Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một vài vấn đề về môđun tự do

-MỘT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DOLỜI CẢM TẠ Để hoàn thành được luận văn này, tôi đã nhờ sự giảng dạy và giúp đỡ tất nhiễu của qúy Thdy Cô và Cán bộ của Trường ĐẠI HỌC SƯ PHAM Thành phố Hỗ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP HO CHÍ MINH

LUẬN VAN GU NHÂN TOAN

CHUYEN NGANH BAI SO

MODUN TU DO

Người hướng dẫn : TS Tran Wayéen

Người thực hiện : HUYNH TH] BOANG DUNG

Người phản biện 1 : TS Aly Vinh Quang

Người phản biện 2 :

%⁄2(0(M)

-MỘT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

LỜI CẢM TẠ

Để hoàn thành được luận văn này, tôi đã nhờ sự giảng dạy và giúp đỡ

tất nhiễu của qúy Thdy Cô và Cán bộ của Trường ĐẠI HỌC SƯ PHAM

Thành phố Hỗ Chi Minh trong suốt quá trình tôi đã học tập ở trường và làm

luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn qúy Thấy Cô và cắn bộ của trường ĐẠI

HỌC SƯ PHẠM

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn và biết om sdu sắc thdy Trần

Huyén, Người đã trực tiếp ra dé tài và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm

luận văn tốt nghiệp

Thành Phố Hỗ Chi Minh, tháng 5 năm 2000.

Trang 1

MỘT VÀI VAN ĐỀ VỀ MƠ DUN TỰ DO

LỜI NĨI ĐẦU

Luan van này được chia làm hai phan :

Phan 1: Kiến thức chuẩn bi

Phan II : Nội dung

Phần kiến thức chuẩn bị dành để liệt kê một vài khái niệm và kết qua về

kiến thức mơ đun được dùng nhiều về sau Cách trình bày chỉ tiết cĩ thể tìm thấy

hầu hết trong các giáo trình được đưa ra ở danh mục tham khảo của luận văn này

Phan nội dung của luận van được chia làm hai chương :

Chương I : Mơ đun tự do

Trong chương này tơi nêu lên một số khái niệm và tính chất của Mơđun tự

do để làm cơ sở cho các phép chứng minh ở phan sau Trong đĩ cĩ xét một số vấn

để liên quan như :

- Tổng trực tiếp của các mơ dun tự do cĩ là mơđun tự do ?

~ Tích tenxơ của 2 mơ đun tự do cĩ là mơ đun tự do ?

Tiếp đĩ tơi xét đến mơđun con và mơ đun thương của mơ đun tự do Nếu

một mơ đun con là hạng tử trực tiếp của một mơ đun tự do thì nĩ cĩ là mơ đun tự

do hay khơng? Đồng thời tơi cũng nêu ra một kết gủa của mơ dun tự doÏfên vành

chính.

Chương II : Life lượng cơ sở của một mơ dun tự do.

Đây là phần nội dung cơ bản của luận văn Nội dung chính của chương II là

việc nghiên cứu tính duy nhất của lực lượng cơ sở của mơ đun tự do Ở chương

này, tơi chia làm 2 tiết :

Tiết | : Lực lượng cơ sở của mơ đun tự do,

Tiết 2 : Vành phụ thuộc

ổ tiết 1, để cập đến tính duy nhất của lực lượng cơ sở vơ hạn của mơđun

bất kỳ và tính duy nhất của lực lượng cơ sở của một khơng gian véc tơ trên trường K.Từ đĩ suy ra tính duy nhất của lực lượng cơ sở mơ đun tự do trên vành giao

hốn và trên vành hữu han Ở tiết 2, tơi nêu ra khái niệm vành phụ thuộc Với

khái niệm này ta mở rộng được tính duy nhất của lực lượng cơ sở của mơđun tự do

trên vành phụ thuộc khơng cĩ ước của 0 Với tim hiểu biết và kiến thức cịn cĩ

hạn, luận văn này chỉ là xem xét và tổng hợp lại một số vấn để cĩ liên quan đến

mơ đun tự đo.

Trang 2

MOT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ BUN TỰ DO

PHANI:

KIEN THỨC CƠ SỞ

Tiết 1: CÁC KHÁI NIỆM VỀ MÔ DUN

I.1 MÔ DUN, MÔ DUN VÀ MODUN THƯƠNG :

L.1.1 Mô đun :

Định nghĩa 1.1.1.1 : Giá sử R là vành giao hoán, có đơn vị Một Mô dun R

(hay R mô đun) là mốt nhóm công giao hoán (X +) cùng với môi hàm:

Thí dụ : L1.1.2: Mỗi nhóm cộng giao hoán bất kỳ đều là một Z - mô đun (Z.: vành số nguyên) thật vay, cho (X,+) là một nhóm giao hoán hàm :

Phép nhân này hiển nhiên thoả mãn 4 diéu kiện ( M1) — (M4)

Thí dụ : 1.1.1.3: Không gian vectơ X là R - môđun ( R : trường số thực)

Thí dụ : I.1.1.4: Giả sử R là vành giao hoán, có đơn vi gọi là một iđêan

của R khi đó I là một R - mô đun That vậy (1+) là một nhóm Aben (do I là một idéan của R), hàm : M : RxI 1

(r.X) rXx,Vr€cR,VxeL.

Tích rx là một phép nhân trong vành R giao hoán, có đơn vị nên hiển nhiên thoả

4 uên để (M1) — (M4)

Trang 3

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

e Do R là một idé an của chính nó nên R cũng là một môđun trên chính nó Nói

cách khác, mỗi vành giao hoán, có đơn vị điều là một môđun trên chính nó

Thí dụ : 1.1.1.5: Cho X = R = ( ánh xa f:S -> R ) với phép cộng các ham

Ta xét V[x] vớp phép cộng thông thường và phép nhân vô hướng

như sau : B (Go + Œ¡X + + a,x" )= j dạ + 0X + + Ba,x"

Ta dé thấy các phép toán trên xác định một cấu trúc V -môđun trên V [x]

1.1.2 Môđun con :

1.1.2.1 Bộ phận ổn định của Môđun :

Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị X là R- môđun và tập 2 z A

cX

A gọi là ổn định với 2 phép toán + và s trên X nếu :

i) At+tA cA (x+y€A.Vx,y EA)

ii) RAcA (ra € A, VreR,aeA)

L.1.2 2 /Mệnh dé :

Tập khác rỗng A c X ổn định đối với 2 phép toán trên X thì A cùng với 2

phép toán đó lập thành một R -môđun Ta gọi A là R- môđun con của X.

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

Thí du : 1.1.2.3 ; Cho (X.+) là nhóm Aben Mọi nhóm con A của X đều là

môt môđun con của X, xem như môt Z- môđun (Z : vành các số nguyên) Vì mdi nhóm cộng giao hoán bất kỳ mét Z -môđun và nếu A là nhóm con của X thì : Ya

€ À,X€Zlacó xacA.

Thí dụ : 1.1.2.4: Giá sử R là vành giao hoán có don vị.R làmột môđun

trên chính nó Khi đó, mọi iđêan của R là một môđun con của R vì đó là những

tập hợp con Á # Ø của R sao cho : ra + sb € A, Vrs e R,a,b e A.

e Một môđun X bao giờ cũng có ít nhất 2 môđun con : X và (0) : (0) được gọi là

môđun không Ký hiệu : o

Thí dụ: L1.2.5:

Cho X = R* = (ánh xa f : § -> R } là một R-môđun

Tập con của X là A = [f:Ÿ—» R/ f(s) = 0, trừ một số hữu hạn những phần tử s

eS}

A là một môđun con của X

Giả sử X là không gian vectơ thực Ngoài X và (0] thì X còn có 2 loại

không gian vec tơ con :

(1) Tập hợp các vectơ gốc 0 nằm trên một đường thẳng đã cho đi qua 0.

(2) Tập hợp các vectơ gốc 0 nằm trong một mặt phẳng đã cho di qua 0.

Hai không gian vectơ con này chính là hai R- môđun con của X.

1.1.2.7/ Mệnh dé :

Giá sử X là R-môđun và (A,), ¢ TIA một họ môđun con của X Khi đó,

aya, là một môđun con của X (2) Nếu I là hữu han thì iy Ai là một môđun con của X

(3) A là một iđêan của R Khi đó rA là một môđun con của X, Vrs € R

Trang Š

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

1.1.3 Mô dun thương :

Giả sử X là R-môdun A là một R-médun con của X (A.+) là một nhóm

con của nhóm Aben công X nên nhóm thương : X/A = {x + A/ x © X} là một

nhóm Aben hoàn toàn xác định với phép cong định nghĩa bởi

(M4); I(x +A) = lx+A = x+A

Vậy X/A là một R-médun, gọi là môđun thương của X theo A.

TÍNH :

1.2.1/ Tap sinh của môđun con :

Giả sử S là một tập con tuỳ ý của R-môđun X Giao của tất cả cámôđun

con của X chứa S được gọi là médun con của X sinh bởi S.

Ký hiệu : A (S) hay < S> Ta noi: S là tập sinh của A(S) hay S sinh ra A(S),A(S)

là môđun con bé nhất của X chứa S.

Trang 6

MỘT VẢI VÂN ĐỀ VỀ MO DUN TỰ DO

1.2.2/ Định nghĩa :

Nếu phần tỬ xe X có thể viết dưới dang một tổ hợp tuyến tính của các

phân tử se§:x= aes (a, c R) thì ta nói : x biểu thi tuyến tính qua các phan tử

của S,

L2.3./ Định nghĩa :

+ Tập con § c X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tổ hợp tuyến tính

của tất cả các phan tử cửa S: S«, s=0 trong đó tổn tại s € S sao cho a, + 0

e Nếu s € S mọi tập hữu hạn của tập con A của X (R-môdun) là độc lập tuyển

tính thì tập con A của X độc lập tuyển tính.

1.3/ TICH TRỰC TIẾP, TONG TRUC TIẾP :

1.3.1: Tích trực tiếp :

1.3.1.1 : Tích trực tiếp của 2 môđun :(tổng trực tiếp của 2 môđun)

1.3.1.1.1 Định nghĩa :

Giả sử A và 8 là 2 R-môđun Trên A x B = ((a,b)J/a <A,b < BỊ Xác

định 2 phép toán : (ay,b, ) + (a;,by )= (a) + ap, bị tị) E AXB

r (a,b) = (ra,rb) <eAxB Khi đó (A x B +, © ) là một R-môđun Ký hiệu : Ax B hay A ® B

L3.1.1.2 Mệnh để : (Tổng trực tiếp trong của 2 môđun)

Giả sử A , B là 2 môđun con của R-môđun X sao cho: ÀA + B # X và

A o B=0 Khi đó :X = A @B và X được gọi là tổng trực tiếp trong của 2

môđun A,B Ký hiệu: X=A ®B

Chứng minh: Xét :A @B -+X

(a,b)a+bi) o là đồng cấu , thật vậy , ¥ (a),b)), (a;b;) € A®B, Vri,rạ e R

© (rị( ay,Dy ) rp (ay,b; )) = @ (rị ay.+ az, Fb, „ rạb; )

= (ri (apt by) + rạ(a¿ +hạ )

=r, @(ai+b,), rạ( aạb; )

ii) la đơn cấu That vay:

Ker 0 = ((ab/a+b=0J=((a.b/ae-b 6 A OB=0)

= { (0.00) = (0.0)

ii — @ là toàn cẩu : Thật vậy, Vxe X=A+B :3a e A,beBđể x=a+b

chọn (a,b) e A OB :o(a.b)ì=x

Trang 7

MỘT VAI VAN ĐỀ VỀ MÔ DUN TỰ DO

Kết luận :A@B =X

1.3.1.2 /Tích trực tiếp của họ môđun :

1.3.1.2.1/ Định nghĩa :

Giả sử | X, } „ ¡ là một hô bất kỳ R-môđưn trên

TL Xz=|x:lU¡ Xz thoả xx € X#| = | (X#) „- ¡/X„ © X#] xát định hai

Với một R - môđun X bất kỳ và với bất kỳ họ đồng cấu fh, : X -> X„}

thì tổn tại và duy nhất một đồng cấu @:X-> []X sao cho : h„=ƒ -.% Wxrel

tức là sao cho biểu đồ sau giao hoán : X Pm 4! tá

‘ 4

1.3.2/ Tổng trực tiếp : X

1.3.2.1 : Định nghĩa : =

Cho họ không rồng các R-mô đun (X,} Mô dun con của tích trực tiếp

i X, bao gồm tất cả các bộ (x,), e¡ ma hầu hết các thành phan x, = 0 trừ ra một

số hữu hạn được gọi là tổng trực tiếp của họ {X,]

Ký hiệu : @ X, = {(x,),ce; [].X / chỉ hữu hạn x, +0 }

Trang 8

MỘT VAI VAN ĐỀ VỀ MO BUN TU DO

Nếu [1a hữu han Khi đó @ X,=[]¥

1.3.2.2/ Ho các phép nhúng : Cho họ không rỗng các R-mô dun (XJ ¿ ¢ / Với mỗi #: el, xét ánh xa :

Tập con không rỗng A của R-mô đun X là một cơ sở của X nếu : A sinh ra X

và A độc lập tuyến tính (X = <A>: A là tập sinh của X)

1.4.2/ Mệnh để :

Tập con Ø # A <X (R-mô dun) là cơ sở của X khi và chỉ khi mọi phan tử

của X đều có một biểu diễn duy nhất đưới dạng một tổ hợp tuyến tính những phần

tử của A.

Chứng minh :

+ Điều kiện cần : Giả sử A là cơ sở của X Khi đó A là hệ sinh của X vì vậy : Vx

c X thì x điều được viết dưới dạng : x = Yœ;a trong đó : họ (œ,), «a chỉ hữu hạn

những phấn tử khác 0 Giả sử ta có cách viết khác : x =È Ba = 0 suy ra Yø,a

=ÈY 8u > Yaa -Y8u=0 = La, -f,ja=0

Do A độc lập tuyến tinh nên «, - 8, =0 = «,=B, Va c A.

Vậy A độc lập tuyến tính, nên : là cơ sở của X.

Trang 9

MỘT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ DUN TỰ DO

Day khépngin Q„A œ g3_ gC 50 được gọi là chẻ ra nếu :

Ima = Ker @ là một hạng tử trực tiếp của B Tức là : B = Ima ® C` trong đó

C'eB,C'zaC,

1.6 /Hang Tử Trực Tiếp :

1.6.1/ Định nghĩa :

Tập khác rỗng N là một mô đun con của một R-mô đun X được gọi là một

hạng tử trực tiếp của X nếu tổn tai một môđun con P của X sao cho :

X=N+P,N oP=0

Ký hiệu ; X =N ® P (P : gọi là môđun con phụ của N)

Nói chung, P không phải là duy nhất nhưng tất cả các môđun con phụ của

môđun con N nếu có, đều đẳng cấu với nhau

L6.2/ Định lý :

Giả sử N là một môđun con của R-môđun X Khi đó các tính chất sau là

tương đương :

(1)N là hạng tử trực tiếp của X

(2) Tén tai một tự đồng cấu p của mô đun X sao cho pop = p và p(X) =N

(3) Tồn tại một đồng cấu p' từ X tới N sao cho p`(x) = x, Va e N

(1) => (2) Giả sử X =N ®P Khi đó Wx e X x điều viết được dưới dạng sau một

cách duy nhất : x = n + pín eN, pe P.)

ta đặt p:X ->X

x hen

e pla ánh xa do với mỗi x © X thì n là tốn tai và duy nhất :

e pla mội tự đồng cấu của X Thật vậy

VX,Xạ 6€X : xX, =n, +p, } => Xi + X= (n, +09) +(p, + pe NOP

X2 = Nz + p2

Trang 10

MỘT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

(2) =(3)Vì p: X — X là môt ánh xa từ X lên N nên ta có thể định nghĩa mat

đồng cấu mô đun p' : X — N bằng cách dat p`(x) = p(x), Vx X Ta chứng minh

p.(x)=x.VxeN Thật vậy nếu x e N thì p(y)c X sao cho : p(y) = x khi đó :

Giả sử B.C là các R-môđun P là mô dun xa ảnh nếu với mọi toàn cấu

&:B ->C và mọi đồng cấu f; P > C tổn tại ánh xạ đồng cấu :

Cho X, Y là hai R-mô đun Ta gọi là tích ten xơ của X và Y là một cặp gồm

R- mô đun T và một ánh xạ song tuyến tinh : X x Y > T có tính chất phổ dụng

đối với mọi ánh xa song tuyến tính @ từ X # Y tới một R- mô dun bất kỳ K, tổn tại

duy nhất một đổng cấu f:T -> K sao cho @ = fo tức là sao cho biểu đổ sau giao

MOT VAI VẤN ĐỀ VE MÔ DUN TU DO

Ký hiệu :T=@ YI.8.2/ Mô tả các phần tử của T = X ® Y :

^

#(xyìceXxY Th glad Oy

Tap {x@y/xeX,ye Y | là hệ sinh của X OY

Vze XOY:z= SàÀi (x, Dy), VIIA, hein ER

Š (A, x, @ y,) = * (x),@®y,)

⁄

hay z= Ÿ°-(@&,@2y)= Š Wy)

«i

Nhân xét :

- _ Các phan tử của tích ten xơ là tổng của hữu han phan tử nào đó

- Tập các tenxơ {x @y) không là cơ sở, vì sự biểu diễn là không duy nhất J

Trang 12

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

Thí dụ I.1.1.3: Gid sử R là mốt vành giao hoán Vành đa thức R [x] là một

mô dun tự do Thật vậy, lấy bất kỳ đa thức f(x) e R[x] thi:

Í(X}= aol + ñX +â;X + 1 Hvi TIÊN

Rõ ràng ta thấy rằng ( 1, x x” x" } là một cơ sở của R[x]

Thí du 1.1.1.4 : Gia sứ R là môi vành, tập các ma trận A = (3,);„ „„ trong đó

(au ee R,¡ = n,j = Tm là một R-mô dun tự do với các cơ sở là tập các ma

trận { l¿, ¡ = En,j= Em | có phần tử nằm ở dòng i cột j bằng | và mọi phan tử

khác của ma trận đều bằng 0

1.1.2 Ménh đề: (Tính phổ dụng của mô đun tự do)

Cho tập S # Ø Mô đun tự do sinh bởi tập S, Ký hiệu : F(S) là mô đun sao

cho có ánh xa j, : S —> F(S) có tính chất phổ dụng đối với mọi ánh xạ h:§ > X

(R-mô đun) bất kỳ, tức là tổn tại và duy nhất một ánh xạ đồng cấu : @, : F(S)-› X saocho h = @¿j tức là sao cho biểu đồ giao hoán :

b _- F(S)

Chứngminh: — X

e Nếu S =Ø Khi đó F(S) là mô đun O, mệnh để hiển nhiên đúng.

e Nếu Sz Ø Vì S là cơ sở của F(S) nên : Vxe F(S) thì x đều viết được một cách

duy nhất đưới dạng : x = Say Trong đó (ø,), „ s là một họ của R và chỉ hữu

MOT VAI VẤN ĐỀ VỀ MÔ DUN TỰ DO

+ Ta chứng minh =m, là mOtR đồng cấu Thật vậy,

VrreR,Yx € Ta.s.y= LT sec FO), tạ có:

tÔn (rX +) = Oi Laser Bs)=@(S ira, + r`Ö, )s )

1.1.3/ Mệnh dé : (Các điều kiện tương đương của môđun tự do )

Các điểu kiện sau là tương đương :

(1) R - mô đun X có cơ sở

(2)X= @ R,, trong đó R, = R Vs cS5SzØ.

(3) Tổn tại tập § # Ø va hàm f :S > X có tính chất phổ dụng đối với mọi ham

Í: S —› M từ tập S đến R-mô đun M tức là tốn tại duy nhất một đồng cấu

@ : X => M sao cho biểu dé sau giao hoán :

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ ĐUN TỰ DO

+ Thật vây, lấy Wx © X, do [I,J là cơ sở của X cho nên :x= Xø + trong đó

(as là họ các phần tử của R và chỉ hữu han phần tử khác không do a,s € R, cho

nên : Sase€ TR, ©>=Xc ER,

Hiển nhiên ta cũng có FSR cX.Vậy Xz=V#

+ Mãi khác lấy : xe { ER} ARS = xe ŸY# xeRs

= X= Yrhenrkh > Trl +(e 1 y=0

Ss

Do {h}s là cơ sở của X néntacérm=n =0.¥s 48°

Vậy x=0.suyra [SR JARs = { 0 |

+ ứ› là đồng cấu duy nhất thoả : Of = h $ —#—>›@R,~X

Œẹ( 4X+Hy )=@0p(2 Dal +HỆ 6đ! )= @œ(X(Àe, + whi)

=ỀY(2ø,+ 0u ).h(s) = Via hts)+¥ wp his))

Giả sử Sw đồng cấu : @R, > M thỏa wf=h ta can chứng minh: w= @

Thật vay lấy x e @R.:x= Lal, do đó :

ự(x)= w (Lal, = La, wth) =a, ự f(s) = La, h(s)

= La, (onl) (s)= La, @(f(S)) = La, oth)

= Oy ( ca, ly

Vay ự sứ,

(2) => (1) Ta cần chứng minh : f (S) là cơ sở của X

se X=<f(§)>

Giả sử A là mô đun con của X và A = <f(6))>, Lúc đó f xác định một ánh xạ g :

S — A sao cho iạg = f với ¡ là phép nhúng chính tắc i:A>X

§ 4» %

cưới

A

Theo (3) : Do-X-là-mô-đụn-tự do, f có tính chất phổ dụng với mọi đồng cấu g :

S — A nghĩa là : 3! đồng cấu k: X + A sao cho k,f =g

=> i (Kef) = ing

Do (3) về tính duy nhất của k ta có i¿k = 1, MA 1, là toàn cấu nénila | toàn

cấu Suy ra ¡ là đẳng cấu hay A =X Vậy X =<f(S)>.

® f(s) độc lập tuyến tính :

Theo (3) ta chọn hàm g: S -> @R,

S, r>l, Trong đó 1, là phần tử cơ sở của R, và chúng ta thấy tổn tại đồng cấu duy nhất

k:X —> @R, sao cho kof = g.

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ MÔ DUN TỰ DO

Để chứng minh {(5) độc lap tuyến tính, ta lấy tập hữu han f(s,) f (s;) fe f(S), ta can chứng minh fis)), f isp), f(s„) độc lập tuyến tính.

Giả sử tốn tại t,.tạ l, ER sao cho :

Do {l,},.rzlà một tập hữu hạn của cơ sở (l,}¿ cho nên (hj.

<> f(S) độc lập tuyến tính Vậy [(S) là cơ sở của X.

Tổng trực tiếp của họ tuy ý những môđun tự do trên R là mô dun tự do trên R

1.1.4 Mệnh Để : (tích tenxơ của 2 mô đun tự do)

Nếu M và N là những R-mô dun tự do với cơ sở (f); và (1); theo thứ tự, thì

M ON cũng là một R- mô đun tự do với cơ sở (f, OL), ,5.

Chứng minh: Trước khi chứng minh mệnh để này, ta đi chứng minh bổ để sau :

Bổ dé 1.1.4.1:

Giả sử N là một R-mô dun tự do với cơ sở (I, và M là một R-mô dun tùy ý.

Khi đó, mỗi phần tử của M @ N đều viết được một cách duy nhất dưới dang :

X(xị®i,) Trong đó x, € M và họ (x,) chỉ hữu hạn phần tử khác không

Chứng minh :

Thật vậy, giả sử x e M và y e N, ta có y = Sal, trong đó a, € R và họ

(ø,)¡ chỉ hữu hạn phan tử khác 0 Do đó :

x@Oy = TaxOa!l, = X(œx9gi) = L(x, Ol)

trong đó x, € M va ho (x,), chi hữu hạn phần tử khác 0 Như vậy x © y có một biểu

diễn dưới dang mong muốn, và diéu này cũng đúng cho mọi phan tử của MON.

Giả sử Sx, ©/ =0, ta sẽ chứng minh rằng x,=0 Ví € I, vì (1); là một cơ sở

của N nên ta có :N = YR sô Rh,

f

Suyra:M@®Nš M® (GRI) We @ (M@RI,)

Trong đẳng cấu M®N = ® (M @ Ri), các phẩn tử Ex,@1, và (x2 lùi

tương ứng với nhau vì theo giả thiết : Ex, O/ =0 nên Vi e I,ta có x,@ l,=0

Trang 17