được viết:

oUt mind)vẽ =U(a)HU (a) Ua (r,t) (3.12)

ih

Sự dịch chuyển hàm sóng w'(r.t)=U(a)y (r,t) thỏa mãn phương trình

SchOdinger như hàm sóng ban đầu :

Tầm quan trọng của nhóm đối xứng là tất cả tất cả các toán tử ¿, giao

hoán với toán tử Hamilton của hệ nghĩa là toán tử Z, được bảo toàn Như

vậy , trong | bài toán nếu tất cả các toán tử giao hoán với A đã biết thì toán

tử đối xứng (œ) = exp(—iœ,¿„)„ có thể được xác định một cách dé dàng, hay

nói cách khác $ thể hiện qua toán tử (œ) thành lập nhóm đối xứng

Hamilton.

3.1: Định luật bảo toàn trong đối xứng quay và điện tích không phụ thuộc vào lực

a_Néu ta có sự đối xứng dưới tác dụng quay thì nhóm quay SO@) là

nhóm đối xứng và J,,J,,J,1a những toán tử bảo toàn số lượng tử Ta có

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Bich Phuong 5 Trang35